Analise da Resposta de Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo - Transitória e Permanente

1 Sumário 5 RESPOSTA DE SISTEMAS LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO 2 51 RESPOSTA TRANSITÓRIA E RESPOSTA EM REGIME PERMANENTE 2 511 Valor Final 3 512 Erro de regime estacionário 4 513 Resposta de sistemas de 1ª ordem 5 514 Traçando sistemas de 1ª Ordem padrão 8 515 Aplicação em sistemas de medida 8 516 Exemplos 9 52 RESPOSTA DE SISTEMAS DE 2ª ORDEM 10 521 Caso 1 Sistema sem amortecimento ζ 0 10 522 Caso 2 Sistema subamortecido 0 𝜁 1 11 523 Caso 3 Sistema criticamente amortecido ζ 1 13 524 Caso 4 Sistema superamortecido 𝜻 𝟏 14 525 Curiosidades de sistemas de 2ª Ordem 15 526 Sistemas de 2ª ordem com fator de amortecimento 𝜻 𝟏 18 527 Exemplos 19 53 RESPOSTA DE SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR 20 54 DOMINÂNCIA DE POLOS 21 55 EFEITOS DA ADIÇÃO DE POLOS E ZEROS NA RESPOSTA 22 551 Efeito da Adição de Zeros 22 552 Efeito da Adição de Polos 23 56 POLOS COM O MATLAB 24 57 IMPORTÂNCIA DO ESTUDO DOS POLOS 25 58 EXERCÍCIOS DE REVISÃO 25 59 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 26 510 RESPOSTAS 29 2 5 Resposta de Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo Sistemas LTI são sistema Lineares com Parâmetros Invariantes no Tempo do Inglês Linear Time Invariant O objetivo deste capítulo é apresentar as características básicas das respostas típicas de sistemas isto é verificar a influência na resposta de um sistema físico da entrada dos zeros e dos polos que são os que apresentam maior influência 51 Resposta Transitória e Resposta em Regime Permanente Supondo o seguinte sistema 𝐺𝑠 𝑌𝑠 𝑈𝑠 25 𝑠2 𝑠 25 25 𝑠 1 2 2 25 1 4 25 𝑠 1 2 2 99 4 25 𝑠 1 2 2 311 2 2 Observe que os polos deste sistema são dados por 𝑠12 1 2 𝑗 311 2 Resposta 𝑦𝑡 ao degrau unitário 𝒖𝒕 𝑦𝑡 1 𝑒1 2𝑡 𝑐𝑜𝑠 311 2 𝑡 11 33 𝑠𝑖𝑛 311 2 𝑡 𝑝𝑡 0 Neste caso observase que uma parte da resposta permanece e uma parte da resposta desaparece com o tempo A parte que desaparece com o tempo é chamada de Resposta Transitória e a parte que permanece de Resposta em Regime Permanente ou Resposta Estacionária A resposta em regime permanente não precisa ser constante com o tempo Por exemplo calculando a resposta 𝑦𝑡 para uma entrada 𝒖𝒕 𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟓𝒕 𝑦𝑡 200 1609 𝑠𝑖𝑛15𝑡 15 1609𝑐𝑜𝑠15𝑡 5 17699 𝑒1 2𝑡 33𝑐𝑜𝑠 311 2 𝑡 40111𝑠𝑖𝑛 311 2 𝑡 𝑝𝑡 0 Curiosidade Pegando a Função de transferência e fazendo 𝑠 𝑗15 3 𝐺𝑗15 25 𝑗152 𝑗15 25 25 225 𝑗15 25 25 𝑗15 200 25200 𝑗15 200 𝑗15200 𝑗15 5000 𝑗375 40225 200 𝑗15 1609 Com o passar do tempo a exponencial negativa elimina parte da resposta em ambos os casos sobrando apenas a parte referente à entrada As respostas são apresentadas na figura abaixo Figura 51 Exemplos de respostas para comparar a resposta Transitória e Permanente Comentário Observe que a resposta transitória é fortemente influenciada pelos polos enquanto a resposta em regime permanente tem a presença apenas da entrada No final do capítulo haverá um item específico para a influência dos polos em função da resposta transitória 511 Valor Final O valor final é obtido através do teorema do valor final 𝑙𝑖𝑚 𝑡𝑐𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠𝐶𝑠 𝑠𝑒 𝑙𝑖𝑚 𝑡𝑐𝑡 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑖𝑟 Onde 𝑐𝑡 representa a resposta do sistema Para garantir que 𝑐𝑡 exista o sistema deve ser classificado com Assintoticamente Estável que significa que todos os polos devem possuir parte real menor que zero e que a entrada não possua termos que oscilam O valor final está relacionado ao valor final na forma de uma constante