Estabilidade de Estruturas - Formula de Euler e Classificacao de Colunas

Ementa Estabilidade de estruturas Fórmula de Euller para colunas biarticuladas A fórmula de Euller para colunas com outras condições de extremidade Carregamento excêntrico e a fórmula secante Projeto de colunas submetidas a uma carga centrada Método da tensão admissível Coeficiente de projeto para carga e resistência Projeto de colunas submetidas a uma força excêntrica 2 Tensão de Flambagem de Euler 3 A tensão normal em uma coluna sujeita à carga crítica é 𝜎𝑐𝑟 𝑃𝑐𝑟 𝐴 𝜋2𝐸𝐼 𝐴𝐿2 𝜋2𝐸 𝐿 𝑟 2 A quantidade Lr é denominada índice de esbeltez e é determinada para o eixo em torno do qual a flambagem tende a ocorrer Observe que a flambagem de Euler é um fenômeno elástico Se a carga compressiva axial for removida de uma coluna ideal que flambou da maneira descrita aqui a coluna retornará a sua configuração reta inicial Na flambagem de Euler a tensão crítica 𝜎𝑐𝑟 permanece abaixo do limite de proporcionalidade do material 0 100 200 300 400 500 600 0 50 100 150 200 250 Gráficos da tensão de flambagem de Euler para o aço e uma liga de alumínio Aço 𝐸 200𝐺𝑃𝑎 Alumínio 𝐸 731𝐺𝑃𝑎 𝜎𝑦 414𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑦 250𝑀𝑃𝑎 42 89 𝜎 𝐿𝑟 Classificação das colunas 4 Colunas longas Colunas com um alto índice de esbeltez A flambagem ocorre elasticamente a uma tensão não superior ao limite de proporcionalidade do material É válida a equação para tensão crítica de Euler Colunas curtas Basicamente os componentes sob compressão que possuem baixo índice de esbeltez não apresentam instabilidade e são identificados como colunasbarras curtas ou postes Para esses elementos a falha ocorre por escoamento ou esmagamento sem flambagem para as tensões que excedem o limite de proporcionalidade do material A tensão máxima é dada por 𝜎𝑚á𝑥 𝑃 𝐴 𝐿𝑒 𝑟 𝑐 𝜋 𝐸 𝜎𝑝 Classificação das colunas Flambagem inelástica 5 A maioria das colunas estruturais enquadrase na região entre as classificações de curta e longa representada pelo trecho BC na Figura Estas colunas de comprimento intermediário não falham por compressão direta ou por instabilidade elástica A falha de uma coluna intermediaria ocorre pelo mecanismo de flambagem inelástica ou plástica a níveis de tensões que excedem o limite de proporcionalidade Ao longo dos anos muitas fórmulas empíricas têm sido desenvolvidas para índices de esbeltez intermediários São apresentados a seguir dois procedimentos práticos para a determinação da tensão crítica na flambagem inelástica 𝜎𝑐𝑟 𝜋2𝐸𝑇 𝐿𝑒 𝑟 2 Exemplo Um tubo de 76 mm de diâmetro externo e 3 mm de espessura de parede e utilizado para operar como uma coluna de 2 m de comprimento efetivo A ser determinado A carga axial de flambagem Hipótese A coluna e fabricada com um material que pode ser modelado pelo diagrama tensaodeformacao mostrado na Fig 6 Exemplo 2 Uma treliça simples de madeira conectada por pinos é carregada e suportada conforme a Figura Os elementos da treliça são barras de pinho que possuem seção transversal quadrada de 35 in 889 mm por 35 in 889 mm e módulo de elasticidade E 1103 GPa Considere todas as barras comprimidas e determine o coeficiente de segurança mínimo para a treliça em relação à falha por flambagem 7 A fórmula secante 8 Muitas colunas reais não se comportam conforme previsto pela fórmula de Euler