Slide - Vigas Flexão Normal Simples

EES150 Concreto Armado I Vigas: Flexão Normal Simples Prof. Leandro Lopes da Silva leandro@dees.ufmg.br Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Versão 01 Vigas: Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção Retangular - Equacionamento Em relação às Solicitações Normais, elementos estruturais do tipo laje e viga são submetidos preponderantemente ao esforço solicitante do tipo momento fletor agindo em relação a um dos eixos principais de inércia da seção, ou seja, submetidos à flexão normal simples. Em estruturas convencionais, as vigas têm, em sua maioria, seção retangular, ao passo que, a título de dimensionamento, as lajes podem ser interpretadas como compostas por faixas de seção retangular - normalmente de largura unitária - nas duas direções do plano que as define. Desta forma, particulariza-se aqui a discussão sobre Solicitações Normais para o caso de Flexão Normal Simples em Seção Retangular. O objetivo é formular um equacionamento para acelerar o processo de cálculo da armadura longitudinal de lajes e vigas, bem como de outros elementos estruturais sob condições de solicitação semelhantes. O equacionamento apresentado é atribuído ao Prof. José de Miranda Tepedino. Vigas: Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção Retangular - Equacionamento Na flexão simples, a linha neutra “corta” a seção transversal, ou seja, tem-se a seção parcialmente comprimida, logo, dos 5 domínios de deformação, têm- se como possíveis os domínios 2, 3 e 4. x > 0 b h encurtamento alongamento εcu εc2 εsu = 10‰ d 𝐴𝑠′ 𝐴𝑠 εyd CG da seção bruta reta “a” A 1 2 B 3 4 4a reta “b” C 5 𝜀𝑐𝑢 − 𝜀𝑐2 𝜀𝑐𝑢 h _ Domínios 2 e 3: εyd < εs ≤ εsu ⇒ σs = fyd ⇒ Seção subarmada _ Limite domínios 3/4: εs = εyd ⇒ σs = fyd ⇒ Seção normalmente armada _ Domínio 4: εs < εyd ⇒ σs < fyd ⇒ Seção superarmada Vigas: Flexao Normal Simples Flexao Normal Simples em Segao Retangular - Equacionamento Nao ha inconveniente técnico na superarmacao, no entanto, a superarmagao é antieconémica, pelo mau aproveitamento da capacidade resistente do ago. Por essa raz4o, sempre que possivel, devem-se projetar segdes subarmadas ou normalmente armadas, sendo a superarmada desaconselhavel pela NBR 6118:2014. Além disso, a NBR 6118:2014 prescreve: “A capacidade de rotacao dos elementos estruturais 6 fungao da posicao da linha neutra no ELU. Quanto menor é (x/d), tanto maior sera essa capacidade.” Visando proporcionar 0 adequado comportamento ductil em vigas e lajes, a posigao da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites: e x/d<0,45 para concretos C20 a C50 (Grupo |) e x/d<0,35 para concretos C55 a C90 (Grupo II) fon éL €3L Em ambos os casos, x2r/d < (x/d)z < x31/d, ou seja, o limite para a linha neutra esta contido no dominio 3. alongamento <——_} -—+> encurtamento @ 8 SE ey nach Roa = AS 8a e e AL x ea yn Re = feb-y " ca |“ ( cG Ma As Rse = As + fya eee - d” b ea <6, Sé,, Yo Ma,=0 0 Ma~ Rec (a- 3) —Ra(a-d')=0 2 Ma = fo-b-y (d— 8) + Al ola (d-a) (1) So Fr =0 1. Ra — Ree Rua =O As: fya = feb y+ As O50 (2) Adimensionando a Eq. (1), dividindo-a por f. - b- d?, obtém-se Ma _ fe-b-y(d=y/2) , Av-ola(d@=d') fo-b-d2 fe-b-d? fe-b-d? - A . a’ d' _ K’ Ss sd —_—— 3 em que: K= Ma (4) parametro adimensional que mede fe-b-d a intensidade do momento fletor ex- terno solicitante de calculo; K'=a (1 - 5) (5) parametro adimensional que mede 2 a intensidade do momento fletor in- terno resistente de calculo, devido ao concreto comprimido. sendo a= Yuin (6) A Eq. (5) pode ser reescrita de modo a explicitar a em termos de Kk’, isto é 9 a=1+V1—2K' X a ! _ > +a-—-kKk =0 > a=1-V1—-2k’ Vv (7) Isolando-se A’, na Eq. (3), obtém-se a expressao para o calculo da armadura comprimida 1 fe-b-d(K-K' =F" (Toa ®) Multiplicando e dividindo a Eq. (8) por fya, tem-se -b-d(K-K'\ 1 a= fobd (KOK 1 9 fa \1-a/a) ¢ °) emque: y= Osa <1 (10) @0nivel de tensao na armadura com- fya ~ primida; Isolando-se A, na Eq. (2), obtém-se a expressao para o calculo da armadura tracionada fe-b-y | AS Osa As = — + > 11 fa Sua ( Multiplicando e dividindo o primeiro termo do lado direito da Eq. (11) por d, Apa ee tae Alig (12) Sua As = Asi + As2 (13) Ag = fe bd (1 _V1- 2K") (14) Sua Ag = —— | ——— 15 2 Fa \taa'/d (15) Vigas: Flexao Normal Simples Flexao Normal Simples em Segao Retangular - Equacionamento Com as Eggs. (13), (14) e (15), calcula-se a armadura tracionada A, e, caso a parcela A.;2 seja diferente de zero, calcula-se a armadura comprimida, A’, AL= Asa (16) Y A armadura de compressao, A’, somente sera necessaria quando o momento fletor externo solicitante de calculo, Mj, (ou kK), implicar numa profundidade para a linha neutra superior aos limites prescritos na norma (€, = 0,45 - Grupo |; €; = 0,35 - Grupo Il), no caso de nao considera-la. Se esses limites nao forem ultrapassados, Mq sera equilibrado pelo concreto comprimido, isto é, K’ = K. Pode-se, entao, a partir desses limites e por meio da Eq. (5), determinar o maximo momento fletor externo solicitante de calculo, Mar (ou K,), em que nao se necessita de armadura de compressao, A‘: K, =Ki = (1-“) m que: = (4) = (=) = L ,=ay 5 emque: az qt F Er Vigas: Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção Retangular - Equacionamento Logo, faz-se: _ se K ≤ KL ⇒ K′ = K nas Eqs. (14) e (15); _ se K > KL ⇒ K′ = KL nas Eqs. (14) e (15). Vigas: Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção Retangular - Equacionamento Nível de tensão φ na armadura comprimida, A′ s: No cálculo da armadura comprimida, A′ s - Eq. (16), tem-se o nível de tensão, φ. Em geral, φ = 1, isto é φ = σ′ sd fyd = 1 ∴ σ′ sd = fyd A tensão na armadura comprimida, σ′ sd, depende da deformação ε′ s: _ se ε′ s ≥ εyd ⇒ σ′ sd = fyd ⇒ φ = 1; _ se ε′ s < εyd ⇒ σ′ sd = Es · ε′ s < fyd ⇒ φ < 1. A deformação ε′ s, por sua vez, depende da profundidade da linha neutra, x (ou ξ = x/d). Na condição de armadura dupla, ou