Estabilidade de Estruturas - Formula de Euler e Modos de Flambagem

Ementa Estabilidade de estruturas Fórmula de Euller para colunas biarticuladas A fórmula de Euller para colunas com outras condições de extremidade Carregamento excêntrico e a fórmula secante Projeto de colunas submetidas a uma carga centrada Método da tensão admissível Coeficiente de projeto para carga e resistência Projeto de colunas submetidas a uma força excêntrica 2 Solução da equação diferencial 3 O objetivo desta análise é determinar a carga mínima P para a qual ocorrem deflexões laterais na coluna portanto a menor carga P que causa flambagem ocorre para 𝑛 1 uma vez que ela fornece o valor mínimo de P para uma solução não trivial Essa carga é chamada carga crítica de flambagem 𝑃𝑐𝑟 para uma coluna com apoios pinos nas extremidades 𝑃𝑐𝑟 𝜋2𝐸𝐼 𝐿2 A carga crítica para uma coluna ideal é conhecida como carga de flambagem de Euler em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler 17071783 que publicou a primeira solução para a flambagem de colunas longas e esbeltas em 1757 Solução da equação diferencial Modos de Flambagem 4 A configuração deformada da coluna sob flambagem pode ser descrita pela equação 𝑦 𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋 𝐿 𝑥 𝑛 1 2 3 Uma coluna ideal sujeita a uma carga axial de compressão P é mostrada na Figura a A configuração deformada da coluna sob flambagem correspondente à carga de flambagem de Euler é mostrada na Figura b A configuração deformada é chamada modo de vibração e a configuração de flambagem correspondente a 𝑛 1 é chamada primeiro modo de flambagem Figura b A carga crítica e o modo de vibração para o segundo modo de flambagem estão ilustrados na c A carga crítica para o segundo modo é quatro vezes maior do que a carga crítica do primeiro modo Entretanto as configurações de flambagem para os modos maiores não apresentam interesse prático uma vez que a coluna flamba depois de alcançar seu menor valor de carga crítica Os modos de flambagem maiores só podem ser conseguidos fornecendo restrições laterais à coluna em locais intermediários para evitar a flambagem da coluna no primeiro modo L Tensão de Flambagem de Euler 5 A tensão normal em uma coluna sujeita à carga crítica é 𝜎𝑐𝑟 𝑃𝑐𝑟 𝐴 𝜋2𝐸𝐼 𝐴𝐿2 𝜋2𝐸 𝐿 𝑟 2 A quantidade Lr é denominada índice de esbeltez e é determinada para o eixo em torno do qual a flambagem tende a ocorrer Observe que a flambagem de Euler é um fenômeno elástico Se a carga compressiva axial for removida de uma coluna ideal que flambou da maneira descrita aqui a coluna retornará a sua configuração reta inicial Na flambagem de Euler a tensão crítica 𝜎𝑐𝑟 permanece abaixo do limite de proporcionalidade do material 0 100 200 300 400 500 600 0 50 100 150 200 250 Gráficos da tensão de flambagem de Euler para o aço e uma liga de alumínio Aço 𝐸 200𝐺𝑃𝑎 Alumínio 𝐸 731𝐺𝑃𝑎 𝜎𝑦 414𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑦 250𝑀𝑃𝑎 42 89 𝜎 𝐿𝑟 Exemplo Uma barra de alumínio retangular de 15 mm por 25 mm é usada como elemento estrutural longo comprimido As extremidades do elemento estrutural comprimido são apoiadas Determine o índice de esbeltez e a carga de flambagem de Euler para o elemento estrutural comprimido Admita E 70 GPa 6 O Efeito das condições de extremidade 7 A fórmula de Euler foi deduzida na seção anterior para uma coluna articulada em ambas as extremidades Agora a força crítica 𝑃𝑐𝑟 será determinada para colunas com diferentes condições de extremidade Ficou evidente nas discussões apresentadas que a carga crítica e forte mente dependente das restrições ocorrentes nas extremidades das colunas Para as colunas com diversas combinações para seus apoios engastados livres e rotulados necessitase apenas introduzir a condição apropriada na Eq da carga crítica e proceder conforme discutido anteriormente Podese mostrar que em cada um dos casos a carga crítica de uma coluna uniforme pode ser expressa como 𝑃𝑐𝑟 𝐶 𝜋2𝐸𝐼 𝐿2 Em que 𝐶 é uma constante que depende das condições de extremidade 𝑃𝑐𝑟 𝜋2𝐸𝐼 𝐿𝑒2 Exemplo Uma coluna uniforme e fixa engastada a base rotulada em sua extremidade superior e sujeita a uma carga axial vertical conforme mostrado na Figura A ser determinado A carga crítica da coluna Hipótese A coluna possui uma rigidez constante 8 Classificação das colunas 9 Colunas longas Colunas com um alto índice de esbeltez A flambagem ocorre elasticamente a uma tensão não superior ao limite de proporcionalidade do material É válida a equação para tensão crítica de Euler Colunas curtas Basicamente os componentes sob compressão que possuem baixo índice de esbeltez não apresentam instabilidade e são identificados como colunasbarras curtas ou postes Para esses elementos a falha ocorre por escoamento ou esmagamento sem flambagem para as tensões que excedem o limite de proporcionalidade do material A tensão máxima é dada por 𝜎𝑚á𝑥 𝑃 𝐴 𝐿𝑒 𝑟 𝑐 𝜋 𝐸 𝜎𝑝 Classificação das colunas Flambagem inelástica 10 A maioria das colunas estruturais enquadrase na região entre as classificações de curta e longa representada pelo trecho BC na Figura Estas colunas de comprimento intermediário não falham por compressão direta ou por instabilidade elástica A falha de uma coluna intermediaria ocorre pelo mecanismo de flambagem inelástica ou plástica a níveis de tensões que excedem o limite de proporcionalidade Ao longo dos anos muitas fórmulas empíricas têm sido desenvolvidas para índices de esbeltez intermediários São apresentados a seguir dois procedimentos práticos para a determinação da tensão crítica na flambagem inelástica 𝜎𝑐𝑟 𝜋2𝐸𝑇 𝐿𝑒 𝑟 2 Exemplo Um tubo de 76 mm de diâmetro externo e 3 mm de espessura de parede e utilizado para operar como uma coluna de 2 m de comprimento efetivo A ser determinado A carga axial de flambagem Hipótese A coluna e fabricada com um material que pode ser modelado pelo diagrama tensaodeformacao mostrado na Fig 11