Slide - Espaços e Subespaços Vetoriais - Álgebra Linear e Geometria Analítica 2019 1

Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Daniel Leite IENG - UFMT Julho 2019 Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Sum´ario 1 Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais 2 Base e Dimens˜ao 3 Mudan¸cas de Bases Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Espa¸cos Vetoriais Defini¸c˜ao Um espa¸co vetorial real ´e um conjunto n˜ao vazio V, cujos elementos s˜ao chamados vetores, munido de uma opera¸c˜ao de soma e de multiplica¸c˜ao por escalar satisfazendo os seguintes axiomas: Sejam u, v, w ∈ V e α, β ∈ R, ent˜ao S1 (Associatividade da soma): (u + v) + w = u + (v + w). S2 (comutatividade da soma): u + v = v + u. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Espa¸cos Vetoriais Defini¸c˜ao S3 (Elemento Neutro): Cont´em um vetor nulo 0 tal que u + 0 = u e 0 + u = u S4 (Elemento Sim´etrico): Para todo vetor v existe um vetor −v tal que v + (−v) = 0 e (−v) + v = 0. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Espa¸cos Vetoriais Defini¸c˜ao M1 : (Associatividade) (α β) v = α (β v). M2 : (Distributividade) α (u + v) = α u + α v. M3 : (Distributividade) (α + β) v = α v + β v. M4 : (Elemento Neutro) 1 v = v. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Espa¸cos Vetoriais Observa¸c˜ao Sobre a Defini¸c˜ao Est˜ao impl´ıcitas as propriedades de fechamento das opera¸c˜oes: Fechamento da Soma: Para todo par de vetores u, v ∈ V tem-se u + v ∈ V. Fechamento da Multiplica¸c˜ao por Escalar: Para quaisquer vetor v ∈ V e escalar α ∈ R tem-se α v ∈ V. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Espa¸cos Vetoriais Exemplos 1. Fixando um par de n´umeros inteiros positivos m, n, o conjunto das matrizes de tamanho m × n, munido das opera¸c˜oes de soma de matrizes e multiplica¸c˜ao de matriz por escalar real, ´e um espa¸co vetorial. 2. Em particular, para cada inteiro positivo fixo n, temos o espa¸co vetorial das matrizes quadradas de ordem n. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Espa¸cos Vetoriais Exemplos 3. Para um inteiro positivo n fixo, o conjunto dos polinˆomios de grau ≤ n na vari´avel t e coeficientes reais, munido das opera¸c˜oes de soma de polinˆomios e de multiplica¸c˜ao de polinˆomio por escalar real, ´e um espa¸co vetorial. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espacos e Subespacos Vetoriais Base e Dimensdo Mudangas de Bases Exemplos 4. O conjunto dos polindmios homogéneos de grau d nas variaveis X,y com coeficientes reais ) ajx'y/; ay CR i+j=d é um espaco vetorial real com as operacdes de soma de polindmios e multiplicagao de polindmio por numero real. Espacos e Subespacos Vetoriais Base e Dimensdo Mudangas de Bases Exemplos 5. O conjunto das séries de poténcias convergentes centradas em zero co ) CnX"; Cr CR n=0 é um espaco vetorial real com as operacdes de soma de séries e multiplicagdo de série por numero real. Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Espa¸cos Vetoriais Exemplos 6. O conjunto das fun¸c˜oes reais cont´ınuas sobre um intervalo fixo I ⊂ R, munido das opera¸c˜oes de soma de fun¸c˜oes e multiplica¸c˜ao de fun¸c˜ao por n´umero real, ´e um espa¸co vetorial. 7. O conjunto dos n´umeros complexos C ´e um espa¸co vetorial real com as opera¸c˜oes usuais de soma de n´umeros complexos e multiplica¸c˜ao de n´umero complexo por n´umero real. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Espa¸cos Vetoriais Exemplos 8. R ´e um espa¸co vetorial real com as opera¸c˜oes usuais de soma e multiplica¸c˜ao de n´umeros reais. 9. O plano cartesiano R2 = {(x, y); x, y ∈ R} ´e um espa¸co vetorial real munido das opera¸c˜oes Soma: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) Multiplica¸c˜ao por escalar: α (x, y) = (α x, α y) Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Espa¸cos Vetoriais Exemplos 10. O espa¸co tridimensional R3 = {(x, y, z); x, y, z ∈ R} ´e um espa¸co vetorial real munido das opera¸c˜oes Soma: (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) Multiplica¸c˜ao por escalar: α (x, y, z) = (α x, α y, α z) Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Espa¸cos Vetoriais Exemplos 11. Em geral, para cada inteiro positivo n fixo, o espa¸co Rn = {(x1, x2, · · · , xn); xi ∈ R} ´e um espa¸co vetorial real munido das opera¸c˜oes Soma: (x1, x2, · · · , xn) + (y1, y2, · · · , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, · · · , xn + yn) Multiplica¸c˜ao por escalar: α (x1, x2, · · · , xn) = (α x1, α x2, · · · , α xn). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Espa¸cos Vetoriais Obs O espa¸co vetorial Rn ´e o ambiente onde estudaremos ´algebra linear, ou seja, onde estudaremos fun¸c˜oes (chamadas de transforma¸c˜oes lineares) entre dois destes espa¸cos. Um vetor no espa¸co vetorial R2 tem a representa¸c˜ao geom´etrica da forma como aprendemos no cap´ıtulo de vetores. Analogamente para vetores no espa¸co R3. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Espa¸cos Vetoriais N˜ao s˜ao Espa¸cos Vetoriais Reais 1. O conjunto dos n´umeros inteiros Z. 2. O conjunto dos polinˆomios de grau n na vari´avel t, qualquer que seja o n´umero inteiro positivo n. 3. Um semiplano {(x, y); ax + by ≥ k}, onde a, b e k s˜ao n´umeros reais fixos. 4. Um semiespa¸co {(x, y, z); ax + by + cz ≥ k}, onde a, b, c e k s˜ao n´umeros reais fixos. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Espa¸cos Vetoriais N˜ao s˜ao Espa¸cos Vetoriais 5. Qualquer regi˜ao limitada no plano ou no espa¸co. 6. O conjunto das matrizes singulares de ordem n (n fixo). 7. R − {0}. 8. R2 − {(0, 0)}. 9. R3 − {(0, 0, 0)}. 10. Rn − {(0, 0, · · · , 0)}. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Combina¸c˜oes Lineares Vamos fixar o espa¸co vetorial Rn. Defini¸c˜ao Uma combina¸c˜ao linear dos vetores v1, v2, · · · , vk (obviamente todos do mesmo espa¸co Rn) ´e qualquer soma de m´ultiplos escalares desses vetores, ou seja, x1 v1 + x2 v2 + · · · + xk vk onde os coeficientes x1, x2, · · · , xk s˜ao n´umeros reais. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Combina¸c˜oes Lineares Defini¸c˜ao Um vetor v ∈ Rn ´e uma combina¸c˜ao linear dos vetores v1, v2, · · · , vk ∈ Rn, se existem escalares x1, x2, · · · , xk reais que satisfazem a equa¸c˜ao vetorial x1 v1 + x2 v2 + · · · + xk vk = v. Neste caso, dizemos tamb´em que v pode ser escrito como uma combina¸c˜ao linear de v1, v2, · · · , vk. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Combina¸c˜oes Lineares Obs Se k = 1, um vetor v ∈ Rn ´e uma combina¸c˜ao linear do vetor v1 ∈ Rn, se existe escalar x1 real tal que x1 v1 = v. Isto ´e, v ´e um m´ultiplo escalar de v1. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Combina¸c˜oes Lineares Exemplos 1. O vetor v = (1, 2) n˜ao ´e combina¸c˜ao linear do vetor v1 = (1, 0). 2. O vetor v = (1, 2) n˜ao ´e combina¸c˜ao linear do vetor v2 = (0, 1). 3. O vetor v = (1, 2) ´e combina¸c˜ao linear dos vetores v1 = (1, 0) e v2 = (0, 1). 4. Qualquer vetor v = (a, b) ´e combina¸c˜ao linear dos vetores v1 = (1, 0) e v2 = (0, 1). De fato, v = a v1 + b v2. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Combina¸c˜oes Lineares Obs Os vetores v1 = (1, 0) e v2 = (0, 1) s˜ao chamados de vetores canˆonicos do espa¸co vetorial R2. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Combina¸c˜oes Lineares Exemplos 5. O vetor v = (1, 2) ´e combina¸c˜ao linear dos vetores v1 = (1, 0) e v2 = (−1, 1). 6. O vetor v = (1, 2) n˜ao ´e combina¸c˜ao linear dos vetores v1 = (1, 0) e v2 = (−1, 0). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Combina¸c˜oes Lineares Exemplos 7. O vetor v = (2, 3, 2) n˜ao ´e combina¸c˜ao linear dos vetores v1 = (1, 0, 0) e v2 = (1, 1, 0). 8. O vetor v = (2, 3, 0) ´e combina¸c˜ao linear dos vetores v1 = (1, 0, 0) e v2 = (1, 1, 0). 9. De modo an´alogo ao exemplo 4, qualquer vetor v = (a, b, c) ´e combina¸c˜ao linear dos vetores canˆonicos do espa¸co R3 ⃗i = (1, 0, 0), ⃗j = (0, 1, 0), ⃗k = (0, 0, 1). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espacos e Subespacos Vetoriais Base e Dimensdo Mudangas de Bases Exemplos 10. O vetor nulo 0 é combinacio linear de qualquer conjunto de vetores V1, V2,°-: , Vk. De fato, basta tomar todos os escalares X1,X2,°°* ,Xk iguais a zero, 0 ywt.0 wt---+.0 4%.=0. ~“Y 1 ~“Y 2 ~“Y k X1 x2 Xk Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Combina¸c˜oes Lineares Obs Para saber se um vetor B ∈ Rm ´e combina¸c˜ao linear dos vetores A1, A2, · · · , An ∈ Rm, tomamos a equa¸c˜ao vetorial x1 A1 + x2 A2 + · · · + xn An = B e verificamos se ela tem solu¸c˜ao. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Combina¸c˜oes Lineares Obs Se escrevermos os vetores A1, A2, · · · , An e B em termos das suas componentes como matrizes colunas, digamos A1 =   a11 a21 ... am1   , A2 =   a12 a22 ... am2   · · · , An =   a1n a2n ... amn   , B =   b1 b2 ... bm   , ent˜ao a equa¸c˜ao vetorial acima fica igual a Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Combina¸c˜oes Lineares Obs x1   a11 a21 ... am1   + x2   a12 a22 ... am2   + · · · + xn   a1n a2n ... amn   =   b1 b2 ... bm   . Mas, isso ´e equivalente ao sistema linear A X = B, em que as colunas da matriz A s˜ao os vetores Ai escritos como matrizes colunas, ou seja, Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espacos e Subespacos Vetoriais Base e Dimensao Mudangas de Bases . | x2 A=| A A> --- fn ]eX=| j Segue desta observac¢do o seguinte teorema Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Combina¸c˜oes Lineares Teorema 1 Sejam A uma matriz m × n e B uma matriz m × 1. O vetor B ´e combina¸c˜ao linear das colunas de A se, e somente se, o sistema linear A X = B tem solu¸c˜ao. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Independˆencia Linear Defini¸c˜ao Dizemos que um conjunto S = {v1, v2, · · · , vk} de vetores de Rn ´e linearmente independente (LI) se a equa¸c˜ao vetorial x1 v1 + x2 v2 + · · · + xk vk = 0 s´o possui a solu¸c˜ao trivial, ou seja, se a ´unica forma de escrever o vetor nulo como combina¸c˜ao linear dos vetores v1, v2, · · · , vk ´e aquela em que todos os escalares s˜ao iguais a zero. Caso contr´ario, isto ´e, Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Independˆencia Linear Defini¸c˜ao se a equa¸c˜ao vetorial acima possui solu¸c˜ao n˜ao trivial (algum escalar na combina¸c˜ao ´e diferente de zero), dizemos que o conjunto S ´e linearmente dependente (LD). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espacos e Subespacos Vetoriais Base e Dimensdo Mudangas de Bases Exemplos 1. Um conjunto finito de vetores de IR” que contém o vetor nulo é LD. De fato, seja {v1, v2,--- , vx} um Conjunto que contém o vetor nulo. Entao, vj = 0 para algum j. Assim, temos a combinac¢4o nao trivial Oy +0v4+---+0vy14+ 1 v,4+0vj41+---+04y%,=0. #0 Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Independˆencia Linear Exemplos 2. Um conjunto formado por um ´unico vetor, {v1}, n˜ao nulo ´e LI. De fato, pois x1 v1 = 0 ´e equivalente a x1 = 0 ou v1 = 0. Mas, v1 ̸= 0 implica x1 = 0. Portanto, {v1} ´e LI. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Independˆencia Linear Exemplos 3. Se {v1, v2, · · · , vk} ´e um conjunto de vetores LD, ent˜ao qualquer conjunto finito de vetores que contenha v1, v2, · · · , vk ´e tamb´em LD. De fato, seja {v1, v2, · · · , vk, w1, w2, · · · , wm} um conjunto contendo os vetores v1, v2, · · · , vk. Por hip´otese, a equac˜ao x1 v1 + x2 v2 + · · · + xk vk + 0 w1 + 0 w2 + · · · + 0 wm = 0 admite solu¸c˜ao n˜ao trivial (i.e, xi ̸= 0 para algum i). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espacos e Subespacos Vetoriais Base e Dimensdo Mudangas de Bases Exemplos 4. Um conjunto formado por dois vetores de R”, {v1, vo}, 6 LD se, e somente se, um dos vetores é multiplo escalar do outro. De fato, a equacdo vetorial x1 vj + x2 v2 = 0 admite x, 4 0 ou . , XQ x2 #0 (i.e, {v1, v2} é LD) se, e somente se, yy = (-2) V2 OU XI —S x1 40 X1 Y= |—-— | V1. X2 SS xo 40 Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Independˆencia Linear Exemplos 5. Um conjunto formado por trˆes vetores de Rn, {v1, v2, v3}, ´e LD se, e somente se, um deles ´e combina¸c˜ao linear dos outros dois. De fato, a equa¸c˜ao vetorial x1 v1 + x2 v2 + x3 v3 = 0 admite x1 ̸= 0 ou x2 ̸= 0 ou x3 ̸= 0 (i.e, {v1, v2, v3} ´e LD) se, e somente se, v1 = − x2 x1 v2 − x3 x1 v3 (x1 ̸= 0) ou v2 = − x1 x2 v1 − x3 x2 v3 (x2 ̸= 0) ou v3 = − x1 x3 v1 − x2 x3 v2 (x3 ̸= 0). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Independˆencia Linear Obs Os dois ´ultimos exemplos pode ser generalizado para um conjunto com uma quantidade finita de vetores. Esse ´e o conte´udo do teorema a seguir. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Independˆencia Linear Teorema 2 Um conjunto S = {v1, v2, · · · , vk} (k > 1) de vetores ´e LD se, e somente se, pelo menos um dos vetores, vi, for combina¸c˜ao linear dos outros vetores de S. De fato, a equa¸c˜ao vetorial x1 v1 + x2 v2 + · · · + xk vk = 0 admite xi ̸= 0 para algum i (i.e, {v1, v2, · · · , vk} ´e LD) se, e somente se, vi = −x1 xi v1 − x2 xi v2 − · · · − xi−1 xi vi−1 − xi+1 xi vi+1 − · · · − xk xi vk, xi ̸= 0. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Independˆencia Linear Exemplos 6. Trˆes vetores de R3, v1, v2, v3, ´e LD se, e somente se, eles s˜ao coplanares. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Independˆencia Linear Exemplos 7. Os vetores canˆonicos do Rn E1 =(1, 0, 0, · · · , 0), E2 =(0, 1, 0, · · · , 0), · · · , En =(0, 0, · · · , 0, 1) s˜ao LI. Em particular, os vetores ⃗i = (1, 0, 0), ⃗j = (0, 1, 0), ⃗k = (0, 0, 1) de R3 s˜ao LI. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Independˆencia Linear Obs Para descobrir se um conjunto de vetores {A1, A2, · · · , An} de Rm ´e LI precisamos saber se a equa¸c˜ao vetorial x1 A1 + x2 A2 + · · · + xn An = 0 tem somente a solu¸c˜ao trivial. Isto ´e equivalente ao sistema linear homogˆeneo A X = 0 onde (veja a obs acima sobre combina¸c˜ao linear ap´os exemplo 10) Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Independˆencia Linear Obs A =   a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... am1 am2 · · · amn   , X =   x1 x2 ... xn   , em que os vetores A1, A2, · · · , An s˜ao as colunas de A na respectiva ordem. Essa equivalˆencia justifica o seguinte teorema Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Independˆencia Linear Teorema 3 Seja A uma matriz m × n. Ent˜ao, (a) As colunas de A s˜ao linearmente independentes se, e somente se, o sistema A X = 0 tˆem somente a solu¸c˜ao trivial. (b) Se m = n (i.e, um conjunto com n vetores em Rn), ent˜ao as colunas de A s˜ao linearmente independentes se, e somente se, det(A) ̸= 0. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Independˆencia Linear Teorema 4 Um conjunto com mais do que n vetores em Rn ´e LD. Exerc´ıcio Prove o teorema 4. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Base e Dimensdo Mudangas de Bases Para cada conjunto de trés vetores em IR? decida se é LI ou LD. Se o conjunto for LD, escreva um de seus vetores como combina¢ao linear dos outros. (a) {V1 — (1,0, 1), v2 = (0, 1, 1), v3 = (1, 1, 1)} (b) {V1 — (1, 2,5), v2 = (7, —1, 5), v3 = (1, —1, —1)} (c) {wy = (3, 3,0) , vw = (—2, -2, 2), v3 = (—2, 1,0)} Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Posi¸c˜oes Relativas Entre Duas Retas em R3 Sejam r1 e r2 duas retas com equa¸c˜oes vetoriais r1 : (x, y, z) = (x1 + a1 t, y1 + b1 t, z1 + c1 t) r2 : (x, y, z) = (x2 + a2 t, y2 + b2 t, z2 + c2 t). Isso significa que A reta r1 passa pelo ponto P1 = (x1, y1, z1) e tem vetor diretor v1 = (a1, b1, c1). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Posi¸c˜oes Relativas Entre Duas Retas em R3 A reta r2 passa pelo ponto P2 = (x2, y2, z2) e tem vetor diretor v2 = (a2, b2, c2). (a) Suponha que v1 e v2 sejam LD. Ent˜ao, Se {v1, −−−→ P1P2} ou {v2, −−−→ P1P2} for LD, r1 e r2 s˜ao paralelas e coincidentes (mesma reta). Se {v1, −−−→ P1P2} ou {v2, −−−→ P1P2} for LI, r1 e r2 s˜ao paralelas n˜ao coincidentes (retas distintas). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Posi¸c˜oes Relativas Entre Duas Retas em R3 (b) Suponha que v1 e v2 sejam LI. Ent˜ao, Se v1, v2, −−−→ P1P2 forem LD, r1 e r2 s˜ao concorrentes (ambas est˜ao no mesmo plano). Se v1, v2, −−−→ P1P2 forem LI, r1 e r2 s˜ao reversas (est˜ao em planos diferentes). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Posi¸c˜oes Relativas Entre Dois Planos em R3 Sejam π1 e π2 dois planos com equa¸c˜oes gerais π1 : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 π2 : a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0. Isso significa que O plano π1 tem vetor normal N1 = (a1, b1, c1). O plano π2 tem vetor normal N2 = (a2, b2, c2). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Posi¸c˜oes Relativas Entre Dois Planos em R3 (a) Suponha que N1 e N2 sejam LD. Ent˜ao, Se (a1, b1, c1, d1) e (a2, b2, c2, d2) for LD, ent˜ao as equa¸c˜oes s˜ao proporcionais e π1 e π2 s˜ao paralelos e coincidentes (mesmo plano). Se (a1, b1, c1, d1) e (a2, b2, c2, d2) for LI, π1 e π2 s˜ao paralelos e distintos. (b) Suponha que N1 e N2 sejam LI. Ent˜ao, π1 e π2 s˜ao concorrentes. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Posi¸c˜oes Relativas Entre Uma Reta e um Plano em R3 Seja r uma reta que passa por um ponto Pr e tem vetor diretor vr. Seja π um plano que passa por um ponto Pπ e ´e paralelo aos vetores w1 e w2 (w1 e w2 n˜ao s˜ao paralelos entre si). (a) Suponha que vr, w1, w2 sejam LD. Ent˜ao, Se w1, w2, −−−→ PrPπ forem LD, a reta r est´a contida em π. Se w1, w2, −−−→ PrPπ forem LI, a reta r ´e paralela mas n˜ao est´a contida em π (n˜ao h´a interse¸c˜ao). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Posi¸c˜oes Relativas Entre Uma Reta e um Plano em R3 (b) Suponha que vr, w1, w2 sejam LI. Ent˜ao, r ´e concorrente ao plano π (a interse¸c˜ao ´e um ponto). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Exerc´ıcios 1. Quais dos seguintes conjuntos de vetores s˜ao linearmente dependentes? Para aqueles que s˜ao LD, escreva um de seus vetores como combina¸c˜ao linear dos demais. (a) {(1, 1, 2), (1, 0, 0), (4, 6, 12)} (b) {(1, −2, 3), (−2, 4, −6)} (c) {(1, 1, 1), (2, 3, 1), (3, 1, 2)} (d) {(4, 2, −1), (6, 5, −5), (2, −1, 3)}. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Exerc´ıcios 2. Suponha que {v1, v2, v3} ´e um conjunto linearmente independente de vetores de Rn. Responda se {w1, w2, w3} ´e linearmente dependente ou independente nos seguintes casos: (a) w1 = v1 + v2, w2 = v1 + v3 e w3 = v2 + v3 (b) w1 = v1, w2 = v1 + v3 e w3 = v1 + v2 + v3. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Exerc´ıcios 3. Sejam r1 : (x, y, z) = (1 + 2t, t, 2 + 3t) e r2 : (x, y, z) = (t, 1 + mt, −1 + 2mt) duas retas. (a) Determine m para que as retas sejam coplanares (n˜ao sejam reversas). (b) Para o valor de m encontrado, determine a posi¸c˜ao relativa entre r1 e r2. (c) Determine a equa¸c˜ao do plano determinado por r1 e r2. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Exerc´ıcios 4. Sejam a reta r : (x, y, z) = (1, 1, 1) + (2t, mt, t) e o plano paralelo aos vetores v1 = (1, 2, 0) e v2 = (1, 0, 1) passando pela origem. Determine o valor de m para que a reta seja paralela ao plano. Para o valor de m encontrado a reta est´a contida no plano? Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Subespa¸cos Vetoriais Defini¸c˜ao Seja V um espa¸co vetorial. Dizemos que um subconjunto n˜ao vazio, W ⊂ V, ´e um subespa¸co vetorial de V, se ele tamb´em ´e um espa¸co vetorial com rela¸c˜ao `as mesmas opera¸c˜oes definidas em V. Isto ´e, W ´e um subconjunto que satisfaz as seguintes condi¸c˜oes (Por que?) Cont´em o Vetor Nulo: 0 ∈ W ´E Fechado Para a Soma: Se w1, w2 ∈ W, ent˜ao w1 + w2 ∈ W. ´E Fechado Para a Multiplica¸c˜ao Por Escalar: Se w ∈ W e α ∈ R, ent˜ao α w ∈ W. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Subespa¸cos Vetoriais Exemplos 1. Seja V um espa¸co vetorial. O pr´oprio V ´e um subespa¸co dele mesmo. Tamb´em o subconjunto {0} formado somente pelo vetor nulo ´e um subespa¸co de V. Estes dois subespa¸cos s˜ao chamados de subespa¸cos triviais de V. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Subespa¸cos Vetoriais Exemplos 2. Seja V o espa¸co vetorial das matrizes quadradas de ordem n. Tomamos os seguintes subconjuntos de V Ws = {A ∈ V; At = A} (subconjunto das matrizes sim´etricas) Wa ={A ∈ V; At = −A} (subconj. das matrizes antissim´etricas) Ambos os subconjuntos s˜ao subespa¸cos de V. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Subespa¸cos Vetoriais Exemplos 3. (Um subespa¸co curioso!) Seja V o espa¸co vetorial das matrizes quadradas de ordem n. Tomamos o subconjunto W dos quadrados m´agicos de V, ou seja, o subconjunto formado por todas as matrizes n × n tais que a soma das entradas de cada uma de suas linhas, de cada coluna, da diagonal principal e da diagonal secund´aria s˜ao iguais. Ent˜ao, W ´e um subespa¸co vetorial de V. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Subespa¸cos Vetoriais Exemplos 4. O conjunto R2 n˜ao ´e um subespa¸co de R3, pois R2 n˜ao ´e um subconjunto de R3. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Subespa¸cos Vetoriais Exemplos 5. Seja I um intervalo (n˜ao degenerado) da reta real. O conjunto W1 = {f : I → R; f ´e cont´ınua e f (−x) = f (x) para todo x ∈ I} das fun¸c˜oes cont´ınuas pares e o conjunto W2 = {f : I → R; f ´e cont´ınua e f (−x) = −f (x) para todo x ∈ I} das fun¸c˜oes cont´ınuas ´ımpares s˜ao subespa¸cos do espa¸co vetorial das fun¸c˜oes cont´ınuas f : I → R. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Subespa¸cos Vetoriais Exemplos 6. Considere uma equa¸c˜ao diferencial linear ordin´aria (edo) de segunda ordem homogˆenea e com coeficientes constantes a y′′ + b y′ + c y = 0, onde os coeficientes a, b, c s˜ao contantes reais, e y′ = dy dt , y′′ = d2y dt2 s˜ao, respectivamente, as derivadas de primeira e segunda ordem de y em rela¸c˜ao a t. Uma solu¸c˜ao dessa equa¸c˜ao ´e qualquer fun¸c˜ao y(t) que juntamente com as suas derivadas Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Subespa¸cos Vetoriais Exemplos satisfazem a equa¸c˜ao. O conjunto solu¸c˜ao dessa equa¸c˜ao ´e um subespa¸co vetorial W do espa¸co das fun¸c˜oes cont´ınuas f : R → R. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Subespa¸cos Vetoriais Exemplos 7. Seja N = (a1, a2, · · · , an) um vetor de Rn fixo. O conjunto definido por W = {(x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn; a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = 0} ´e um subespa¸co vetorial de Rn. Em particular, um plano em R3 que passa pela origem tem equa¸c˜ao a x + b y + c z = 0. Portanto, ´e um subespa¸co vetorial de R3. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Subespa¸cos Vetoriais Teorema 5 Sejam W1 e W2 subespa¸cos de um mesmo espa¸co vetorial V. Ent˜ao, a interse¸c˜ao W1 ∩ W2 ´e um subespa¸co vetorial de V. Obs A uni˜ao W1 ∪ W2 n˜ao ´e, em geral, um subespa¸co vetorial de V. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Subespa¸cos Vetoriais Exemplos 8. O conjunto solu¸c˜ao de um sistema linear homogˆeneo com m equa¸c˜oes e n inc´ognitas,                a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0 ... ... ... ... ... am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0 onde aij s˜ao constantes reais, para i = 1, 2, · · · , m e Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Subespa¸cos Vetoriais Exemplos j = 1, 2, · · · , n, pode ser visto como a interse¸c˜ao de m subespa¸cos vetoriais de Rn. Pelo teorema 5, ele ´e um subespa¸co vetorial. Por esse motivo, o conjunto solu¸c˜ao de um sistema linear homogˆeneo tamb´em ´e chamado de espa¸co solu¸c˜ao. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Subespa¸cos Vetoriais Exemplos 9. A rec´ıproca do exemplo anterior ´e verdadeiro: Se W ´e um subespa¸co vetorial de Rn, ent˜ao ele ´e o conjunto solu¸c˜ao de um sistema linear homogˆeneo. Esta afirma¸c˜ao poder´a ser provada mais adiante quando introduzirmos o conceito de base de um subespa¸co vetorial. Estes dois ´ultimos exemplos d˜ao lugar ao pr´oximo teorema. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Subespa¸cos Vetoriais Teorema 6 Um subconjunto W de Rn ´e um subespa¸co vetorial se, e somente se, ´e o conjunto solu¸c˜ao de um sistema linear homogˆeneo. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Subespa¸cos Vetoriais Exerc´ıcio 1 Considere o sistema linear homogˆeneo A X = 0, onde A =   1 1 0 0 1 −2 −2 1 −1 −1 1 1 −1 1 0   . Determine o espa¸co solu¸c˜ao W desse sistema. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Subespa¸cos Vetoriais Exerc´ıcio 2 Considere o sistema linear homogˆeneo A X = 0, onde A =   1 1 0 2 −2 −2 1 −5 1 1 −1 3   . Determine o espa¸co solu¸c˜ao W desse sistema. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Subespa¸cos Vetoriais Exemplos 10. Considere o sistema linear          a1 x + b1 y + c1 z = 0 a2 x + b2 y + c2 z = 0 a3 x + b3 y + c3 z = 0 Cada equa¸c˜ao deste sistema ´e representada por um plano que passa pela origem. O conjunto solu¸c˜ao ´e um subespa¸co W de R3 que ´e a interse¸c˜ao dos trˆes planos definidos pelas equa¸c˜oes. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Subespa¸cos Vetoriais Exemplos As possibilidades para W s˜ao: Somente um ponto que ´e a origem. Uma reta que passa pela origem. Um plano que passa pela origem. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Subespa¸cos Vetoriais Exemplos Cada espa¸co solu¸c˜ao do sistema linear homogˆeneo abaixo ´e um subespa¸co vetorial de R3. Determine se ele ´e um ponto (a origem), uma reta ou um plano. Para a reta determine as equa¸c˜oes param´etricas e para o plano, a equa¸c˜ao geral. (a)   1 −2 3 2 −4 6 3 −6 9     x y z   =   0 0 0  . Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Subespa¸cos Vetoriais Exemplos (b)   1 −2 3 −3 7 −8 −2 4 −6     x y z   =   0 0 0  . Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Subespa¸cos Vetoriais Exemplos (c)   1 −2 3 −3 7 −8 4 1 2     x y z   =   0 0 0  . Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Sum´ario 1 Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais 2 Base e Dimens˜ao 3 Mudan¸cas de Bases Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Base e Dimens˜ao Defini¸c˜ao Seja W um subespa¸co de Rn. Dizemos que os vetores v1, v2, · · · , vk pertencentes a W, geram W ou que {v1, v2, · · · , vk} ´e um conjunto de geradores de W, se qualquer vetor de W ´e combina¸c˜ao linear de v1, v2, · · · , vk. Dizemos tamb´em que W ´e o subespa¸co gerado por v1, v2, · · · , vk e denotaremos W = [S] ou W = [v1, v2, · · · , vk]. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Base e Dimens˜ao Exemplo 1 Considere o sistema linear homogˆeneo A X = 0, onde A =   1 1 0 0 1 −2 −2 1 −1 −1 1 1 −1 1 0   . Determine um conjunto de geradores para o espa¸co solu¸c˜ao W desse sistema. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Base e Dimens˜ao Exerc´ıcio 1 Considere o sistema linear homogˆeneo A X = 0, onde A =   1 1 0 2 −2 −2 1 −5 1 1 −1 3   . Determine um conjunto de geradores para o espa¸co solu¸c˜ao W desse sistema. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Base e Dimens˜ao Exemplo 2 Seja W = {(a + c, b + c, a + b + 2c); a, b, c ∈ R} um subconjunto de R3. (a) Mostre que W ´e um subespa¸co vetorial de R3. (b) Determine um conjunto de geradores para W. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Base e Dimens˜ao Defini¸c˜ao Seja W um subespa¸co de Rn. Dizemos que um subconjunto v1, v2, · · · , vk de W ´e uma base de W, se (a) {v1, v2, · · · , vk} ´e um conjunto de geradores de W, ou seja, todo vetor de W ´e combina¸c˜ao linear de v1, v2, · · · , vk e (b) {v1, v2, · · · , vk} ´e LI. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Base e Dimens˜ao Exemplo 3 Os vetores E1 = (1, 0, 0, · · · , 0), E2 = (0, 1, 0, · · · , 0), · · · , En = (0, 0, · · · , 0, 1) formam uma base do Rn, chamada de base canˆonica de Rn. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Base e Dimens˜ao Exemplo 4 (Exerc´ıcio) Determine uma base para os subespa¸cos dos exemplos 1 e 2, e exerc´ıcio 1, acima. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Base e Dimens˜ao Exemplo 5 Seja W = {(x, y, z) = t (a, b, c); t ∈ R} uma reta que passa pela origem. Como o vetor diretor v = (a, b, c) ´e n˜ao nulo e gera a reta, ent˜ao {v} ´e uma base de W. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Base e Dimens˜ao Exemplo 6 Seja W = {(x, y, z) ∈ R3; a x + b y + c z = 0} um plano que passa pela origem. Determine uma base para W. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Base e Dimens˜ao Defini¸c˜ao O n´umero de elementos de qualquer uma das bases de W ´e chamado de dimens˜ao de W. Se W = {0} dizemos que W tem dimens˜ao igual `a 0 (zero). Obs `A princ´ıpio, a defini¸c˜ao de base n˜ao est´a consistente, pois poderia existir duas bases com quantidades diferentes de vetores. Para retirar tal inconsistˆencia, temos o teorema seguinte. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Base e Dimens˜ao Teorema 7 Seja W um subespa¸co de dimens˜ao m > 0. Se m vetores v1, v2, · · · , vm de W s˜ao LI, ent˜ao eles geram o subespa¸co W e portanto formam uma base de W. Dem.: De fato, seja v um vetor qualquer de W. Vamos mostrar que v ´e combina¸c˜ao linear dos vetores v1, v2, · · · , vm. Isso ´e conseguido tomando uma combina¸c˜ao linear dos vetores LD v1, v2, · · · , vm, v e igualando-a ao vetor nulo. Nessa equa¸c˜ao vetorial, o coeficiente de v ´e necessariamente diferente de zero. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Base e Dimens˜ao Exemplo 7 Do teorema segue-se que qualquer conjunto com n vetores LI de Rn formam uma base de Rn. Em particular, 3 vetores LI de R3 formam uma base de R3, por exemplo, {(1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, −1, 0)}. Portanto, a dimens˜ao de espa¸co Rn ´e n. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Base e Dimens˜ao Exerc´ıcio 2 Sejam W1 o plano x + y + z = 0 e W2 o plano 4x − 2y + z = 0. Determine uma base para o subespa¸co interse¸c˜ao W1 ∩ W2. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Base e Dimens˜ao Exemplo 8 Considere os vetores v1 = (−1, 1, 0, −3) e v2 = (−3, 3, 2, −1) linearmente independentes de R4. Vamos encontrar vetores v3 e v4 tais que {v1, v2, v3, v4} forma uma base de R4. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Base e Dimens˜ao Teorema 8 Um subconjunto {v1, v2, · · · , vm} de um subespa¸co W ´e uma base para W se, e somente se, todo vetor v de W ´e escrito de maneira ´unica como combina¸c˜ao linear de v1, v2, · · · , vm. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Base e Dimens˜ao Teorema 9 Se S = {v1, v2, · · · , vk} ´e um conjunto de vetores que gera um subespa¸co W (i.e, W = [v1, v2, · · · , vk]), ent˜ao existe um subconjunto de S que ´e base de W. Dem.: De fato, se S for LI, ele j´a ´e um base. Caso contr´ario, um dos vetores ´e combina¸c˜ao linear dos outros. Ent˜ao, esse vetor pode ser retirado do conjunto. Em seguida, verifica-se se com a retirada desse vetor o conjunto restante ´e LI. Se n˜ao, repete-se o processo. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Base e Dimens˜ao Teorema 10 (a) Em um subespa¸co W de dimens˜ao m > 0, m vetores que geram o subespa¸co s˜ao LI e, portanto, formam uma base. (b) Em um subespa¸co W de dimens˜ao m > 0, um conjunto com menos de m vetores n˜ao gera o subespa¸co. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Base e Dimens˜ao Teorema 11 Se R = {v1, v2, · · · , vk} ´e um conjunto de vetores LI em um subespa¸co W de Rn, ent˜ao o conjunto R pode ser completado at´e formar uma base de W, ou seja, existe um conjunto S = {v1, v2, · · · , vk, vk+1, · · · , vm} ( R ⊂ S), que ´e uma base de W. Dem.: De fato, se R n˜ao gera W, acrescente um vetor vk+1 que n˜ao ´e combina¸c˜ao linear dos anteriores. O novo conjunto continua LI. Repitindo o processo chega-se `a um conjunto de geradores LI para W. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Base e Dimens˜ao Teorema 12 Todo subespa¸co de Rn diferente do subespa¸co trivial {0} tem uma base e a sua dimens˜ao ´e ≤ n. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Base e Dimens˜ao Teorema 13 Sejam A e B matrizes m × n equivalentes por linhas. Sejam A1, A2, · · · , An as colunas 1, 2, · · · , n, respectivamente, da matriz A e B1, B2, · · · , Bn as colunas 1, 2, · · · , n, respectivamente, da matriz B. (a) Bj1, Bj2, · · · , Bjk s˜ao LI se, e somente se, Aj1, Aj2, · · · , Ajk tamb´em o s˜ao. (b) Se existem escalares αj1, αj2, · · · , αjk tais que Ak = αj1Aj1 + αj2Aj2 + · · · + αjkAjk, Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Base e Dimens˜ao Teorema 13 ent˜ao Bk = αj1Bj1 + αj2Bj2 + · · · + αjkBjk, (c) O subespa¸co gerado pelas linhas de A ´e igual ao subespa¸co gerado pelas linhas de B. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Base e Dimens˜ao Teorema 14 Se R = (rij)m×n e S = (sij)m×n s˜ao matrizes escalonadas reduzidas equivalentes por linhas a uma matriz A = (aij)m×n, ent˜ao R = S. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espacos e Subespacos Vetoriais Base e Dimensao Mudangas de Bases Definimos o produto escalar ou produto interno de dois vetores X= (x1, x2, see Xn) eY= (1; y2; vse , Yn) do IR” por Xe Y =X, yy + Xo yo +--+ + Xp Vn. Definimos a norma de um vetor X = (x1, X2,-:: , Xn) do R” por _— 2 2 2 IX = yo +B + +93 Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Bases Ortogonais e Ortonormais Obs Se escrevermos os vetores X e Y como matrizes coluna, X =   x1 x2 ... xn   e Y =   y1 y2 ... yn   , ent˜ao X • Y = X t Y . Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Bases Ortogonais e Ortonormais Propriedades Se X, Y e Z s˜ao vetores de Rn e α ´e um escalar, ent˜ao (a) (comutatividade): X • Y = Y • X; (b) (distributividade em rela¸c˜ao `a soma): X • (Y + Z) = X • Y + X • Z; (c) (Associatividade): (α X) • Y = α (X • Y ) = X • (α Y ); (d) (Positividade): X • X = ||X||2 ≥ 0 e ||X|| = 0 se, e somente se, X = 0; Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Bases Ortogonais e Ortonormais Propriedades (e) ||α X|| = |α| ||X||; (f) (desigualdade de Cauchy-Schwarz) |X • Y | ≤ ||X|| ||Y ||; (g) (desigualdade triangular) ||X + Y || ≤ ||X|| + ||Y ||. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Bases Ortogonais e Ortonormais Defini¸c˜ao Dois vetores X e Y s˜ao ortogonais se X • Y = 0. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Bases Ortogonais e Ortonormais Teorema 15 Se v1, v2, · · · , vk s˜ao vetores n˜ao nulos de Rn ortogonais, ou seja, Vi • vj = 0, para i ̸= j, ent˜ao (a) {v1, v2, · · · , vk} ´e LI; (b) Se v = α1 v1 + α2 v2 + · · · + αk vk, ent˜ao αj = v • vj ||vj||2 , para j = 1, 2, · · · , k. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espacos e Subespacos Vetoriais Base e Dimensdo Mudangas de Bases Definimos a projecao ortogonal de um vetor v sobre um vetor nado nulo w, por . vew ProjwV = | 75 |] w. I|w]| A projecao ortogonal de um vetor v sobre um vetor nao nulo w é um multiplo escalar do vetor w. Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Bases Ortogonais e Ortonormais Teorema 16 (a) Seja w ∈ Rn um vetor n˜ao nulo. Ent˜ao, v − projwv ´e ortogonal a w para qualquer vetor v ∈ Rn. (b) Sejam w1, w2, · · · , wk vetores n˜ao nulos de Rn, ortogonais entre si, ent˜ao para qualquer vetor v, v − projw1v − projw2v − · · · − projwkv ´e ortogonal a wi, para i = 1, 2, · · · , k. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Bases Ortogonais e Ortonormais Defini¸c˜ao Seja {v1, v2, · · · , vk} uma base de um subespa¸co de Rn. (a) Dizemos que {v1, v2, · · · , vk} ´e uma base ortogonal, se vi • vj = 0, para i = j, ou seja, se quaisquer dois vetores da base s˜ao ortogonais; (b) Dizemos que {v1, v2, · · · , vk} ´e uma base ortonormal, se al´em de ser uma base ortogonal, ||vi|| = 1, para i = 1, 2, · · · , m, ou seja, se cada vetor da base ´e unit´ario. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Bases Ortogonais e Ortonormais Exemplo 9 A base canˆonica do Rn, E1 = (1, 0, 0, · · · , 0), E2 = (0, 1, 0, · · · , 0), · · · , En = (0, 0, · · · , 0, 1), ´e uma base ortonormal. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Bases Ortogonais e Ortonormais Obs O teorema, a seguir, ensinar´a um m´etodo para determinarmos uma base ortonormal de um subespa¸co vetorial, a partir de qualquer base do subespa¸co. O m´etodo ´e conhecido por Processo de Ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Bases Ortogonais e Ortonormais Teorema 17 (M´etodo de Ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt) Seja {v1, v2, · · · , vk} uma base de um subespa¸co W de Rn. Ent˜ao, existe uma base {u1, u2, · · · , uk} de W que ´e ortonormal e tal que o subespa¸co gerado por u1, u2, · · · , uj ´e igual ao subespa¸co gerado por v1, v2, · · · , vj para j = 1, 2, · · · , k. Dem.: De fato, tome primeiramente a base ortogonal {w1, w2, · · · , wk} da seguinte forma w1 = v1 w2 = v2 − projw1v2 Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Bases Ortogonais e Ortonormais Teorema 17 (M´etodo de Ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt) w3 = v3 − projw1v3 − projw2v3 ... wk = vk − projw1vk − projw2vk − · · · − projwk−1vk Em seguida, a base ortonormal ´e obtida assim u1 = 1 ||w1||w1, u2 = 1 ||w2||w2, · · · , uk = 1 ||wk||wk. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Bases Ortogonais e Ortonormais Exemplo 9 Aplique o processo de ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal de R3 a partir da base {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 2, 3)}. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Bases Ortogonais e Ortonormais Exerc´ıcio 3 Use o processo de ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal para o subespa¸co de R4 que tem como base {(1, 1, −1, 0), (0, 2, 0, 1), (−1, 0, 0, 1)}. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Bases Ortogonais e Ortonormais Exerc´ıcio 4 Considere o sistema linear homogˆeneo A X = 0, onde A =   1 1 0 0 1 −2 −2 1 −1 −1 1 1 −1 1 0   . Determine uma base ortonormal para o espa¸co solu¸c˜ao desse sistema. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Bases Ortogonais e Ortonormais Exerc´ıcio 5 Encontre uma base ortonormal para o plano x + y + z = 0. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Bases Ortogonais e Ortonormais Exerc´ıcio 6 Encontre um subconjunto com o maior n´umero poss´ıvel de vetores ortonormais no subespa¸co dos vetores (a, b, c, d) ∈ R4 tais que a − b − 2c + d = 0. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Bases Ortogonais e Ortonormais Exerc´ıcio 7 (a) Mostre que se w1, w2, · · · , wk s˜ao vetores n˜ao nulos ortogonais entre si e X = α1 w1 + α2 w2 + · · · + αk wk, ent˜ao X = projw1X + projw2X + projwkX. (b) Sejam v1, v2, · · · , vk vetores LD. Mostre que, aplicando-se o processo de ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt aos vetores v1, v2, · · · , vk, se obt´em um vetor wi que ´e nulo, para algum i = 1, 2, · · · , k. (Sugest˜ao: Seja vi o primeiro vetor tal que vi ∈ [v1, v2, · · · , vi−1] = [w1, w2, · · · , wi−1] e use o exerc´ıcio Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Bases Ortogonais e Ortonormais Exerc´ıcio 7 anterior para mostrar que wi = 0.) (c) Verifique o item (b) no conjunto LD {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 2, 1)}. Isto ´e, aplique o processo de ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt a esse conjunto e mostre que w3 = 0. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Bases Ortogonais e Ortonormais Exerc´ıcio 7 (a) Seja W um subespa¸co de Rn. Mostre que o conjunto de todos os vetores ortogonais a todos os vetores de W ´e um subespa¸co de Rn. Este subespa¸co ´e chamado de complemento ortogonal de W e denotado por W⊥, ou seja, W⊥ = {X ∈ Rn; X • Y = 0, para todo Y ∈ W}. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Bases Ortogonais e Ortonormais Exerc´ıcio 7 (b) Mostre que todo subespa¸co W de Rn ´e o espa¸co solu¸c˜ao de um sistema linear homogˆeneo. (Sugest˜ao: seja {w1, w2, · · · , wk} uma base de W⊥ tome A = [w1 w2 · · · wk]t.) (c) Seja W = {(t, 2t, 3t) ∈ R3; t ∈ R}, o subespa¸co que ´e uma reta passando pela origem de R3. Determine W⊥. (Obs.: W⊥ ´e o plano ortogonal a W passando pela origem de R3. Determine a sua equa¸c˜ao geral.) Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Sum´ario 1 Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais 2 Base e Dimens˜ao 3 Mudan¸cas de Bases Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Base Sejam β = {v1, v2, · · · , vn} e β′ = {w1, w2, · · · , wn} duas bases ordenadas do espa¸co vetorial Rn. Dado um vetor v ∈ Rn, podemos escrevˆe-lo como v = x1 v1 + x2 v2 + · · · + xn vn v = y1 w1 + y2 w2 + · · · + yn wn As coordenadas x1, x2, · · · , xn do vetor v em rela¸c˜ao `a base β ser´a denotada da seguinte forma Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Base [v]β =   x1 x2 ... xn   Analogamente, em rela¸c˜ao `a base β′, [v]β′ =   y1 y2 ... yn   . Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Base Como β = {v1, v2, · · · , vn} ´e base, podemos escrever cada vetor da base β′ como combina¸c˜ao dos vetores da base β. Assim,                w1 = a11v1 + a21v2 + · · · + an1vn w2 = a12v1 + a22v2 + · · · + an2vn ... ... ... wn = an1v1 + an2v2 + · · · + annvn Substituindo na equa¸c˜ao v = y1 w1 + y2 w2 + · · · + yn wn, obtemos Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espacos e Subespacos Vetoriais Base e Dimensado V = yi(ariv1 + a21V2 + +++ + ant Vn) +¥2(a12V1 + a22V2 + +++ + an2Vn) S00 Ii: —7 _SSSSSSSSS9800( Ii: —7” Wi w2 treet Yn(ainV1 + aanV2 +++ + annVn) —————$—<—<———_ —cqw~— Wn Reorganizando os coeficientes dos vetores v1, V2,°-- , Vp, Conseguimos V = (aii yi + a12¥2 ++ ++ + a1nYn) V1 + (a21¥1 + a22¥2 +--+ + a2nYn) V2 fete (aniy1 + an2y2 +--+ + AnnYn)Vn Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Base Temos o vetor v escrito de duas formas como combina¸c˜ao linear dos vetores da base β. Como a escrita ´e ´unica, devemos ter x1 = a11y1 + a12y2 + · · · + a1nyn x2 = a21y1 + a22y2 + · · · + a2nyn ... ... xn = an1y1 + an2y2 + · · · + annyn Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Base O lado esquerdo do sistema s˜ao as coordenadas de v com rela¸c˜ao `a base β, [v]β =   x1 x2 ... xn   . O lado direito ´e a multiplica¸c˜ao de uma matriz quadrada, (aij)n×n, pelo vetor coluna [v]β′ =   y1 y2 ... yn   . Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espacos e Subespacos Vetoriais Base e Dimensdo Mudangas de Bases Assim, a equacao escrita na forma matricial é XL 411412" An Yi X2 421 422 *** 42n y2 a o an2 °°" {| oe —S —S [v]s [v] 90 Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Base A matriz quadrada n × n da equa¸c˜ao ´e chamada de matriz de mudan¸ca da base β′ para a base β e a denotaremos por [I]β′ β . Assim, [I]β′ β =   a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... an1 an2 · · · ann   . Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Base Com essas nota¸c˜oes, a mudan¸ca da base β′ para a base β ´e dada pela equa¸c˜ao [v]β = [I]β′ β [v]β′. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Base Exemplo 1 Sejam β = {(2, −1), (3, 4)} e β′ = {(1, 0), (0, 1)} base do espa¸co R2. (a) Determine a matriz [I]β′ β , de mudan¸ca da base β′ (base canˆonica) para a base β. (b) Encontre o vetor coluna [v]β, das coordenadas do vetor v = (5, −8) com rela¸c˜ao `a base β. (c) Fa¸ca a representa¸c˜ao geom´etrica do vetor v em rela¸c˜ao `as duas bases. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espacos e Subespacos Vetoriais Base e Dimensdo Mudangas de Bases Obs: Inversa da Matriz de Mudanca de Base ~ . B! P Se no processo de construcdo da matriz [3 , tomassemos os vetores da base 6 = {v4, vo,--- , Vn} como combinac¢ao linear dos vetores da base 3’ = {w4, Wo,--- , wy}, chegarfamos 4 matriz de mudan¢a da base @ para a base £)’, [5 Uma propriedade importante é que essas matrizes sao inversas uma da outra, ou seja, al B — ye (M3.) =I. Espacos e Subespacos Vetoriais Base e Dimensdo Exemplo 2 Nos ultimos dois exemplos acima, determine [1% e verifique a B\* _ ine! igualdade ((/13,) = |]; para esses casos. Base e Dimensdo Mudangas de Bases Exemplo 3 Sejam 6 = {(1,1,0), (1, -1,0),(0,0,1)} e 6’ = {(1,0,0), (0, 1,0), (0,0, 1)} bases de R?. (a) Determine a matriz de mudanga da base ( para a base (3’. (b) Determine a matriz de mudanga da base (’ para a base (3. —1 , (c) Calcule ((1;,) e verifique que é igual a [15 ; Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Base Exerc´ıcio 1 Considere o subespa¸co de R4 gerado pelos vetores v1 = (1, −1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 1), v3 = (−2, 2, 1, 1) e v4 = (1, 0, 0, 0). (a) O vetor (2, −3, 2, 2) ∈ [v1, v2, v3, v4]? Justifique. (b) Exiba uma base β para [v1, v2, v3, v4]. Qual ´e a sua dimens˜ao? (c) [v1, v2, v3, v4] = R4? Por quˆe? (d) Se [v1, v2, v3, v4] ̸= R4, complete a base β do item(b) a fim de obter uma base de R4. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Base Exerc´ıcio 2 Sejam v1 = (1, 1, 1), v2 = (−1, 1, 0) e v3 = (1, 0, −1) trˆes vetores de R3. (a) Mostre que β = {v1, v2, v3} ´e uma base de R3. (b) Quais as coordenadas do vetor v = (1, 0, 0) em rela¸c˜ao `a base β? (c) Determine a matriz de mudan¸ca da base β para a base β′ = {(1, 1, 0), (−1, 1, 0), (0, 0, 1)}. (d) Determine [v]β′ atrav´es das matrizes [I]β β′ e [v]β. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Coordenadas: Rota¸c˜ao Considere em R2 a base canˆonica β = {E1 = (1, 0), E2 = (0, 1)} e a base β′ = {U1, U2}, obtida da base canˆonica pela rota¸c˜ao de um ˆangulo θ em torno da origem no sentido anti-hor´ario. Veja a figura abaixo: Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Coordenadas: Rota¸c˜ao Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Base Dado um vetor v ∈ R2 de coordenadas [v]β =   x y   em rela¸c˜ao `a base β, quais s˜ao as coordenadas [v]β′ =   x′ y′   em rela¸c˜ao `a base β′? Pela figura, temos U1 = (cos(θ), sen(θ)) e U2 = (−sen(θ), cos(θ)). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Coordenadas: Rota¸c˜ao Para encontrar a matriz de mudan¸ca da base β para β′:    E1 = a11 U1 + a21 U2 E2 = a12 U1 + a22 U2 Explicitamente,    (1, 0) = a11 (cos(θ), sen(θ)) + a21 (−sen(θ), cos(θ)) (0, 1) = a12 (cos(θ), sen(θ)) + a22 (−sen(θ), cos(θ)) Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Coordenadas: Rota¸c˜ao A primeira igualdade corresponde ao sistema linear    a11 cos(θ) − a21 sen(θ) = 1 a11 sen(θ) + a21 cos(θ) = 0 cuja solu¸c˜ao, por Cramer, ´e a11 = cos(θ) e a21 = − sen(θ). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Coordenadas: Rota¸c˜ao A segunda igualdade corresponde ao sistema linear    a12 cos(θ) − a22 sen(θ) = 0 a12 sen(θ) + a22 cos(θ) = 1 cuja solu¸c˜ao, por Cramer, ´e a12 = sen(θ) e a22 = cos(θ). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Coordenadas: Rota¸c˜ao Assim, a matriz que muda da base β para β′ ´e [I]β β′ =   cos(θ) sen(θ) −sen(θ) cos(θ)   Portanto, as coordenadas de um vetor v em rela¸c˜ao `as bases β e β′ correspondem, segundo a equa¸c˜ao Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Coordenadas: Rota¸c˜ao [v]β′ = [I]β β′ [v]β Explicitamente,   x′ y′   =   cos(θ) sen(θ) −sen(θ) cos(θ)     x y   Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Coordenadas: Rota¸c˜ao A transposta da matriz acima ´e chamada de matriz de rota¸c˜ao e ´e denotada por Rθ. Assim, Rθ =   cos(θ) −sen(θ) sen(θ) cos(θ)   e podemos escrever a equa¸c˜ao anterior da seguinte forma: Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Coordenadas: Rota¸c˜ao   x′ y′   = Rt θ   x y   Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Coordenadas: Rota¸c˜ao Observa¸c˜ao A matriz de rota¸c˜ao Rθ ´e inversa da sua transposta Rt θ (isso ocorre porque Rθ ´e uma matriz ortogonal). Portanto, ela corresponde a mudan¸ca de base no sentido inverso da equa¸c˜ao acima. Isto ´e,   x y   = Rθ   x′ y′   Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Coordenadas: Rota¸c˜ao Exemplo 1 Uma aplica¸c˜ao da mudan¸ca de coordenadas por rota¸c˜ao ocorre quando queremos identificar uma cˆonica (elipse, hip´erbole ou par´abola) que est´a rotacionada, ou seja, cˆonica cujos eixos n˜ao est˜ao sobre os eixos usuais x e y. Por exemplo, sabemos que se uma cˆonica tem seus eixos sobre os eixos x e y, ent˜ao: (a) Equa¸c˜oes do tipo x2 a2 + y2 b2 = 1 definem elipses; Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Coordenadas: Rota¸c˜ao Exemplo 1 (b) Equa¸c˜oes do tipo x2 a2 − y2 b2 = 1 ou y2 a2 − x2 b2 = 1 definem hip´erboles; e (c) Equa¸c˜oes do tipo y2 = 4 p x ou x2 = 4 p y definem par´abolas. Digamos que uma cˆonica est´a dada pela equa¸c˜ao x2 + xy + y2 = 1. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espacos e Subespacos Vetoriais Base e Dimensdo Mudangas de Bases Exemplo 1 Como proceder para identificarmos essa cOnica? Vamos mostrar que uma rotacao por um dngulo @ = | resolve o problema. De fato, comecamos reescrevendo a equacao da cénica na forma de matriz assim: 1 1 2 x ar, =1, 5 1 y Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Coordenadas: Rota¸c˜ao Exemplo 1 Em seguida, observamos que   1 1 2 1 2 1   = Rθ   3 2 0 0 1 2   Rt θ onde Rθ =   √ 22 − √ 2 2 √ 2 2 √ 2 2   e θ = π 4 . Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Base e Dimensado Mudangas de Bases Exemplo 1 Substituindo na equac¢ao da cénica, obtemos 3 2 0 t x |x y | Ro Ri =1, 1 0 5 y ou ainda, tf | 3 / | x 5 «CO . | Xx Ro Ro — 1, y 0 $ y Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Coordenadas: Rota¸c˜ao Exemplo 1 Lembrando da mudan¸ca de coordenadas,   x′ y′   = Rt θ   x y   , a equa¸c˜ao fica     x′ y′     t   3 2 0 0 1 2     x′ y′   = 1. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Base e Dimensdo Mudangas de Bases Exemplo 1 Isto é, 3 [xy] lee 1 Loa] ly Agora, resolvendo a multiplicacdo de matriz, chegamos a x2 y!? 1 a 3 Espacos e Subespacos Vetoriais Base e Dimensao Exemplo 1 Finalmente, a ultima equacao mostra que se trata de uma elipse com valores a = \/5 e b= V2, cujos eixos foram rotacionados por um angulo de @ = 7. Veja a figura a seguir: Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Coordenadas: Rota¸c˜ao Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Coordenadas: Rota¸c˜ao Exemplo 2 Vamos determinar as coordenadas do ponto P = (1, 1) em rela¸c˜ao ao sistema de coordenadas determinado pela nova base do exemplo 1, acima. Pela equa¸c˜ao de mudan¸ca de coordenadas, as novas coordenadas x′, y′ do ponto P s˜ao dadas pela equa¸c˜ao   x′ y′   = Rt θ   x y   Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Coordenadas: Rota¸c˜ao Exemplo 2 onde θ = π 4 e   x y   =   1 1   que s˜ao as coordenadas de P no sistema retangular usual. Assim,   x′ y′   =   √ 2 2 √ 2 2 − √ 2 2 √ 2 2     1 1   =   √ 2 0   Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Coordenadas: Rota¸c˜ao Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Base e Dimensdo Mudangas de Bases Identifique a cOnica de equa¢ao 2 2 5x* —4xy + 8y~ = 36 tomando a mudanga da base canGnica para a base { ( ey ) ( By t uy = | —, —], mw = | -—~, — ]} >. V5 V5)" V5 V5 Em seguida, faca o esboco como no exemplo acima. Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Coordenadas: Rota¸c˜ao Exerc´ıcio 2 Determine as coordenadas do ponto P = (1, 2) em rela¸c˜ao as coordenadas definidas pela nova base do exemplo 1, acima. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Coordenadas: Rota¸c˜ao Exerc´ıcio Determine a matriz de mudan¸ca de coordenadas (base) em R3 que consiste girar em torno do eixo z por um ˆangulo θ no plano xy no sentido anti-hor´ario quando visto de cima. Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Coordenadas: Transla¸c˜ao Esta mudan¸ca de coordenada n˜ao ´e uma mudan¸ca de base! ´E simplesmente uma transla¸c˜ao dos eixos coordenados. Isso significa que a origem dos novos eixos ´e um ponto O′ diferente da origem usual O. Veja a figura: Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Coordenadas: Rota¸c˜ao Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Coordenadas: Transla¸c˜ao Pela figura, temos −−→ O′P = −→ OP − −−→ OO′ Assim, se −−→ OO′ = (x0, y0), ent˜ao −−→ O′P = (x′, y′) = (x, y) − (x0, y0) = (x − x0, y − y0). Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Espa¸cos e Subespa¸cos Vetoriais Base e Dimens˜ao Mudan¸cas de Bases Mudan¸ca de Coordenadas: Transla¸c˜ao Portanto, as coordenadas de um ponto P em rela¸c˜ao ao novo sistema de coordenadas ´e dada pela equa¸c˜ao:   x′ y′   =   x − x0 y − y0   Daniel Leite ´Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica Base e Dimensdo Mudangas de Bases Identifique a cOnica de equa¢ao 20 80 5x* —4xy + By? + —x-—- —=y+4=0. y y V5 Vice tomando a mudanga da base canGnica para a base ("= ava) = ava) UW = | 7 FH |] 42 = | ~ = : v5 V5 v5 V5 Em seguida, faca o esboco.