seja, em que A′ s ̸= 0, essa profundidade é imposta, logo, previamente conhecida: ξL = (x/d)L . Nivel de tensao » na armadura comprimida, A‘: Por tanto, alongamento <——_| -—> encurtamento €o = Fey fs Seu XL @ xrLL— d’ 7 “cL _ 4 d e, = tL Te =a Ecu a (dominio 3) xL ZL. (i). (5) d/i d &, e, = ~@ " (17) d/ i Fazendo-se «, > €,q na Eq. (17), obtém-se uma relagao (d’/d) abaixo da qual se tem y = 1: Vigas: Flexao Normal Simples Flexao Normal Simples em Segao Retangular - Equacionamento Nivel de tensdo ,» na armadura comprimida, A‘: d’ x E —)<(=) (1-4 (18) d d/, Ecu Por tanto, com os valores de d’, d, 0 tipo de ago e a classe do concreto, pode- se estabelecer limites para a relagao d’/d (ou d/d’) para se ter y = 1: CA 25 CA 50 CA 60 CLASSE x £yd = 1,035 %o £yd = 2,070 %o Eyd = 2,484 %o parecer [3500 [os [aes [ones [sae [ora | 75 [ess [a5 [ozo | aare | erte | aaeo | ore | rasne | [eco | aoe | azar | a5 | ee | vores | vase | a0p00 [era | aes [ona | seer | earr | vaso | ooee | 74.720 [ors | zoe | ania | ares | onrs | ross | core | saan, [coo | 2am | oar | aren | onre | vases | 0016 | e700 | [eas [2600 [oat | ara | eart | vaore | ove | aoe [eso | 200 | onet | aver | onrt | rare | 0.016 | e405 | Vigas: Flexão Normal Simples Prescrições Normativas - Vigas i − Armadura longitudinal mínima de tração Conforme o item 17.3.5.1 da NBR 6118:2014: “A ruptura frágil das seções transversais, quando da formação da primeira fissura, deve ser evitada considerando-se, para o cálculo das armaduras, um momento mínimo dado pelo valor correspondente ao que produziria a ruptura da seção de concreto simples, supondo que a resistência à tração do concreto seja dada por fctk,sup, devendo também obedecer às condições relativas ao controle da abertura de fissuras...”. Ou seja, a armadura mínima de tração, As,min, deve ser determinada pelo dimensionamento da seção transversal a um momento fletor mínimo, Md,min. Este momento mínimo é definido como sendo aquele que produz na fibra mais tracionada da seção bruta de concreto uma tensão igual ao fctk,sup, ou seja, à resistência característica superior do concreto à tração, observado o regime não linear em tração, isto é Md,min = 0, 8 · W0 · fctk,sup (19) Vigas: Flexão Normal Simples Prescrições Normativas - Vigas i − Armadura longitudinal mínima de tração Em que W0 = Ic yt ; é o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto, relativo à fibra mais tracionada; Em seções retangulares: W0 = bh2 6 fctk,sup = 1, 3fct,m =      0, 39 (fck)2/3 MPa (Grupo I) 2, 756 ln (1 + 0, 11fck) MPa (Grupo II) (20) sendo fct,m a resistência média à tração do concreto. Além do As,min determinado pelo Md,min, deve-se respeitar um mínimo ab- soluto de 0, 150% da área bruta de concreto, Ac, isto é, As,min ≥ 0, 150%Ac. « — Armadura longitudinal minima de tragao E de se esperar que o dimensionamento para o momento fletor minimo, Ma,min, conduza a um valor Ma min 0, 8: Wo . fetk sup Kunin = ——S = AO" Ki*iK 21 feb P fb ~t 1) isto 6, segao transversal com armadura simples dada por As = As,min, Sendo K' = Knin.- Introduzindo-se as definigdes de f. e de Wo para secdes retangulares na Eq. (21), bem como multiplicando e dividindo o denominador por h”, tem-se Korg, = 0:8: fettsun bh? /6_ _ (__0,8- fetk,sup (22) Oe fer /Ye+ b+ (d/h)? - h? 6 + ae + (d/h)? Sek A partir da definigao de y., ac, (d/h) e€ fer, tem-se Kmin completamente definido por meio da Eq. (22). « — Armadura longitudinal minima de tragao Da Eq. (14), multiplicando e dividindo o numerador por h, fazendo K’ = Kimin e observando a Eq. (13) e que A;2 = 0, tem-se Asmin = Ochoa + b+ (d/h) -h (1 _V/I_— 2K min) _ fua =a: (d/h) (1 av 2K min) Ac fea. fua oo As.min fya _ . fya _ / . . Wmin = Ac fed —_ Pmin fed =Mc° (d/h) (1 ~~ 1 ~~ 2K min ) oe _ As,min _ fo LE fea Ae fua €M Que, Wmin @ Pmin SAO, respectivamente, as taxas mecanica e geométrica de armadura minima. Vigas: Flexão Normal Simples Prescrições Normativas - Vigas i − Armadura longitudinal mínima de tração A partir das Eqs. (22) e (23), podem-se construir tabelas a partir das quais se obtêm valores de As,min para diferentes combinações de seção retangular / aço / concreto / (d/h) / γc / γs. Para o caso de γc = 1, 4 e γs = 1, 15, tem-se: Vigas: Flexão Normal Simples Prescrições Normativas - Vigas i − Armadura longitudinal mínima de tração A partir das Eqs. (22) e (23), podem-se construir tabelas a partir das quais se obtêm valores de As,min para diferentes combinações de seção retangular / aço / concreto / (d/h) / γc / γs. Para o caso de γc = 1, 4 e γs = 1, 15, tem-se: Vigas: Flexão Normal Simples Prescrições Normativas - Vigas ii − Armadura de pele Em vigas com altura superior à 60 cm, é obrigatória a utilização de armadura de pele, lateral ou de costela. A mínima armadura de pele deve ser 0, 10%Ac em cada face da viga, com espaçamento não maior que 20 cm ou d/3. Em regiões tracionadas, para controle de fissuração, o espaçamento das barras da armadura de pele deve ser menor ou igual a 15 ϕl. As armaduras principais de tração, As, e de compressão, A′ s, não podem ser computadas no cálculo da armadura de pele. b h > 60 cm ϕl As A’s As,pele Vigas: Flexão Normal Simples Prescrições Normativas - Vigas iii − Armadura total na seção transversal (tração e compressão) Conforme o item 17.3.5.1 da NBR 6118:2014: “A especificação de valores máximos para as armaduras decorre da necessi- dade de se assegurar condições de ductilidade e de se respeitar o campo de validade dos ensaios que deram origem às prescrições de funcionamento do conjunto aço-concreto.” A soma das armaduras de tração, As, e de compressão, A′ s, não deve ser maior que 4% da área bruta do concreto, Ac, calculada fora da zona de emen- das, isto é As + A′ s ≤ 4%Ac. iv − Dimensões limites Conforme o item 13.2.1 da NBR 6118:2014: “A prescrição de valores-limites mínimos para as dimensões de elementos estruturais de concreto tem como objetivo evitar um