Slide - Aula 7 - Analise de Treliças Planas Hiperestáticas - 2024-1

1 Universidade Federal de Minas Gerais EES 024 – Análise Estrutural II Aula 07: Análise de treliças planas hiperestáticas pelo método das forças DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS Prof. Juliano dos Santos Becho julianobecho@ufmg.br Prof. Juliano dos Santos Becho Revisão: Metodologia de análise pelo método das forças: 9º) Determinação das reações de apoio e dos esforços internos (diagramas de esforços solicitantes) da estrutura hiperestática original. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos, valendo-se dos resultados obtidos com a estrutura isostática auxiliar.) 8º) Reestabelecimento das condições de compatibilidade. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos e determinação dos valores dos hiperestáticos Xi.) 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]. 3º) Identificação dos hiperestáticos associados ao [SP]. 2º) Criação do [SP]. (Eliminação de vínculos excedentes em número igual ao GIE e criação de uma estrutura auxiliar, isostática e estável.) 1º) Cálculo do GIE. (Verificação se a estrutura é hiperestática e avaliação do número de vínculos excedentes.) Sequência prática de aplicação da metodologia de análise: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) 5º) Caso [j] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático Xj. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) Prof. Juliano dos Santos Becho 5 - Método das forças: Barra E [kN/m2] A [m2] L [m] N0 [kN] αΔTCG N1 [kN/kN] N2 [kN/kN] 1 2 3 4 5 6 Prof. Juliano dos Santos Becho 5 - Método das forças: Barra E [kN/m2] A [m2] L [m] N0 [kN] αΔTCG N1 [kN/kN] N2 [kN/kN] 1 2x108 2 2x108 3 2x108 4 2x108 5 2x108 6 2x108 Prof. Juliano dos Santos Becho 5 - Método das forças: Barra E [kN/m2] A [m2] L [m] N0 [kN] αΔTCG N1 [kN/kN] N2 [kN/kN] 1 2x108 5x10-3 2 2x108 5x10-3 3 2x108 5x10-3 4 2x108 5x10-3 5 2x108 2,5x10-3 6 2x108 2,5x10-3 Prof. Juliano dos Santos Becho 5 - Método das forças: Barra E [kN/m2] A [m2] L [m] N0 [kN] αΔTCG N1 [kN/kN] N2 [kN/kN] 1 2x108 5x10-3 2,0 2 2x108 5x10-3 1,5 