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Comparando duas populações: amostras independentes Inferência Consumo de chocolate amargo e redução na pressão arterial* *Taubert, D. et al. (2007) Effects of Low Habitual Cocoa Intake on Blood Pressure and Bioactive Nitric Oxide: A Randomized Controlled Trial, JAMA, July 4, 2007—Vol 298, No. 1 44 adultos com hipertensão arterial leve Antes Depois 18 semanas Antes Depois 18 semanas Amostras Pareadas Amostras Pareadas Amostras independentes Chocolate amargo Chocolate branco Amostras independentes devem ser comparáveis…. No exemplo, isso significa que os grupos “chocolate amargo” e “chocolate branco” devem ser parecidos quanto a: idade peso sexo nível de colesterol pressão sanguínea inicial circunferência de quadril etc… variáveis que afetam a resposta: pressão sanguínea depois do experimento Tabela 2 do artigo (Taubert et al, 2007) μV ≠ μA σV=σA=σ Médias Populacionais (desconhecidas): μ1 e μ2 , μd = μ1 - μ2 Hipótese nula: H0: μ1 = μ2 H0: μd = 0 Suposição: as amostras dos Grupos 1 e 2 vêm de populações com distribuição Normal com desvios- padrão iguais. n1: tamanho da amostra no Grupo 1 n2: tamanho da amostra no Grupo 2 Comparação de duas médias Amostras Independentes Amostras Grupo 1 Grupo 2 Tamanho n1 n2 Média Desvio- Padrão s1 s2 s1 e s2 são estimativas do desvio-padrão comum σ x y Hipótese nula: H0: μd = 0 Hipótese alternativa: HA: μd ≠ 0 Comparação de duas médias Amostras Independentes 0 α/2 α/2 ( t gl; /2) ( ; t gl /2) Estatística de Teste: Valor P = 2P(Tgl >|Tobs |) 2 2 1 2 0 obs comb comb x y T s s n n ( ; /2) obs gl T t ou RR: ( ; /2) obs gl T t gl = n1 + n2 - 2 Supondo que as amostras dos Grupos 1 e 2 tenham vindo de populações com distribuição Normal e desvios-padrão iguais: s n s n s n n c o m b 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 ( ) ( ) Comparação de duas médias Amostras Independentes (𝝈𝟏 𝟐 = 𝝈𝟐 𝟐) Tabela 2 do artigo (Taubert et al, 2007) Valor P = P[T42 <-0.23] + P[T42 > 0.23] = 2 x P[T42 < -0.23] 2 2 2 2 2 (22 1)14 (22 1)15 22 22 2 14 15 = 421 2 scomb 189 190 -0.23 1 1 421 22 22 Tobs H0: μCA – μCB = 0 HA: μCA – μCB ≠ 0 Valor P = 2 x P[Z <-0.23]= 2 x 0.4090 = 0.8180 “Não foram encontradas evidências estatisticamente significantes contra a hipótese de que as taxas médias de colesterol total são iguais nos dois grupos de estudo (valor p = 0.8180)” Comparação de duas médias Amostras Independentes (𝝈𝟏 𝟐 ≠ 𝝈𝟐 𝟐) Estatística de Teste: 𝑻𝒐𝒃𝒔 = ഥ𝒙−ഥ𝒚 −𝟎 𝑺𝟏 𝟐 𝒏𝟏+ 𝑺𝟐 𝟐 𝒏𝟐 Supondo que as amostras dos Grupos 1 e 2 tenham vindo de populações com distribuição Normal e desvios-padrão diferentes: 𝑔𝑙 = 𝑺𝟏 𝟐 𝒏𝟏 + 𝑺𝟐 𝟐 𝒏𝟐 2 ൘ 𝑺𝟏 𝟐 𝒏𝟏 2 𝒏𝟏 − 1 + ൘ 𝑺𝟐 𝟐 𝒏𝟐 2 𝒏𝟐 − 1 ( ; /2) obs gl T t ou RR: ( ; /2) obs gl T t Valor P = 2P(Tgl >|Tobs |) Exemplo 2: Arsênio em Água Potável A concentração de arsênio em suprimentos públicos de água potável é um risco