desempenho inaceitável para os elementos estruturais e propiciar condições de execução adequadas.” A seção transversal das vigas não deve apresentar largura menor que 12 cm. Este limite pode ser reduzido, respeitando-se um mínimo absoluto de 10 cm em casos excepcionais. Vigas: Flexão Normal Simples Prescrições Normativas - Vigas v − Distribuição transversal das armaduras longitudinais O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal, deve ser igual ou superior ao maior dentre os seguintes valores: • na direção horizontal (ah): _ 20 mm; _ diâmetro da barra, do feixe ou da luva; _ 1,2 vez a dimensão máxima característica do agregado graúdo. • na direção vertical (av): _ 20 mm; _ diâmetro da barra, do feixe ou da luva; _ 0,5 vez a dimensão máxima característica do agregado graúdo. Vigas: Flexão Normal Simples Prescrições Normativas - Vigas v − Distribuição transversal das armaduras longitudinais b h ϕl ϕt c bútil av ah bútil = b − 2 (c + ϕt) em que c cobrimento nominal da armadura; ϕt diâmetro da armadura transversal. =⇒ Número máximo de barras por camada (nϕ/cam): nϕ/cam (ϕl + ah) − ah ≤ bútil ∴ nϕ/cam ≤ bútil + ah ϕl + ah Vigas: Flexão Normal Simples Prescrições Normativas - Vigas Vigas: Flexão Normal Simples Prescrições Normativas - Vigas Concreto Armado bw c = 3 cm Øt ØL Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 1 Para a viga ilustrada abaixo, pede-se dimensionar a armadura longitudinal. Considerar seção retangular de b = 16 cm de largura por h = 55 cm de altura, altura útil d = 49 cm e uma sobrecarga de 28 kN/m em toda a viga. p = g + q = (g + 28,0) kN/m 400 cm 16 cm 55 cm Dados: _ Obra em área rural (CAA I): _ CA-50; _ γConcreto Armado = 25 kN/m3; _ d’ = d’’ = 6 cm ⸫ d = 55 – 6 = 49 cm; _ γf = 1,4; _ γc = 1,4; _ γs = 1,15. g – carga permanente q – carga acidental – fck = 20 MPa; – c = 25 mm; Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 1 (i) Definição do carregamento p = g + q = (g + 28, 0) kN/m = 0, 16 × 0, 55 × 25, 0 + 28, 0 = 30, 2 kN/m (ii) Análise estrutural p = 30,2 kN/m 4,0 m Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 1 (i) Definição do carregamento p = g + q = (g + 28, 0) kN/m = 0, 16 × 0, 55 × 25, 0 + 28, 0 = 30, 2 kN/m (ii) Análise estrutural M p = 30,2 kN/m 4,0 m Mmáx = pl2 8 = 30, 2 × 42 8 = 60, 4 kNm = 6.040, 0 kNcm (iit) Valores de calculo _ _ Sek _ 2,0 _ 2 fe = Qc+ fea = Ae yn 0,85 x wor 1,214 kN/cm _ fuk _ 50 _ 2 fya = 7, LIB 43,48 kN/cm Ma = y¢ > Mmax = 1,4 x 6.040, 0 = 8.456,0 kKNcm (iv) Calculo da armadura Ma 8.456, 0 ’ fe:b-d2 1,214 x 16 x 492 0,181 < Kr = 0,295 (armadura simples) Ay = Ag = 4 1 — Vi”) = fua 1,214 x 16 x 49 = 2s (1- 1-20, 181) =4, 2 73,48 (1— JI —2x 0, 181) = 4,405 cm Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 1 (v) Verificação da armadura longitudinal mínima de tração (d/h) = 49 55 ≈ 0, 90 → ρmin = 0, 150% ∴ As,min = 0, 150% × (16 × 55) = 1, 320 cm2 < As = 4, 405 cm2 ✓ (vi) Detalhamento Número de barras: nϕ = As/Asϕ (arredondado para cima) ϕ 6, 3 mm → 15 ϕ ⇒ As,real = 4, 676 cm2 ϕ 8, 0 mm → 9 ϕ ⇒ As,real = 4, 524 cm2 ϕ 10, 0 mm → 6 ϕ ⇒ As,real = 4, 712 cm2 ϕ 12, 5 mm → 4 ϕ ⇒ As,real = 4, 909 cm2 ϕ 16, 0 mm → 3 ϕ ⇒ As,real = 6, 032 cm2 ϕ 20, 0 mm → 2 ϕ ⇒ As,real = 6, 283 cm2 Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 1 (v) Verificação da armadura longitudinal mínima de tração (d/h) = 49 55 ≈ 0, 90 → ρmin = 0, 150% ∴ As,min = 0, 150% × (16 × 55) = 1, 320 cm2 < As = 4, 405 cm2 ✓ (vi) Detalhamento Número de barras: nϕ = As/Asϕ (arredondado para cima) ϕ 6, 3 mm → 15 ϕ ⇒ As,real = 4, 676 cm2 ϕ 8, 0 mm → 9 ϕ ⇒ As,real = 4, 524 cm2 ϕ 10, 0 mm → 6 ϕ ⇒ As,real = 4, 712 cm2 ✓ ϕ 12, 5 mm → 4 ϕ ⇒ As,real = 4, 909 cm2 ϕ 16, 0 mm → 3 ϕ ⇒ As,real = 6, 032 cm2 ϕ 20, 0 mm → 2 ϕ ⇒ As,real = 6, 283 cm2 Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 1 (vi.1) Detalhamento transversal (supondo ϕt = 6, 3 mm) bútil = b − 2 (c + ϕt) = 16 − 2 × (2, 5 + 0, 63) = 9, 74 cm ∴ nϕ/cam ≤ bútil + ah ϕl + ah = 9, 74 + 2, 0 1, 0 + 2, 0 ≈ 3, 9 ∴ nϕ/cam = 3 2  6,3 mm (montagem) 6  10,0 mm Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 1 (vi.1.1) Verificação do dReal (supondo ϕt = 6, 3 mm) d1” d2” d” d′′ 1 = c + ϕt + ϕl/2 = = 2, 5 + 0, 63 + 1, 0/2 = 3, 63 cm d′′ 2 = c + ϕt + ϕl + av + ϕl/2 = = 2, 5+0, 63+1, 0+2+1, 0/2 = 6, 63 cm d′′ Real = 3Aϕ10d′′ 1 + 3Aϕ10d′′ 2 6Aϕ10 = = 3 × 3, 63 + 3 × 6, 63 6 = 5, 13 cm dReal = h − d′′ Real = = 55 − 5, 13 = 49, 87 cm > d ✓ (vi.1.2) Posigao da linha neutra a= 4-1 _vi-oR “ d 49 r= 5 (1- V1 — 2k") = O85 (1— JI —2x 0,181) ~ 12,3 cm 7 WL Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 1 (vi.2) Detalhamento longitudinal (esboço) 2  6,3 mm (montagem) 6  10,0 mm N1 – 6  10,0 mm – C = XXX cm N2 – 2  6,3 mm – C = YYY cm Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 2 Para a seção transversal ilustrada abaixo, submetida a um momento fletor M = 73, 85 kNm, pede-se determinar a altura útil mínima, dL, de modo a se adotar somente armadura simples (A′ s = 0), e calcular a armadura. 25 cm dL Dados: _ Obra em área rural (CAA I): _ CA-50; _ d’’ = 6 cm; _ γf = 1,4; _ γc = 1,4; _ γs = 1,15. – fck = 20 MPa; – c = 25 mm; (i) Valores de calculo c. 2, fo =e fea = Ove L% = 0,85 x 29 = 1,214 kNiom? Ye 1,4 _ fuk _ 50 _ 2 fya = 7, LIB 43,48 kN/cm Ma = y¢ > Mmax = 1,4 x 7.385, 0 = 10.339,0 kKNcm (ii) Calculo da altura Ultil minima, d_, para se ter A, = 0 A,=0 <= K<Kz,z, logo, da Eq. (4), Ma Ma Ma k=, < Ki. d>\/2——__.. =,/>———_-~. feb >” NV fe-b- Kr du = Fb _ [-_10.339,0 ~ a _ dy = TD1d x 25 x 0,205 34cm .. h=d+d"=34+6=40cm (iii) Calculo da armadura (K = Kr, .. K’ = K = Kr, = 0,295) Ay = An = 4 /T— 2K") = fua 1,214 x 25 x 34 = oes (1 — VI—2 x 0,295) =8, 2 73,48 (1— /1—2x 0,295) = 8,536 cm (iv) Verificagaéo da armadura longitudinal minima de tragao 34 (d/h) = 7, = 0,85 + pmin =0,150% As,min = 0,150% x (25 x 40) = 1,500 cm? < A, = 8,536cm? ¥ (v) Detalhamento 11.¢10,0mm; As reat = 8,639. 