Trabalho - Estatística para Engenharia Civil - 2023-2

TRABALHO DE ESTATÍSTICA 1) O gerente de logística de uma companhia afirma que dois em cada sete produtos sofrem algum tipo de problema na embalagem. Ao selecionar aleatoriamente quinze produtos, determinar a probabilidade de que: a) Todos apresentem algum defeito na embalagem b) No máximo cinco produtos apresentem algum problema na embalagem c) Pelo menos 10 produtos apresentem algum problema na embalagem d) De cinco a oito produtos apresentem algum problema na embalagem 2) As atividades de investimentos dos assinantes de um jornal mostram que o número médio de transações com valores por ano é 15. Considere que um investidor particular faça transações a essa taxa. Determine: a) Qual é o número médio de transações por mês? b) Qual é a probabilidade de nenhuma transação com ações em um mês? c) Qual é a probabilidade de exatamente uma transação com ações em um mês? d) Qual é a probabilidade de mais de uma transação com ações em um mês? 3) As despesas médias mensais com alimentação em uma família de quatro pessoas numa cidade grande giram em torno de $420 com um desvio padrão de $80. Supondo que despesas mensais com alimentação são distribuídas normalmente, a) Que percentagem dessas despesas é menor que $350? b) Que percentagem dessas despesas está entre $250 e $350? c) Que percentagem dessas despesas está entre $250 e $450? d) Que percentagem dessas despesas é menor que $250? e) Que percentagem dessas despesas está entre $200 e $300? 4) O processo de embalagem de um determinado produto segue uma distribuição normal de probabilidade. Sabe-se que o peso médio de embalagem é de 500 gramas, com desvio padrão de 5 gramas. a) Qual é a porcentagem de embalagens que tem peso superior a 520 gramas? b) Qual é o peso correspondente a 75% das embalagens ou mais? 5) Em uma remessa de 15 discos rígidos, 5 são defeituosos. Se 4 dos discos rígidos forem inspecionados: a) Qual a probabilidade de que exatamente 1 seja defeituoso? b) Qual a probabilidade de que no máximo 2 sejam defeituosos? 6) O maior número de reclamações dos proprietários de automóveis com dois anos de uso se refere ao desempenho do sistema elétrico. Considere que um questionário anual, enviado aos proprietários de mais de 300 marcas e modelos de automóveis, revelou que 10% dos proprietários de automóveis com dois anos de uso encontraram pontos com problemas no sistema elétrico. Qual é a probabilidade de que em uma amostra de 12 proprietários de automóveis com dois anos de uso encontrará: a) Exatamente dois proprietários com problemas no sistema elétrico? b) Pelo menos dois proprietários com problemas no sistema elétrico? 7) Uma pesquisa revelou que 25% dos contadores estão empregados na contabilidade pública. Considere que aleatoriamente selecionemos 15 graduados de faculdade que acabaram de entrar na profissão de contador. Qual é a probabilidade de que pelo menos três deles serão empregados na contabilidade pública? 8) Cinco por cento dos motoristas de caminhões são mulheres. Suponha que 10 motoristas de caminhões são selecionados aleatoriamente para serem entrevistados sobre a qualidade das condições de trabalho. Qual é a probabilidade de que: a) Dois motoristas sejam mulheres? b) Nenhum seja mulher? c) Pelo menos um será mulher? 