potencial de saúde. Um artigo no jornal Arizona Republic reportou as concentrações, em partes por bilhão (ppb), de arsênio em água potável para 10 comunidades metropolitanas de Fênix e 10 comunidades rurais de Arizona. Metropolitana Fênix: ҧ𝑥1 = 12,5; 𝑠1 = 7,63 Arizona Rural: ҧ𝑥2 = 27,5; 𝑠2 = 15,3 Deseja-se determinar se há alguma diferença nas concentrações médias de arsênio entre as comunidades metropolitana de Fênix e as comunidades rurais do Arizona 1/4 Exemplo 2: Arsênio em Água Potável H0: μ1 – μ2 = 0 HA: μ1 – μ2 ≠ 0 μ1 concentração média de arsênio para a região 1 (Fênix) μ2 concentração média de arsênio para a região 2 (Arizona) Dados amostrais: Estatística de teste ҧ𝑥 = 12,5; 𝑠1= 7,63; 𝑛1 = 10 ത𝑦 = 27,5; 𝑠2= 15,3; 𝑛2 = 10 : 𝑻𝒐𝒃𝒔 = 𝟏𝟐,𝟓−𝟐𝟕,𝟓 −𝟎 (𝟕,𝟔𝟑)𝟐 𝟏𝟎 +(𝟏𝟓,𝟑)𝟐 𝟏𝟎 = −2,77 𝑔𝑙 = 7,63 2 10 + 15,3 2 10 2 ൗ 7,63 2 10 2 9 + ൗ 15,3 2 10 2 9 = 13,2 ≃ 13 Exemplo 2: Arsênio em Água Potável Consideramos 𝛼 = 0,05. Valor P = P[T13 <-2,77] + P[T13 > 2,77] = 2 x P[T13 > 2,77] Na Tabela t, na linha com 13 g.l., temos que: P[T13 > 2,650]=0,01 P[T13 > 3,012]=0,005 Como 2,650 < 2,77 < 3,012 2.77 Exemplo 2: Arsênio em Água Potável 3/4 Então, 2 x P[T13 > 3,012] < 2 x P[T13 > 2,77] < 2 x P[T13 > 2,650] Ou seja, 2 x 0,05 < 2 x P[T13 > 2,77] < 2 x 0,01 0,01 < valor-p < 0,02 Resultado: Como o valor-p < 0,05, rejeitamos 𝐻0 ao n.s. de 5% Conclusão em termos do problema: Ao nível de 5% de significância, os dados desse estudo mostram evidências estatísticas a favor da hipótese de que há diferença nas concentrações médias de arsênio entre as comunidades metropolitana de Fênix e as comunidades rurais do Arizona” I C xyt snn n n c o m b 12 12 1 0 0 1 22212 11 () % ( ;/) () Intervalos de Confiança para diferença entre duas médias Amostras Independentes s n s n s n n c o m b 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 ( ) ( ) 𝐼𝐶𝜇1−𝜇2 100 1−𝛼 % = ҧ𝑥 − ത𝑦 ± 𝑡 𝑔.𝑙. ; ൗ 𝛼 2 . 𝑆1 2 𝑛1 + 𝑆2 2 𝑛2 𝑔𝑙 = 𝑺𝟏 𝟐 𝒏𝟏 + 𝑺𝟐 𝟐 𝒏𝟐 2 ൗ 𝑺𝟏 𝟐 𝒏𝟏 2 𝒏𝟏 − 1 + ൗ 𝑺𝟐 𝟐 𝒏𝟐 2 𝒏𝟐 − 1 Exemplo 2: Arsênio em Água Potável 2/4 Se 100(1-α)%=95%, então α=0.05 e 𝐼𝐶𝜇1−𝜇2 100 1−𝛼 % = ҧ𝑥 − ത𝑦 ± 𝑡 𝑔.𝑙. ; ൗ 𝛼 2 . 𝑆1 2 𝑛1 + 𝑆2 2 𝑛2 𝐼𝐶𝜇1−𝜇2 100 1−𝛼 % = 12,5 − 27,5 ± 𝑡 13 ;0,025 . (7,63)2 10 + (15,3)2 10 𝑡 13 ; 0,025 = 2,16 𝐼𝐶𝜇1−𝜇2 95% =[ -15 ± (2,16 x 5,41) ] 𝐼𝐶𝜇1−𝜇2 95% =[ -15 ± 11,69 ] = [ -26,69 ; -3,31 ] Usando Intervalos de Confiança para fazer Testes de Hipóteses Em estudo sobre os efeitos da suplementação de vitamina A, um grupo de crianças de 4 a 24 meses de idade, com sarampo e complicações (pneumonia e diarréia grave) foi dividido em dois grupos: um grupo recebeu vitamina A nas doses recomendadas pela OMS e outro grupo recebeu um placebo. Durante o acompanhamento, foram medidas as seguintes variáveis: PC – duração da pneumonia clínica (dias), DI – duração da diarréia (dias) e GP – ganho de peso após 6 semanas (g). H0: μA - μP = 0 HA: μA - μP ≠ 0 Média e