Slide - Modelos Probabilísticos para Vac - 2024-1

Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Sumário Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas 1 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Uniforme contínuo A variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo [a, b] ⊂ R, se sua função densidade de probabilidade for dada por: f(x) = 1 b − aI[a,b](x), para a ≤ x ≤ b e f(x) = 0 fora desse intervalo. Usaremos a notação X ∼ Uc(a, b). 2 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Uniforme contínuo Se X ∼ Uc(a, b), então: E(X) = a + b 2 Var(X) = (b − a)2 12 , e a expressão para a sua FX(x) (função de distribuição acumulada) é dada por FX(x) =    0, se x ≤ a (x − a)/(b − a), se a ≤ x ≤ b 1, se x ≥ b No quadro! 3 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Uniforme contínuo Se X ∼ Uc(a, b), então: E(X) = a + b 2 Var(X) = (b − a)2 12 , e a expressão para a sua FX(x) (função de distribuição acumulada) é dada por FX(x) =    0, se x ≤ a (x − a)/(b − a), se a ≤ x ≤ b 1, se x ≥ b No quadro! 3 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 x f(x) −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x3 FX(x) Figura 1: função de probabilidade e função de distribuição acumulada para um modelo Uc(0, 1) 4 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Um programa de TV dura 1 hora e um telespectador impaciente incia assistindo, mas vai trocar de canal a qualquer momento durante o programa. Qual a probabilidade de ele assistir à maior parte do programa? 5 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x f(x) Figura 2: P(X > 1/2) para X ∼ Uc(0, 1) 6 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Exponencial • O modelo Exponencial possui aplicações em diversas áreas de engenharia e matemática. • Tempo de vida de equipamentos, intervalos entre chegadas de mensagens eletrônicas ou de chamadas telefônicas a uma central são alguns dos exemplos que tem sido bem modelados pela distribuição exponencial. 7 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Exponencial • O modelo Exponencial possui aplicações em diversas áreas de engenharia e matemática. • Tempo de vida de equipamentos, intervalos entre chegadas de mensagens eletrônicas ou de chamadas telefônicas a uma central são alguns dos exemplos que tem sido bem modelados pela distribuição exponencial. 7 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Exponencial Uma variável aleatória X tem distribuição exponencial com parâmetro λ se sua função densidade de probabilidade é da forma: f(x) = λe−λxI(0,∞)(x), em que λ é uma constante positiva. Usaremos a notação X ∼ Exp(λ). O parâmetro λ indica a taxa de ocorrência por unidade de medida, que pode ser o tempo, distância ou volume, entre outras. 8 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x f(x) λ = 1 λ = 2 λ = 3 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 x FX(x) λ = 1 λ = 2 λ = 3 Figura 3: Densidade e função de distribuição acumulada do modelo Exponencial- conforme os parâmetros indicados nas legendas 9 / 32 Principais modelos probabilisticos para varidveis aleatorias continuas Bibliografia OODDOCODO@OOCO0C00OCOOCO0000000000 O° Modelo Exponencial Se X ~ Exp(A), entao: E(X) = 4 a 1 Var(X) = 2 e a expressao para a sua F(x) (fungao de distribuigaéo acumulada) é dada por 0 sex <0 Fy(x) = ’ x(x) 1-e*, sex>0 10/32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Seja X uma variável aleatória exponencial de parâmetro 2. Calcule: a) P(X < 1, 5) b) P(X > 0, 4). 11 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 x f(x) 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 x f(x) Figura 4: P(X < 1, 5) à esquerda e P(X > 0, 4) à direita para X ∼ Exp(2) 12 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Seja X uma variável aleatória exponencial tal que E(X) = 3. Calcule: a) P(3 < X < 6) b) P(X > 3). c) P(X > 6|X > 3). 