9) Um a cada 5000 peças produzidas pela empresa A foram descartadas por defeito. Para uma amostra aleatória de 2000 peças determinar a probabilidade de que encontre: a) 2 peças defeituosas b) 5 peças defeituosas c) 10 peças defeituosas 10) Os clientes do escritório de contabilidade A chegam a cada 10 minutos no período da manhã. Calcular a probabilidade de que cheguem: a) 2 clientes em 2 minutos b) 5 clientes em 20 minutos 11) Do total de 40 relatórios na pasta A, 20 são referentes a processos anteriores a 2000, 10 processos referentes ao período 2001 a 2010 e os demais são posteriores a 2011. Um técnico retirou aleatoriamente 15 processos da pasta para inspeção. Determinar a probabilidade de que encontre: a) 8 processos referentes ao período 2001 a 2010 e os demais são posteriores a 2011 b) 5 processos referentes ao período anterior a 2000, 5 referentes ao período de 2001 a 2010 e 5 posteriores a 2011. 12) Os tempos de elaboração de um projeto seguem uma distribuição aproximadamente normal com média de 10 dias e desvio padrão de 3 dias. Determinar: a) o percentual de projetos elaborados em menos de 5 dias b) o percentual de projetos elaborados em mais de 20 dias c) o número de dias em que são elaborados no máximo 45% dos projetos. LISTA DE EXERCICIOS ESTATISTICA O gerente de logistica de uma companhia afirma que dois em cada sete produtos sofrem algum tipo de problema na embalagem. Ao selecionar aleatoriamente quinze produtos, determinar a probabilidade de que: a. Todos apresentem algum defeito na embalagem b. No maximo cinco produtos apresentem algum problema na embalagem c. Pelo menos 10 produtos apresentem algum problema na embalagem d. De cinco a oito produtos apresentem algum problema na embalagem Solucao. Seja X a varidvel aleatoria que representa o numero de produtos que apresentam algum problema na embalagem. Como o gerente afirma que dois em cada sete produtos apresentam algum problema na embalagem. ; ; 2 X ~ Binomial (1, ‘| a. A probabilidade de que todos os produtos apresentem algum problema na embalagem é: 15) (2\" (5\° P(X =15)= =} {=| ~6.9-10° west =(15)(5) (5) <2 Logo, a probabilidade de que todos os produtos apresentem algum problema na embalagem é quase nula. b. A probabilidade de que no maximo cinco produtos apresentem algum problema na embalagem é: P(X <5) =P(X =0)+ P(X = 1) 4+ P(X =2) + P(X =3) 4+ P(X =4) + P(X =5) 15) (2\° (5\" P(X =0)= -}| |=] ~ 0.0064 ax=0=(5)(5) (5 15) (2\' (5\" P(X =1)= -}| |=] ~ 0.0386 == (7) (5 15) (2\* (5\" P(X =2)= -| |=] 70.1 x= 2)=[2)(5] (5) =0-080 15) (2\° (5\" P(X =3)= =] |=] 0.1872 =9=(3)(5] (5) <0 15) (2\" (5\" P(X =4)= =| [=] ~ 0.224 == (2)(5] (5) <0 15\ (2\° (5\" P(X =5)= -} |=] 0.1977 ar=sr=(3)(5] (5) <0 P(X < 5) = 0.0064 + 0.0386 + 0.1080 + 0.1872 + 0.2246 + 0.1977 = 0.7625 Logo, a probabilidade de que no maximo cinco produtos apresentem algum problema na embalagem é de aproximadamente 76.25%. c. A probabilidade de que pelo menos 10 produtos apresentem algum problema na embalagem é: P(X > 10) = P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) + P(X = 13) + P(X = 14) + P(X = 15) 15) (2\" (5\° P(X =10)= = -]} ~ 0.00202 x= 10 = (1) 5) (5) =900™ 15) (2\" (5\" P(X =11)= = -} ~0. 7 vest =(i) 5) (5) <0 15) (2\" (5\° P(X =12)= = =] ~0. (x = 12) (3) (] (=) 0.00005 15) (2) (5) P(X =13)= — -| x0. 4 ( 3) (3) (] (>) 0.00000 15) (2\" (5)' P(x =14)= = =} ~0. 