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Engenharia Civil ·
Resistência dos Materiais 2
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Ementa Estabilidade de estruturas Fórmula de Euller para colunas biarticuladas A fórmula de Euller para colunas com outras condições de extremidade Carregamento excêntrico e a fórmula secante Projeto de colunas submetidas a uma carga centrada Método da tensão admissível Coeficiente de projeto para carga e resistência Projeto de colunas submetidas a uma força excêntrica 2 Introdução 3 Euller 1750 Estuda pela primeira vez os problemas de instabilidade Flambagem Mostrou que a falha de pilares esbeltos não era um problema de resistência Instabilidade Falha catastrófica Se estudo deve ser considerado na análise de estruturas Método dos Estados limites ELU Critérios de resistência Instabilidade Introdução 4 Estrutura Tensão Deflexão Estabilidade Introdução 5 Estabilidade Colunas FLAMBAGEM A estabilidade e caracterizada pela habilidade de uma estrutura em suportar uma determinada carga sem apresentar uma variação brusca em sua geometria Elementos retos e esbeltos carregados axialmente por compressão Esses elementos estruturais são normalmente utilizados nas treliças e na estrutura de sustentação dos prédios esqueleto Elas também são encontradas nos elementos de ligação utilizados em máquinas nos postes de sinalização nos suportes das rodovias com pistas em vários níveis e em uma grande variedade de outras estruturas e elementos de máquinas A flambagem pode ser definida como o deslocamento lateral relativamente grande e súbito de uma coluna em decorrência de um pequeno aumento na carga compressiva nela existente Este comportamento leva a instabilidade e eventualmente ao colapso do componente Definições e conceitos básicos de estabilidade Classificação das análises 6 Podemos classificar o desenvolvimento teórico de um problema quanto aos conceitos do cálculo da seguinte forma Teoria de 1ª ordem O equilíbrio da estrutura é estudado na posição indeslocável Admitese ainda que simplificações introduzidas pela geometria dos pequenos deslocamentos vale o princípio da superposição dos efeitos regime elástico linear curvatura 𝜅 𝑣𝑥 Teoria de 2ª ordem O estudo do equilíbrio é realizado na posição deslocada da estrutura Admitese ainda para cálculo dos deslocamentos simplificações oriundas da geometria dos pequenos deslocamentos 𝜅 𝑣𝑥 PSE vale com ressalvas Teoria de 2ª ordem com grandes deslocamentos O equilíbrio da estrutura é estudado na posição deslocada mas não se admitem as simplificações anteriores Definições e conceitos básicos de estabilidade Métodos de equilíbrio 7 Em teoria de 1ª ordem Equilíbrio na posição indeslocada vertical 𝐻 0 𝑉 0 𝑀 0 As equações indicam que há equilíbrio para todo valor de P Não há nenhuma informação sobre o problema da instabilidade a estrutura permanece reta mesmo quando 𝑃 𝑃 𝐿 𝐵 𝐴 Definições e conceitos básicos de estabilidade Métodos de equilíbrio 8 Em teoria de 2ª ordem com pequenos deslocamentos Equilíbrio na posição deslocada 𝐻 0 𝑉 0 𝑀𝐴 0 𝑅𝑉 𝑃 𝑃 𝛿 𝑀 0 𝑃 𝛿 𝑘𝐿𝛿 0 𝛿𝑃 𝑘𝐿 0 Dilema ቊ 𝛿 0 𝛿 0 𝑃 𝜃 𝛿 𝑅𝑉 𝑃 𝑀 𝑘𝐿𝛿 Em teoria de 2ª ordem com pequenos deslocamentos Equilíbrio na posição deslocada 𝐻 0 𝑉 0 𝑀𝐴 0 𝑃 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑙í𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑡á𝑣𝑒𝑙 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑖𝑓𝑢𝑟𝑐𝑎çã𝑜 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑙í𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑙í𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑒𝑠𝑡á𝑣𝑒𝑙 𝑃𝑐𝑟 𝑘𝐿 𝛿 𝐴 𝑂 Definições e conceitos básicos de estabilidade 9 Estável Uma pequena ação produz um pequeno efeito Instavél Uma pequena ação produz um grande efeito Em todos os três casos a bola está em equilíbrio na posição 1 Para examinar a estabilidade associada a cada superfície a bola deve ser deslocada uma distância infinitesimal dx para qualquer lado da posição 1 Carga crítica é o valor da carga no qual a barra passa de uma forma reta de equilíbrio estável 𝛿 0 par uma forma não reta de