Slide - Aula 10 - Introdução ao Método dos Deslocamentos - 2024-1

1 Universidade Federal de Minas Gerais EES 024 – Análise Estrutural II Aula 10: Introdução ao método dos deslocamentos DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS Revisão: Introdução aos métodos de análise: Na análise estrutural, procura-se determinar os esforços externos (reações de apoio) e internos (esforços solicitantes) de uma estrutura. Considerando a estrutura abaixo: Pelas condições de equilíbrio, tem-se: ෍ 𝐹𝑥 = 0 → 𝑁2 sen 𝜃 − 𝑁1 sen 𝜃 = 0 ∴ 𝑁1 = 𝑁2 𝑁1 𝑁2 ෍ 𝐹𝑦 = 0 → 𝑁2 cos 𝜃 + 𝑁1 cos 𝜃 − 𝑃 = 0 ∴ 𝑁1 = 𝑁2 = 𝑃 2 cos(𝜃) 2 incógnitas: 𝑁1 e 𝑁2 2 equações: σ 𝐹𝑥 = 0 e σ 𝐹𝑦 = 0 Estrutura isostática (equações de equilíbrio são suficientes para analisar a estrutura) 𝑁1 𝑁2 𝑁3 Pelas condições de equilíbrio, tem-se: Pelas condições de compatibilidade, tem-se: 𝑁1 = 𝑁2 2 𝑁2 cos 𝜃 + 𝑁3 = 𝑃 3 incógnitas 2 equações 𝑑1 = 𝑑3 cos(𝜃) + 2 incógnitas + 1 equação Pelo comportamento do material, tem-se: 𝑑3 𝑑1 𝑁3 𝐴 = 𝐸 𝑑3 𝑙 𝑁1 𝐴 = 𝐸 𝑑1 𝑙/𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 0 incógnitas + 2 equações Na análise estrutural, procura-se determinar os esforços externos (reações de apoio) e internos (esforços solicitantes) de uma estrutura. Considerando a estrutura abaixo: Revisão: Introdução aos métodos de análise: A metodologia utilizada pelo método das forças para analisar uma estrutura hiperestática é: Somar uma série de soluções básicas que satisfazem as condições de equilíbrio mas não satisfazem as condições de compatibilidade da estrutura original, para, na superposição reestabelecer as condições de compatibilidade. A estrutura utilizada para a superposição de soluções básicas é uma estrutura isostática auxiliar (denominada sistema principal [SP]), obtida a partir da estrutura original pela eliminação de vínculos excedentes. As forças ou momentos associados aos vínculos liberados são as incógnitas do problema e recebem a nomenclatura de hiperestáticos. Revisão: Introdução ao método das forças: No exemplo apresentado, há apenas uma incógnita extra (GIE = 1). Portanto, deve-se eliminar apenas um vínculo. Eliminando, por exemplo, o vínculo (externo) da barra vertical, tem-se como hiperestático, X1, a força de reação vertical N3: As soluções básicas, casos (0) e (1), isolam os efeitos, respectivamente, da carga externa e do hiperestático, X1. 𝑋1 = 𝑁3 Revisão: Introdução ao método das forças: No exemplo apresentado, há apenas uma incógnita extra (GIE = 1). Portanto, deve-se eliminar apenas um vínculo. Eliminando, por exemplo, o vínculo (externo) da barra vertical, tem-se como hiperestático, X1, a força de reação vertical N3: As soluções básicas, casos (0) e (1), isolam os efeitos, respectivamente, da carga externa e do hiperestático, X1. 𝑋1 = 𝑁3 Revisão: Introdução ao método das forças: No exemplo apresentado, há apenas uma incógnita extra (GIE = 1). Portanto, deve-se eliminar apenas um vínculo. Eliminando, por exemplo, o vínculo (externo) da barra vertical, tem-se como hiperestático, X1, a força de reação vertical N3: As soluções básicas, casos (0) e (1), isolam os efeitos, respectivamente, da carga externa e do hiperestático, X1. 𝑋1 = 𝑁3 Revisão: Introdução ao método das forças: No exemplo apresentado, há apenas uma incógnita extra (GIE = 1). Portanto, deve-se eliminar apenas um vínculo. Eliminando, por exemplo, o vínculo (externo) da barra vertical, tem-se como hiperestático, X1, a força de reação vertical N3: A questão é: qual o valor do hiperestático, X1, para recuperar a condição de deslocamento nulo no nó central superior? 𝑋1 = 𝑁3 Revisão: Introdução ao método das forças: No exemplo apresentado, há apenas uma incógnita extra (GIE = 1). Portanto, deve-se eliminar apenas um vínculo. Eliminando, por exemplo, o vínculo (externo) da barra vertical, tem-se como hiperestático, X1, a força de reação vertical N3: A questão é: qual o valor do hiperestático, X1, para recuperar a condição de deslocamento nulo no nó central superior? 