13 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo 0 2 4 6 8 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 x f(x) 0 2 4 6 8 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 x f(x) Figura 5: P(X > 3) à esquerda e P(3 < X < 6) à direita para X ∼ Exp(1/3) 14 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Falta de memória do modelo exponencial Dentre todos os modelos para variáveis aleatórias contínuas, a distribuição exponencial é a única que possui a propriedade de “falta de memória”, isto é, se X ∼ Exp(λ), então: P(X ≥ t + s|X ≥ s) = P(X ≥ t); t, s ≥ 0 No quadro! 15 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Falta de memória do modelo exponencial Dentre todos os modelos para variáveis aleatórias contínuas, a distribuição exponencial é a única que possui a propriedade de “falta de memória”, isto é, se X ∼ Exp(λ), então: P(X ≥ t + s|X ≥ s) = P(X ≥ t); t, s ≥ 0 No quadro! 15 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Falta de memória do modelo exponencial A propriedade da falta de memória do modelo exponencial pode ser interpretado da seguinte forma: • Considere um componente que tem distribuição de tempo de vida exponencial. • Se ele durou até o instante t, então a probabilidade condicional de ele durar mais s unidades de tempo além do instante t, • é a mesma que um componente novo venha durar s unidades de tempo. 16 / 32 Principais modelos probabilisticos para variaveis aleatorias continuas Bibliografia OCODDODCOOOOOCOOO0@O00000000000000 ° Modelo Gama Um modelo continuo bastante versatil, e que possui muitas aplicagdes 6 o modelo Gama. 17/32 Principais modelos probabilisticos para variaveis aleatorias continuas Bibliografia OOODOCDODODDOODOOCNOO@O0O0C00000000000 O° Modelo Gama Um modelo continuo bastante versatil, e que possui muitas aplicagdes 6 o modelo Gama. Diremos que X segue 0 modelo Gamma, se sua densidade de probabilidade for dada por po 1,6 —1,-—8x f(x) = T(a) xe I(0,00)(X), sendo a e £ dois parametros positivos e com (a) sendo a fungao matematica Gama, definida por co (a) = | x*le*dx, a>0. 0 Usaremos a notagao X ~ Gama(a, 3) 17/32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Gama 0 1 2 3 4 0.0 0.2 0.4 0.6 x f(x) |(α = 2, β = 2) |(α = 3, β = 2) |(α = 2, β = 1) 0 1 2 3 4 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x FX(x) |(α = 2, β = 2) |(α = 3, β = 2) |(α = 2, β = 1) Figura 6: Densidade e função de distribuição acumulada do modelo Gama- conforme os parâmetros indicados nas legendas 18 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Gama Algumas propriedades da função Gama: i) Γ(α + 1) = αΓ(α), α > 0; ii) Γ(n) = (n − 1)!, n inteiro positivo; iii) Γ(1/2) = √π; Dependendo dos valores dos parâmetros, o modelo Gama recebe outros nomes: Parâmetros Nome especial Notação α = 1, β > 0 Exponencial Exp(β) α = n/2, n > 0 inteiro, β = 1/2 Qui-quadrado com n χ2(n) graus de liberdade α = k, k > 0 inteiro, β > 0 Erlang de ordem k Erlk(β) 19 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Gama Algumas propriedades da função Gama: i) Γ(α + 1) = αΓ(α), α > 0; ii) Γ(n) = (n − 1)!, n inteiro positivo; iii) Γ(1/2) = √π; Dependendo dos valores dos parâmetros, o modelo Gama recebe outros nomes: Parâmetros Nome especial Notação α = 1, β > 0 Exponencial Exp(β) α = n/2, n > 0 inteiro, β = 1/2 Qui-quadrado com n χ2(n) graus de liberdade α = k, k > 0 inteiro, β > 0 Erlang de ordem k Erlk(β) 19 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Gama Se X ∼ Gama(α, β), então: E(X) = α β Var(X) = α β2 . Exceto em situações especiais, a função de distribuição acumulada do modelo Gama não possui uma forma simples e compacta. 20 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Gama Se X ∼ Gama(α, β), então: E(X) = α β Var(X) = α β2 . Exceto em situações especiais, a função de distribuição acumulada do modelo Gama não possui uma forma simples e compacta. 