equilíbrio estável 𝛿 0 Definições e conceitos básicos de estabilidade Métodos da Energia 10 Reconsiderese a posição deslocada da barra Devido a rotação da barra a força P se desloca na vertical de um valor igual a 𝐿 𝐿𝑐𝑜𝑠𝜃 Portanto podese aproximar o trabalho realizado pela força P ΔW PL1 cos𝜃 Após a expansão em série de Taylor da função cosseno ΔW PL 1 1 𝜃2 2 1 2 𝑃𝐿𝜃² Para pequenos deslocamentos a energia de deformação da mola é ΔU 1 2 𝑘𝐿𝜃² Se ΔU Δ𝑊 o sistema e estável Isto e o trabalho realizado e insuficiente para produzir um deslocamento crescente com a forca aplicada Porém se ΔU Δ𝑊 a barra se torna instável porque agora o valor do trabalho e suficiente para provocar um deslocamento que aumenta após uma perturbação lateral A transição de uma configuração estável para uma configuração instável ocorre quando ΔU Δ𝑊 ou Pcr 𝑘𝐿 como anteriormente 𝑃 𝜃 𝛿 𝑅𝑉 𝑃 𝑀 𝑘𝐿𝛿 Flambagem de colunas com apoios nas extremidades A estabilidade de colunas reais será examinada analisando uma coluna longa e esbelta com apoios pinos nas extremidades 11 A coluna é carregada por uma carga compressiva P que passa pelo centroide da seção transversal nas extremidades Os pinos dos apoios em cada extremidade são lisos sem atrito e a carga é aplicada à coluna pelos pinos Os pinos dos apoios em cada extremidade são lisos sem atrito e a carga é aplicada à coluna pelos pinos A coluna em si é perfeitamente reta e feita de um material linearmente elástico que obedece à Lei de Hooke Por ser admitido que a coluna não possua imperfeições ela é denominada coluna ideal Equação diferencial para a flambagem da coluna 12 𝑀𝐴 𝑀 𝑃𝑦 0 𝑀 𝑃𝑦 Da relação momentocurvatura admitindose pequenos deslocamentos temos 𝑀 𝐸𝐼 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 Substituindo a equação 1 na equação 2 temos 𝐸𝐼 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑃𝑦 0 Essa é a equação diferencial que governa a configuração deformada de uma coluna ideal apoiada por apoios pinos ou rótulas nas extremidades Essa equação é uma equação diferencial ordinária e homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e que tem como condições de contorno 𝑦 0 0 e 𝑦 𝐿 0 Solução da equação diferencial 13 O objetivo desta análise é determinar a carga mínima P para a qual ocorrem deflexões laterais na coluna portanto a menor carga P que causa flambagem ocorre para 𝑛 1 uma vez que ela fornece o valor mínimo de P para uma solução não trivial Essa carga é chamada carga crítica de flambagem 𝑃𝑐𝑟 para uma coluna com apoios pinos nas extremidades 𝑃𝑐𝑟 𝜋2𝐸𝐼 𝐿2 A carga crítica para uma coluna ideal é conhecida como carga de flambagem de Euler em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler 17071783 que publicou a primeira solução para a flambagem de colunas longas e esbeltas em 1757 Solução da equação diferencial Modos de Flambagem 14 A configuração deformada da coluna sob flambagem pode ser descrita pela equação 𝑦 𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋 𝐿 𝑥 𝑛 1 2 3 Uma coluna ideal sujeita a uma carga axial de compressão P é mostrada na Figura a A configuração deformada da coluna sob flambagem correspondente à carga de flambagem de Euler é mostrada na Figura b A configuração deformada é chamada modo de vibração e a configuração de flambagem correspondente a 𝑛 1 é chamada primeiro modo de flambagem Figura b A carga crítica e o modo de vibração para o segundo modo de flambagem estão ilustrados na c A carga crítica para o segundo modo é quatro vezes maior do que a carga crítica do primeiro modo Entretanto as configurações de flambagem para os modos maiores não apresentam interesse prático uma vez que a coluna flamba depois de alcançar seu menor valor de carga crítica Os modos de flambagem maiores só podem ser conseguidos fornecendo restrições laterais à coluna em locais intermediários para evitar a flambagem da coluna no primeiro modo L Exemplo Uma barra de alumínio retangular de 15 mm por 25 mm é usada como elemento estrutural longo comprimido As extremidades do elemento estrutural comprimido são apoiadas Determine o índice de esbeltez e a carga de