𝑋1 = 𝑁3 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 = 0 (Equação de reestabelecimento das condições de compatibilidade) Revisão: Introdução ao método das forças: Revisão: Introdução ao método das forças: No exemplo apresentado, há apenas uma incógnita extra (GIE = 1). Portanto, deve-se eliminar apenas um vínculo. Eliminando, por exemplo, o vínculo (externo) da barra vertical, tem-se como hiperestático, X1, a força de reação vertical N3: A questão é: qual o valor do hiperestático, X1, para recuperar a condição de deslocamento nulo no nó central superior? 𝑋1 = 𝑁3 𝛿10 + 𝛿11𝑋1 = 0 (Equação de reestabelecimento das condições de compatibilidade) Termo de carga Coeficiente de flexibilidade Revisão: Metodologia de análise pelo método das forças: 9º) Determinação das reações de apoio e dos esforços internos (diagramas de esforços solicitantes) da estrutura hiperestática original. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos, valendo-se dos resultados obtidos com a estrutura isostática auxiliar.) 8º) Reestabelecimento das condições de compatibilidade. (Aplicação do princípio da superposição de efeitos e determinação dos valores dos hiperestáticos Xi.) 6º) Determinação dos termos de carga 𝜹𝒊𝟎. 4º) Caso [0] – Solicitação externa no [SP]. 3º) Identificação dos hiperestáticos associados ao [SP]. 2º) Criação do [SP]. (Eliminação de vínculos excedentes em número igual ao GIE e criação de uma estrutura auxiliar, isostática e estável.) 1º) Cálculo do GIE. (Verificação se a estrutura é hiperestática e avaliação do número de vínculos excedentes.) Sequência prática de aplicação da metodologia de análise: (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação externa no [SP].) 5º) Caso [j] – Solicitação de uma carga unitária isolada no [SP] na direção do hiperestático Xj. (Obtenção dos diagramas de esforços solicitantes referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) 7º) Determinação dos coeficientes de flexibilidade 𝜹𝒊𝒋. (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xj.) (Utilização do MCU para determinação dos deslocamentos e rotações associados aos vínculos eliminados, associando os diagramas referentes a solicitação externa no [SP] (caso 0) com os diagramas referentes a solicitação de uma carga unitária no [SP] na direção do hiperestático Xi.) 6 – Método dos deslocamentos: 6.1 - Introdução ao método dos deslocamentos: O método dos deslocamentos tem como ideia básica determinar, dentro do conjunto de soluções em deslocamentos que satisfazem as condições de compatibilidade, aquela que faz com que as condições de equilíbrio também sejam satisfeitas. Incógnitas: deslocamentos e rotações. Sequência de aplicação das condições básicas: • Compatibilidade; • Leis constitutivas; • Equilíbrio. Na prática, porém, a metodologia utilizada pelo método dos deslocamentos para analisar uma estrutura hiperestática é: Somar uma série de soluções básicas que satisfazem as condições de compatibilidade mas não satisfazem as condições de equilíbrio da estrutura original, para, na superposição reestabelecer as condições de equilíbrio. A estrutura utilizada para a superposição de soluções básicas é uma estrutura auxiliar cinematicamente determinada (denominada Sistemas Hipergeométrico [SH]), com configuração deformada conhecida, obtida a partir da estrutura original pela adição de vínculos. Os deslocamentos ou rotações associados aos vínculos restringidos, denominados deslocabilidades, são as incógnitas do problema. 