Resposta em regime permanente ou resposta estacionária está associada à conduta do sistema quando o tempo tender ao infinito Exemplo Calcular o valor final da função de transferência abaixo para uma entrada tipo degrau unitário utilizando o teorema do valor final 4 𝐺𝑠 𝑌𝑠 𝑈𝑠 25 𝑠2 𝑠 25 𝑙𝑖𝑚 𝑡𝑦𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠𝑌𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠𝐺𝑠𝑈𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠 25 𝑠2 𝑠 25 1 𝑠 1 Calcular o valor final para uma entrada 𝑢𝑡 sin 15𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑡𝑦𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠𝑌𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠𝐺𝑠𝑈𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠 25 𝑠2 𝑠 25 15 𝑠2 152 0 Como se observa em ambos os casos teve um valor numérico para o cálculo do valor final utilizando Laplace entretanto ele só existe para o caso da entrada degrau unitário Comentário Quando é utilizada uma entrada degrau unitário o valor final pode ser facilmente encontrado fazendo s 0 na função de transferência pois como observado no exemplo acima 𝑙𝑖𝑚 𝑡𝑦𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠𝑌𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠𝐺𝑠𝑈𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝒔 25 𝑠2 𝑠 25 𝟏 𝒔 𝑙𝑖𝑚 𝑠0 25 𝑠2 𝑠 25 1 512 Erro de regime estacionário Erro de regime estacionário ou erro de regime permanente é definido pela diferença entre a entrada aplicada e o valor final Supondo que a resposta seja 𝑐𝑡 e a entrada 𝑟𝑡 então 𝑙𝑖𝑚 𝑡𝑟𝑡 𝑐𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠𝑅𝑠 𝐶𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠 1 𝐶𝑠 𝑅𝑠 𝑅𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠1 𝐺𝑠𝑅𝑠 Onde 𝐺𝑠 é função de transferência que correlaciona a entrada 𝑅𝑠 com a saída 𝐶𝑠 Exemplo 51 Calcular o erro estacionário para a função de transferência abaixo para uma entrada degrau unitário 𝐺𝑠 𝑌𝑠 𝑈𝑠 25 𝑠2 𝑠 25 Solução 𝑙𝑖𝑚 𝑡𝑢𝑡 𝑦𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠𝑈𝑠 𝑌𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠 1 𝑌𝑠 𝑈𝑠 𝑈𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠1 𝐺𝑠𝑈𝑠 Substituindo os valores 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠1 𝐺𝑠𝑈𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠 1 25 𝑠2 𝑠 25 1 𝑠 0 5 513 Resposta de sistemas de 1ª ordem Representação padrão da função de transferência de sistemas de 1ª ordem 𝐻𝑠 𝐾 𝜏𝑠 1 𝑒𝜃𝑠 Onde 𝐾 é o ganho 𝜏 é a Constante de Tempo 𝜃 é o atraso de transporte A Constante de Tempo e o ganho podem ser observados utilizando a resposta ao degrau unitário assumindo que o atraso de transporte é zero Então 𝐶𝑠 𝐾 𝜏𝑠 1 1 𝑠 𝐾 1 𝑠 𝜏 𝜏𝑠 1 𝐾 1 𝑠 1 𝑠 1 𝜏 Assim a transformada inversa de Laplace fica 𝑐𝑡 𝐾 1 𝑒𝑡 𝜏 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 0 Fazendo o tempo t igual à constante de tempo isto é calculando a resposta de 𝑐𝜏 𝑐𝜏 𝐾 1 𝑒𝜏 𝜏 𝐾1 𝑒1 𝐾0632 Isto significa que a constante de tempo pode ser definida para um sistema sem atraso de transporte como o tempo necessário para que a resposta do sistema alcance 632 da resposta em regime permanente Observe que para este caso a resposta em regime permanente é o valor final dado por 𝐾 para uma entrada degrau unitário Quanto menor a constante de tempo mais rápido o sistema responde Outra característica importante da curva de resposta de um sistema de 1ª ordem padrão é que a inclinação da linha tangente em t 0 é Kτ uma vez que 𝑑 𝑑𝑡 𝑐𝑡 𝑡0 𝐾 𝜏 𝑒𝑡 𝜏 𝑡0 𝐾 𝜏 Além disso para a resposta ao degrau sem atraso de transporte quando t 1τ c1τ K0632 t 2τ c2τ K0865 t 3τ c3τ K0950 t 4τ c4τ K0982 t 5τ c5τ K0993 