Lista 2 - Estatística para Engenharia Civil 2022 1

Universidade Federal de Minas Gerais Disciplina: Estatística e Probabilidade (EST031/TM3) – 1º/2022 Lista 2 1. Seja X uma V.A contínua, que representa o tempo necessário para a pintura de um automóvel, em horas, com função densidade de probabilidade dada por: Determine: a) Probabilidade de gastar menos de meia hora para a pintura? b) A probabilidade de que o tempo gasto se situe entre ½ e ¾ de hora? c) O tempo médio e o desvio padrão, gasto na pintura da peça? d) Determine a FDA de X. e) Considere A FDA do item (d), obtenha: P(X < 1) 2. O tempo requerido para se completar uma reação química segue uma distribuição uniforme no intervalo de 30 a 40 minutos, determine: a) A probabilidade de uma reação requerer: a. Mais de 37 minutos para ser completada. b. De 34 a 36 minutos. c. Exatamente 34 minutos. d. 34 minutos com uma margem de erro igual a 30s para mais ou para menos. b) Sabendo que 25% das vezes, o tempo da reação é, no máximo k segundos, determine o valor de k. c) Qual é a média e a variância do tempo de reação química? 3. Baseando-se nas distribuições: Poisson, Bernoulli, Binomial e Geométrica, responda os itens abaixo: a) Qual é a diferença entre as distribuições de Poisson e Binomial? b) Qual é a diferença entre as distribuições Bernoulli e Geométrica? c) Dê pelo menos 2 exemplos de quando podemos aplicar a distribuição de Poisson. d) Dê pelo menos 2 exemplos de quando podemos aplicar a distribuição de Binomial. 4. Um time X tem 2/3 de probabilidade de vitória sempre que joga. Se X jogar 5 partidas, calcule a probabilidade de: a) X vencer exatamente 3 partidas; b) X vencer ao menos uma partida; c) X vencer mais da metade das partidas; d) X perder todas as partidas 5. Considere um experimento que consiste em contar o número de partículas alfa emitidas, num intervalo de tempo, de um segundo. Sabe-se por experiências passadas que, em média, 3 de tais partículas são emitidas por segundo. Determine a probabilidade de que não mais de duas partículas alfa sejam emitidas em um quarto de segundo? 6. Quando é feita amostragem de população finita sem reposição, a distribuição binomial não pode ser usada porque os eventos não são independentes. Daí então a distribuição hipergeométrica é usada. Esta é dada por: a) Dê o significado dos vários símbolos na formula acima. b) Usando a formula, determine a probabilidade de extrair 2 homens numa amostra de 6 selecionada aleatoriamente sem reposição de um grupo de 10 pessoas, 5 das quais são homens. c) Qual resultado teria sido se tivéssemos (incorretamente) usado à distribuição binomial? 7. Um rapaz está numa festa e sabe que a probabilidade de uma menina aceitar um convite para dançar é 0,2, então responda: a) Quantas recusas ele espera receber antes de conseguir uma parceira de dança? b) Quantas vezes o rapaz precisa convidar, no mínimo, para garantir que a probabilidade de uma parceira o aceitar seja pelo menos 0,70. 8. Certo tipo de fusível tem duração de vida que segue uma distribuição exponencial com tempo médio de vida de 100 horas. Também se sabe que cada peça tem um custo de 10,0 unidades monetárias (u.m) e se durar menos de 200 horas, existe um custo adicional de 8,0 u.m.: a) Qual é a probabilidade de durar mais de 150 horas? b) Qual é a probabilidade de durar entre 80 e 190 horas? c) Qual o preço justo a pagar por cada fusível? 9. Estudos meteorológicos indicam que a precipitação pluviométrica mensal em períodos de seca numa certa região pode ser considerada como seguindo a distribuição Normal de média 30 e variância 16 . a) Qual a probabilidade de que a precipitação pluviométrica mensal no período da seca esteja entre 24 e 38 ? b) Qual seria o valor da precipitação pluviométrica de modo que exista apenas 10% de chance de haver uma precipitação inferior a esse valor? c) Construa um intervalo central em torno da média que contenha 80% dos possíveis valores de precipitação pluviométrica. 