6 – Método dos deslocamentos: 6.1 - Introdução ao método dos deslocamentos: Identificando D1 como deslocabilidade e adicionando uma restrição ao deslocamento vertical do nó inferior, tem-se: As soluções básicas, casos (0) e (1), isolam os efeitos, respectivamente, da carga externa e da deslocabilidade, D1. Se o número de deslocabilidades possíveis fosse de ordem maior, novos casos, cada um isolando o efeito de uma deslocabilidade, deveriam ser adicionados. 6 – Método dos deslocamentos: 6.1 - Introdução ao método dos deslocamentos: Identificando D1 como deslocabilidade e adicionando uma restrição ao deslocamento vertical do nó inferior, tem-se: As soluções básicas, casos (0) e (1), isolam os efeitos, respectivamente, da carga externa e da deslocabilidade, D1. Se o número de deslocabilidades possíveis fosse de ordem maior, novos casos, cada um isolando o efeito de uma deslocabilidade, deveriam ser adicionados. 6 – Método dos deslocamentos: 6.1 - Introdução ao método dos deslocamentos: Identificando D1 como deslocabilidade e adicionando uma restrição ao deslocamento vertical do nó inferior, tem-se: A questão é: qual o valor da deslocabilidade, D1, para recompor o equilíbrio da estrutura original? 6 – Método dos deslocamentos: 6.1 - Introdução ao método dos deslocamentos: Identificando D1 como deslocabilidade e adicionando uma restrição ao deslocamento vertical do nó inferior, tem-se: A questão é: qual o valor da deslocabilidade, D1, para recompor o equilíbrio da estrutura original? 𝛽10 + 𝐾11𝐷1 = 0 (Equação de reestabelecimento das condições de equilíbrio) 6 – Método dos deslocamentos: 6.1 - Introdução ao método dos deslocamentos: Identificando D1 como deslocabilidade e adicionando uma restrição ao deslocamento vertical do nó inferior, tem-se: A questão é: qual o valor da deslocabilidade, D1, para recompor o equilíbrio da estrutura original? 𝛽10 + 𝐾11𝐷1 = 0 (Equação de reestabelecimento das condições de equilíbrio) Termo de carga Coeficiente de rigidez 6 – Método dos deslocamentos: 6.1 - Introdução ao método dos deslocamentos: 1º) Definir um sistema de referência global 2º) Identificar os deslocamentos desconhecidos de extremidades de barras (deslocabilidades globais) 3º) Construção da estrutura auxiliar (sistema hipergeométrico) 4º) Determinação dos termos de carga (Caso [0] – Solicitação externa no SH) 5º) Determinação dos coeficientes de rigidez globais (Casos [j] – Imposição de cada deslocabilidade isoladamente com valor unitário) 6º) Reestabelecimento das condições de equilíbrio (superposição ponderada de efeitos) 7º) Determinação das reações de apoio e dos diagramas de esforços solicitantes (superposição ponderada de efeitos) 6 - Método dos deslocamentos: 6.2 - Metodologia de análise: Analisar o pórtico abaixo utilizando o método dos deslocamentos: 6 - Método dos deslocamentos: 6.2 - Metodologia de análise: 1º) Definir um sistema de referência global 6 - Método dos deslocamentos: 6.2 - Metodologia de análise: X Y 2º) Identificar os deslocamentos de extremidades de barras desconhecidos (deslocabilidades globais) 6 - Método dos deslocamentos: 6.2 - Metodologia de análise: 3º) Construção da estrutura auxiliar (sistema hipergeométrico) Introdução de vínculos fictícios que impedem os deslocamentos de extremidade de barras na direção das deslocabilidades. 6 - Método dos deslocamentos: 6.2 - Metodologia de análise: 4º) Determinação dos termos de carga (Caso [0] – Solicitação externa no SH) 6 - Método dos deslocamentos: 6.2 - Metodologia de análise: 4º) Determinação dos termos de carga (Caso [0] – Solicitação externa no SH) 6 - Método dos deslocamentos: 6.2 - Metodologia de análise: Reações de engastamento perfeito 5º) Determinação dos coeficientes de rigidez globais (Casos [j] – Imposição de cada deslocabilidade isoladamente com valor unitário) Coeficiente de rigidez global: força que deve atuar no apoio fictício na direção da deslocabilidade Di quando é imposta uma deslocabilidade Dj com valor unitário, enquanto as demais deslocabilidades são mantidas nulas. 