20 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Normal ou Gaussiano • O modelo Normal ou gaussiano é um dos modelos mais importantes para variáveis aleatórias. • O modelo Normal foi estabelecido ao redor de 1733, pelo matemático Francês Abraham De Moivre. • Gauss, em seus estudos, mostrou que grande parte dos eventos ficam em torno de um valor médio, com uma certa variabilidade. • A distribuição Normal é um modelo simétrico em torno de sua média, apresentando um formato de sino 21 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Normal ou Gaussiano • O modelo Normal ou gaussiano é um dos modelos mais importantes para variáveis aleatórias. • O modelo Normal foi estabelecido ao redor de 1733, pelo matemático Francês Abraham De Moivre. • Gauss, em seus estudos, mostrou que grande parte dos eventos ficam em torno de um valor médio, com uma certa variabilidade. • A distribuição Normal é um modelo simétrico em torno de sua média, apresentando um formato de sino 21 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Normal ou Gaussiano • O modelo Normal ou gaussiano é um dos modelos mais importantes para variáveis aleatórias. • O modelo Normal foi estabelecido ao redor de 1733, pelo matemático Francês Abraham De Moivre. • Gauss, em seus estudos, mostrou que grande parte dos eventos ficam em torno de um valor médio, com uma certa variabilidade. • A distribuição Normal é um modelo simétrico em torno de sua média, apresentando um formato de sino 21 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Normal ou Gaussiano • O modelo Normal ou gaussiano é um dos modelos mais importantes para variáveis aleatórias. • O modelo Normal foi estabelecido ao redor de 1733, pelo matemático Francês Abraham De Moivre. • Gauss, em seus estudos, mostrou que grande parte dos eventos ficam em torno de um valor médio, com uma certa variabilidade. • A distribuição Normal é um modelo simétrico em torno de sua média, apresentando um formato de sino 21 / 32 Principais modelos probabilisticos para variaveis aleatorias continuas Bibliografia OOCODOCOOOCDOOOOCOOOCOOCO@O000000000 O° Modelo Normal Diremos que uma variavel aleatéria X tem distribuigao normal com parametros jp: e o? se sua densidade de probabilidade é dada por 1 (x — y)? f(x) = == exp 4 —+~—— po I x). ( ) V2nc2 p G2 ( 00,00) ( ) As constantes j: € 0? satisfazem as condicdes —oo < pp < co @ o* > 0. Usaremos a notagaéo X ~ N(j,07). 22/32 Principais modelos probabilisticos para variaveis aleatorias continuas Bibliografia OOCODOCOOOCDOOOOCOOOCOOCO@O000000000 O° Modelo Normal Diremos que uma variavel aleatéria X tem distribuigao normal com parametros jp: e o? se sua densidade de probabilidade é dada por 1 (x — y)? f(x) = == exp 4 —+~—— po I x). ( ) V2nc2 p G2 ( 00,00) ( ) As constantes j: € 0? satisfazem as condicdes —oo < pp < co @ o* > 0. Usaremos a notagaéo X ~ N(j,07). No modelo Normal, : 6 a média da distribuigao e o? é a variancia. 22/32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Normal −4 −2 0 2 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 x f(x) |(µ = 0, σ = 1) |(µ = 2, σ = 1) |(µ = −1, σ = 1) −4 −2 0 2 4 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x FX(x) |(µ = 0, σ = 1) |(µ = 2, σ = 1) |(µ = −1, σ = 1) Figura 7: Função densidade e função de distribuição acumulada do modelo Normal - conforme os parâmetros indicados 23 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Normal Se X ∼ N(µ, σ2), então: E(X) = µ Var(X) = σ2. 