desvio-padrão (entre parênteses) para três características dos grupos de Placebo e Vitamina A Placebo Vitamina A Intervalo de 99% de Confiança para (μA – μP) PC (dias) 4.50 (0.79) 4,10 (0.40) -0.82 a 0.02 DI (dias) 3.60 (0.35) 3.30 (0.71) -0.67 a 0.07 GP (g) 900 (140) 1150 (310) 70 a 430 (não rejeitar H0 a 1% de sig.) (não rejeitar H0 a 1% de sig.) (rejeitar H0 a 1% de sig.) Usando Intervalos de Confiança para fazer Testes de Hipóteses Comparação de duas proporções Amostras Independentes Deseja-se comparar as proporções de dois grupos: p1: valor populacional da proporção no Grupo 1 p2: valor populacional da proporção no Grupo 2 Amostras Grandes (n1 ≥ 30 e n2 ≥ 30) Amostras Grupo 1 Grupo 2 Tamanho n1 n2 N° de sucessos m1 m2 Proporção de sucessos p m n 1 1 1 p m n 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (1 ) (1 ) p p Z p p p p n n Comparação de duas proporções Amostras Independentes Hipótese nula: H0: p1 = p2 Estatística de teste: Se H0 for verdadeira, Z ~ Normal(0 ; 1) Exemplo 3: comparação de duas marcas de luvas quanto à permeabilidade a vírus A administração de um hospital deseja verificar se luvas de duas marcas (A e B) são homogêneas quanto à permeabilidade a vírus. Para isto, realizou um experimento, no qual 240 luvas da marca A e 240 luvas da marca B foram submetidas à tensão. Durante os testes, 151 luvas da marca A (62.9%), 134 luvas da marca B (55.8%) deixaram passar vírus quando submetidas à tensão. Ao nível de 5% de significância, os dados do experimento apresentam evidências estatísticas suficientes contra a hipótese de que as duas marcas possuem a mesma permeabilidade? 1/4 Exemplo 3: comparação de duas marcas de luvas quanto à permeabilidade a vírus 2/4 H0: pB – pA = 0 HA: pB – pA ≠ 0 pA é a proporção luvas da marca A que deixa passar vírus quando tensionada. Dados amostrais: Estatística de teste pB é a proporção luvas da marca B que deixa passar vírus quando tensionada. 151 ˆ 0.629 240 A p 134 ˆ 0.558 240 B p 0.558 0.629 0.558(1 0.558) 0.629(1 0.629) 240 240 Zobs -0.071 -1.58 0.045 Zobs Exemplo 3: comparação de duas marcas de luvas quanto à permeabilidade a vírus 3/4 -1.58 Zobs Valor P = P[Z < -1.58] + P[Z > 1.58] = 2 x P[Z < -1.58] = 2 x 0.0571 = 0.1141 0.0571 0.0571 -1.58 1.58 Exemplo 3: comparação de duas marcas de luvas quanto à permeabilidade a vírus 4/4 Conclusão em termos do problema: Ao nível de 5% de significância, os dados desse estudo não mostram evidências estatísticas suficientes contra a hipótese de que as duas marcas possuem a mesma permeabilidade (valor p = 0.1141). Intervalos de Confiança para diferença entre duas proporções Amostras independentes e grandes (n1 30 e n2 30) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 /2 100(1 )% ˆ ˆ ˆ ˆ (1 ) (1 ) ˆ ˆ ( ) p p p p p p IC p p z n n Exemplo 4: efeito do uso do cinto de segurança sobre a proporção de feridos graves em