0M?; Ng/cam = 6 7612,5mm; As,reai = 8,590 CM"; Ng/cam = 6 5616,0mm; As reat = 10,053.6M?; Ng/cam =5 (iii) Calculo da armadura (K = Kr, .. K’ = K = Kr, = 0,295) Ay = An = 4 /T— 2K") = fua 1,214 x 25 x 34 = oes (1 — VI—2 x 0,295) =8, 2 73,48 (1— /1—2x 0,295) = 8,536 cm (iv) Verificagaéo da armadura longitudinal minima de tragao 34 (d/h) = 7, = 0,85 + pmin =0,150% As,min = 0,150% x (25 x 40) = 1,500 cm? < A, = 8,536cm? ¥ (v) Detalhamento 11.¢10,0mm; As reat = 8,639. 0M?; Ng/cam = 6 7612,5mm; As,reai = 8,590 CM; Ngjcam =6 V 5616,0mm; As reat = 10,053.6M?; Ng/cam =5 Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 2 (v.1) Detalhamento transversal (supondo ϕt = 6, 3 mm) 2  6,3 mm (montagem) 7  12,5 mm x = 0,45d = 15,3 cm d1” d2” d” d′′ 1 = c + ϕt + ϕl/2 = = 2, 5 + 0, 63 + 1, 25/2 = 3, 755 cm d′′ 2 = c + ϕt + ϕl + av + ϕl/2 = = 2, 5 + 0, 63 + 1, 25 + 2 + 1, 25/2 = = 7, 005 cm d′′ Real = 6Aϕ12,5d′′ 1 + 1Aϕ12,5d′′ 2 7Aϕ12,5 = = 6 × 3, 755 + 1 × 7, 005 7 = 4, 22 cm dReal = h − d′′ Real = = 40 − 4, 22 = 35, 78 cm > d ✓ Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 3 Para a viga ilustrada abaixo, pede-se dimensionar a armadura longitudinal. Considerar seção retangular de b = 15 cm de largura por h = 60 cm de altura e que o carregamento apresentado já considera o peso próprio. 40,0 kN/m 600 cm 600 cm 15 cm 60 cm Dados: _ Obra em área urbana (CAA II): _ CA-50; _ d’ = d’’ = 6 cm ⸫ d = 60 – 6 = 54 cm; _ γf = 1,4; _ γc = 1,4; _ γs = 1,15. – fck = 25 MPa; – c = 30 mm; 12,5 kN/m 12,5 kN/m 120 cm 120 cm Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 3 (i) Análise estrutural 600 cm 600 cm 107,25 kN 107,25 kN 295,50 kN 120 cm 120 cm 12,5 kN/m 12,5 kN/m 40,0 kN/m Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 3 (i) Análise estrutural 600 cm 600 cm 107,25 kN 107,25 kN 295,50 kN 120 cm 120 cm 12,5 kN/m 12,5 kN/m 40,0 kN/m M [kNm] 175,50 97,376 97,376 9,00 9,00 A B C D E F G Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 3 (ii) Valores de cálculo fc = αc · fcd = αc · fck γc = 0, 85 × 2, 5 1, 4 = 1, 518 kN/cm2 fyd = fyk γs = 50 1, 15 = 43, 48 kN/cm2 M B d = γf · M B = 1, 4 × 900 = 1.260, 00 kNcm M D d = γf · M D = 1, 4 × 900 = 1.260, 00 kNcm = M B d M C d = γf · M C = 1, 4 × 17.550 = 24.570, 00 kNcm M F d = γf · M F = 1, 4 × 9.737, 6 = 13.632, 64 kNcm M G d = γf · M G = 1, 4 × 9.737, 6 = 13.632, 64 kNcm = M F d (iit) Calculo das armaduras _ Obs.: Armadura longitudinal minima de tragao: 54 (d/h) = 60 = 0,90 > pmin =0,150% «. As,min = 0, 150% x (15 x 60) = 1,350 cm? _ Momento negativo em B e D: M, = 1.260,0 kNcm Ma 1.260, 0 ’ Fob @ ~ 1,518x 15 xpd ~ P0198 < Be = 0,295 (armadura simples) Ay = Ag = 4 (1 /1 — 2K’) _ fua 1,518 x 15 x 54 = 2 ~~ JI—2x 0,019 =V, ? s,;min 73,48 (1-— VI—2 0,019) = 0,543 em? < Ag, Logo, As = As.min = 1,350 em? (iit) Calculo das armaduras 566,3mm; As reat =1,5590M?; rg/cam =3 368,0mm; As,reat = 1,508CM?; nojcam =3 V 2$10,0mm; As,reat = 1,571 0M; Ngjcam = 3 3 980mm a _ Suponto ¢; = 6,3 mm: dgeal = C+ be + $1/2 = = 3+0,63+0,8/2 = 4,03 cm deal = h — real = = 60—4,03=55,97Tcm>d V d = y (1- V1 2K’) = 4 “fre Lem = 2 (I= vI=2X0,019) ~ 1,30 2463 mm ’ (montagem) (iti) Calculo das armaduras _ Momento negativo em C: MM, = 24.570,0 kNcm Ma 24.570, 0 , K =, = —__,, © 0,370 > K, = 0,295 «. K'=Kr fe: b-d? = 1,518 x 15 x 54? (armadura dupta) As = Asi + Ags2 Ay = te bd (1— VI—2K’) = fua 1,518 x 15 x 54 2 ="—3Bas (1— VI —2 x 0,295) = 10,172 cm fe:b-d (K—K’' Asz = —— |—, ] = Sua 1—d'/d 1,518 x 15 x 54 (0,370 — 0,295 2 = 2—_____ [| 2_—___—_ = 2, 386 cm 43, 48 ( 1— 6/54 ) , Ag = 10,172 + 2,386 = 12,558 cm? > Asmin V Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 3 (iii) Cálculo das armaduras 11 ϕ 12, 5 mm; As,real = 13, 499 cm2; nϕ/cam = 2 7 ϕ 16, 0 mm; As,real = 14, 074 cm2; nϕ/cam = 2 4 ϕ 20, 0 mm; As,real = 12, 566 cm2; nϕ/cam = 2 ✓ 3 ϕ 25, 0 mm; As,real = 14, 726 cm2; nϕ/cam = 2 d1” d2” d” d′′ 1 = c + ϕt + ϕl/2 = = 3 + 0, 63 + 2/2 = 4, 63 cm d′′ 2 = c + ϕt + ϕl + av + ϕl/2 = = 3 + 0, 63 + 2 + 2 + 2/2 = 8, 63 cm d′′ Real = 2Aϕ20d′′ 1 + 2Aϕ20d′′ 2 4Aϕ20 = 2 × 4, 63 + 2 × 8, 63 4 = 6, 63 cm dReal = h − d′′ Real = 60 − 6, 63 = 53, 37 cm < d X (recalcular!) (iit) Calculo das armaduras _ Recalculando com d = 53,37 cm: 24.570, 0 K = ———__—__. © 0,379 > Kr = 0,295 »«. K’=K 1,518 x 15x53,372 77 7 ESO & (armadura dupla) As = Asi + As2 1,518 x 15 x 53, 37 2 Ag = “Be (1— “1-2 0,295) = 10,053 cm 1,518 x 15 x 53,37 (0,379 — 0,295 As a (I = 2.64 m? 2 43, 48 ( 1 — 6/53, 37 ) 845 ¢ As = Asi + Asz = 10,053 + 2,645 = 12,698 cm? > 4 ¢ 20mm Xx (trocar detalhamento!) 7616,0mm; As,reai = 14,0740M?; Ng /cam = 2 5¢20,0mm; As.reat = 15,708 M7; Ng /cam = 2 36 25,0mm; As reat = 14,7260M?; Ng/cam =2 V Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 3 (iii) Cálculo das armaduras d1” d2” d” d′′ 1 = c + ϕt + ϕl/2 = = 3 + 0, 63 + 2, 5/2 = 4, 88 cm d′′ 2 = c + ϕt + ϕl + av + ϕl/2 = = 3+0, 63+2, 5+2, 5+2, 5/2 = 9, 88 cm d′′ Real = 2Aϕ25d′′ 1 + 1Aϕ25d′′ 2 3Aϕ25 = 2 × 4, 88 + 1 × 9, 88 3 = 6, 55 cm dReal = h − d′′ Real = 60 − 6, 55 = 53, 45 cm > d = 53, 37 cm ✓ Sendo K > KL, A′ s ̸= 0, logo: d′ d = 6 53, 37 ≈ 0, 112 < 0, 184 ⇒ φ = 1 ∴ A′ s = As2 φ = 2, 645 1 = 2, 645 cm2 6 ϕ 8, 0 mm; A′ s,real = 3, 016 cm2; nϕ/cam = 3 ✓ 4 ϕ 10, 0 mm; A′ s,real = 3, 142 cm2; nϕ/cam = 3 Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 3 (iii) Cálculo das armaduras _ Obs.: Armadura total na seção transversal: As + A′ s = 14, 726 + 3, 016 = 17, 742 cm2 < 4% × (15 × 60) = 36 cm2 ✓ 6  8,0 mm 3  25,0 mm x = 24,0 cm d1’ d2’ d’ d′ 1 = c + ϕt + ϕl/2 = = 3 + 0, 63 + 0, 8/2 = 4, 03 cm d′ 2 = c + ϕt + ϕl + av + ϕl/2 = = 3 + 0, 63 + 0, 8 + 2 + 0, 8/2 = 6, 83 cm d′ Real = 3Aϕ8,0d′ 1 + 3Aϕ8,0d′ 2 6Aϕ8,0 = = 3 × 4, 03 + 3 × 6, 83 6 = 5, 43 cm ∴ d′ Real = 5, 43 cm < d′ = 6 cm ✓ x = 0, 45d = 0, 45 × 53, 37 ≈ 24, 0 cm (iit) Calculo das armaduras _ Momento positivo em F e G: M, = 13.632,64 kNcm Ma 13.632, 64 , K = = — 0,205 < Kr = 0,295 1. K'=K fob -@ 