6 Figura 52 Resposta de um sistema de 1ª ordem padrão para uma entrada degrau unitário Resposta à rampa unitária da função de transferência de 1ª ordem padrão sem atraso de transporte e assumindo K 1 𝐶𝑠 1 𝜏𝑠 1 1 𝑠² 1 𝑠² 𝜏 𝑠 𝜏2 𝜏𝑠 1 1 𝑠2 𝜏 𝑠 𝜏 𝑠 1 𝜏 Cuja transformada inversa de Laplace 𝑐𝑡 𝑡 𝜏 𝜏𝑒𝑡 𝜏 pt 0 Verificando a diferença entre a entrada rampa unitária e a resposta 𝑐𝑡 𝑒𝑡 𝑟𝑡 𝑐𝑡 𝑡 𝑡 𝜏 𝜏𝑒𝑡 𝜏 𝜏1 𝑒𝑡 𝜏 Erro de regime estacionário ou erro de regime permanente é calculado como lim 𝑡 𝑒𝑡 lim 𝑡𝑟𝑡 𝑐𝑡 lim 𝑡 𝜏 1 𝑒𝑡 𝜏 𝜏 Significando que após a estabilização da resposta a diferença entre a rampa unitária e a resposta do sistema de 1ª ordem padrão sem atraso de transporte e com ganho 𝐾 1 é exatamente a constante de tempo 0 T 2T 3T 4T 5T 632 de K K Inclinação 1T 632 865 95 982 993 7 Figura 53 Resposta de um sistema de 1ª ordem padrão para uma entrada rampa unitária Resposta ao impulso unitário 𝐶𝑠 𝐾 𝜏𝑠 1 𝐾 𝜏 1 𝑠 1𝜏 Então 𝑐𝑡 𝐾 𝜏 𝑒𝑡𝜏 O atraso de transporte 𝜃 simplesmente é um atraso imposto à resposta do sistema Então assumindo a seguinte função de transferência para o sistema de 1ª ordem padrão 𝐻1𝑠 𝐾 𝜏𝑠 1 𝑒 𝐻2𝑠 𝐾 𝜏𝑠 1 𝑒𝜃𝑠 As duas respostas ao degrau unitário são apresentadas na figura abaixo Observe que a única diferença é a presença do atraso de transporte Figura 54 Influência do atraso de transporte na resposta 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 0 T 2T 3T 4T 5T Erro de Estado Permanente rt t ct 0 Theta T TTheta 632 de K K H1s H2s 8 𝑐1𝑡 𝐾 1 𝑒𝑡 𝜏 para t 0 𝑐2𝑡 𝐾 1 𝑒𝑡𝜃 𝜏 para t θ Outra representação para 𝑐2𝑡 é dada utilizando o degrau unitário defasado do atraso de transporte 𝑐2𝑡 𝐾 1 𝑒𝑡𝜃 𝜏 1𝑡 𝜃 para t 0 514 Traçando sistemas de 1ª Ordem padrão Traçando sistemas de 1ª ordem no Matlab 𝐺𝑎𝑠 75 3𝑠 2 𝑒 𝐺𝑏𝑠 75 3𝑠 2 𝑒3𝑠 𝐺𝑏𝑠 75 3𝑠 2 𝑒3𝑠 375 15𝑠 1 𝑒3𝑠 Sistema sem atraso Ga tf753 2 Sistema com Atraso Gb tf753 2iodelay3 Resposta ao degrau unitário Figure stepGaGb legendSem AtrasoCom Atraso Figura 55 Resposta de sistemas de 1ª ordem com o Matalb 515 Aplicação em sistemas de medida Curiosidade Basicamente um sensor de medida pode ser representado por um sistema de 1ª ordem Sendo assim sabendose da influência da constante de tempo para o sistema de 1ª ordem o sistema de medida acompanhará as variações da entrada se sua constante de tempo for rápida o suficiente o mas se for relativamente lenta em relação às variações da entrada o sistema de 1ª ordem responderá como a média do sinal de entrada Como exemplo assumese uma entrada 𝑟𝑡 2 sin 𝑡 e dois sistema de 1ª ordem conforme 9 𝐻1𝑠 1 01𝑠 1 𝑒 𝐻2𝑠 1 20𝑠 1 a Sistema H1 b Sistema H2 Figura 56 Efeitos da constante de tempo em sistemas de 1ª ordem Observase que uma constante de tempo de 01 segundo foi suficiente para acompanhar a entrada mas para a constante de tempo de 20 segundos a resposta foi em torno da média 516 Exemplos Exemplo 52 Determinar as constantes básicas do sistema de 1ª ordem definido abaixo e determinar a sua resposta à entrada degrau 3 𝐻𝑠 5 4𝑠 7 𝑒2𝑠 Solução Para resolver este problema a função de transferência acima deve ser comparada com uma função de transferência de 1ª ordem padrão assim 𝐻𝑠 5 4𝑠 7 𝑒2𝑠 Forma padrão 𝐻𝑠 5 7 4 7 𝑠 1 𝑒2𝑠 Assim Ganho 𝐾 57 Constante de tempo 𝜏 47 segundos Atraso de transporte 𝜃 2 segundos A resposta ao degrau 3 𝑐𝑡 15 7 1 𝑒𝑡2471𝑡 2 para t 0 10 Figura 57 Resposta temporal do exercício resolvido 1 52 Resposta de sistemas de 2ª ordem Sistema de 2ª Ordem padrão é definido por 𝐺𝑠 𝐾𝜔𝑛 2 𝑠2 2𝜁𝜔𝑛𝑠 𝜔𝑛2 Onde 𝐾 é o ganho 𝜁 é o fator de amortecimento 𝜔𝑛 é frequência natural em rads Como o atraso de transporte apenas desloca no tempo a resposta ele não será considerado neste caso As