10. A resistência de vigas de madeira utilizadas na construção está sendo estudada. O fornecedor atesta que, em média, cada viga resiste a 3 toneladas com desvio padrão de aproximadamente 2 toneladas. Vinte dessas vigas serão sorteadas para serem utilizadas em uma obra. Considerando que é verdadeira a informação do fornecedor e supondo que o modelo Normal é adequado, pergunta-se: a) qual é a probabilidade de uma dessas vigas suportar menos que 1 tonelada? b) qual a probabilidade de as 20 vigas suportarem, em média, pelo menos 2,5 toneladas? c) qual a probabilidade em (b), considerando agora 40 vigas e sem fazer a suposição de normalidade para os dados? 11. Supõe-se que o consumo mensal de água por residência em um certo bairro paulistano tem distribuição Normal com média 10 e desvio padrão 2(em m3). Para uma amostra de 25 dessas residências, qual é a probabilidade de a média amostral não se afastar da verdadeira média por mais de 1 m3? 12. Um fabricante afirma que sua vacina contra a gripe imuniza em 80% dos casos. Uma amostra de 25 indivíduos que tomaram a vacina foi sorteada e testes foram feitos para verificar a imunização ou não desses indivíduos. Se o fabricante estiver correto, qual é a probabilidade da proporção de imunizados na amostra ser a) inferior à 0,75? b) superior à 0,85? 13. Uma empresa recebe certo componente em grandes lotes. Sabendo-se que o fornecedor envia lotes com 10% de peças defeituosas, qual é a probabilidade de uma amostra com 100 itens, a proporção defeituosa seja a) 17% ou mais ? b) entre 9,5% e 10% ? c) menor que 8% ? d) maior que 9 %? 14. Suponha que os pesos de artigos produzidos por uma máquina têm distribuição normal com média e variância 25 gr. Se escolhe ao acaso 16 artigos, calcular: a) P(S2 > 32,185) b) O valor de k tal que P(S2 < k) = 0,5 Se o tempo médio de vida é 100 horas, temos que λ = 1/100 = 0,01 Seja X: tempo de vida de certo tipo de fusível a) 𝑃(𝑋 > 150) = 1 − 𝑃(𝑋 < 150) = 1 − (1 − e−0,01∙150) = 0,2231 b) 𝑃(80 < 𝑋 < 190) = 𝑃(𝑋 < 190) − 𝑃(𝑋 < 80) = (1-e−0,01∙190) − (1-e−0,01∙80) = 0,8504 − 0,5507 = 0,2997 c) 𝑃(𝑋 < 200) = (1 − e−0,01∙200) = 0,8647 Logo o preço justo será de 10 + 0,8647 ∙ 8 ≅ 16,92 u. m. X: precipitação pluviométrica mensal em períodos de seca numa certa região X~N(30; 16) a) 𝑃(24 < 𝑋 < 38) = 𝑃 (24-30 √16 < Z < 38-30 √16 ) = 𝑃(−1,50 < 𝑍 < 2) = 𝑃(𝑍 < 2) − 𝑃(𝑍 < −1,50) = 𝑃(𝑍 < 2) − [1 − 𝑃(𝑍 < 1,50)] = 0,9772 − (1 − 0,9332) = 0,9104 b) Pela Tabela Z temos: P(Z < 1,28) = 0,90 Logo: P(Z > 1,28) = 0,10 Por simetria: P(Z < -1,28) = 0,10 Temos ainda que: z = x-𝜇 √𝜎² Dessa forma: -1,28 = x-30 √16 , logo x = 24,88 mm c) Se o intervalo é centrado na média e tem 80%, teremos 10% em cada um dos extremos. Temos que: P(Z > 1,28) = 0,10 E que: P(Z < -1,28) = 0,10 Logo: 1,28 = x-30 √16 , logo x = 35,12 mm -1,28 = x-30 √16 , logo x = 24,88 mm Dessa forma, o intervalo em torno da média que contém 80% das precipitações é 24,88mm a 35,12mm. X: resistência de vigas de madeira X~N(3; 2²) a) 𝑃(X < 1) = 𝑃 (Z < 1-3 2 ) = 𝑃(𝑍 < −1) = 1 − 𝑃(𝑍 < 1) = 1 − 0,8413 = 0,1587 b) 𝑃(X̅ ≥ 2,5) = 𝑃 (Z > 2,5-3 2/√20 ) ≅ 𝑃(𝑍 > −1,12) = 𝑃(𝑍 < 1,12) = 0,8686 c) Como agora a amostra é suficientemente grande (n ≥ 30), podemos evocar o Teorema Central do Limite que garante que a distribuição das médias amostrais terá distribuição normal, independente da distribuição original, quando a amostra é suficientemente grande. Logo: 𝑃(X̅ ≥ 2,5) = 𝑃 (Z > 2,5-3 2/√40 ) ≅ 𝑃(𝑍 > −1,58) = 𝑃(𝑍 < 1,58) = 0,9429