acidentes automobilísticos Um estudo com crianças hospitalizadas em conseqüência de acidentes com veículos teve o objetivo de estimar o efeito do uso do cinto de segurança na proporção de ferimentos graves. Entre 290 crianças que não estavam usando o cinto de segurança, 50 sofreram ferimentos graves. Entre 123 crianças que estavam usando cintos, 16 sofreram ferimentos graves. Com 95% de confiança, qual é a estimativa do efeito do uso do cinto de segurança na proporção de ferimentos graves? 1/3 Exemplo 4: efeito do uso do cinto de segurança sobre a proporção de feridos graves em acidentes automobilísticos 2/3 pSIM é a proporção de crianças que sofreram ferimentos graves dentre as que estavam usando cinto de segurança. pNAO é a proporção de crianças que sofreram ferimentos graves dentre as que não estavam usando cinto de segurança. Efeito do uso do cinto = (pSIM – pNAO) 0.025 95% ˆ ˆ ˆ ˆ (1 ) (1 ) ˆ ˆ ( ) 123 290 SIM SIM NAO NAO SIM NAO SIM NAO p p p p p p IC p p z Exemplo 4: efeito do uso do cinto de segurança sobre a proporção de feridos graves em acidentes automobilísticos 3/3 95% 0.130(1 0.130) 0.172(1 0.172) (0.130 0.172) 1.96 123 290 SIM NAO p p IC 95% -0.042 (1.96 0.038) -0.042 0.073 SIM NAO p p IC 95% -0.116 ; 0.031 SIM NAO p p IC Com 95% de confiança, o efeito do uso no cinto de segurança está entre reduzir em 11.6 pontos percentuais até aumentar 3.1 pontos percentuais na proporção de ferimentos graves.
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Comparando duas populações: amostras independentes Inferência Consumo de chocolate amargo e redução na pressão arterial* *Taubert, D. et al. (2007) Effects of Low Habitual Cocoa Intake on Blood Pressure and Bioactive Nitric Oxide: A Randomized Controlled Trial, JAMA, July 4, 2007—Vol 298, No. 1 44 adultos com hipertensão arterial leve Antes Depois 18 semanas Antes Depois 18 semanas Amostras Pareadas Amostras Pareadas Amostras independentes Chocolate amargo Chocolate branco Amostras independentes devem ser comparáveis…. No exemplo, isso significa que os grupos “chocolate amargo” e “chocolate branco” devem ser parecidos quanto a: idade peso sexo nível de colesterol pressão sanguínea inicial circunferência de quadril etc… variáveis que afetam a resposta: pressão sanguínea depois do experimento Tabela 2 do artigo (Taubert et al, 2007) μV ≠ μA σV=σA=σ Médias Populacionais (desconhecidas): μ1 e μ2 , μd = μ1 - μ2 Hipótese nula: H0: μ1 = μ2 H0: μd = 0 Suposição: as amostras dos Grupos 1 e 2 vêm de populações com distribuição Normal com desvios- padrão iguais. n1: tamanho da amostra no Grupo 1 n2: tamanho da amostra no Grupo 2 Comparação de duas médias Amostras Independentes Amostras Grupo 1 Grupo 2 Tamanho n1 n2 Média Desvio- Padrão s1 s2 s1 e s2 são estimativas do desvio-padrão comum σ x y Hipótese nula: H0: μd = 0 Hipótese alternativa: HA: μd ≠ 0 Comparação de