devido às imperfeições no alinhamento da carga A Figura mostra o diagrama de corpo livre da coluna quando a excentricidade for diferente de zero Desse diagrama de corpo livre vêse que o momento fletor em qualquer seção pode ser expresso como 𝑀𝑎 𝑀 𝑝𝑦 𝑝𝑒 𝑀 𝑝𝑦 𝑝𝑒 A fórmula secante Tensão crítica 9 Quando foi escrita a equação da curva elástica foi admitido que as tensões não ultrapassassem o limite de proporcionalidade Com base nessa hipótese a tensão máxima de compressão pode ser obtida por superposição da tensão normal devida a esforços axiais com a tensão normal máxima devida à flexão A tensão máxima devida à flexão ocorre em uma seção no meio do vão da coluna onde o momento fletor atinge seu valor máximo 𝑀𝑚á𝑥 𝑃𝑒 𝑣𝑚á𝑥 Desta forma o valor absoluto da tensão máxima de compressão na coluna pode ser expresso como 𝜎𝑚á𝑥 𝑃 𝐴 𝑀𝑚á𝑥𝑐 𝐼 𝑃 𝐴 𝑃 𝑒 𝑣𝑚á𝑥 𝑐 𝐴𝑟2 A expressão para a tensão máxima de compressão na coluna sob flambagem é 𝜎𝑚á𝑥 𝑃 𝐴 1 𝑒𝑐 𝑟 sec 𝐿 2𝑟 𝑃 𝐸𝐴 Tensão de crítica 10 A equação obtida pode ser utilizada com qualquer condição de contorno desde que usado o valor apropriado para a força crítica Notamos que como 𝜎max não varia linearmente com a força P o princípio da superposição não se aplica na determinação da tensão provocada pela aplicação simultânea de várias forças deve ser calculada inicialmente a força resultante e depois pode ser usada a Equação para a tensão máxima para determinar a tensão correspondente Pela mesma razão qualquer coeficiente de segurança dado deve ser aplicado à força e não à tensão Fazendo 𝐼 𝐴𝑟2 e resolvendo 𝜎máx para 𝑃𝐴 P A 𝜎𝑚á𝑥 1 𝑒𝑐 𝑟2 sec 1 2 𝑃 𝐸𝐴 𝐿𝑒 𝑟 0 50 100 150 200 250 300 0 50 100 150 200 𝜎𝑒 250𝑀𝑃𝑎 𝐸 200𝐺𝑃𝑎 𝑒𝑐 𝑟2 0 01 02 04 06 08 𝑒𝑐 𝑟2 1 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟 Exemplo 3 Uma carga axial P é aplicada a uma haste maciça de aço AB com 30 mm de diâmetro conforme é mostrado na Figura Para L 15 m P 18 kN e e 30 mm determine a a deflexão lateral no meio da distância entre A e B b a tensão máxima na haste c Use E 200 GPa 11 Fórmulas Empíricas para Colunas As fórmulas de flambagem de Euler para a carga crítica e para a tensão crítica foram desenvolvida para colunas ideais Ao considerar as colunas ideais admitiuse que a coluna era perfeitamente reta que a carga de compressão estava aplicada exatamente no centro de gravidade da seção transversal e que o material da coluna permanecia abaixo do seu limite de proporcionalidade durante a flambagem Entretanto as colunas utilizadas na prática raramente satisfazem todas as condições admitidas para colunas ideais 12 𝜎𝑐𝑟 𝜎𝑦 𝜎𝑐𝑟 𝑃𝑐𝑟 𝐴 𝜋2𝐸 𝜆2 𝜆 𝑐𝑢𝑟𝑡𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑑𝑖á𝑟𝑖𝑎 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎 Fórmulas Empíricas para Colunas No amplo intervalo de índices de esbeltez entre colunas curtas e colunas longas nem a tensão de escoamento nem a tensão de flambagem de Euler mostramse uma boa previsão para a resistência da coluna Além disso a maioria das colunas usadas na prática recai nessa classe intermediária de índices de esbeltez Portanto o projeto prático de uma coluna baseiase principalmente em fórmulas empíricas que foram desenvolvidas para representar o melhor ajuste dos resultados dos ensaios para uma faixa de colunas com dimensões reais Essas fórmulas empíricas incorporam coeficientes apropriados