influências principais vêm do fator de amortecimento e da frequência natural que altera os polos do sistema As análises abaixo serão feitas utilizando o degrau unitário 521 Caso 1 Sistema sem amortecimento ζ 0 Função de Transferência 𝐺𝑠 𝐾𝜔𝑛2 𝑠2𝜔𝑛2 Polos puramente imaginários 𝑠12 𝑗𝜔𝑛 com 𝑗 1 Resposta ao degrau unitário 𝐶𝑠 𝐾𝜔𝑛 2 𝑠2 𝜔𝑛2 1 𝑠 𝐾 1 𝑠 𝑠 𝑠2 𝜔𝑛2 𝑐𝑡 𝐾1 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛𝑡 𝑝𝑡 0 Resposta ao Degrau 3 Tempo sec Amplitude 0 1 2 25714 3 4 5 6 0 05 1 13525 15 2 21429 25 11 Característica da resposta Sistema oscila continuamente com frequência 𝜔𝑛 Influência da frequência natural Assumindo os sistemas abaixo observe que 𝐾 2 mas frequência natural 𝜔𝑛 5 rads e 𝜔𝑛 10 rads 𝐺1𝑠 50 𝑠2 25 𝑒 𝐺2𝑠 200 𝑠2 100 Figura 58 Sistemas de 2ª ordem sem amortecimento 522 Caso 2 Sistema subamortecido 𝟎 𝜻 𝟏 Função de Transferência 𝐺𝑠 𝐾𝜔𝑛2 𝑠22𝜁𝜔𝑛𝑠𝜔𝑛2 Polos complexos conjugados 𝑠12 𝜁𝜔𝑛 𝑗𝜔𝑑 𝑐𝑜𝑚 𝜔𝑑 𝜔𝑛1 𝜁2 Sendo 𝜔𝑑 a frequência natural amortecida em rads Resposta ao degrau unitário 𝐶𝑠 𝐾𝜔𝑛 2 𝑠2 2𝜁𝜔𝑛𝑠 𝜔𝑛2 1 𝑠 𝐾 1 𝑠 𝑠 2𝜁𝜔𝑛 𝑠2 2𝜁𝜔𝑛𝑠 𝜔𝑛2 𝐾 1 𝑠 𝑠 2𝜁𝜔𝑛 𝑠 𝜁𝜔𝑛2 𝜔𝑛21 𝜁2 𝐾 1 𝑠 𝑠 2𝜁𝜔𝑛 𝑠 𝜁𝜔𝑛2 𝜔𝑑2 Rearranjando 0 05 1 15 2 25 3 0 05 1 15 2 25 3 35 4 G1s G2s 12 𝐶𝑠 𝐾 1 𝑠 𝑠 𝜁𝜔𝑛 𝑠 𝜁𝜔𝑛2 𝜔𝑑2 𝜁𝜔𝑛 𝜔𝑑 𝜔𝑑 𝑠 𝜁𝜔𝑛2 𝜔𝑑2 𝐾 1 𝑠 𝑠 𝜁𝜔𝑛 𝑠 𝜁𝜔𝑛2 𝜔𝑑2 𝜁𝜔𝑛 𝜔𝑛1 𝜁2 𝜔𝑑 𝑠 𝜁𝜔𝑛2 𝜔𝑑2 Cuja transformada inversa de Laplace é dada por 𝑐𝑡 𝐾 1 𝑒𝜁𝜔𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑑𝑡 𝜁 1 𝜁2 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑑𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 0 Que pode também ser escrita como 𝑐𝑡 𝐾 1 𝑒𝜁𝜔𝑛𝑡 1 𝜁2 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑑𝑡 𝑡𝑔1 1 𝜁2 𝜁 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 0 Para se chegar nesta forma aplicase a seguinte relação trigonométrica 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝜔 𝑡 𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝜔 𝑡 𝑎2 𝑏2 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 𝜙 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛 𝜙 𝑏 𝑎 Assim para amplitude e fase 12 𝜁 1 𝜁2 2 1 1 𝜁2 𝑒 𝑡𝑎𝑛 𝜙 1 𝜁 1 𝜁2 1 𝜁2 𝜁 Característica da resposta Sistema oscila com frequência natural amortecida 𝜔𝑑 que é a parte imaginária dos polos e a oscilação decai com a exponencial que é a parte real dos polos Observe que o decaimento é exatamente a parte real dos polos e a oscilação é a parte imaginária dos polos Além disso a parte real dos polos é responsável pelo sinal da exponencial se for positiva as oscilações aumentarão com o tempo e se for negativa as oscilações diminuirão com o tempo Influência do fator de amortecimento Assumindo os sistemas abaixo observe que 𝐾 2 e 𝜔𝑛 5 rads mas os fatores de amortecimento são 01 e 05 𝐺3𝑠 50 𝑠2 𝑠 25 𝑒 𝐺4𝑠 50 𝑠2 5𝑠 25 13 Figura 59 Influência do amortecimento em sistemas de 2ª ordem Influência da frequência natural Assumindo os sistemas abaixo observe que 𝐾 2 e fatores de amortecimento iguais a 025 mas frequência natural 𝜔𝑛 5 rads e 𝜔𝑛 10 rads 𝐺5𝑠 50 𝑠2 25𝑠 25 𝑒 𝐺6𝑠 200 𝑠2 5𝑠 100 Figura 510 Influência da frequência natural em sistemas de 2ª ordem 523 Caso 3 Sistema criticamente amortecido ζ 1 Função de Transferência 𝐺𝑠 𝐾𝜔𝑛2 𝑠22𝜔𝑛𝑠𝜔𝑛2 𝐾𝜔𝑛2 𝑠𝜔𝑛2 0 2 4 6 8 10 12 0 05 1 15 2 25 3 35 G3s G4s 0 1 2 3 4 5 6 0 05 1 15 2 25 3 G5s G6s 14 Polos reais e iguais 𝑠12 𝜔𝑛 Resposta ao degrau unitário 𝐶𝑠 𝐾𝜔𝑛 2 𝑠 𝜔𝑛2 1 𝑠 𝐾 1 𝑠 1 𝑠 𝜔𝑛 𝜔𝑛 𝑠 𝜔𝑛2 Cuja transformada inversa de Laplace é dada por 𝑐𝑡 𝐾1 𝑒𝜔𝑛𝑡 𝜔𝑛𝑒𝜔𝑛𝑡𝑡 𝐾1 1 𝜔𝑛𝑡𝑒𝜔𝑛𝑡 para t 0 Característica da resposta Sistema não oscila Perceba que a resposta geral é a mesma para dois sistemas de 1ª ordem cuja entrada de um seja a saída do outro chamado de sistemas em série Observe que o decaimento é