flambagem de Euler para o elemento estrutural comprimido Admita E 70 GPa 15 Construção básica do Círculo 8 Vários pontos no círculo de Mohr são de particular interesse As tensões principais são os valores extremos da tensão normal que existe em um corpo submetido a tensões dado o conjunto específico de tensões 𝜎𝑥 𝜎𝑦 e 𝜏𝑥𝑦 que agem nas direções x e y Do círculo de Mohr os valores extremos de 𝜎 são observados ocorrerem nos dois pontos onde o círculo cruza o eixo 𝜎 O ponto mais positivo do ponto de vista algébrico é 𝜎𝑝1 e o ponto mais negativo é 𝜎𝑝2 9 A geometria do círculo de Mohr pode ser usada para determinar a orientação dos planos principais Da geometria do círculo pode ser determinado o ângulo entre o ponto x e um dos pontos de tensão principal O ângulo entre o ponto x e um dos pontos de tensão principal no círculo é 2𝜃𝑝 Além do valor absoluto de 2𝜃𝑝 o sentido do ângulo ou no sentido dos ponteiros do relógio ou no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio pode ser determinado por inspeção por meio do círculo A rotação de 2𝜃𝑝 do ponto x para o ponto de tensão principal deve ser determinada 16 Construção básica do Círculo 10 Dois outros pontos interessantes no círculo de Mohr são os valores extremos de tensões cisalhantes Os valores absolutos das maiores tensões cisalhantes ocorrerão em pontos localizados no topo e na base do círculo Como o centro C do círculo está sempre localizado no eixo 𝜎 o maior valor possível de 𝜏 é simplesmente o raio do círculo R 11 Observe que o ângulo entre os pontos de tensão principal e os pontos de tensão cisalhante máxima no círculo de Mohr é 90 Como os ângulos no círculo de Mohr estão duplicados o ângulo real entre os planos principais e os planos das tensões cisalhantes máximas é sempre de 45 17 Exemplo As tensões mostradas agem em um ponto da superfície livre de um corpo submetido a tensões a Determine as tensões principais e a tensão cisalhante máxima no plano que agem no ponto b Mostre essas tensões em um desenho adequado c Determine as tensões normais 𝜎𝑥 𝜎𝑦 e a tensão cisalhante que agem no paralelepípedo elementar inclinado 18 σmax σmin z θ1 θ2 x y Equações gerais para transformação de deformações 20 𝑥 𝑧 𝑦 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 original 𝛾𝑥𝑦 𝑦 𝑥 1 1 𝜀𝑦 𝜀𝑥 𝜀𝑥 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝛾𝑥𝑦 2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝜀𝑥 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝛾𝑥𝑦 2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝛾𝑥𝑦 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝛾𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠2𝜃 Roseta de Deformações 21 𝜀𝑎 𝜀𝑥 cos2 𝜃𝑎 𝜀𝑦𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑎 𝛾𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃𝑎 𝜀𝑏 𝜀𝑥 cos2 𝜃𝑏 𝜀𝑦𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑏 𝛾𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃𝑏 𝜀𝑐 𝜀𝑥 cos2 𝜃𝑐 𝜀𝑦𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑐 𝛾𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐 22
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superposição dos efeitos regime elástico linear curvatura 𝜅 𝑣𝑥 Teoria de 2ª ordem O estudo do equilíbrio é realizado na posição deslocada da estrutura Admitese ainda para cálculo dos deslocamentos simplificações oriundas da geometria dos pequenos deslocamentos 𝜅 𝑣𝑥 PSE vale com ressalvas Teoria de 2ª ordem com grandes deslocamentos O equilíbrio da estrutura é estudado na posição deslocada mas não se admitem as simplificações anteriores Definições e conceitos básicos de estabilidade Métodos de equilíbrio 7 Em teoria de 1ª ordem Equilíbrio na posição indeslocada vertical 𝐻 0 𝑉 0 𝑀 0 As equações indicam que há equilíbrio para todo valor de P Não há nenhuma informação sobre o problema da instabilidade a estrutura permanece reta mesmo quando 𝑃 𝑃 𝐿 𝐵 𝐴 Definições e conceitos básicos de estabilidade Métodos de equilíbrio 8 Em teoria de 2ª ordem com pequenos deslocamentos Equilíbrio na posição deslocada 𝐻 0 𝑉 0 𝑀𝐴 0 𝑅𝑉 𝑃 𝑃 𝛿 𝑀 0 𝑃 𝛿 𝑘𝐿𝛿 0 𝛿𝑃 𝑘𝐿 0 Dilema ቊ 𝛿 0 𝛿 0 𝑃 