duas médias Amostras Independentes 0 α/2 α/2 ( t gl; /2) ( ; t gl /2) Estatística de Teste: Valor P = 2P(Tgl >|Tobs |) 2 2 1 2 0 obs comb comb x y T s s n n ( ; /2) obs gl T t ou RR: ( ; /2) obs gl T t gl = n1 + n2 - 2 Supondo que as amostras dos Grupos 1 e 2 tenham vindo de populações com distribuição Normal e desvios-padrão iguais: s n s n s n n c o m b 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 ( ) ( ) Comparação de duas médias Amostras Independentes (𝝈𝟏 𝟐 = 𝝈𝟐 𝟐) Tabela 2 do artigo (Taubert et al, 2007) Valor P = P[T42 <-0.23] + P[T42 > 0.23] = 2 x P[T42 < -0.23] 2 2 2 2 2 (22 1)14 (22 1)15 22 22 2 14 15 = 421 2 scomb 189 190 -0.23 1 1 421 22 22 Tobs H0: μCA – μCB = 0 HA: μCA – μCB ≠ 0 Valor P = 2 x P[Z <-0.23]= 2 x 0.4090 = 0.8180 “Não foram encontradas evidências estatisticamente significantes contra a hipótese de que as taxas médias de colesterol total são iguais nos dois grupos de estudo (valor p = 0.8180)” Comparação de duas médias Amostras Independentes (𝝈𝟏 𝟐 ≠ 𝝈𝟐 𝟐) Estatística de Teste: 𝑻𝒐𝒃𝒔 = ഥ𝒙−ഥ𝒚 −𝟎 𝑺𝟏 𝟐 𝒏𝟏+ 𝑺𝟐 𝟐 𝒏𝟐 Supondo que as amostras dos Grupos 1 e 2 tenham vindo de populações com distribuição Normal e desvios-padrão diferentes: 𝑔𝑙 = 𝑺𝟏 𝟐 𝒏𝟏 + 𝑺𝟐 𝟐 𝒏𝟐 2 ൘ 𝑺𝟏 𝟐 𝒏𝟏 2 𝒏𝟏 − 1 + ൘ 𝑺𝟐 𝟐 𝒏𝟐 2 𝒏𝟐 − 1 ( ; /2) obs gl T t ou RR: ( ; /2) obs gl T t Valor P = 2P(Tgl >|Tobs |) Exemplo 2: Arsênio em Água Potável A concentração de arsênio em suprimentos públicos de água potável é um risco potencial de saúde. Um artigo no jornal Arizona Republic reportou as concentrações, em partes por bilhão (ppb), de arsênio em água potável para 10 comunidades metropolitanas de Fênix e 10 comunidades rurais de Arizona. Metropolitana Fênix: ҧ𝑥1 = 12,5; 𝑠1 = 7,63 Arizona Rural: ҧ𝑥2 = 27,5; 𝑠2 = 15,3 Deseja-se determinar se há alguma diferença nas concentrações médias de arsênio entre as comunidades metropolitana de Fênix e as comunidades rurais do Arizona 1/4 Exemplo 2: Arsênio em Água Potável H0: μ1 – μ2 = 0 HA: μ1 – μ2 ≠ 0 μ1 concentração média de arsênio para a região 1 (Fênix) μ2 concentração média de arsênio para a região 2 (Arizona) Dados amostrais: Estatística de teste ҧ𝑥 = 12,5; 𝑠1= 7,63; 𝑛1 = 10 ത𝑦 = 27,5; 𝑠2= 15,3; 𝑛2 = 10 : 𝑻𝒐𝒃𝒔 = 𝟏𝟐,𝟓−𝟐𝟕,𝟓 −𝟎 (𝟕,𝟔𝟑)𝟐 𝟏𝟎 +(𝟏𝟓,𝟑)𝟐 𝟏𝟎 = −2,77 𝑔𝑙 = 7,63 2 10 + 15,3 2 10 2 ൗ 7,63 2 10 2 9 + ൗ 15,3 2 10 2 9 = 13,2 ≃ 13 Exemplo 2: Arsênio em Água Potável Consideramos 𝛼 = 0,05. Valor P = P[T13 <-2,77] + P[T13 > 2,77] = 2 x P[T13 > 2,77] Na Tabela t, na linha com 13 g.l., temos que: P[T13 > 2,650]=0,01 P[T13 > 3,012]=0,005 Como 2,650 < 2,77 < 3,012 2.77 Exemplo 2: Arsênio em Água Potável 3/4 Então, 2 x P[T13 > 3,012] < 2 x P[T13 > 2,77] < 2 x P[T13 > 2,650] Ou seja, 2 x 0,05 < 2 x P[T13 > 2,77] < 2 x 0,01 0,01 < valor-p < 0,02 Resultado: Como o valor-p < 0,05, rejeitamos 𝐻0 ao n.s. de 5% Conclusão em termos do problema: Ao nível de 5% de significância, os dados desse estudo