exatamente a parte real dos polos Além disso a parte real dos polos é responsável pelo sinal da exponencial se for positiva a resposta aumentará com o tempo e se for negativa a reposta diminuirá com o tempo Influência da frequência natural Assumindo os sistemas abaixo observe que 𝐾 2 e fatores de amortecimento iguais a 1 mas frequência natural 𝜔𝑛 5 rads e 𝜔𝑛 10 rads 𝐺7𝑠 50 𝑠2 10𝑠 25 𝑒 𝐺8𝑠 200 𝑠2 20𝑠 100 Figura 511 Influência da frequência natural para sistemas e 2ª ordem 524 Caso 4 Sistema superamortecido 𝜻 𝟏 Função de Transferência 0 05 1 15 2 25 3 0 05 1 15 2 G7s G8s 15 𝐺𝑠 𝐾𝜔𝑛 2 𝑠2 2𝜁𝜔𝑛𝑠 𝜔𝑛2 𝐾𝜔𝑛 2 𝑠 𝑠1𝑠 𝑠2 Polos reais negativos e diferentes 𝑠12 𝜁 𝜁2 1𝜔𝑛 Resposta ao degrau unitário 𝐶𝑠 𝐾𝜔𝑛 2 𝑠 𝑠1𝑠 𝑠2 1 𝑠 𝐾 1 𝑠 𝜔𝑛 2𝑠1𝜁2 1 1 𝑠 𝑠1 𝜔𝑛 2𝑠2𝜁2 1 1 𝑠 𝑠2 Cuja transformada inversa de Laplace é dada por 𝑐𝑡 𝐾 1 𝜔𝑛 𝑠12𝜁2 1 𝑒𝑠1𝑡 𝜔𝑛 𝑠22𝜁2 1 𝑒𝑠2𝑡 𝐾 1 𝜔𝑛 2𝜁2 1 𝑒𝑠1𝑡 𝑠1 𝑒𝑠2𝑡 𝑠2 Característica da resposta Sistema não oscila Perceba que a resposta geral é a mesma para dois sistemas de 1ª ordem cuja entrada de um seja a saída do outro chamado de sistemas em série Observe que o decaimento é exatamente a parte real dos polos Além disso a parte real dos polos é responsável pelo sinal da exponencial se for positiva a resposta aumentará com o tempo e se for negativa a reposta diminuirá com o tempo Influência do fator de amortecimento Assumindo os sistemas abaixo observe que 𝐾 2 e frequências naturais 𝜔𝑛 5 rads mas fatores de amortecimento 2 e 3 𝐺9𝑠 50 𝑠2 20𝑠 25 𝑒 𝐺10𝑠 50 𝑠2 30𝑠 25 Figura 512 Influência do fator de amortecimento em sistemas de 2ª ordem 525 Curiosidades de sistemas de 2ª Ordem 0 1 2 3 4 5 6 0 05 1 15 2 G9s G10s 16 Fenômeno de Ressonância Resposta de um sistema de 2ª ordem padrão sem amortecimento a uma entrada senoidal com as mesmas frequências Isto é conhecido como ressonância 𝐺𝑠 𝐶𝑠 𝑅𝑠 9 𝑠2 9 𝑐𝑜𝑚 𝑟𝑡 𝑠𝑖𝑛3𝑡 Então 𝐶𝑠 9 𝑠2 9 3 𝑠2 9 𝐴𝑠 𝐵 𝑠2 9 𝐶𝑠2 𝐷𝑠 𝐸 𝑠2 92 1 2 3 𝑠2 9 3 2 𝑠2 9 𝑠2 92 Observase que A D 0 fazendo B 32 C 32 E 272 Então para proceder com a transformada inversa de Laplace devese observar a propriedade ℒ𝑡𝑓𝑡 𝑑 𝑑𝑠 𝐹𝑠 Então ℒ𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 𝜔 𝑠2 𝜔2 𝑒 ℒ𝑡 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 2𝜔𝑠 𝑠2 𝜔22 E ℒ𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝑠 𝑠2 𝜔2 𝑒 ℒ𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝑠2 𝜔2 𝑠2 𝜔22 Calculando a transformada de Laplace de 1 2 ℒ𝑠𝑖𝑛3𝑡 3 2 ℒ𝑡 𝑐𝑜𝑠3𝑡 1 2 3 𝑠2 9 3 2 𝑠2 9 𝑠2 92 27 𝑠2 92 Então 𝑐𝑡 1 2 𝑠𝑖𝑛3𝑡 3 2 𝑡 𝑐𝑜𝑠3𝑡 para t 0 Isso significa que as oscilações irão aumentar continuamente até o infinito Casos a partir do Caso 2 Sistema subamortecido 0 𝜁 1 Função de Transferência 𝐺𝑠 𝐾𝜔𝑛2 𝑠22𝜁𝜔𝑛𝑠𝜔𝑛2 Polos complexos conjugados 𝑠12 𝜁𝜔𝑛 𝑗𝜔𝑑 com 𝜔𝑑 𝜔𝑛1 𝜁2 Sendo 𝜔𝑑 a frequência natural amortecida em rads Resposta ao degrau unitário 𝑐𝑡 𝐾 1 𝑒𝜁𝜔𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑑𝑡 𝜁 1𝜁2 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑑𝑡 para t 0 Fazendo 𝜁 0 Caso 1 17 𝜔𝑑 𝜔𝑛1 𝜁2 𝜁0 𝜔𝑑 𝜔𝑛 𝑠12 𝜁𝜔𝑛 𝑗𝜔𝑑 𝜁0 𝑠12 𝑗𝜔𝑛 𝑐𝑡 𝐾 1 𝑒𝜁𝜔𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑑𝑡 𝜁 1𝜁2 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑑𝑡 𝜁0 𝑐𝑡 𝐾1 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛𝑡 pt 0 Fazendo ζ 1 Caso 3 𝜔𝑑 𝜔𝑛1 𝜁2 𝜁1 𝜔𝑑 0 𝑠12 𝜁𝜔𝑛 𝑗𝜔𝑑 𝜁1 𝑠12 𝜔𝑛 𝑐𝑡 𝐾 1 𝑒𝜔𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠0𝑡 1 112 𝑠𝑖𝑛0𝑡 para t 0 Como ambos o seno e a raiz quadrada tenderão para zero é necessário aplicar LHôpital mas na forma expandida para o cálculo assim 𝑙𝑖𝑚 𝜁1 𝜁 1 𝜁2 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑛1 𝜁2𝑡 𝑙𝐻ô𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑙𝑖𝑚 𝜁1 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑛1 