de segurança de comprimento efetivo e outros coeficientes modificadores 13 𝜎𝑐𝑟 𝜎𝑦 𝜎𝑐𝑟 𝑃𝑐𝑟 𝐴 𝜋2𝐸 𝜆2 𝜆 𝑐𝑢𝑟𝑡𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑑𝑖á𝑟𝑖𝑎 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎 Fórmulas de projeto para colunas sujeitas a carregamento centrad0 Aço estrutural 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝜎𝑦 𝑛𝑠 1 1 2 𝜆 𝐶𝑐 2 𝜆 𝐶𝑐 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝜋2𝐸 192𝜆2 𝐶𝑐 𝜆 200 𝐶𝑐 2𝜋2𝐸 𝜎𝑦 𝑛𝑠 5 3 3 8 𝜆 𝐶𝑐 1 8 𝜆 𝐶𝑐 3 Liga de alumínio 6061T6 𝜎𝑎𝑑𝑚 130𝑀𝑃𝑎 𝜆 95 𝜎𝑎𝑑𝑚 140 087𝜆 𝑀𝑃𝑎 95 𝜆 66 𝜎𝑎𝑑𝑚 350103 𝜆2 𝜆 66 Colunas de Madeira de ST Retangular 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝐹𝑐 1 𝐹𝑐𝐸 𝐹𝑐 2𝑐 1 𝐹𝑐𝐸 𝐹𝑐 2𝑐 2 𝐹𝑐𝐸 𝐹𝑐 𝑐 𝐹𝑐 é a tensão admissível de compressão paralela as fibras 𝐹𝑐𝐸 𝑘𝑐𝐸𝐸 𝑙𝑒𝑑² é a tensão reduzida de flambagem 𝐸 é o módulo de elasticidade 𝑘𝑐𝐸 03 𝑐 08 para madeira serrada 14 Exemplo 3 Uma coluna de liga de alumínio 6061T6 deve suportar uma carga axial de flambagem P100 kN Determine o diâmetro d da coluna considerando um comprimento efetivo de a 15 m b 04 m 15 LISTA 03 Exercício 01 Para a treliça da Figura 512 obtenha a força P admissível usando um fator de segurança igual a 16 Adote a seção transversal circular maciça de 80 mm H L 4000 mm material com E 210 GPa e 𝜎𝑒𝑠𝑐 180 MPa tanto para tração como compressão sem flambar ou escoar 17 Exemplo 02 A barragem AB rígida da Figura de largura unitária e altura H está escorada na barra CD retangular de 10 cm 20 cm a qual está apoiada em C e D Obtenha a altura máxima H de modo a atender as tensões críticas sem flambar nem escoar usando um fator de segurança igual a 25 Adote para a escora E 180 GPa σesc 250 MPa e peso específico de 10 kNm3 para a água 18 Exercício 03 Conforme a Figura o pilar engastado na base com altura entre os andares de 3 m possui a seção transversal I indicada na figura Na direção z entre os andares existem vigas de travamento Obtenha a máxima carga P aplicada de modo a não flambar e não ultrapassar trecho de escoamento com um fator de segurança igual a 18 Adote E 210 GPa b 300 mm h 150 mm t 40 mm e σesc 220 MPa 19 Exercício 04 Para o problema do exercício considere os mesmos dados mas adote a seção indicada na Figura com b 150 mm e que tenha a mesma área daquele exercício com o eixo y paralelo a largura b 20 Exercício 05 Para a treliça da Figura considere P 150 kN e H 100 kN E 180 GPa σesc 150 MPa e fator de segurança igual a 14 Foi medido o esforço normal na barra CD obtendo valor de 502 kN de tração Nessas condições obtenha a a menor dimensão D de cada barra b a menor dimensão D igual para toda a treliça 21 Exercício 06 Para o pilar de altura 34 m conforme esquematizado na Figura sabese que P 250 kN e com sua seção de perfil I com h 80 mm b 120 mm e t 20 mm E 210 GPa e σesc 400 MPa Determine o fator de segurança do pilar 22 Exercício 07 O pilar de uma galeria está engastado na base e no topo de uma laje indicado na Figura 519 Sua seção é retangular de dimensões 12 cm 15 cm com σesc 28 MPa E 21 GPa e a altura do pilar 65 m Obtenha a máxima sobrecarga Q na laje atuando simetricamente com o eixo do pilar de modo que ele não flambe ou escoe considere um fator de segurança igual a 14 23 Exercício 08 Refaça o exercício anterior considerando que a ligação pilarlaje seja um pino isto é um apoio fixo 24