Exercícios - Operadores Lineares - Álgebra Linear e Geometria Analítica 2021 1

EXERCÍCIOS SOBRE OPERADORES LINEARES 1 7.2.1. Diagonalize cada matriz dada A por meio de uma matriz ortogonal, ou seja, ache uma matriz ortogonal P tal que P^tAP seja diagonal: (a) \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} (b) \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} (c) \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} (d) \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} (e) \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} (f) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} (g) \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} (h) \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} 7.2.2. Mostre que se A é uma matriz ortogonal, então det(A) = ±1. 7.2.3. Mostre que se A e B são matrizes ortogonais, então AB é ortogonal. 7.2.4. (a) Verifique se a matriz \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sen \theta \\ \sen \theta & \cos \theta \end{pmatrix} é ortogonal; (b) Mostre que X = (x, y) é ortogonal a V = (a, b) ≠ (0, 0) com ||X|| = ||V|| se, e somente se, X = (-b, a) ou X = (b, -a). (c) Mostre que se A é uma matriz ortogonal 2 x 2, então existe um número real θ tal que A = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sen \theta \\ \sen \theta & \cos \theta \end{pmatrix} ou A = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sen \theta \\ \sen \theta & -\cos \theta \end{pmatrix}. A primeira matriz tem determinante igual a 1 e é chamada matriz de rotação. (Sugestão: Comece com uma matriz (a_{ij})_{2×2} e use o fato de que as colunas são ortonormais. Uma das equações será a^2_{11} + a^2_{21} = 1. Faça a_{11} = \cos θ e a_{21} = \sen θ. Use o item anterior.) 7.2.5. Mostre que se uma matriz A é diagonalizável por uma matriz ortogonal (isto é, existem P e D, com P^{-1} = P^t e D diagonal, tais que D = P^tAP), então A é uma matriz simétrica. 7.1.10. Dizemos que uma matriz B, n × n, é semelhante a uma matriz A, n × n, se existir uma matriz P não singular tal que B = P^{-1}AP. Demonstre: (a) A é semelhante a A; (b) Se A é semelhante a B, então B é semelhante a A; (c) Se A é semelhante a B e B é semelhante a C, então A é semelhante a C. 7.1.11. Seja λ um autovalor (fixo) de A. Demonstre que o conjunto formado por todos os autovetores de A associados a λ, juntamente com o vetor nulo, é um subespaço de R^n. Este subespaço é chamado de autoespaço associado a λ. 7.1.12. Demonstre que se A e B são semelhantes, então possuem os mesmos polinômios característicos e portanto os mesmos autovalores. 7.1.13. Demonstre que se A é uma matriz triangular superior, então os autovalores de A são os elementos da diagonal principal de A. 7.1.14. Demonstre que A e A^t possuem os mesmos autovalores. O que podemos dizer sobre os autovetores de A e de A^t? 7.1.15. Seja λ um autovalor de A com autovetor associado X. Demonstre que λ^k é um autovalor de A^k = A…A associado a X, em que k é um inteiro positivo. 7.1.16. Uma matriz A é chamada nilpotente se A^k = 0, para algum inteiro positivo k. Demonstre que se A é nilpotente, então o único autovalor de A é 0. (Sugestão: use o exercício anterior) 7.1.17. Seja A uma matriz n x n. (a) Mostre que o determinante de A é o produto de todas as raízes do polinômio característico de A; (Sugestão: p(t) = det(A − tI_n) = (−1)^n(t − λ_1) ... (t − λ_n).) (b) Mostre que A é singular se, e somente se, 0 for um autovalor de A. 7.1.18. Seja λ um autovalor da matriz não-singular A com autovetor associado X. Mostre que 1/λ é um autovalor de A^{-1} com autovetor associado X. 7.1.19. Seja A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}. Ache as condições necessárias e suficientes para que A seja diagonalizável. 7.1.20. Se V e W são autovetores associados a um autovalor λ, então W - projₗW é também um autovetor associado a λ? E se V e W forem autovetores associados a autovalores diferentes? 