3 2x108 5x10-3 1,5 4 2x108 5x10-3 2,0 5 2x108 2,5x10-3 2,5 6 2x108 2,5x10-3 2,5 Prof. Juliano dos Santos Becho 5 - Método das forças: Barra E [kN/m2] A [m2] L [m] N0 [kN] αΔTCG N1 [kN/kN] N2 [kN/kN] 1 2x108 5x10-3 2,0 0 2 2x108 5x10-3 1,5 0 3 2x108 5x10-3 1,5 -9,5 4 2x108 5x10-3 2,0 0 5 2x108 2,5x10-3 2,5 0 6 2x108 2,5x10-3 2,5 +25 Prof. Juliano dos Santos Becho 5 - Método das forças: Barra E [kN/m2] A [m2] L [m] N0 [kN] αΔTCG N1 [kN/kN] N2 [kN/kN] 1 2x108 5x10-3 2,0 0 0 2 2x108 5x10-3 1,5 0 0 3 2x108 5x10-3 1,5 -9,5 0 4 2x108 5x10-3 2,0 0 0 5 2x108 2,5x10-3 2,5 0 +2x10-4 6 2x108 2,5x10-3 2,5 +25 +2x10-4 Prof. Juliano dos Santos Becho 5 - Método das forças: Barra E [kN/m2] A [m2] L [m] N0 [kN] αΔTCG N1 [kN/kN] N2 [kN/kN] 1 2x108 5x10-3 2,0 0 0 0 2 2x108 5x10-3 1,5 0 0 0 3 2x108 5x10-3 1,5 -9,5 0 -0,75 4 2x108 5x10-3 2,0 0 0 -1 5 2x108 2,5x10-3 2,5 0 +2x10-4 0 6 2x108 2,5x10-3 2,5 +25 +2x10-4 +1,25 Prof. Juliano dos Santos Becho 5 - Método das forças: Barra E [kN/m2] A [m2] L [m] N0 [kN] αΔTCG N1 [kN/kN] N2 [kN/kN] 1 2x108 5x10-3 2,0 0 0 0 -0,8 2 2x108 5x10-3 1,5 0 0 0 -0,6 3 2x108 5x10-3 1,5 -9,5 0 -0,75 -0,6 4 2x108 5x10-3 2,0 0 0 -1 -0,8 5 2x108 2,5x10-3 2,5 0 +2x10-4 0 +1,0 6 2x108 2,5x10-3 2,5 +25 +2x10-4 +1,25 +1,0 Prof. Juliano dos Santos Becho 5 - Método das forças: Barra E [kN/m2] A [m2] L [m] N0 [kN] αΔTCG N1 [kN/kN] N2 [kN/kN] 1 2x108 5x10-3 2,0 0 0 0 -0,8 2 2x108 5x10-3 1,5 0 0 0 -0,6 3 2x108 5x10-3 1,5 -9,5 0 -0,75 -0,6 4 2x108 5x10-3 2,0 0 0 -1 -0,8 5 2x108 2,5x10-3 2,5 0 +2x10-4 0 +1,0 6 2x108 2,5x10-3 2,5 +25 +2x10-4 +1,25 +1,0 Barra N1N0L 𝑬𝑨 [m] N1𝜶∆𝑻𝑳 [m] N2N0L 𝑬𝑨 [m] N2𝜶∆𝑻𝑳 [m] N1N1L 𝑬𝑨 [m] N2N1L 𝑬𝑨 [m] N2N2L 𝑬𝑨 [m] 1 2 3 4 5 6 Prof. Juliano dos Santos Becho 5 - Método das forças: Barra E [kN/m2] A [m2] L [m] N0 [kN] αΔTCG N1 [kN/kN] N2 [kN/kN] 1 2x108 5x10-3 2,0 0 0 0 -0,8 2 2x108 5x10-3 1,5 0 0 0 -0,6 3 2x108 5x10-3 1,5 -9,5 0 -0,75 -0,6 4 2x108 5x10-3 2,0 0 0 -1 -0,8 5 2x108 2,5x10-3 2,5 0 +2x10-4 0 +1,0 6 2x108 2,5x10-3 2,5 +25 +2x10-4 +1,25 +1,0 Barra N1N0L 𝑬𝑨 [m] N1𝜶∆𝑻𝑳 [m] N2N0L 𝑬𝑨 [m] N2𝜶∆𝑻𝑳 [m] N1N1L 𝑬𝑨 [m] N2N1L 𝑬𝑨 [m] N2N2L 𝑬𝑨 [m] 1 0 2 0 