1,518xl5x5R SES” . (armadura simples) Ay = As = £224 (1 — VI= 3’) = ya 1,518 x 15 x 54 = 2 —_ V1 —2 x 0,205 = ’ 2 s,min 13,48 (1— /1— 2 0, 205) = 6,558 cm? > Ag, v 9610,0mm; As reat = 7,0690M?; Ng/cam = 3 6612,5mm; As reat = 7,3630M?; Ng/cam = 2 4616,0mm; As reat = 8,042 M7; ngjceam=2 V 320,0mm; As,reat = 9,4250M7; Ng/cam = 2 2625,0mm; As,reai =9,817CM?; Ng/cam = 2 Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 3 (iii) Cálculo das armaduras 2  6,3 mm (montagem) 4  16,0 mm x = 15,8 cm d1” d2” d” d′′ 1 = c + ϕt + ϕl/2 = = 3 + 0, 63 + 1, 6/2 = 4, 43 cm d′′ 2 = c + ϕt + ϕl + av + ϕl/2 = = 3 + 0, 63 + 1, 6 + 2 + 1, 6/2 = 8, 03 cm d′′ Real = 2Aϕ16,0d′′ 1 + 2Aϕ16,0d′′ 2 4Aϕ16,0 = = 2 × 4, 43 + 2 × 8, 03 4 = 6, 23 cm ∴ dReal = h − d′′ Real = = 60 − 6, 23 = 53, 77 cm < d X (recalcular!) (iit) Calculo das armaduras _ Recalculando com d = 53,77 cm: Ma 13.632, 64 ’ K = —~ = —_——_ 8 0,207 < K, = 0,295 -. Ko = K fo-b-@ 1,518x15x53,72 (armadura simples) As = Asi = fe b-d (1— V1 — 2K’) = fua 1,518 x 15 x 53,77 = Se Ce a (1 — I —2 x0, 207) = 6,603 cm? < 44 16,0 mm , (detalhamento atende!) r= 2 (1— V1— 2K") = ae (1— 1-2 0,207) = 15,8¢em Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 3 (iv) Detalhamento longitudinal (esboço) 2  6,3 mm (montagem) 2  6,3 mm (montagem) 3  8,0 mm 3  8,0 mm 6  8,0 mm 3  25,0 mm 2  6,3 mm (montagem) 2  6,3 mm (montagem) 4  16,0 mm 4  16,0 mm N1 – 3  8,0 mm – C = AAA cm N1 N2 – 2  6,3 mm – C = BBB cm N2 N3 – 3  25,0 mm – C = CCC cm N4 – 6  8,0 mm – C = DDD cm N5 – 4  16,0 mm – C = EEE cm N5 N6 – 2  6,3 mm – C = FFF cm N6 Vigas: Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção “T” ou “L” - Equacionamento As vigas de concreto armado são normalmente construídas solidárias às lajes que nelas se apoiam, tal que, em trabalho, se deformam conjuntamente. Se a região comprimida da seção transversal da viga for a contígua à(s) laje(s), parte da(s) laje(s) (mesa colaborante) contribuirá para a resistência da viga, aumentando a área de concreto comprimida. P1 P2 P3 P4 P5 P6 L1 L2 V1 .a. .b. V2 .a. .b. V3 V4 V5 PRODUCED BY AN AUTODESK STUDENT VERSION PRODUCED BY AN AUTODESK STUDENT VERSION PRODUCED BY AN AUTODESK STUDENT VERSION PRODUCED BY AN AUTODESK STUDENT VERSION Vigas: Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção “T” ou “L” - Equacionamento As vigas de concreto armado são normalmente construídas solidárias às lajes que nelas se apoiam, tal que, em trabalho, se deformam conjuntamente. Se a região comprimida da seção transversal da viga for a contígua à(s) laje(s), parte da(s) laje(s) (mesa colaborante) contribuirá para a resistência da viga, aumentando a área de concreto comprimida. M V4: M V1: L.N L.N L.N L.N 7 » alongamento <——_ > encurtamento I 7] Ee Sb ey fo =e fea Rig = Ab -oly ect = Ice’ Pw h d OS PT CG Ma Rst = As: fya + , 5 d” b,, by SE, Sb yy DO Ma, = 0 2. Ma = Rect (d= 4) = Roca (a- “) ~ Ria (d—d’) =0 ~. Ma = fe- dw -y(a— *) + fe (by — bw) hy (a- ") +Al-otg(d—d’) (24) So Fi =0 0. Rst — Ree1 — Ree2 — Roa =0.. As: fya = fe: bw- y+ fe (bp — bw) hp + AS + Oba (25) Adimensionando a Eq. (24), dividindo-a por f. - b. - d?, obtém-se Ma _ fe-bw-y(d~y/2) | folby ~ bw) hy (d= hg /2) fe + bw + d? fo + bw + d? fe: bw + d? At oa (d— a’) 8 26 + PB (26) Passando o segundo termo do lado direito da Eq. (26) para o lado esquerdo, observando-se ainda a definigao de » dada na Eq. (10), tem-se — Ma _ (or 4) hr (py br) 9 Q & fo by P (7% 1) d ( dd) ~ d (2 oD + Ap: fya (, a) . + fe + bw +d (1 7) “ ! A’ “Pp: fua d’ _ _# 27 Vigas: Flexao Normal Simples Flexao Normal Simples em Segao “T” ou “L’ - Equacionamento Em que, deve-se observar, no equacionamento de secao “T” ou “L’, Ma by hy hy = -(+-1)4(1-= 2 K fo Bw + a (¥ \4 2d (28) é parametro adimensional que mede a intensidade do momento fletor externo solicitante de calculo remanescente a ser resistido pela alma da secao (isto 6, pela viga propriamente dita, uma vez que subtrai do momento externo a parcela resistida pelas abas da mesa); Ja o “parametro adimensional que mede a intensidade do momento fletor interno resistente de calculo, devido ao concreto comprimido”, K’, refere-se a regiao de concreto comprimida na alma (na viga propriamente dita), tal como no equacionamento de segao retangular, isto é, K'=a (1 — 5) (5 revisitada) . . y rA& a sendo, aquitambém, a= a7 da7 AE (6 revisitada) Analogamente ao equacionamento de secao retangular, da Eq. (5), 9 a=1+V1—2K’ X a ! _ > +a-—-kKk =0 > a=1-vV1-2k’ v (7 revisitada) Isolando-se A‘, na Eq. (27), obtém-se a expressao para o calculo da armadura comprimida ‘bw: d (K—-K'\ 1 a= fobed (KOK) 1 29 Tua \1-a/a) (29) O nivel de tensao na armadura comprimida, Osa wo p= Se <1 (10 revisitada) fua é definido tal como no equacionamento de segao retangular, sendo, pois, os mesmos limites para d’/d abaixo dos quais se tem y = 1. Isolando-se A, na Eq. (25), obtém-se a expressao para o calculo da armadura tracionada fe+bw-y , fe(bp bw) ht , As+ Oba As = + + 30 fua fya Fuad ( ) Multiplicando e dividindo os dois primeiros termos do lado direito da Eq. (30) por d, fe: buy +d by hy , s=—— > -1)— 3° o 1 A Foa at 5, 1 d +A,-y (31) (2) Ag = ferbw-d : — JT= KT + (#2 - 1) “| (33) fya by d fo bw-d (—*) Agz = ——— _ | ——— 34 2 Toa i-d/d (34) Vigas: Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção “T” ou “L” - Equacionamento Com as Eqs. (32), (33) e (34), calcula-se a armadura tracionada As e, caso a parcela As2 seja diferente de zero, calcula-se a armadura comprimida, A′ s, A′ s = As2 φ (35) Como no equacionamento de seção retangular, a armadura de compressão, A′ s, somente será necessária visando ductilidade, isto é, visando limitar a profundidade da linha neutra (ξL = 0, 45 - Grupo I; ξL = 0, 35 - Grupo II). Essa condição é garantida fazendo-se: _ se K ≤ KL ⇒ K′ = K nas Eqs. (33) e (34); _ se K > KL ⇒ K′ = KL nas Eqs. (33) e (34). em que, aqui, KL representa o máximo momento fletor externo solicitante