𝜃 𝛿 𝑅𝑉 𝑃 𝑀 𝑘𝐿𝛿 Em teoria de 2ª ordem com pequenos deslocamentos Equilíbrio na posição deslocada 𝐻 0 𝑉 0 𝑀𝐴 0 𝑃 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑙í𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑡á𝑣𝑒𝑙 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑖𝑓𝑢𝑟𝑐𝑎çã𝑜 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑙í𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 𝐸𝑞𝑢𝑖𝑙í𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑒𝑠𝑡á𝑣𝑒𝑙 𝑃𝑐𝑟 𝑘𝐿 𝛿 𝐴 𝑂 Definições e conceitos básicos de estabilidade 9 Estável Uma pequena ação produz um pequeno efeito Instavél Uma pequena ação produz um grande efeito Em todos os três casos a bola está em equilíbrio na posição 1 Para examinar a estabilidade associada a cada superfície a bola deve ser deslocada uma distância infinitesimal dx para qualquer lado da posição 1 Carga crítica é o valor da carga no qual a barra passa de uma forma reta de equilíbrio estável 𝛿 0 par uma forma não reta de equilíbrio estável 𝛿 0 Definições e conceitos básicos de estabilidade Métodos da Energia 10 Reconsiderese a posição deslocada da barra Devido a rotação da barra a força P se desloca na vertical de um valor igual a 𝐿 𝐿𝑐𝑜𝑠𝜃 Portanto podese aproximar o trabalho realizado pela força P ΔW PL1 cos𝜃 Após a expansão em série de Taylor da função cosseno ΔW PL 1 1 𝜃2 2 1 2 𝑃𝐿𝜃² Para pequenos deslocamentos a energia de deformação da mola é ΔU 1 2 𝑘𝐿𝜃² Se ΔU Δ𝑊 o sistema e estável Isto e o trabalho realizado e insuficiente para produzir um deslocamento crescente com a forca aplicada Porém se ΔU Δ𝑊 a barra se torna instável porque agora o valor do trabalho e suficiente para provocar um deslocamento que aumenta após uma perturbação lateral A transição de uma configuração estável para uma configuração instável ocorre quando ΔU Δ𝑊 ou Pcr 𝑘𝐿 como anteriormente 𝑃 𝜃 𝛿 𝑅𝑉 𝑃 𝑀 𝑘𝐿𝛿 Flambagem de colunas com apoios nas extremidades A estabilidade de colunas reais será examinada analisando uma coluna longa e esbelta com apoios pinos nas extremidades 11 A coluna é carregada por uma carga compressiva P que passa pelo centroide da seção transversal nas extremidades Os pinos dos apoios em cada extremidade são lisos sem atrito e a carga é aplicada à coluna pelos pinos Os pinos dos apoios em cada extremidade são lisos sem atrito e a carga é aplicada à coluna pelos pinos A coluna em si é perfeitamente reta e feita de um material linearmente elástico que obedece à Lei de Hooke Por ser admitido que a coluna não possua imperfeições ela é denominada coluna ideal Equação diferencial para a flambagem da coluna 12 𝑀𝐴 𝑀 𝑃𝑦 0 𝑀 𝑃𝑦 Da relação momentocurvatura admitindose pequenos deslocamentos temos 𝑀 𝐸𝐼 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 Substituindo a equação 1 na equação 2 temos 𝐸𝐼 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑃𝑦 0 Essa é a equação diferencial que governa a configuração deformada de uma coluna ideal apoiada por apoios pinos ou rótulas nas extremidades Essa equação é uma equação diferencial ordinária e homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e que tem como condições de contorno 𝑦 0 0 e 𝑦 𝐿 0 Solução da equação diferencial 13 O objetivo desta análise é determinar a carga mínima P para a qual ocorrem deflexões laterais na coluna portanto a menor carga P que causa flambagem ocorre para 𝑛 1 uma vez que ela fornece o valor mínimo de P para uma solução não trivial Essa carga é chamada carga crítica de flambagem 𝑃𝑐𝑟 para uma coluna com apoios pinos nas extremidades 𝑃𝑐𝑟 𝜋2𝐸𝐼 𝐿2 A carga crítica para uma coluna ideal é conhecida como carga de flambagem de Euler em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler 17071783 que publicou a primeira solução para a flambagem de colunas longas e esbeltas em 1757 Solução da equação diferencial Modos de Flambagem 14 A configuração deformada da coluna sob flambagem pode ser descrita pela equação 𝑦 𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 𝐶1𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋 𝐿 𝑥 𝑛 1 2 3 Uma coluna ideal sujeita a uma carga axial de compressão P é mostrada na Figura