3 106,875x10-6 4 0 5 0 6 156,250x10-6 Prof. Juliano dos Santos Becho 5 - Método das forças: Barra E [kN/m2] A [m2] L [m] N0 [kN] αΔTCG N1 [kN/kN] N2 [kN/kN] 1 2x108 5x10-3 2,0 0 0 0 -0,8 2 2x108 5x10-3 1,5 0 0 0 -0,6 3 2x108 5x10-3 1,5 -9,5 0 -0,75 -0,6 4 2x108 5x10-3 2,0 0 0 -1 -0,8 5 2x108 2,5x10-3 2,5 0 +2x10-4 0 +1,0 6 2x108 2,5x10-3 2,5 +25 +2x10-4 +1,25 +1,0 Barra N1N0L 𝑬𝑨 [m] N1𝜶∆𝑻𝑳 [m] N2N0L 𝑬𝑨 [m] N2𝜶∆𝑻𝑳 [m] N1N1L 𝑬𝑨 [m] N2N1L 𝑬𝑨 [m] N2N2L 𝑬𝑨 [m] 1 0 0 2 0 0 3 106,875x10-6 0 4 0 0 5 0 0 6 156,250x10-6 625x10-6 Prof. Juliano dos Santos Becho 5 - Método das forças: Barra E [kN/m2] A [m2] L [m] N0 [kN] αΔTCG N1 [kN/kN] N2 [kN/kN] 1 2x108 5x10-3 2,0 0 0 0 -0,8 2 2x108 5x10-3 1,5 0 0 0 -0,6 3 2x108 5x10-3 1,5 -9,5 0 -0,75 -0,6 4 2x108 5x10-3 2,0 0 0 -1 -0,8 5 2x108 2,5x10-3 2,5 0 +2x10-4 0 +1,0 6 2x108 2,5x10-3 2,5 +25 +2x10-4 +1,25 +1,0 Barra N1N0L 𝑬𝑨 [m] N1𝜶∆𝑻𝑳 [m] N2N0L 𝑬𝑨 [m] N2𝜶∆𝑻𝑳 [m] N1N1L 𝑬𝑨 [m] N2N1L 𝑬𝑨 [m] N2N2L 𝑬𝑨 [m] 1 0 0 0 2 0 0 0 3 106,875x10-6 0 85,5x10-6 4 0 0 0 5 0 0 0 6 156,250x10-6 625x10-6 125x10-6 Prof. Juliano dos Santos Becho 5 - Método das forças: Barra E [kN/m2] A [m2] L [m] N0 [kN] αΔTCG N1 [kN/kN] N2 [kN/kN] 1 2x108 5x10-3 2,0 0 0 0 -0,8 2 2x108 5x10-3 1,5 0 0 0 -0,6 3 2x108 5x10-3 1,5 -9,5 0 -0,75 -0,6 4 2x108 5x10-3 2,0 0 0 -1 -0,8 5 2x108 2,5x10-3 2,5 0 +2x10-4 0 +1,0 6 2x108 2,5x10-3 2,5 +25 +2x10-4 +1,25 +1,0 Barra N1N0L 𝑬𝑨 [m] N1𝜶∆𝑻𝑳 [m] N2N0L 𝑬𝑨 [m] N2𝜶∆𝑻𝑳 [m] N1N1L 𝑬𝑨 [m] N2N1L 𝑬𝑨 [m] N2N2L 𝑬𝑨 [m] 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 106,875x10-6 0 85,5x10-6 0 4 0 0 0 0 5 0 0 0 500x10-6 6 156,250x10-6 625x10-6 125x10-6 500x10-6 Prof. Juliano dos Santos Becho 5 - Método das forças: Barra E [kN/m2] A [m2] L [m] N0 [kN] αΔTCG N1 [kN/kN] N2 [kN/kN] 1 2x108 5x10-3 2,0 0 0 0 -0,8 2 2x108 5x10-3 1,5 0 0 0 -0,6 3 2x108 5x10-3 1,5 -9,5 0 -0,75 -0,6 4 2x108 5x10-3 2,0 0 0 -1 -0,8 5 2x108 2,5x10-3 2,5 0 +2x10-4 0 +1,0 6 2x108 2,5x10-3 2,5 +25 +2x10-4 +1,25 +1,0 Barra N1N0L 𝑬𝑨 [m] N1𝜶∆𝑻𝑳 [m] N2N0L 𝑬𝑨 [m] N2𝜶∆𝑻𝑳 [m] N1N1L 𝑬𝑨 [m] N2N1L 𝑬𝑨 [m] N2N2L 𝑬𝑨 [m] 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 106,875x10-6 0 