mostram evidências estatísticas a favor da hipótese de que há diferença nas concentrações médias de arsênio entre as comunidades metropolitana de Fênix e as comunidades rurais do Arizona” I C xyt snn n n c o m b 12 12 1 0 0 1 22212 11 () % ( ;/) () Intervalos de Confiança para diferença entre duas médias Amostras Independentes s n s n s n n c o m b 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 ( ) ( ) 𝐼𝐶𝜇1−𝜇2 100 1−𝛼 % = ҧ𝑥 − ത𝑦 ± 𝑡 𝑔.𝑙. ; ൗ 𝛼 2 . 𝑆1 2 𝑛1 + 𝑆2 2 𝑛2 𝑔𝑙 = 𝑺𝟏 𝟐 𝒏𝟏 + 𝑺𝟐 𝟐 𝒏𝟐 2 ൗ 𝑺𝟏 𝟐 𝒏𝟏 2 𝒏𝟏 − 1 + ൗ 𝑺𝟐 𝟐 𝒏𝟐 2 𝒏𝟐 − 1 Exemplo 2: Arsênio em Água Potável 2/4 Se 100(1-α)%=95%, então α=0.05 e 𝐼𝐶𝜇1−𝜇2 100 1−𝛼 % = ҧ𝑥 − ത𝑦 ± 𝑡 𝑔.𝑙. ; ൗ 𝛼 2 . 𝑆1 2 𝑛1 + 𝑆2 2 𝑛2 𝐼𝐶𝜇1−𝜇2 100 1−𝛼 % = 12,5 − 27,5 ± 𝑡 13 ;0,025 . (7,63)2 10 + (15,3)2 10 𝑡 13 ; 0,025 = 2,16 𝐼𝐶𝜇1−𝜇2 95% =[ -15 ± (2,16 x 5,41) ] 𝐼𝐶𝜇1−𝜇2 95% =[ -15 ± 11,69 ] = [ -26,69 ; -3,31 ] Usando Intervalos de Confiança para fazer Testes de Hipóteses Em estudo sobre os efeitos da suplementação de vitamina A, um grupo de crianças de 4 a 24 meses de idade, com sarampo e complicações (pneumonia e diarréia grave) foi dividido em dois grupos: um grupo recebeu vitamina A nas doses recomendadas pela OMS e outro grupo recebeu um placebo. Durante o acompanhamento, foram medidas as seguintes variáveis: PC – duração da pneumonia clínica (dias), DI – duração da diarréia (dias) e GP – ganho de peso após 6 semanas (g). H0: μA - μP = 0 HA: μA - μP ≠ 0 Média e desvio-padrão (entre parênteses) para três características dos grupos de Placebo e Vitamina A Placebo Vitamina A Intervalo de 99% de Confiança para (μA – μP) PC (dias) 4.50 (0.79) 4,10 (0.40) -0.82 a 0.02 DI (dias) 3.60 (0.35) 3.30 (0.71) -0.67 a 0.07 GP (g) 900 (140) 1150 (310) 70 a 430 (não rejeitar H0 a 1% de sig.) (não rejeitar H0 a 1% de sig.) (rejeitar H0 a 1% de sig.) Usando Intervalos de Confiança para fazer Testes de Hipóteses Comparação de duas proporções Amostras Independentes Deseja-se comparar as proporções de dois grupos: p1: valor populacional da proporção no Grupo 1 p2: valor populacional da proporção no Grupo 2 Amostras Grandes (n1 ≥ 30 e n2 ≥ 30) Amostras Grupo 1 Grupo 2 Tamanho n1 n2 N° de sucessos m1 m2 Proporção de sucessos p m n 1 1 1 p m n 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (1 ) (1 ) p p Z p p p p n n Comparação de duas proporções Amostras Independentes Hipótese nula: H0: p1 = p2 Estatística de teste: Se H0 for verdadeira, Z ~ Normal(0 ; 1) Exemplo 3: comparação de duas marcas de luvas quanto à permeabilidade a vírus A administração de um hospital deseja verificar se luvas de duas marcas (A e B) são homogêneas quanto à permeabilidade a vírus. Para isto, realizou um experimento, no qual 240 luvas da marca A e 240 luvas da marca B foram submetidas à tensão. Durante os testes, 151 luvas da marca A (62.9%), 134 luvas da marca B (55.8%) deixaram passar vírus quando submetidas à tensão. Ao nível de 5% de significância, os dados do experimento apresentam evidências estatísticas suficientes contra a hipótese de que as duas marcas possuem a mesma permeabilidade? 