2 ( ) (:) 5] (] 0.000000 15) (2\° (5\° P(X =15)= = —}| ~0. ( 5) (3) (=) (=) 0.000000006 P(X = 10) = 0.00202 +0.00037 +0.00005 + 0.000004 + 0.0000002 + 0.000000006 = 0.00245 Logo, a probabilidade de que pelo menos 10 produtos apresentem algum problema na embalagem é de aproximadamente 0.245%. d. A probabilidade de que de cinco a oito produtos apresentem algum problema na embalagem é: P(5 < X < 8) = P(X =5)+ P(X = 6) + P(X =7)+ P(X =8) 15) (2\° (5\"° P(X =5)= -] |=] 0.1977 a=9=(3)(5) (5) =0% 15) (2\° (5\° P(X =6)= =} |=] ~ 0.131 vx=or= (6) 5] (5) <0" 15\ (2\' (5\" P(X =7) = =| |=] ~ 0.067 ux=n=(7)(5] {5} =20%" 15\ (2\° (5\' P(X =8)= -| |=] ~ 0.0271 ux==(3)(5) (5) =2° P(5 < X < 8) = 0.1977 + 0.1318 + 0.0678 + 0.0271 = 0.4244 Logo, a probabilidade de que de cinco a oito produtos apresentem algum problema na embalagem é de aproximadamente 42.44%. As atividades de investimentos dos assinantes de um jornal mostram que 0 numero médio de transagdes com valores por ano é 15. Considere que um investidor particular facga transagOes a essa taxa. Determine: a. Qual é o nimero médio de transagdes por més? b. Qual é a probabilidade de nenhuma transagao com agdes em um més? c. Qual é a probabilidade de exatamente uma transagaéo com agdes em um més? d. Qual é a probabilidade de mais de uma transagao com agdes em um més? Solucao. a. O numero médio de transacg6es por més é: 15 A= — =1.25 12 Logo, o número médio de transações por mês é de 1.25. b. Seja 𝑋 a variável aleatória que representa o número de transações com ações em um mês. 𝑋 ∼ Poisson(1.25) A probabilidade de nenhuma transação com ações em um mês é: 𝑃(𝑋 = 0) = 𝑒−1.25 · 1.250 0! ≈ 0.2865 Logo, a probabilidade de nenhuma transação com ações em um mês é de aproximadamente 28.65%. c. A probabilidade de exatamente uma transação com ações em um mês é: 𝑃(𝑋 = 1) = 𝑒−1.25 · 1.251 1! ≈ 0.3581 Logo, a probabilidade de exatamente uma transação com ações em um mês é de aproximada- mente 35.81%. d. A probabilidade de mais de uma transação com ações em um mês é: 𝑃(𝑋 > 1) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 1 − [𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1)] = 1 − [0.2865 − 0.3581] = 0.3554 Logo, a probabilidade de mais de uma transação com ações em um mês é de aproximadamente 35.54%. Exercício 3 As despesas médias mensais com alimentação em uma família de quatro pessoas numa cidade grande giram em torno de $420 com um desvio padrão de $80. Supondo que despesas mensais com alimentação são distribuídas normalmente, a. Que percentagem dessas despesas é menor que $350? b. Que percentagem dessas despesas está entre $250 e $350? c. Que percentagem dessas despesas está entre $250 e $450? d. Que percentagem dessas despesas é menor que $250? e. Que percentagem dessas despesas está entre $200 e $300? Solucao. Seja X a variavel aleatéria que representa as despesas mensais com alimentacéo em uma familia de quatro pessoas numa cidade grande. X ~ Normal(420, 6400) a. A percentagem de despesas menor que $350 é: 350 — 420 P(X < 350) =P (z < a = P(Z < —0.88) = 0.1894 Logo, a percentagem de despesas menor que $350 é de aproximadamente 18.94%. b. A percentagem de despesas entre $250 e $350 é: 250 — 420 350 — 420 P(250 < X < 350) = P| ———— <Z < ———|= ( <X< ) ( 30 <Z< 30 = P(-2.13 < Z < —0.88) = P(Z < —0.88) — P(Z < —2.13) = 0.1894 — 0.0166 = 0.1728 Logo, a percentagem de despesas entre $250 e $350 é de aproximadamente 17.28%. c. A percentagem de despesas entre $250 e $450 é: 250 — 420 450 — 420 P(250 < X < 450) = P | ———— <Z < ———— |= ( <X< ) ( 30 <Z< 30 = P(-2.13 < Z < 0.38) = P(Z < 0.38) — P(Z < —2.13) = 0.6480 — 0.0166 = 0.6314 Logo, a percentagem de despesas entre $250 e $450 é de aproximadamente 63.14%. d. A percentagem de despesas menor