de cálculo remanescente a ser resistido pela alma em que não se necessita de armadura de compressão, A′ s Sendo a equação que define K′ a mesma em ambos os equacionamentos, Eq. (5), observa-se que os valores de KL são os mesmos já apresentados. A esta altura, deve-se observar que 0 equacionamento de secdes “T” ou “L” parte do principio que toda a espessura hy; da aba da mesa colaborante esta sob f., isto é, que y > hr, sendo, pois, aplicavel somente nestes casos. Desta forma, é conveniente se definir um momento de referéncia, Maret, acima do qual y > hy: L by / LLL LLL. Am 4 d hg Maret = fe: bp - hye | d— > (36) Vigas: Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção “T” ou “L” - Equacionamento Logo, pode-se fazer: _ se Md > Md,Ref ⇒ y > hf ⇒ equacionamento seção “T” ou “L”; _ se Md ≤ Md,Ref ⇒ y ≤ hf ⇒ ???? h CG bf y < hf x Vigas: Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção “T” ou “L” - Equacionamento Logo, pode-se fazer: _ se Md > Md,Ref ⇒ y > hf ⇒ equacionamento seção “T” ou “L”; _ se Md ≤ Md,Ref ⇒ y ≤ hf ⇒ ???? h CG bf y < hf x Vigas: Flexão Normal Simples Flexão Normal Simples em Seção “T” ou “L” - Equacionamento Logo, pode-se fazer: _ se Md > Md,Ref ⇒ y > hf ⇒ equacionamento seção “T” ou “L”; _ se Md ≤ Md,Ref ⇒ y ≤ hf ⇒ equacionamento seção retangular bf × h. h CG bf y < hf x Para a determinagao da largura da mesa colaborante, by, considera-se o corte genérico de uma forma: bp= bY + by +b; BP= be + by + by, b; b, b, db, by by by 0 5 bo ba b<¢ b3 < O,la O,la a- distancia entre pontos de momento fletor nulo no trecho da viga em analise. (comprimento em que se aplica o recurso de segao “T” ou “L’ no trecho) Vigas: Flexão Normal Simples Determinação da largura da mesa colaborante (bf) Para uma análise mais precisa, sugere-se que a medida a seja determinada a partir do diagrama “real” de momentos fletores da viga. De forma simplificada, pode-se estimar esta medida em um trecho como: p ℓ 𝑎 = 1,00 ℓ p ℓ 𝑎 = 0,75 ℓ 𝑎 𝑎 p ℓ 𝑎 = 0,60 ℓ 𝑎 p ℓ 𝑎 = 2,00 ℓ Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 4 Para a viga V2 da planta estrutural abaixo, pede-se dimensionar a armadura longitudinal utilizando o recurso de seção “T” ou “L” quando aplicável. Para tanto, considerar uma carga p = g + q = 50 kN/m em toda a viga. P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 L1 L2 V1 .a. .b. V2 .a. .b. V3 .a. .b. V4 .a. .b. 20 580 20 480 20 V5 .a. .b. 20 400 20 400 20 V4 .a. .b. 37 8 PRODUCED BY AN AUTODESK STUDENT VERSION PRODUCED BY AN AUTODESK STUDENT VERSION PRODUCED BY AN AUTODESK STUDENT VERSION PRODUCED BY AN AUTODESK STUDENT VERSION (medidas em cm) Para a viga V2 da planta estrutural abaixo, pede-se dimensionar a armadura longitudinal utilizando 0 recurso de secao “T” ou “L’ quando aplicavel. Para tanto, considerar uma carga p = g + q = 50 KN/m em toda a viga. Dados: , — fer = 25 MPa; _ Obra em area urbana (CAA Il): Fer * —c= 30mm; _ Ago CA-50; _d=d"=6cem .~, d=45—-6=39cm; wv =1,4 — Ye = 1, 4; Ys = 1,15. Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 4 (i) Análise estrutural 600 cm 500 cm 117,71 kN 86,25 kN 346,04 kN 50,0 kN/m Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 4 (i) Análise estrutural 600 cm 500 cm 117,71 kN 86,25 kN 346,04 kN 50,0 kN/m M [kNm] 138,55 193,75 74,39 470 cm 345 cm A B C D E Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 4 (ii) Valores de cálculo fc = αc · fcd = αc · fck γc = 0, 85 × 2, 5 1, 4 = 1, 518 kN/cm2 fyd = fyk γs = 50 1, 15 = 43, 48 kN/cm2 M D d = γf · M D = 1, 4 × 13.855, 0 = 19.397, 0 kNcm M E d = γf · M E = 1, 4 × 7.439, 0 = 10.414, 6 kNcm M B d = γf · M B = 1, 4 × 19.375, 0 = 27.125, 0 kNcm (iit) Calculo das armaduras _ Momento positivo em D: MM, = 19.397,0 kNcm => Uma vez que este momento fletor comprime a regiao da segao contigua a laje, o recurso de segao “T” ou “L’ se aplica, logo: bp= 2040," + bY" 400 cm oe a 400 cm 20cm ms {one jesauerda — J 0,5 x 400 = 200 om paireta — J 0,5 x 400 = 200 om 1 ~ )0,1x470=47em Vv ‘= )0,1x470=470m Vv by = 20+ 474+ 47=114cem (iit) Calculo das armaduras 114cm Sem 45 cm Yeo 6cm 20cm h Maret = fe: bg - he («- “) = =1,518x114x8 (s9 — 5) = 48.454,56 kKNcm Logo, Ma < Maret = y< hy = equacionamento segao retangular by x h. (iti) Calculo das armaduras Ma 19.397, 0 ' K =~, = -— 5 £0,074 < Kr, = 0,295 «. K'=K fe bd? 1,518 x 114 x 39? (armadura simples) fe:b-d As = Ast = “3— (1- V1- 2K") = Sua 1,518 x 114 x 39 2 = oe (1 YT — 2 x 0,074) = 11,94 13, 48 (1— JI —2x 0,074) 946 cm => Verificagao da armadura longitudinal minima de tragao: Mamin =0,8+ Wo - fetk,sup = 0,8-1/yt-0,39(fer)?/> cl fer em MPa _ — 14x 8 x 41 + 20 x 37 x 18,5 3) om Ye You = 114 x 8 + 20 x 37 * 3 3 I= BES + 1d x 8x (41 — 31)? + 77 4. 90 x 37 x (31 — 18,5)? & e 296.111 cm* Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 4 (iii) Cálculo das armaduras Md,min = 0, 8 × 296.111 31 × 0, 39 (25)2/3 10 = 2.548, 05 kNcm ∴ Md,min = 2.548, 05 kNcm < Md = 19.397, 0 kNcm ⇒ As,min < As ✓ As,min,abs = 0, 150% (114 × 8 + 20 × 37) = 2, 478 cm2 < As = 11, 946 cm2 ✓ Logo, emprega-se As = 11, 946 cm2 10 ϕ 12, 5 mm; As,real = 12, 272 cm2; nϕ/cam = 4 6 ϕ 16, 0 mm; As,real = 12, 064 cm2; nϕ/cam = 4 ✓ 4 ϕ 20, 0 mm; As,real = 12, 566 cm2; nϕ/cam = 3 3 ϕ 25, 0 mm; As,real = 14, 726 cm2; nϕ/cam = 3 Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 4 (iii) Cálculo das armaduras d1” d2” d” d′′ 1 = c + ϕt + ϕl/2 = = 3 + 0, 63 + 1, 6/2 = 4, 43 cm d′′ 2 = c + ϕt + ϕl + av + ϕl/2 = = 3 + 0, 63 + 1, 6 + 2 + 1, 6/2 = 8, 03 cm d′′ Real = 4Aϕ16d′′ 1 + 2Aϕ16d′′ 2 6Aϕ16 = = 4 × 4, 43 + 2 × 8, 03 6 = 5, 63 cm dReal = h − d′′ Real = = 45 − 5, 63 = 39, 37 cm > d ✓ (iit) Calculo das armaduras _ Momento positivo em E: M/, = 10.414, 6 kKNcm => Uma vez que este momento fletor comprime a regiao da segao contigua a laje, o recurso de segao “T” ou “L’ se aplica, logo: bp= 2040," + bY" 400 cm oe a 400 cm b, < {052 20 cm {on e esauera — J 0,5 x 400 = 200 om paveta — J 0,5 x 400 = 200 om 1 ~ )0,1 x 345 =34,5em Vv ' * )0,1x 345 =34,5cem Vv by = 20 + 34,5 + 34,5 = 89 cm (iit) Calculo das armaduras 89 cm Sem 45 cm Yeo 6cm 20cm h Maret = fe: by - hy («- “) = = 1,518 x 89x 8 (s9 _ 3) = 37.828, 56 kKNcm Logo, Ma < Maret = y< hy = equacionamento segao retangular by x h. (iit) Calculo das armaduras Ma 10.414, 6 , K = ——~ = ——_——_ 8 0,051 < Kr =0,295 »«. K’=K fob a 1,518 x 89 x 39? (armadura simples) fe:b-d As = Ast = “3— (1- V1- 2K") = Sua 1,518 x 89 x 39 aoe (1- V1—2 x 0,051) =6, 2 43,48 (1— /I—2 0,051) = 6,346 cm => Verificagao da armadura longitudinal minima de tragao: Mamin =0,8+ Wo - fetk,sup = 0,8-1/yt-0,39(fer)?