𝜁2𝑡 𝜁2𝜔𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛1 𝜁2𝑡 1 𝜁2 𝜁 1 𝜁2 𝜔𝑛𝑡 Então 𝑐𝑡 𝐾1 𝑒𝜔𝑛𝑡1 𝜔𝑛𝑡 para t 0 Fazendo 𝜁 1 Caso 4 𝜔𝑑 𝜔𝑛1 𝜁2 𝜁1 𝜔𝑑 𝑗𝜔𝑛𝜁2 1 𝑗𝜔𝑓 𝑠12 𝜁𝜔𝑛 𝑗𝜔𝑑 𝜁1 𝑠12 𝜁𝜔𝑛 𝜔𝑛𝜁2 1 𝜁𝜔𝑛 𝜔𝑓 𝑐𝑡 𝐾 1 𝑒𝜁𝜔𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑗𝜔𝑓𝑡 𝜁 𝑗𝜁2 1 𝑠𝑖𝑛𝑗𝜔𝑓𝑡 para t 0 Através da fórmula de Euler para senos e cossenos 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑒𝑗𝜃 𝑒𝑗𝜃 2 e 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑒𝑗𝜃 𝑒𝑗𝜃 2𝑗 Aplicando na resposta 𝑐𝑜𝑠𝑗𝜔𝑓𝑡 𝑒𝜔𝑓𝑡 𝑒𝜔𝑓𝑡 2 𝑐𝑜𝑠ℎ𝜔𝑓𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑗𝜔𝑓𝑡 𝑒𝜔𝑓𝑡 𝑒𝜔𝑓𝑡 2𝑗 𝑗 𝑠𝑖𝑛ℎ𝜔𝑓𝑡 Substituindo na resposta 18 𝑐𝑡 𝐾 1 𝑒𝜁𝜔𝑛𝑡 𝑒𝜔𝑓𝑡 𝑒𝜔𝑓𝑡 2 𝜁𝜔𝑛 𝑗𝜔𝑓 𝑒𝜔𝑓𝑡 𝑒𝜔𝑓𝑡 2𝑗 Rearranjando os termos 𝑐𝑡 𝐾 1 𝑒𝜁𝜔𝑛𝑡 2𝜔𝑓 𝜔𝑓𝑒𝜔𝑓𝑡 𝑒𝜔𝑓𝑡 𝜁𝜔𝑛𝑒𝜔𝑓𝑡 𝑒𝜔𝑓𝑡 𝑐𝑡 𝐾 1 𝑒𝜁𝜔𝑛𝑡 2𝜔𝑓 𝜁𝜔𝑛 𝜔𝑓𝑒𝜔𝑓𝑡 𝜁𝜔𝑛 𝜔𝑓𝑒𝜔𝑓𝑡 Substituindo os polos 𝑐𝑡 𝐾 1 𝑒𝜁𝜔𝑛𝑡 2𝜔𝑓 𝑠2𝑒𝜔𝑓𝑡 𝑠1𝑒𝜔𝑓𝑡 𝐾 1 1 2𝜔𝑓 𝑠2𝑒𝜔𝑓𝑡𝑒𝜁𝜔𝑛𝑡 𝑠1𝑒𝜔𝑓𝑡𝑒𝜁𝜔𝑛𝑡 𝐾 1 1 2𝜔𝑓 𝑠2𝑒𝜁𝜔𝑛𝜔𝑓𝑡 𝑠1𝑒𝜁𝜔𝑛𝜔𝑓𝑡 𝐾 1 1 2𝜔𝑛𝜁2 1 𝑠2𝑒𝑠1𝑡 𝑠1𝑒𝑠2𝑡 Dividindo pelas raízes 𝑐𝑡 𝐾 1 𝑠1𝑠2 2𝜔𝑛𝜁2 1 𝑒𝑠1𝑡 𝑠1 𝑒𝑠2𝑡 𝑠2 Expandindo as raízes 𝑐𝑡 𝐾 1 𝜔𝑛 2𝜁2 1 𝑒𝑠1𝑡 𝑠1 𝑒𝑠2𝑡 𝑠2 para t 0 526 Sistemas de 2ª ordem com fator de amortecimento 𝜻 𝟏 Neste caso o sistema de 2ª ordem pode ser representado por dois sistemas de 1ª ordem em série por exemplo 𝐺𝑠 100 𝑠2 25𝑠 100 Sendo que 𝜔𝑛 10 rads e 𝜁 125 contudo observe que 𝐺𝑠 100 𝑠2 25𝑠 100 1 02𝑠 1 1 005𝑠 1 19 Neste caso foi possível representar o sistema de 2ª ordem superamortecido por dois sistemas de 1ª ordem em série 527 Exemplos Exemplo 53 Para as funções de transferência abaixo determinar os parâmetros de uma função de transferência padrão de 2ª ordem 𝐺1𝑠 5 3𝑠24𝑠7 𝐺2𝑠 2𝑠5 3𝑠24𝑠7 𝐺3𝑠 𝑠22𝑠5 3𝑠24𝑠7 Observe que todas as funções de transferência possuem o mesmo denominador assim comparando com uma função de transferência de 2ª ordem padrão 𝐺1𝑠 5 3𝑠24𝑠7 Forma padrão 𝐺1𝑠 53 𝑠243𝑠73 Assim Ganho 𝐾 57 Frequência natural 𝜔𝑛 7 3 𝑟𝑎𝑑𝑠 Fator de amortecimento 𝜁 2 3 3 7 Entretanto para as formas de G2s e G3s não são formas padrão Para verificar a influência dos zeros na função de transferência de uma função não padrão é apresentado a resposta ao degrau unitário na figura abaixo Figura 513 Resposta temporal do exercício resolvido 2 Curiosidades 0 2 4 6 8 10 12 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 Resposta ao Degrau Unitário Tempo sec Amplitude G1 G2 G3 20 Teorema do valor final 𝑙𝑖𝑚 𝑡 𝑐𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑠0 𝑠𝐶𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0 𝑠𝐺123𝑠 1 𝑠 5 7 Observe que todas apresentam valor final Teorema do valor inicial 𝑙𝑖𝑚 𝑡0𝑐𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑠𝐶𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑠𝐺3𝑠 1 𝑠 1 3 Observe que apenas a G3s apresenta valor inicial diferente de zero Uma forma alternativa de encontrar o valor do ganho 𝑘 para um sistema qualquer é através da equação 𝐾 𝑐 𝑐0 𝑟 𝑟0 Onde os valores de 𝑐 𝑐0 𝑟 e 𝑟0 são dados pelos gráficos de resposta 𝑐𝑡 e entrada 𝑟𝑡 53 Resposta de sistemas de ordem superior De modo geral pode ser observado que a resposta do sistema depende da entrada e do tipo de polos Polos complexos conjugados fazem o sistema oscilar polos puramente reais geram apenas exponenciais Assim em sistemas de ordem superior isto é 3ª ordem 4ª ordem etc a resposta geral será uma composição de exponenciais puras e termos com exponenciais multiplicando termos oscilantes Como exemplo supondo o sistema abaixo 𝐺𝑠 5 𝑠 12𝑠2 3𝑠 5 Aplicando uma entrada degrau unitário a resposta fica 𝑐𝑡 1 5 4 𝑒𝑡 1 4 𝑒3 4𝑡 𝑐𝑜𝑠 31 4 𝑡 17 31 31 𝑠𝑖𝑛 31 4 𝑡 p t 0 Comparando o denominador da função de transferência com um denominador de 2ª ordem padrão 