7.1.21. Sejam A e B matrizes n x n. Mostre que AB e BA possuem os mesmos autovalores. (Sugestão: Separe em dois casos: λ = 0 e λ ≠ 0. No segundo caso, mostre que se V é autovetor de AB, então BV é autovetor de BA.) 7.1.22. Seja A uma matriz n x n diagonalizável. Mostre que o traço de A é igual à soma das raízes do seu polinômio característico, incluindo as multiplicidades. (Sugestão: use o fato de que tr(AB) = tr(BA).) 7.1.23. Suponha que duas matrizes n x n A e B são tais que B = αA, para um escalar α ≠ 0. Mostre que se λ é autovalor de uma matriz A, então αλ é autovalor de B. Nos Exercícios 1-2, confirme por multiplicação que x é um autovetor de A e encontre o autovalor correspondente. 1. A = [4 0 ; 2 [1] 3 2 2] ; = [2] 2 4 0 1 2. A = [-2 -1 1 ; -1 2 -1 -2 -1 2] 3. Em cada parte, encontre a equação característica da matriz. (a) [3 0 -3] (b) [4 0 3] (c) [4 0 0] [8 -6 -3] [4 -2 0] [0 1 0] 4. Encontre os autovalores do Exercício 3. 5. Encontre bases dos autospacos das matrizes do Exercício 3. 6. Em cada parte, encontre a equação característica da matriz. (a) [4 0 1] (b) [4 2 -2] (c) [1 0 3] [2 1 0] [0 3 -5] [0 0 1] [1 -5 -4] [0 0 1] (d) [0 0 1] (e) [0 0 1] [0 -1 0] [0 1 0] 7. Encontre os autovalores no Exercício 6. 8. Encontre bases dos autospacos das matrizes do Exercício 6. 9. Em cada parte, encontre a equação característica da matriz. (a) [7 0 2] (b) [10 -9 0 0] (c) [4 -2 0 0] [1 0 1] [0 21 0 0] [0 0 -2 -7] (d) [10 -9 0 0] (e) [10 -9 0 0] (f) [0 0 -2 0] [0 0 0 1] [0 0 1 2] [0 0 -1 -2] 10. Encontre os autovalores das matrizes no Exercício 9. 11. Encontre bases dos autospacos das matrizes do Exercício 9. 12. Em cada parte, encontre os autovalores por inspeção. (a) [1 -6] [0 3 0] [1 -1] 13. Encontre os autovalores de A^2 + 1, sendo A = [3 7 1] [0 4 2] [0 0 2] 14. Encontre os autovalores e bases dos autospacos de A^-3, sendo A = [4 2 -2] [0 1 0] [0 0 1] 15. Seja A uma matriz 2 x 2. Dizemos que uma reta pela origem de R^n é invariante por A se Ax estiver nessa reta sempre que x estiver. Em cada parte, obtenha as equações de todas as retas de R^n que são invariantes pela matriz dada. (a) A = [4 -1] [5 0] 16. Encontre detA, sabendo que A tem polinômio característico p(A). (a) p(A) = λ^3 – 2λ^2 + λ + 5 (b) p(A) = λ^3 – λ^2 – 7 [Sugestão: ver a prova do Teorema 5.1.5.] 17. Seja A uma matriz n x n. (a) Prove que o polinômio característico de A tem grau n. (b) Prove que o coeficiente de λ^n no polinômio característico é 1. Nos Exercícios 1-4, mostre que A e B não são matrizes semelhantes. 1. A = [-3 2] B = [-3 2] [1 2] [1 2] 2. A = [2 -4] B = [-4 2] [3 1] [3 1] 3. A = [3 0 1] B = [1 0 0] [1 0 0] [2 1 2] [0 1 0] [4 0 0] [0 1 0] [3 0 1] 4. A = [2 0 1] B = [0 1 2] [2 3 0] [1 0 0] [2 0 2] [1 0 2] 5. Seja uma matriz 6 x 6 com equação característica λ^6 – 1|A – 2'] = 0. Quais são as possíveis dimensões dos autospacos de A? 6. Seja A = [4 0 1] [2 1 0] [1 -5 -4] Nos Exercícios 16-21, encontre as multiplicidades geométrica e algébrica de cada autovalor de A e determine se A é diagonalizável. Se for, encontre uma matriz P que diagonalize A e calcule P^-1 AP. 16. A = [19 -9 -6] [2 5 -11] [-1 -4 -9] 17. A = [-4 -2] [-3 4] 18. A = [5 0 0] [5 0 0 0] [0 5 0] [0 5 0 0] [0 0 5] [0 0 5 0] 19. A = [1 1 0] [1 1 0 0] [1 1 1] [1 1 1 0] [0 1 1] [0 1 1 0] 20. A = [-2 0 0 0] [0 2 0 0] [0 0 3 0] [0 0 3 0] 21. A = [-2 0 0 0] [0 -2 5 0] [0 0 3 0] [0 0 0 3] 22. A = [3 0 0 1] [0 5 0 0] [0 0 5 0] [3 0 0 1] 23. A = [0 1 1] [0 0 1] [0 0 0] 24. A = [0 2 0] [0 0 2] [0 0 0] 25. A = [1 1 1] [0 1 1] [0 0 1] 26. Encontre os autovalores de A. 27. No caso em que a matriz A do Exercício 26 for diagonalizável, encontre uma matriz P que diagonalize A. [Sugestão: ver o Exercício 20 da Seção 5.1.] 28. Prove que matrizes semelhantes têm o mesmo posto. 29. Prove que matrizes semelhantes têm o mesmo nulidade. 30. Prove que matrizes semelhantes têm o mesmo traço. 