6 - Método dos deslocamentos: 6.2 - Metodologia de análise: 5º) Determinação dos coeficientes de rigidez globais (Casos [j] – Imposição de cada deslocabilidade isoladamente com valor unitário) Caso [1]: D1 = 1 m isolado no SH 6 - Método dos deslocamentos: 6.2 - Metodologia de análise: 5º) Determinação dos coeficientes de rigidez globais (Casos [j] – Imposição de cada deslocabilidade isoladamente com valor unitário) Caso [1]: D1 = 1 m isolado no SH 6 - Método dos deslocamentos: 6.2 - Metodologia de análise: Obs.: Coeficientes de rigidez local 5º) Determinação dos coeficientes de rigidez globais (Casos [j] – Imposição de cada deslocabilidade isoladamente com valor unitário) Caso [2]: D2 = 1 m isolado no SH 6 - Método dos deslocamentos: 6.2 - Metodologia de análise: Obs.: Coeficientes de rigidez local 5º) Determinação dos coeficientes de rigidez globais (Casos [j] – Imposição de cada deslocabilidade isoladamente com valor unitário) Caso [3]: D3 = 1 rad isolado no SH 6 - Método dos deslocamentos: 6.2 - Metodologia de análise: Obs.: Coeficientes de rigidez local 6º) Reestabelecimento das condições de equilíbrio (superposição ponderada de efeitos) 6 - Método dos deslocamentos: 6.2 - Metodologia de análise: 6 - Método dos deslocamentos: 6.2 - Metodologia de análise: 6º) Reestabelecimento das condições de equilíbrio (superposição ponderada de efeitos) 6 - Método dos deslocamentos: 6.2 - Metodologia de análise: 6º) Reestabelecimento das condições de equilíbrio (superposição ponderada de efeitos) 6 - Método dos deslocamentos: 6.2 - Metodologia de análise: 6 - Método dos deslocamentos: 6.2 - Metodologia de análise: 6º) Reestabelecimento das condições de equilíbrio (superposição ponderada de efeitos) 7º) Determinação das reações de apoio e dos diagramas de esforços solicitantes (superposição ponderada de efeitos) 6 - Método dos deslocamentos: 6.2 - Metodologia de análise: O método das forças é um método mais intuitivo, entretanto, de difícil implementação computacional. Isso se deve aos parâmetros discretos (termos de carga e coeficientes de flexibilidade) serem, em geral, obtidos em tempo de análise. Sendo este um grande ponto negativo do método, visto que a análise estrutural é hoje uma etapa puramente computacional da predição do comportamento da estrutura. Já o método dos deslocamentos, consideravelmente menos intuitivo, é de fácil implementação computacional por apresentar etapas de solução bem padronizadas. Isso se deve aos parâmetros discretos (termos de carga e coeficientes de rigidez) serem previamente determinados (soluções fundamentais para barras isoladas) e apenas selecionados e associados adequadamente em tempo de análise. O Método da Rigidez Direta (MRD) nada mais é do que o método dos deslocamentos em um formalismo matricial apresentado em uma formulação sistematizada. Pode, também, ser entendido como uma particularização do Método dos Elementos Finitos (MEF) para estruturas reticuladas. 6 - Método dos deslocamentos: 6.2 - Metodologia de análise: Itens abordados: Livro - Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos, Luiz Fernando Martha, 1ª ed., Elsevier Editora Ltda., Rio de Janeiro, 2010 Leitura essencial: Capítulo 4: Item 4.1 Condições básicas da análise estrutural Capítulo 4: Item 4.2 Métodos básicos da análise estrutural Capítulo 4: Item 4.3 Comparação entre o método das forças e o método dos deslocamentos Leitura sugerida: Capítulo 9: Soluções fundamentais para barras isoladas Capítulo 10: Item 10.1 - Deslocabilidades e sistema hipergeométrico Capítulo 10: Item 10.2 - Metodologia de análise pelo método dos deslocamentos 39 Universidade Federal de Minas Gerais Obrigado!