85,5x10-6 0 0,844x10-6 4 0 0 0 0 2,000x10-6 5 0 0 0 500x10-6 0 6 156,250x10-6 625x10-6 125x10-6 500x10-6 7,813x10-6 Prof. Juliano dos Santos Becho 5 - Método das forças: Barra E [kN/m2] A [m2] L [m] N0 [kN] αΔTCG N1 [kN/kN] N2 [kN/kN] 1 2x108 5x10-3 2,0 0 0 0 -0,8 2 2x108 5x10-3 1,5 0 0 0 -0,6 3 2x108 5x10-3 1,5 -9,5 0 -0,75 -0,6 4 2x108 5x10-3 2,0 0 0 -1 -0,8 5 2x108 2,5x10-3 2,5 0 +2x10-4 0 +1,0 6 2x108 2,5x10-3 2,5 +25 +2x10-4 +1,25 +1,0 Barra N1N0L 𝑬𝑨 [m] N1𝜶∆𝑻𝑳 [m] N2N0L 𝑬𝑨 [m] N2𝜶∆𝑻𝑳 [m] N1N1L 𝑬𝑨 [m] N2N1L 𝑬𝑨 [m] N2N2L 𝑬𝑨 [m] 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 3 106,875x10-6 0 85,5x10-6 0 0,844x10-6 0,675x10-6 4 0 0 0 0 2,000x10-6 1,600x10-6 5 0 0 0 500x10-6 0 0 6 156,250x10-6 625x10-6 125x10-6 500x10-6 7,813x10-6 6,250x10-6 Prof. Juliano dos Santos Becho 5 - Método das forças: Barra E [kN/m2] A [m2] L [m] N0 [kN] αΔTCG N1 [kN/kN] N2 [kN/kN] 1 2x108 5x10-3 2,0 0 0 0 -0,8 2 2x108 5x10-3 1,5 0 0 0 -0,6 3 2x108 5x10-3 1,5 -9,5 0 -0,75 -0,6 4 2x108 5x10-3 2,0 0 0 -1 -0,8 5 2x108 2,5x10-3 2,5 0 +2x10-4 0 +1,0 6 2x108 2,5x10-3 2,5 +25 +2x10-4 +1,25 +1,0 Barra N1N0L 𝑬𝑨 [m] N1𝜶∆𝑻𝑳 [m] N2N0L 𝑬𝑨 [m] N2𝜶∆𝑻𝑳 [m] N1N1L 𝑬𝑨 [m] N2N1L 𝑬𝑨 [m] N2N2L 𝑬𝑨 [m] 1 0 0 0 0 0 0 1,28x10-6 2 0 0 0 0 0 0 0,54x10-6 3 106,875x10-6 0 85,5x10-6 0 0,844x10-6 0,675x10-6 0,54x10-6 4 0 0 0 0 2,000x10-6 1,600x10-6 1,28x10-6 5 0 0 0 500x10-6 0 0 5,00x10-6 6 156,250x10-6 625x10-6 125x10-6 500x10-6 7,813x10-6 6,250x10-6 5,00x10-6 Prof. Juliano dos Santos Becho 5 - Método das forças: Barra E [kN/m2] A [m2] L [m] N0 [kN] αΔTCG N1 [kN/kN] N2 [kN/kN] 1 2x108 5x10-3 2,0 0 0 0 -0,8 2 2x108 5x10-3 1,5 0 0 0 -0,6 3 2x108 5x10-3 1,5 -9,5 0 -0,75 -0,6 4 2x108 5x10-3 2,0 0 0 -1 -0,8 5 2x108 2,5x10-3 2,5 0 +2x10-4 0 +1,0 6 2x108 2,5x10-3 2,5 +25 +2x10-4 +1,25 +1,0 Barra N1N0L 𝑬𝑨 [m] N1𝜶∆𝑻𝑳 [m] N2N0L 𝑬𝑨 [m] N2𝜶∆𝑻𝑳 [m] N1N1L 𝑬𝑨 [m] N2N1L 𝑬𝑨 [m] N2N2L 𝑬𝑨 [m] 1 0 0 0 0 0 0 1,28x10-6 2 0 0 0 0 0 0 0,54x10-6 3 106,875x10-6 0 85,5x10-6 0 0,844x10-6 0,675x10-6 0,54x10-6 4 0 0 0 0 2,000x10-6 1,600x10-6 1,28x10-6 5 0 0 0 500x10-6 0 0 5,00x10-6 6 156,250x10-6 625x10-6 125x10-6 500x10-6 7,813x10-6 6,250x10-6 