31. Prove que se A for uma matriz diagonalizável, então 0 é ´e diagonalizável, qualquer que seja o inteiro positivo k. 32. Prove que se A for uma matriz diagonalizável, então o posto de A é o número de autovalores não nulos de A. 33. Suponha que o polinômio característico de alguma matriz A seja p(λ)= (λ – 1)(λ – 3)(λ – 4). Em cada parte, responda a pergunta e explique seu raciocínio. (a) O que pode ser dito sobre as dimensões dos autospacos de A? (b) O que pode ser dito sobre as dimensões dos autospacos sabendo que A é diagonalizável? (c) Se {v₁, v₂, v₃} for um conjunto linearmente independente de vetores de A, cada um dos quais está associado ao mesmo autovalor de A, o que pode ser dito sobre esse autovalor? 18. Mostre que a equação característica de uma matriz A de tamanho 2 x 2 pode ser expressa como λ² – tr(A)λ + det(A) = 0, onde tr(A) é o traço de A. 19. Use o resultado do Exercício 18 para mostrar que se A = [a c d] [b d] então as soluções da equação característica de A são λ = 1/2 [(a + d)' ± (√(a – d²) + 4bc)'] Use esse resultado para mostrar que A tem (a) dois autovalores reais distintos se (a – d)² + 4bc > 0. (b) um autovalor real se (a – d)² + 4bc = 0. (c) nenhum autovalor real se (a – d)² + 4bc < 0. 20. Seja A a matriz do Exercício 19. Mostre que se b ≠ 0, então x₁ = [-b] x₂ = [-c] [a – λ₁] [d – λ₂] são autovetores de A associados, respectivamente, aos autovalores λ₁ = 1/2 [(a + d) + √(a – d² + 4bc)] e λ₂ = 1/2 [(a + d) - √(a – d² + 4bc)] 21. Use o resultado do Exercício 18 para provar que se p(λ) for o polinômio característico de uma matriz A de tamanho 2 x 2, então p(A) = 0. 22. Prove: se b, c e d são números inteiros tais que a + b = c + d, então λ₁ = [a c] [b d] tem autovalores inteiros, a saber, λ₁ = a + b e λ₂ = d – c. 23. Prove: se λ for um autovalor de uma matriz invertível A com autovetor associado x, então 1/λ é um autovalor de A^(-1) com autovetor associado x. 24. Prove: se λ for um autovalor de A com autovetor associado x e s for um escalar, então s – λ é um autovalor de sA – A com autovetor associado x. 25. Prove: se λ for um autovalor de A com autovetor associado x, então s/λ é um autovalor de sA com autovetor associado x, qualquer que seja o escalar s. 26. Encontre os autovalores e bases dos autospacos de A = [-2 2 3] [-2 3 2] [-3 4 5] e use os Exercícios 23 e 24 para encontrar os autovalores e bases dos autospacos de A^(-1) + (b) A^ - 3I 27. (a) Prove que se A for uma matriz quadrada, então A e A^T têm os mesmos autovalores. [Sugestão: olhe para a equação característica det(A – λI) = 0] (b) Mostre que A e A^T não precisam ter os mesmos autovetores. [Sugestão: use o resultado do Exercício 20 para encontrar uma matriz 2 x 2 tal que A e A^T tenham autospacos diferentes.] 28. Suponha que o polinômio característico de alguma matriz A seja p(λ) = (λ – 1)(λ – 3)(λ – 4)². Em cada parte responda a pergunta e explique sua raciocínio. (a) Qual é o tamanho de A? (b) Quantos autospacos tem A? 29. Às vezes, os autovetores que estudamos nesta seção são denominados autovetores à direita, para distingui-los de autovetores à esquerda, que são matrizes coluna de tamanho 1 x n que satisfazem a equação λ^T = Ax^T com alguma igual A. Qual seria a relação, se houver, entre os autovetores à direita e autovetores correspondentes e os autovetores à esquerda e autovetores correspondentes? Exercícios verdadeiro/falso Nas partes (a)-(g), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. (a) Se A for uma matriz quadrada e Ax = cx em algum escalar não nulo c, então x é um autovetor de A. (b) Se λ for um autovalor de uma matriz A, então o sistema linear (A – λI)x = 0 só tem a solução trivial. (c) Se o polinômio característico de uma matriz A for p(λ) = λ^n + 1, então A é invertível. (d) Se λ for um autovalor de uma matriz A, então o autospaco de A associado a λ é o conjunto de autovetores de A associados a λ. (e) Se λ for um autovalor de uma matriz A, então A^T é singular. (f) Os autovalores de uma matriz A são iguais aos autovalores da forma escalonada reduzida por linhas de A. (g) Se λ for um autovalor de uma matriz A, então o conjunto de vetores coluna de A é linearmente independente.