a A configuração deformada da coluna sob flambagem correspondente à carga de flambagem de Euler é mostrada na Figura b A configuração deformada é chamada modo de vibração e a configuração de flambagem correspondente a 𝑛 1 é chamada primeiro modo de flambagem Figura b A carga crítica e o modo de vibração para o segundo modo de flambagem estão ilustrados na c A carga crítica para o segundo modo é quatro vezes maior do que a carga crítica do primeiro modo Entretanto as configurações de flambagem para os modos maiores não apresentam interesse prático uma vez que a coluna flamba depois de alcançar seu menor valor de carga crítica Os modos de flambagem maiores só podem ser conseguidos fornecendo restrições laterais à coluna em locais intermediários para evitar a flambagem da coluna no primeiro modo L Exemplo Uma barra de alumínio retangular de 15 mm por 25 mm é usada como elemento estrutural longo comprimido As extremidades do elemento estrutural comprimido são apoiadas Determine o índice de esbeltez e a carga de flambagem de Euler para o elemento estrutural comprimido Admita E 70 GPa 15 Construção básica do Círculo 8 Vários pontos no círculo de Mohr são de particular interesse As tensões principais são os valores extremos da tensão normal que existe em um corpo submetido a tensões dado o conjunto específico de tensões 𝜎𝑥 𝜎𝑦 e 𝜏𝑥𝑦 que agem nas direções x e y Do círculo de Mohr os valores extremos de 𝜎 são observados ocorrerem nos dois pontos onde o círculo cruza o eixo 𝜎 O ponto mais positivo do ponto de vista algébrico é 𝜎𝑝1 e o ponto mais negativo é 𝜎𝑝2 9 A geometria do círculo de Mohr pode ser usada para determinar a orientação dos planos principais Da geometria do círculo pode ser determinado o ângulo entre o ponto x e um dos pontos de tensão principal O ângulo entre o ponto x e um dos pontos de tensão principal no círculo é 2𝜃𝑝 Além do valor absoluto de 2𝜃𝑝 o sentido do ângulo ou no sentido dos ponteiros do relógio ou no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio pode ser determinado por inspeção por meio do círculo A rotação de 2𝜃𝑝 do ponto x para o ponto de tensão principal deve ser determinada 16 Construção básica do Círculo 10 Dois outros pontos interessantes no círculo de Mohr são os valores extremos de tensões cisalhantes Os valores absolutos das maiores tensões cisalhantes ocorrerão em pontos localizados no topo e na base do círculo Como o centro C do círculo está sempre localizado no eixo 𝜎 o maior valor possível de 𝜏 é simplesmente o raio do círculo R 11 Observe que o ângulo entre os pontos de tensão principal e os pontos de tensão cisalhante máxima no círculo de Mohr é 90 Como os ângulos no círculo de Mohr estão duplicados o ângulo real entre os planos principais e os planos das tensões cisalhantes máximas é sempre de 45 17 Exemplo As tensões mostradas agem em um ponto da superfície livre de um corpo submetido a tensões a Determine as tensões principais e a tensão cisalhante máxima no plano que agem no ponto b Mostre essas tensões em um desenho adequado c Determine as tensões normais 𝜎𝑥 𝜎𝑦 e a tensão cisalhante que agem no paralelepípedo elementar inclinado 18 σmax σmin z θ1 θ2 x y Equações gerais para transformação de deformações 20 𝑥 𝑧 𝑦 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 original 𝛾𝑥𝑦 𝑦 𝑥 1 1 𝜀𝑦 𝜀𝑥 𝜀𝑥 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝛾𝑥𝑦 2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝜀𝑥 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝛾𝑥𝑦 2 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝛾𝑥𝑦 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝛾𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠2𝜃 Roseta de Deformações 21 𝜀𝑎 𝜀𝑥 cos2 𝜃𝑎 𝜀𝑦𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑎 𝛾𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃𝑎 𝜀𝑏 𝜀𝑥 cos2 𝜃𝑏 𝜀𝑦𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑏 𝛾𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃𝑏 𝜀𝑐 𝜀𝑥 cos2 𝜃𝑐 𝜀𝑦𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑐 𝛾𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐 22