/> cl fer em MPa 89 x 8 x 41 + 20 x 37 x 18,5 = SS B22 m Yt = Yea 89 x 8 + 20 x 37 9,5¢ 3 3 I= OS +898 x (41 — 29,5)? + PST 5 20 x 37 x (29,5 — 18,5)? = = 271.921 cm* Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 4 (iii) Cálculo das armaduras Md,min = 0, 8 × 271.921 29, 5 × 0, 39 (25)2/3 10 = 2.458, 87 kNcm ∴ Md,min = 2.458, 87 kNcm < Md = 10.414, 6 kNcm ⇒ As,min < As ✓ As,min,abs = 0, 150% (89 × 8 + 20 × 37) = 2, 178 cm2 < As = 6, 346 cm2 ✓ Logo, emprega-se As = 6, 346 cm2 13 ϕ 8, 0 mm; As,real = 6, 535 cm2; nϕ/cam = 5 9 ϕ 10, 0 mm; As,real = 7, 069 cm2; nϕ/cam = 4 6 ϕ 12, 5 mm; As,real = 7, 363 cm2; nϕ/cam = 4 ✓ 4 ϕ 16, 0 mm; As,real = 8, 042 cm2; nϕ/cam = 4 3 ϕ 20, 0 mm; As,real = 9, 425 cm2; nϕ/cam = 3 2 ϕ 25, 0 mm; As,real = 9, 817 cm2; nϕ/cam = 3 Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 4 (iii) Cálculo das armaduras d1” d2” d” d′′ 1 = c + ϕt + ϕl/2 = = 3 + 0, 63 + 1, 25/2 = 4, 255 cm d′′ 2 = c + ϕt + ϕl + av + ϕl/2 = = 3 + 0, 63 + 1, 25 + 2 + 1, 25/2 = = 7, 505 cm d′′ Real = 4Aϕ12,5d′′ 1 + 2Aϕ12,5d′′ 2 6Aϕ12,5 = = 4 × 4, 255 + 2 × 7, 505 6 ≈ 5, 34 cm dReal = h − d′′ Real = = 45 − 5, 34 = 39, 66 cm > d ✓ (iit) Calculo das armaduras _ Momento negativo em B: MM, = 27.125,0 kNcm => Uma vez que este momento fletor comprime a regiao da segao que nao é acontigua a laje, o recurso de segao “T” ou “L’ nao se aplica, logo: Ma 27.125, 0 , K = — 5 = — {, 80,587 > Kr =0,295 »«. K=K feb -@ 1,518 x 20x 392 OP 7 AE SY t (armadura dupla) As = Asi + Aso Ag = feibd (1— VI—2K’) = fua 1,518 x 20 x 39 = oO sa (1 — VI—2 x0, 295) =9, 2 13,48 (1— /1—2 0,295) = 9,795 cm fe-b-d (K—K' As2 = = ua 1—d'/d 1,518 x 20 x 39 (0,587 — 0, 295 2 _ vee ee yb m 13,48 ( 1 — 6/39 ) 9,397 ¢ Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 4 (iii) Cálculo das armaduras As = 9, 795 + 9, 397 = 19, 192 cm2 ⇒ Verificação da armadura longitudinal mínima de tração: (d/h) = 39 45 ≈ 0, 85 → ρmin = 0, 150% ∴ As,min = 0, 150% × (20 × 45) = 1, 350 cm2 < As = 19, 192 cm2 ✓ Logo, emprega-se As = 19, 192 cm2 10 ϕ 16, 0 mm; As,real = 20, 106 cm2; nϕ/cam = 4 7 ϕ 20, 0 mm; As,real = 21, 991 cm2; nϕ/cam = 3 4 ϕ 25, 0 mm; As,real = 19, 635 cm2; nϕ/cam = 3 ✓ 3 ϕ 32, 0 mm; As,real = 24, 127 cm2; nϕ/cam = 2 Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 4 (iii) Cálculo das armaduras d1” d2” d” d′′ 1 = c + ϕt + ϕl/2 = = 3 + 0, 63 + 2, 5/2 = 4, 88 cm d′′ 2 = c + ϕt + ϕl + av + ϕl/2 = = 3 + 0, 63 + 2, 5 + 2, 5 + 2, 5/2 = = 9, 88 cm d′′ Real = 3Aϕ25d′′ 1 + 1Aϕ25d′′ 2 4Aϕ25 = = 3 × 4, 88 + 1 × 9, 88 4 ≈ 6, 13 cm dReal = h − d′′ Real = = 45 − 6, 13 = 38, 87 cm < d X (recalcular!) (iit) Calculo das armaduras _ Recalculando com d = 38, 87 cm: 27.125,0 K = ——______ 8 0,591 > Kr =0,295 »«. K’=K 1,518 x 20 x 38,872 SEO & (armadura dupla) As = Asi + As2 1,518 x 20 x 38, 87 2 Ag = “Bea (1— /I1—2x 0,295) = 9,762 cm 1,518 x 20 x 38,87 / 0,591 — 0,295 As — 2 ? ? ? _ m2 2 43, 48 ( 1 — 6/38, 87 ) 9,500 ¢ A, = Asi + Aso = 9,762 + 9,500 = 19, 262 cm? < 4 25mm (detalhamento atende!) Sendo K > Kz, A 40, logo: d’ 6 As2 9,500 — = —— £0,154 < 0,184 > y=1.. A, = — = 2 = 9,500 cm’ d 3887 0 ° e 1 Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 4 (iii) Cálculo das armaduras Para A′ s = 9, 500 cm2 19 ϕ 8, 0 mm; A′ s,real = 9, 550 cm2; nϕ/cam = 5 13 ϕ 10, 0 mm; A′ s,real = 10, 210 cm2; nϕ/cam = 4 8 ϕ 12, 5 mm; A′ s,real = 9, 817 cm2; nϕ/cam = 4 5 ϕ 16, 0 mm; A′ s,real = 10, 053 cm2; nϕ/cam = 4 4 ϕ 20, 0 mm; A′ s,real = 12, 566 cm2; nϕ/cam = 3 2 ϕ 25, 0 mm; A′ s,real = 9, 817 cm2; nϕ/cam = 3 ✓ ⇒ Armadura total na seção transversal: As + A′ s = 19, 635 + 9, 817 = 29, 452 cm2 < 4% × (20 × 45) = 36 cm2 ✓ Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 4 (iv) Detalhamento 6  16,0 mm 2  6,3 mm (montagem) 6  12,5 mm 2  6,3 mm (montagem) 4  25,0 mm 2  25,0 mm A A B B C C 6  16,0 mm Corte A-A 2  6,3 mm (montagem) 6  12,5 mm Corte C-C 2  6,3 mm (montagem) Corte B-B 4  25,0 mm 2  25,0 mm Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 5 Para a viga V2 da planta estrutural abaixo, pede-se dimensionar a armadura longitudinal utilizando o recurso de seção “T” ou “L” quando aplicável. Para tanto, considerar uma carga p = g + q = 75 kN/m em toda a viga. P1 P2 P3 P4 P5 P6 L1 L2 V1 .a. (inv.) .b. (inv.) V2 .a. 20/45 (inv.) .b. 20/45 (inv.) V3 .b. .a. V4 .b. .a. 20 400 20 500 20 80 20 500 20 V3 .b. .a. 37 8 PRODUCED BY AN AUTODESK STUDENT VERSION PRODUCED BY AN AUTODESK STUDENT VERSION PRODUCED BY AN AUTODESK STUDENT VERSION PRODUCED BY AN AUTODESK STUDENT VERSION (medidas em cm) Para a viga V2 da planta estrutural abaixo, pede-se dimensionar a armadura longitudinal utilizando 0 recurso de secao “T” ou “L’ quando aplicavel. Para tanto, considerar uma carga p = g + q = 75 KN/m em toda a viga. Dados: , — fer = 25 MPa; _ Obra em area urbana (CAA Il): Fer * —c=30 mm; _ Ago CA-50; _d=d"=6cem .~, d=45—-6=39cm; wv =1,4 — Ye = 1, 4; _ Ys = 1,15. Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 5 (i) Análise estrutural 420 cm 520 cm 106,52 kN 153,82 kN 444,66 kN 75,0 kN/m Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 5 (i) Análise estrutural 420 cm 520 cm 106,52 kN 153,82 kN 444,66 kN 75,0 kN/m 75,64 157,74 214,12 M [kNm] 284 cm 410 cm 246 cm A B C D E Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 5 (ii) Valores de cálculo fc = αc · fcd = αc · fck γc = 0, 85 × 2, 5 1, 4 = 1, 518 kN/cm2 fyd = fyk γs = 50 1, 15 = 43, 48 kN/cm2 M B d = γf · M B = 1, 4 × 21.412, 0 = 29.976, 8 kNcm M D d = γf · M D = 1, 4 × 7.564, 0 = 10.589, 6 kNcm M E d = γf · M E = 1, 4 × 15.774, 0 = 22.083, 6 kNcm (iit) Calculo das armaduras _ Momento negativo em B: M/,; = 29.976, 8 kKNcm => Uma vez que este momento fletor comprime a regiao da segao contigua a laje, o recurso de segao “T” ou “L’ se aplica, logo: 20cm | db, b; 80cm b= 20 +b, +b, by < {5% bs <{itg 0,5 x 500 = 250 cm 80 cm bse? b3 < 0,1 x 246=24,6cm V 0,1 x 246=24,6cm Vv by = 20+ 24,6 + 24,6 = 69,2cm (iit) Calculo das armaduras 20 cm 6cm Yeo 45cm Sem 69,2 cm h Maret = fe: bp - hy («- “) = = 1,518 x 69,2 x8 (9 _ 5) = 29.412,77 kNcm Logo, Ma > Mare => y > hy = equacionamento secao “T” ou “L’. (iit) Calculo das armaduras Ma by hy hy K =. -(— -1) —[{1-]= fe: bw + d? (7 ) d 2d 29.976, 8 69,2 8 8 = oe C-SI) (1 - se) F801 . 1,518 x 20 x 392 (5 1) 35 ( =m) 0,196 K 20,196 < Kr =0,295 »«. K'’=K (armadura simples) Ay = An = F541 — vm OR + (5-1) “t) fuya bw d 1,518 x 20 x 39 69,2 8 2 = oes |1— V1 —-2x0,1 —= —1)—] = 19,740 cm 43, 48 x 0,196 + ( 20 ) a Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 5 (iii) Cálculo das armaduras ⇒ Verificação da armadura longitudinal mínima de tração: Md,min = 0, 8 · W0 · fctk,sup = 0, 8 · I/yt · 0, 39 (fck)2/3 c/ fck em MPa yt = yCG = 69, 2 × 8 × 41 + 20 × 37 × 18, 5 69, 2 × 8 + 20 × 37 ≈ 28, 1 cm I = 69, 2 × 83 12 +69, 2×8×(41 − 28, 1)2+ 20 × 373 12 +20×37×(28, 1 − 18, 5)2 ≈ ≈ 247.697 cm4 Md,min = 0, 8 × 247.697 28, 1 × 0, 39 (25)2/3 10 = 2.351, 41 kNcm ∴ Md,min = 2.351, 41 kNcm < Md = 29.976, 8 kNcm ⇒ As,min < As ✓ As,min,abs = 0, 150% (69, 2 × 8 + 20 × 37) = 1, 940 cm2 < As = 19, 740 cm2 ✓ Logo, emprega-se As = 19, 740 cm2 Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 5 (iii) Cálculo das armaduras 10 ϕ 16, 0 mm; As,real = 20, 106 cm2; nϕ/cam = 4 7 ϕ 20, 0 mm; As,real = 21, 991 cm2; nϕ/cam = 3 5 ϕ 25, 0 mm; As,real = 24, 544 cm2; nϕ/cam = 3 ✓ 3 ϕ 32, 0 mm; As,real = 24, 127 cm2; nϕ/cam = 2 d1” d2” d” d′′ 1 = c + ϕt + ϕl/2 = = 3 + 0, 63 + 2, 5/2 = 4, 88 cm d′′ 2 = c + ϕt + ϕl + av + ϕl/2 = = 3+0, 63+2, 5+2, 5+2, 5/2 = 9, 88 cm d′′ Real = 3Aϕ25d′′ 1 + 2Aϕ25d′′ 2 5Aϕ25 = 3 × 4, 88 + 2 × 9, 88 5 = 6, 88 cm dReal = h − d′′ Real = 45 − 6, 88 = 38, 12 cm < d X (recalcular!) (iit) Calculo das armaduras _ Recalculando com d = 38, 12 cm: Ma by hy hp k= -(=— -1)—(1-)]= fe . bw . d? (# ) d 2d 29.976, 8 69,2 8 8 _ . ~ 1,518 x 20 x a ( 20 1) 38, 12 (1- 2x 7) w 0217 K =0,217 < K, =0,295 »«. K’=K (armadura simples) A, = Ag = Lei bu jt — vI=BR" + (4-1) “| = fya bw d 1,518 x 20 x 38,12 69,2 8 aoe li — /1—-2 0,217 oe 47) 28 | 43, 48 Po 2x 0,217 + | oo ~ 1) aap = 20,334 cm? <5 ¢ 25mm (detalhamento atende!) (iit) Calculo das armaduras _ Momento positivo em D: M, = 10.589, 6 kNcm => Uma vez que este momento fletor comprime a regiao da segao que nao é acontigua a laje, o recurso de segao “T” ou “L’ nao se aplica, logo: Ma 10.589, 6 ’ K = — 5 = — , 8 0,229 < Kr =0,295 »«. K=K fe-b-@ 1,518 x 20x 392 So SEY ; (armadura simples) Ay = As = £4 (1 — Vm RY) = Sua = B18 % 20% 99 (a DD) = 7,184 em? 43, 48 => Verificagao da armadura longitudinal minima de tragao: 39 (d/h) = F © 0,85 + pmin = 0,150% As,min = 0,150% x (20 x 45) = 1,350 cm? < A, = 7,184cm? V Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 5 (iii) Cálculo das armaduras Logo, emprega-se As = 7, 184 cm2 6 ϕ 12, 5 mm; As,real = 7, 363 cm2; nϕ/cam = 4 ✓ 4 ϕ 16, 0 mm; As,real = 8, 042 cm2; nϕ/cam = 4 3 ϕ 20, 0 mm; As,real = 9, 425 cm2; nϕ/cam = 3 d1” d2” d” d′′ 1 = c + ϕt + ϕl/2 = = 3 + 0, 63 + 1, 25/2 = 4, 255 cm d′′ 2 = c + ϕt + ϕl + av + ϕl/2 = = 3 + 0, 63 + 1, 25 + 2 + 1, 25/2 = = 7, 505 cm d′′ Real = 4Aϕ12,5d′′ 1 + 2Aϕ12,5d′′ 2 6Aϕ12,5 = 4 × 4, 255 + 2 × 7, 505 6 = 5, 34 cm dReal = h − d′′ Real = 45 − 5, 34 = 39, 66 cm > d ✓ (iit) Calculo das armaduras _ Momento positivo em E: Mz = 22.083, 6 KNcm => Uma vez que este momento fletor comprime a regiao da segao que nao é acontigua a laje, o recurso de segao “T” ou “L’ nao se aplica, logo: Ma 22.083, 6 ’ K = — 5 = — J, 80,478 > Kr =0,295 »«. K=K fe-b-@ 1,518 x 20x 392 7 7 AE t (armadura dupla) As = Asi + Aso Ag = feibd (1— VI—2K’) = fua 1,518 x 20 x 39 = oO sa (1 — VI—2 x0, 295) =9, 2 13,48 (1— /1—2 0,295) = 9,795 cm fe-b-d (K—K' As2 = = ua 1—d'/d 1,518 x 20 x 39 (0,478 — 0, 295 2 _ ae ee yb = m 13,48 ( 1 — 6/39 ) 5, 890.¢ Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 5 (iii) Cálculo das armaduras As = 9, 795 + 5, 890 = 15, 685 cm2 ⇒ Verificação da armadura longitudinal mínima de tração: (d/h) = 39 45 ≈ 0, 85 → ρmin = 0, 150% ∴ As,min = 0, 150% × (20 × 45) = 1, 350 cm2 < As = 15, 685 cm2 ✓ Logo, emprega-se As = 15, 685 cm2 8 ϕ 16, 0 mm; As,real = 16, 085 cm2; nϕ/cam = 4 5 ϕ 20, 0 mm; As,real = 15, 708 cm2; nϕ/cam = 3 4 ϕ 25, 0 mm; As,real = 19, 635 cm2; nϕ/cam = 3 2 ϕ 32, 0 mm; As,real = 16, 085 cm2; nϕ/cam = 2 ✓ Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 5 (iii) Cálculo das armaduras d” d′′ Real = c + ϕt + ϕl/2 = = 3 + 0, 63 + 3, 2/2 = 5, 23 cm dReal = h − d′′ Real = 45 − 5, 23 = 39, 77 cm > d ✓ Sendo K > KL, A′ s ̸= 0, logo: d′ d = 6 39 ≈ 0, 154 < 0, 184 ⇒ φ = 1 ∴ A′ s = As2 φ = 5, 890 1 = 5, 890 cm2 Para A′ s = 5, 890 cm2 12 ϕ 8, 0 mm; A′ s,real = 6, 032 cm2; nϕ/cam = 5 8 ϕ 10, 0 mm; A′ s,real = 6, 283 cm2; nϕ/cam = 4 5 ϕ 12, 5 mm; A′ s,real = 6, 136 cm2; nϕ/cam = 4 3 ϕ 16, 0 mm; A′ s,real = 6, 032 cm2; nϕ/cam = 4 ✓ Vigas: Flexão Normal Simples Exemplo 5 (iii) Cálculo das armaduras ⇒ Armadura total na seção transversal: As + A′ s = 15, 685 + 6, 032 = 21, 717 cm2 < 4% × (20 × 45) = 36 cm2 ✓ (iv) Detalhamento 2  6,3 mm (montagem) 2  32,0 mm 3  16,0 mm 5  25,0 mm A A B B C C Corte A-A 2  6,3 mm (montagem) 2  32,0 mm Corte C-C 3  16,0 mm Corte B-B 5  25,0 mm 2  6,3 mm (montagem) 6  12,5 mm 6  12,5 mm 2  6,3 mm (montagem)