Questões - Integrais - 2023-2

Em todas as questões justifique suas respostas e simplifique-as o máximo possível. Respostas sem justificativas serão desconsideradas. Boa Prova! Boas Férias! 1ª Questão: (2 pontos) Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F). Respostas sem justificativas serão desconsideradas. (a) (1 ponto) ( ) \int_{-1}^{2} \left( x^4 + \sqrt{x} + 1 \right) \; dx = \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2}{3} (x + 1)^{3/2} \right]_{-1}^{2} = 2\sqrt{3} - \frac{3}{8}. (b) (1 ponto) ( ) Se f é integrável em [a, b], então \int_{a}^{b} |f(x)| dx = \int_{a}^{b} f(x) dx. 2ª Questão: (2 pontos) Considere a região R do primeiro quadrante delimitada pelas curvas y = x + 2, y = 4 - x^2 e pelo eixo-x. Determine a área da região R. 3ª Questão: (7 pontos) Resolva, se possível, as seguintes integrais: (a) (1,5 pontos) \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} dx (b) (1,5 pontos) \int \left( x^5 + x \right)^{19} \left(5x^4 + 1\right) dx (c) (1 ponto) \int \left(t^2 + 3\sqrt{t} + \frac{2}{\sqrt{t}}\right) dt (d) (1,5 pontos) \int_{3}^{\infty} \frac{1}{x^2 - 3x + 2} dx (e) (1,5 pontos) \int \sen(\ln{x}) dx