5,00x10-6 ∑ 263,125x10-6 625x10-6 210,5x10-6 1000x10-6 10,656x10-6 8,525x10-6 13,640x10-6 Prof. Juliano dos Santos Becho 5 - Método das forças: Barra E [kN/m2] A [m2] L [m] N0 [kN] αΔTCG N1 [kN/kN] N2 [kN/kN] 1 2x108 5x10-3 2,0 0 0 0 -0,8 2 2x108 5x10-3 1,5 0 0 0 -0,6 3 2x108 5x10-3 1,5 -9,5 0 -0,75 -0,6 4 2x108 5x10-3 2,0 0 0 -1 -0,8 5 2x108 2,5x10-3 2,5 0 +2x10-4 0 +1,0 6 2x108 2,5x10-3 2,5 +25 +2x10-4 +1,25 +1,0 Barra N1N0L 𝑬𝑨 [m] N1𝜶∆𝑻𝑳 [m] N2N0L 𝑬𝑨 [m] N2𝜶∆𝑻𝑳 [m] N1N1L 𝑬𝑨 [m] N2N1L 𝑬𝑨 [m] N2N2L 𝑬𝑨 [m] 1 0 0 0 0 0 0 1,28x10-6 2 0 0 0 0 0 0 0,54x10-6 3 106,875x10-6 0 85,5x10-6 0 0,844x10-6 0,675x10-6 0,54x10-6 4 0 0 0 0 2,000x10-6 1,600x10-6 1,28x10-6 5 0 0 0 500x10-6 0 0 5,00x10-6 6 156,250x10-6 625x10-6 125x10-6 500x10-6 7,813x10-6 6,250x10-6 5,00x10-6 ∑ 263,125x10-6 625x10-6 210,5x10-6 1000x10-6 10,656x10-6 8,525x10-6 13,640x10-6 𝜹𝟏𝟎 𝒄 𝜹𝟏𝟎 𝑻 𝜹𝟐𝟎 𝒄 𝜹𝟐𝟎 𝑻 𝜹𝟏𝟏 𝜹𝟐𝟏 = 𝜹𝟏𝟐 𝜹𝟐𝟐 Prof. Juliano dos Santos Becho 5 - Método das forças: Barra E [kN/m2] A [m2] L [m] N0 [kN] αΔTCG N1 [kN/kN] N2 [kN/kN] 1 2x108 5x10-3 2,0 0 0 0 -0,8 2 2x108 5x10-3 1,5 0 0 0 -0,6 3 2x108 5x10-3 1,5 -9,5 0 -0,75 -0,6 4 2x108 5x10-3 2,0 0 0 -1 -0,8 5 2x108 2,5x10-3 2,5 0 +2x10-4 0 +1,0 6 2x108 2,5x10-3 2,5 +25 +2x10-4 +1,25 +1,0 Barra N1N0L 𝑬𝑨 [m] N1𝜶∆𝑻𝑳 [m] N2N0L 𝑬𝑨 [m] N2𝜶∆𝑻𝑳 [m] N1N1L 𝑬𝑨 [m] N2N1L 𝑬𝑨 [m] N2N2L 𝑬𝑨 [m] 1 0 0 0 0 0 0 1,28x10-6 2 0 0 0 0 0 0 0,54x10-6 3 106,875x10-6 0 85,5x10-6 0 0,844x10-6 0,675x10-6 0,54x10-6 4 0 0 0 0 2,000x10-6 1,600x10-6 1,28x10-6 5 0 0 0 500x10-6 0 0 5,00x10-6 6 156,250x10-6 625x10-6 125x10-6 500x10-6 7,813x10-6 6,250x10-6 5,00x10-6 ∑ 263,125x10-6 625x10-6 210,5x10-6 1000x10-6 10,656x10-6 8,525x10-6 13,640x10-6 𝜹𝟏𝟎 𝒄 𝜹𝟏𝟎 𝑻 𝜹𝟐𝟎 𝒄 𝜹𝟐𝟎 𝑻 𝜹𝟏𝟏 𝜹𝟐𝟏 = 𝜹𝟏𝟐 𝜹𝟐𝟐 𝜹𝟏𝟎 =888,125x10-6 𝜹𝟐𝟎 = 1210,500x10−6 Prof. Juliano dos Santos Becho Itens abordados: Livro - Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos, Luiz Fernando Martha, 1ª ed., Elsevier Editora Ltda., Rio de Janeiro, 2010 Leitura essencial: Capítulo 8: Item 8.11: Análise de vigas de treliças planas hiperestáticas 23 Universidade Federal de Minas Gerais Obrigado! Prof. Juliano dos Santos Becho julianobecho@ufmg.br