2𝑠2 3𝑠 5 𝑠2 3 2 𝑠 5 2 𝑠2 2𝜁𝜔𝑛𝑠 𝜔𝑛 2 Assim 𝜔𝑛 5 2 rads 𝜁 3 4 2 5 𝜔𝑑 31 4 rads e 𝑠12 3 4 𝑗 31 4 Observando assim a existência da influência dos polos complexos conjugados na resposta assim como do polo puramente real Outro exemplo é dado por 21 𝐻𝑠 36 𝑠2 3𝑠 9𝑠2 4 Cujos polos são 𝑠12 3 2 𝑗 33 2 𝑒 𝑠34 𝑗2 Aplicando uma entrada degrau unitário a resposta fica 𝑐𝑡 1 9 61 5 𝑐𝑜𝑠2𝑡 6 𝑠𝑖𝑛2𝑡 16 61 𝑒3 2𝑡 𝑐𝑜𝑠 33 2 𝑡 3 6 𝑠𝑖𝑛 33 2 𝑡 p t 0 Neste caso está presente na resposta tanto a frequência natural amortecida proveniente do polo complexo conjugado quanto da frequência natural da resposta proveniente dos polos puramente imaginários Assim como previsto anteriormente a oscilação proveniente do polo com amortecimento será eliminada com o passar do tempo enquanto a oscilação proveniente do polo sem amortecimento continuará indefinidamente 54 Dominância de polos Em sistemas com múltiplos polos pode ocorrer dominância de um conjunto de polos sobre outro conjunto de polos os polos que têm maior influência na resposta são os chamados polos dominantes Por exemplo considerando dois sistemas 𝐺1𝑠 6 9 𝑠 6𝑠2 06𝑠 9 𝑒 𝐺2𝑠 06 900 𝑠 06𝑠2 6𝑠 900 Observe que os polos de G1s G2s são dados por Para G1s 𝑠1 60 𝑒 𝑠23 03 𝑗0298 Para G2s 𝑠1 06 𝑒 𝑠23 30 𝑗2980 Observase que os polos foram escolhidos para que a parte real fosse 5x maior entre as funções de transferência aplicando uma entrada degrau unitário obtêmse as respostas abaixo 22 Figura 514 Resposta de sistema de ordem superior Observase que quem determina a dinâmica da resposta de G1s são os polos complexos conjugados e o que determina a dinâmica da resposta de G2s é o polo puramente real Assim podese dizer que quem determina a dinâmica das funções de transferência são os polos dominantes são os polos que apresentam o menor valor real absoluto 55 Efeitos da adição de polos e zeros na resposta De maneira geral a interpretação das influências da adição de polos e zeros na resposta do sistema pode ser feita através da localização dos polos e zeros adicionados em relação os polos e zeros originais Por exemplo assumindo uma função de transferência Gs na forma 𝐺1𝑠 25 𝑠2 5𝑠 25 Cujo polo está posicionado em 𝑠12 25 𝑗433 Comentário Aqui é apresentado apenas os casos em que os polos e zeros possuem parte real negativa e são da forma puramente real 551 Efeito da Adição de Zeros Adicionando um zero conforme abaixo 𝐺1𝑠 50 𝑠2 5𝑠 25 𝑒 𝐺2𝑠 125𝑠 4 𝑠2 5𝑠 25 𝑒 𝐺3 25𝑠 2 𝑠2 5𝑠 25 23 Obtémse a resposta ao degrau unitário abaixo Observase que à medida que o zero adicionado tem o seu módulo diminuído o sistema responde mais rápido porém a amplitude oscilação também aumenta Por outro lado se o zero apresentar um valor negativo grande ele praticamente não influencia na resposta Figura 515 Efeito da adição de zero 552 Efeito da Adição de Polos Adicionando um polo conforme abaixo 𝐺1𝑠 50 𝑠2 5𝑠 25 𝑒 𝐺2𝑠 200 𝑠2 5𝑠 25𝑠 4 𝑒 𝐺3 100 𝑠2 5𝑠 25𝑠 2 Obtémse a resposta ao degrau unitário abaixo Observase que à medida que o polo adicionado tem o seu módulo diminuído o sistema responde mais lentamente e a amplitude oscilação também diminui Nos estremos temse a relação de dominância dos polos já apresentada anteriormente Figura 516 Efeito da adição de polos 24 56 Polos com o Matlab Curiosidade Os cálculos dos polos podem feitos utilizando o programa Matlab 𝐺𝑠 10 𝑠2 24𝑠 9𝑠 2 10 𝑠3 44𝑠2 138𝑠 18 Cálculo dos polos utilizando comando damp clear all apaga todas as variáveis close all fecha todas as janelas gráficas clc apaga a tela do matlab Define a função de transferência Gs G tf101 44 138 18 Retirada das informações dos polos dampG Pole Damping Frequency Time Constant radseconds