que $250 é: 250 — 420 P(X < 250) =P (z < ad = P(Z < —2.13) = 0.0166 Logo, a percentagem de despesas menor que $250 é de aproximadamente 1.66%. e. A percentagem de despesas entre $200 e $300 é: 200 — 420 300 — 420 P(200 < X < 300) = P | ———— <Z < ——— |= ( <X< ) ( 30 <Z< 30 = P(-2.75 < Z < -1.50) = P(Z < -1.50) — P(Z < —2.75) = 0.0668 — 0.0030 = 0.0638 Logo, a percentagem de despesas entre $200 e $300 é de aproximadamente 6.38%. O processo de embalagem de um determinado produto segue uma distribui¢ao normal de probabilidade. Sabe-se que 0 peso médio de embalagem é de 500 gramas, com desvio padrao de 5 gramas. a. Qual é a porcentagem de embalagens que tem peso superior a 520 gramas? ; b. Qual € 0 peso correspondente a 75% das embalagens ou mais? . Solucao. Seja X a variavel aleatoria que representa 0 peso de embalagem de um determinado produto. X ~ Normal(500, 25) a. A porcentagem de embalagens que tem peso superior a 520 gramas é: 20 — P(X > 520) = P(z > ad =P(Z>4)=1-P(Z < 4) = 1-0.9999 = 0.0001 Logo, a porcentagem de embalagens que tem peso superior a 520 gramas é de aproximadamente 0.01%. b. O peso correspondente a 75% das embalagens ou mais é: P(X >a) =1- PX <a) =1-P(Z< ad =0.75 => — 500 — 500 = P (z < aad = 0.25 > —— = ~0.675 = x = 496.625 Logo, 0 peso correspondente a 75% das embalagens ou mais é de aproximadamente 496.625 gramas. Em uma remessa de 15 discos rigidos, 5 sao defeituosos. Se 4 dos discos rigidos forem inspecionados: a. Qual e’a probabilidade de que exatamente | seja defeituoso? ; b. Qual é a probabilidade de que no maximo 2 sejam defeituosos? Solucao. Seja X a variavel aleat6ria que representa o numero de discos rigidos defeituosos em uma remessa de 15 discos rigidos. ; ; 1 X ~ Binomial (4, ;] a. A probabilidade de que exatamente | seja defeituoso é: 4\ (1\' (2\° P(X =1)= =} |=] ~ 0.3951 wen=()() (3 Logo, a probabilidade de que exatamente | seja defeituoso é de aproximadamente 39.51%. b. A probabilidade de que no maximo 2 sejam defeituosos é: P(X < 2) = P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2) 4\ (1\" (2\" P(X =0)= =} |=] ~ 0.1975 w=o=()(3) (3 P(X = 1) = 0.3951 4\ (1\" (2\° P(X =2)= =} |=] ~ 0.2963 wear G)(5) (3 P(X < 2) = 0.1975 + 0.3951 + 0.2963 = 0.8889 Logo, a probabilidade de que no maximo 2 sejam defeituosos é de aproximadamente 88.89%. O maior numero de reclamagées dos proprietarios de automéveis com dois anos de uso se refere ao desempenho do sistema elétrico. Considere que um question4rio anual, enviado aos proprietarios de mais de 300 marcas e modelos de automéveis, revelou que 10% dos proprietarios de automéveis com dois anos de uso encontraram pontos com problemas no sistema elétrico. Qual é a probabilidade de que em uma amostra de 12 proprietarios de autom6veis com dois anos de uso encontrara: a. Exatamente dois proprietarios com problemas no sistema elétrico? ; b. Pelo menos dois proprietarios com problemas no sistema elétrico? Solucao. Seja X a variavel aleat6ria que representa o nimero de proprietarios de automd6veis com dois anos de uso encontraram pontos com problemas no sistema elétrico em uma amostra de 12 proprietarios de automdveis com dois anos de uso. X ~ Binomial (12, 0.1) a. A probabilidade de que exatamente dois proprietarios com problemas no sistema elétrico é: 12 P(X =2)= ( 5 (0.1)? (0.9)'° = 0.2301 Logo, a probabilidade de que exatamente dois proprietarios com problemas no sistema elétrico é de aproximadamente 23.01%. b. A probabilidade de que