1/4 Exemplo 3: comparação de duas marcas de luvas quanto à permeabilidade a vírus 2/4 H0: pB – pA = 0 HA: pB – pA ≠ 0 pA é a proporção luvas da marca A que deixa passar vírus quando tensionada. Dados amostrais: Estatística de teste pB é a proporção luvas da marca B que deixa passar vírus quando tensionada. 151 ˆ 0.629 240 A p 134 ˆ 0.558 240 B p 0.558 0.629 0.558(1 0.558) 0.629(1 0.629) 240 240 Zobs -0.071 -1.58 0.045 Zobs Exemplo 3: comparação de duas marcas de luvas quanto à permeabilidade a vírus 3/4 -1.58 Zobs Valor P = P[Z < -1.58] + P[Z > 1.58] = 2 x P[Z < -1.58] = 2 x 0.0571 = 0.1141 0.0571 0.0571 -1.58 1.58 Exemplo 3: comparação de duas marcas de luvas quanto à permeabilidade a vírus 4/4 Conclusão em termos do problema: Ao nível de 5% de significância, os dados desse estudo não mostram evidências estatísticas suficientes contra a hipótese de que as duas marcas possuem a mesma permeabilidade (valor p = 0.1141). Intervalos de Confiança para diferença entre duas proporções Amostras independentes e grandes (n1 30 e n2 30) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 /2 100(1 )% ˆ ˆ ˆ ˆ (1 ) (1 ) ˆ ˆ ( ) p p p p p p IC p p z n n Exemplo 4: efeito do uso do cinto de segurança sobre a proporção de feridos graves em acidentes automobilísticos Um estudo com crianças hospitalizadas em conseqüência de acidentes com veículos teve o objetivo de estimar o efeito do uso do cinto de segurança na proporção de ferimentos graves. Entre 290 crianças que não estavam usando o cinto de segurança, 50 sofreram ferimentos graves. Entre 123 crianças que estavam usando cintos, 16 sofreram ferimentos graves. Com 95% de confiança, qual é a estimativa do efeito do uso do cinto de segurança na proporção de ferimentos graves? 1/3 Exemplo 4: efeito do uso do cinto de segurança sobre a proporção de feridos graves em acidentes automobilísticos 2/3 pSIM é a proporção de crianças que sofreram ferimentos graves dentre as que estavam usando cinto de segurança. pNAO é a proporção de crianças que sofreram ferimentos graves dentre as que não estavam usando cinto de segurança. Efeito do uso do cinto = (pSIM – pNAO) 0.025 95% ˆ ˆ ˆ ˆ (1 ) (1 ) ˆ ˆ ( ) 123 290 SIM SIM NAO NAO SIM NAO SIM NAO p p p p p p IC p p z Exemplo 4: efeito do uso do cinto de segurança sobre a proporção de feridos graves em acidentes automobilísticos 3/3 95% 0.130(1 0.130) 0.172(1 0.172) (0.130 0.172) 1.96 123 290 SIM NAO p p IC 95% -0.042 (1.96 0.038) -0.042 0.073 SIM NAO p p IC 95% -0.116 ; 0.031 SIM NAO p p IC Com 95% de confiança, o efeito do uso no cinto de segurança está entre reduzir em 11.6 pontos percentuais até aumentar 3.1 pontos percentuais na proporção de ferimentos graves.