24 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Normal • A função de distribuição acumulada da N(µ, σ2) não tem uma forma fechada, e de fato, fazer o cálculo de probabilidades com a densidade Normal não pode ser feito pela integral, pois esta não possui primitiva. • Assim, os valores são obtidos por integração numérica e apresentados em tabela. • Não é necessário fazer uma tabela para cada par de valores dos parâmetros em que se tenha interesse. • É necessário tabelar as probabilidades para µ = 0 e σ2 = 1 25 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Normal • A função de distribuição acumulada da N(µ, σ2) não tem uma forma fechada, e de fato, fazer o cálculo de probabilidades com a densidade Normal não pode ser feito pela integral, pois esta não possui primitiva. • Assim, os valores são obtidos por integração numérica e apresentados em tabela. • Não é necessário fazer uma tabela para cada par de valores dos parâmetros em que se tenha interesse. • É necessário tabelar as probabilidades para µ = 0 e σ2 = 1 25 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Normal • A função de distribuição acumulada da N(µ, σ2) não tem uma forma fechada, e de fato, fazer o cálculo de probabilidades com a densidade Normal não pode ser feito pela integral, pois esta não possui primitiva. • Assim, os valores são obtidos por integração numérica e apresentados em tabela. • Não é necessário fazer uma tabela para cada par de valores dos parâmetros em que se tenha interesse. • É necessário tabelar as probabilidades para µ = 0 e σ2 = 1 25 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Normal • A função de distribuição acumulada da N(µ, σ2) não tem uma forma fechada, e de fato, fazer o cálculo de probabilidades com a densidade Normal não pode ser feito pela integral, pois esta não possui primitiva. • Assim, os valores são obtidos por integração numérica e apresentados em tabela. • Não é necessário fazer uma tabela para cada par de valores dos parâmetros em que se tenha interesse. • É necessário tabelar as probabilidades para µ = 0 e σ2 = 1 25 / 32 Principais modelos probabilisticos para variaveis aleatorias continuas Bibliografia OOOCODOCONDOODOO0OOCOO00000@00000 O° Modelo Normal 2 RQ — X=p poe Sendo X ~ N(u,0*), entao Z = ~—* tera distribuigao N(0, 1). 26/32 Principais modelos probabilisticos para variaveis aleatorias continuas Bibliografia OOODDOCOODODOOOOCNDOOCOOCOO000@O0000 O° Modelo Normal Sendo X ~ N(u,07), entao Z = xu tera distribuigao N(0, 1). De fato, temos xX — p(~— <2) = P(X<z0+pn) oO ZotH 4 x —p)? = / ——— exp = Wy ax -c V2r0? 20° 7, { y? \ — ——exp , —-— pay, [. V on a { 2 ¥ em que nesta ultima igualdade usamos y = (x — ,:)/o. Observe que este ultimo integrando é a fungao densidade de uma N(0, 1), e portanto o resultado esta verificado. 26/32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Normal • Com o auxílio do resultado anterior, convertemos as probabilidades de interesse em probabilidades equivalentes de uma N(0, 1) • A distribuição N(0, 1) é denotada por Normal padrão ou Normal reduzida e sua função de distribuição acumulada é representada por Φ(.) 27 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Normal • Com o auxílio do resultado anterior, convertemos as probabilidades de interesse em probabilidades equivalentes de uma N(0, 1) • A distribuição N(0, 1) é denotada por Normal padrão ou Normal reduzida e sua função de distribuição acumulada é representada por Φ(.) 27 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Modelo Normal Como ilustração, sendo X ∼ N(10, 4), desejamos obter a probabilidade de X estar entre 7 e 12. Temos P(7 < X < 12) = P(7 − 10 √ 4 < X − 10 √ 4 < 12 − 10 √ 4 ) = P(7 − 10 √ 4 < Z < 12 − 10 √ 4 ) = P(−3/2 < Z < 1) = Φ(1) − Φ(−3/2). O valor numérico poderia ser obtido com o uso da tabela da Normal padrão mencionada 28 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Seja X uma variável aleatória com distribuição N(30, 9). Calcular P(25 < X < 31). 29 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Seja X uma variável aleatória com distribuição N(10, 100). Calcular: a) P(X > 30) b) P(10 < X < 20) 30 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Exemplo Seja X uma variável aleatória com distribuição N(5, 16). Calcular: a) P(X < 3) b) P(3 < X < 9) 31 / 32 Principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas Bibliografia Referências bibliográficas i aaaa. 32 / 32