pelo menos dois proprietarios com problemas no sistema elétrico é: P(X > 2) =1-P(X < 2) =1- [P(X =0)+ P(X = 1)] _p _ {2 0 12 P(X =0)= 0 (0.1)° (0.9)'* = 0.2824 _y_{ 1 Ho P(X =1)= 1 (0.1) (0.9) = 0.3766 P(X => 2) = 1 -— [0.2824 + 0.3766] = 0.3410 Logo, a probabilidade de que pelo menos dois proprietarios com problemas no sistema elétrico é de aproximadamente 34.10%. Uma pesquisa revelou que 25% dos contadores estao empregados na contabilidade publica. Considere que aleatoriamente selecionemos 15 graduados de faculdade que acabaram de entrar na profissao de contador. Qual é a probabilidade de que pelo menos ; trés deles serao empregados na contabilidade publica? Solucao. Seja X a variavel aleatoria que representa o numero de graduados de faculdade que acabaram de entrar na profissao de contador empregados na contabilidade ptblica em uma amostra de 15 graduados de faculdade que acabaram de entrar na profissao de contador. X ~ Binomial (15, 0.25) A probabilidade de que pelo menos trés deles serao empregados na contabilidade publica é: P(X > 3) =1- P(X <3) =1-[P(X =0)+ P(X = 1) + P(X = 2)] 15 P(X =0)= ( F (0.25)° (0.75)'° = 0.0134 15 P(X =1)= ( i (0.25)! (0.75)'* = 0.0668 15 P(X =2)= ( 5 (0.25) (0.75)'* = 0.1560 P(X => 3) = 1- [0.0134 + 0.0668 + 0.1560] = 0.7638 Logo, a probabilidade de que pelo menos trés deles serao empregados na contabilidade ptiblica é de aproximadamente 76.38%. Cinco por cento dos motoristas de caminhdes sAo mulheres. Suponha que 10 motoristas de caminh6es sao selecionados aleatoriamente para serem entrevistados sobre a qualidade das condigées de trabalho. Qual é a probabilidade de que: a. Dois motoristas sejam mulheres? b. Nenhum seja mulher? c. Pelo menos um sera mulher? . Solucao. Seja X a variavel aleatéria que representa o nimero de motoristas de caminhdes mulheres em uma amostra de 10 motoristas de caminhGes. X ~ Binomial (10, 0.05) a. A probabilidade de que dois motoristas sejam mulheres é: 10 P(X =2)= ( 5 (0.05)” (0.95)* = 0.0746 Logo, a probabilidade de que dois motoristas sejam mulheres é de aproximadamente 7.46%. b. A probabilidade de que nenhum seja mulher é: 10 P(X =0) = ( 0 (0.05)° (0.95) '° = 0.5987 Logo, a probabilidade de que nenhum seja mulher é de aproximadamente 59.87%. c. A probabilidade de que pelo menos um sera mulher é: P(X > 1)=1- P(X < 1) =1- P(X =0) = 1 — 0.5987 = 0.4013 Logo, a probabilidade de que pelo menos um sera mulher é de aproximadamente 40.13%. Um a cada 5000 pecas produzidas pela empresa A foram descartadas por defeito. Para uma amostra aleatéria de 2000 pecas determinar a probabilidade de que encontre: a. 2 pecas defeituosas b. 5 pecas defeituosas ; c. 10 pecas defeituosas Solucao. Seja X a varidvel aleatoria que representa o nimero de pegas defeituosas em uma amostra aleatéria de 2000 pegas. 1 X ~ Bi ial | 2000, —— inomia ( =ao0) a. A probabilidade de que 2 pecas defeituosas é: 2000\ ( 1 \° (4999\"" P(X =2)= —— |} |—— =~ 0.0536 ( ) ( 2 (=a) (Fa) Logo, a probabilidade de que 2 pecas defeituosas é de aproximadamente 5.36%. b. A probabilidade de que 5 pec¢as defeituosas é: 2000\ ( 1 \° (4999\""° P(X =5)= —— |} |—— = 0. 7 v= 5)= 7% (ch) (22) <oe Logo, a probabilidade de que 5 pecas defeituosas é de aproximadamente 0.0057%. c. A probabilidade de que 10 pegas defeituosas é: 2000\ ( 1 \'° (4999\"" P(X = 10) = ——]} |=—] #1.9-10" ( ) ( 10 (=) fra Logo, a probabilidade de que 10 pecas defeituosas é de aproximadamente (1.9 - 10~°) %. Os clientes do escrit6rio de contabilidade A chegam a cada 10 minutos no periodo da manha. Calcular a probabilidade de que cheguem: a. 2 clientes em 2 minutos b. 5 clientes em 20 minutos Solucao. Seja X a variavel aleatoria que representa o numero de clientes que chegam em um periodo de 2 minutos. a. A probabilidade de que 2 clientes cheguem em 2 minutos é: X ~ Poisson(0.2) “8? 0,2? P(X =2) = —— ~ 0.0164 Logo, a probabilidade de que 2 clientes cheguem em 2 minutos é de aproximadamente 1.64%. b. A probabilidade de que 5 clientes cheguem em 20 minutos é: X ~ Poisson(2) —2, 2 P(X =5) = —<—— ~ 0.0361 Logo, a probabilidade de que 5 clientes cheguem em 20 minutos é de aproximadamente 3.61%. Do total de 40 relatérios na pasta A, 20 sao referentes a processos anteriores a 2000, 10 processos referentes ao perfodo 2001 a 2010 e os demais sao posteriores a 2011. Um técnico retirou aleatoriamente 15 processos da pasta para inspe¢ao. Determinar a probabilidade de que encontre: a. 8 processos referentes ao periodo 2001 a 2010 e os demais sao posteriores a 2011 b. 5 processos referentes ao periodo anterior a 2000, 5 referentes ao periodo de 2001 a ; 2010 e 5 posteriores a 2011. . Solucao. Seja X a variavel aleatoria que representa 0 numero de processos anteriores a 2000, Y a variavel aleatoria que representa o nimero de processos referentes ao periodo 2001 a 2010 e Z a variavel aleatoOria que representa o nimero de processos posteriores a 2011 em uma amostra de 15 processos. ; ; 1 X ~ Binomial (1, ;] ; ; 1 Y ~ Binomial (1, i] ; ; 1 Z ~ Binomial (1, i] a. A probabilidade de que 8 processos referentes ao perfodo 2001 a 2010 e os demais sao posteriores a 2011 é: 15\ (1)° (3\" (15) (1\" (3) P Y = 8 . P Z = 7 = _ _ . — _— ~ OQ. rreay-vez=n=(3)(7} (2) (7) (a) (3) ~2oee Logo, a probabilidade de que 8 processos referentes ao periodo 2001 a 2010 e os demais sao posteriores a 2011 é de aproximadamente 0.05%. b. A probabilidade de que 5 processos referentes ao periodo anterior a 2000, 5 referentes ao periodo de 2001 a 2010 e 5 posteriores a 2011 é: 15\ (1)? (1)" (15) (1)? (3\" (15) (1 (3) P(X =5)-P(Y =5)-P(Z =5) = ~}| {|x| - —} |-] - —} {—] 0.0025 uxesyror= seizes) (1 ][3) (3) 5) (a) (3) (5) (a) (a Logo, a probabilidade de que 5 processos referentes ao periodo anterior a 2000, 5 referentes ao periodo de 2001 a 2010 e 5 posteriores a 2011 é de aproximadamente 0.25%. Os tempos de elaboragao de um projeto seguem uma distribui¢aéo aproximadamente normal com média de 10 dias e desvio padrao de 3 dias. Determinar: a. 0 percentual de projetos elaborados em menos de 5 dias b. o percentual de projetos elaborados em mais de 20 dias c. o numero de dias em que sao elaborados no maximo 45% dos projetos. Solucao. Seja X a variavel aleatoria que representa o tempo de elaboracgao de um projeto. X ~ Normal(10, 9) a. O percentual de projetos elaborados em menos de 5 dias é: 5-10 P(X <5)=P(|Z< —=z_]= P(Z < -1.67) = 0.0475 Logo, o percentual de projetos elaborados em menos de 5 dias é de aproximadamente 4.75%. b. O percentual de projetos elaborados em mais de 20 dias é: 20 — 10 P(X > 20) =P|Z> — 3} = P(Z > 3.33) =1- P(Z < 3.33) = 1 — 0.9996 = 0.0004 Logo, o percentual de projetos elaborados em mais de 20 dias é de aproximadamente 0.04%. c. O nimero de dias em que sao elaborados no maximo 45% dos projetos é: - 10 — 10 P(X <x) =0.45 => P (z < —) =0.45 > —— = -—0.125 => x = 9.625 Logo, o nimero de dias em que sao elaborados no maximo 45% dos projetos é de aproximada- mente 9.625 dias.