seconds 200e00 100e00 200e00 500e01 120e00 275e00i 400e01 300e00 833e01 120e00 275e00i 400e01 300e00 833e01 Para o polo puramente real apareceu uma frequência natural e um fator de amortecimento que estão associados a polos complexos conjugados Porém assumindo a forma de um polo complexo conjugado 𝑠12 𝜁𝜔𝑛 𝑗𝜔𝑑 𝜁𝜔𝑛 𝑗𝜔𝑛1 𝜁2 Para o polo complexo conjugado ser um polo puramente real é necessário o seu fator de amortecimento seja igual a unidade para eliminar a parte imaginária assim sua frequência natural será igual à parte real 2 𝜁𝜔𝑛 𝑗𝜔𝑛1 𝜁2 𝜁 1 𝑒 𝜔𝑛 2 𝑟𝑎𝑑𝑠 Para o polo complexo conjugado apresentar uma constante de tempo comparase as exponenciais provenientes da resposta ao degrau unitário de um sistema de 1ª ordem padrão com um sistema de 2ª ordem padrão conforme 𝑐𝑡 𝐾 1 𝑒𝑡 𝜏 𝑐𝑡 𝐾 1 𝑒𝜁𝜔𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑑𝑡 𝜁 1 𝜁2 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑑𝑡 Assim 𝑒𝑡 𝜏 𝑒𝜁𝜔𝑛𝑡 𝜏 1 𝜁𝜔𝑛 25 A frequência natural e fator de amortecimento são extraídos dos polos complexos conjugados observando que o módulo do polo é a frequência natural conforme 𝑠12 𝜁𝜔𝑛 𝑗𝜔𝑑 𝜁𝜔𝑛 𝑗𝜔𝑛1 𝜁2 𝜁𝜔𝑛2 𝜔𝑛1 𝜁2 2 𝜔𝑛 O fator de amortecimento é dado pela comparação entre as partes reais do polo 57 Importância do estudo dos polos Na mecânica em geral o estudo dos polos é considerado um dos mais importantes estudos a serem feitos tanto em sistemas de controle quanto em sistemas sem controle pois os polos são associados à resposta transitória isto é toda vez que haver alteração na entrada o sistema apresentará resposta transitória Por exemplo para o sistema abaixo aplicase um degrau no instante t 0 e mais um degrau no instante t 10 segundos 𝐺𝑠 25 𝑠2 25𝑠 25 Figura 517 Efeito de polos na resposta transitória Como observado a resposta transitória aparece em cada aplicação da entrada 58 Exercícios de Revisão 1 Para a de transferência abaixo 26 𝐻𝑠 7 3𝑠 5 𝑒2𝑠 a Determinar a Constante de tempo 𝜏 Ganho estático K e atraso de transporte 𝜃 b Traçar a resposta ao degrau de amplitude 4 indicando no gráfico os parâmetros da função de transferência 2 Para a de transferência abaixo 𝐺𝑠 40 5𝑠2 3𝑠 50 a Determinar a frequência natural 𝜔𝑛 Fator de Amortecimento 𝜁 e Ganho estático K b Calcular o Valor Final para uma entrada degrau de amplitude 3 59 Exercícios Propostos 1 Qual a Função de transferência para as respostas abaixo a b 2 Para a resposta ao degrau abaixo sabendose que a entrada aplicada foi um degrau de amplitude 2 pedese a Determinar a função de transferência de 1ª ordem padrão b Com a função de transferência acima trace o gráfico da resposta ao degrau de amplitude 3 apontando os principais fatores no gráfico 27 3 Desenhar a resposta ao degrau unitário das seguintes Funções de transferência abaixo a 𝐺𝑠 7 5𝑠1 𝑒3𝑠 b 𝐺𝑠 2 3𝑠1 𝑒5𝑠 4 Determinar as funções de transferência padrão para a Função de transferência de 1ª ordem padrão com constante de tempo 5𝑠 atraso de transporte 4𝑠 e resposta em regime permanente 𝑦𝑡 07 para uma entrada 𝑟𝑡 degrau de amplitude 2 b Função de transferência de 2ª ordem padrão com frequência natural 𝑛 10 𝑟𝑎𝑑𝑠 fator de amortecimento 07 atraso de transporte 4𝑠 e resposta em regime permanente 𝑦𝑡 18 para uma entrada 𝑟𝑡 degrau unitário 5 Um termômetro requer 1 minuto para indicar 98 da resposta a uma entrada em degrau Suponha que o termômetro seja um sistema de primeira ordem sem atraso de transporte e com ganho unitário a Determine a constante de tempo b Se o termômetro for imerso em um banho cuja temperatura muda linearmente a uma taxa de 10min qual será o erro apresentado pelo termômetro Dica a entrada não é tipo degrau 6 Considerando o sistema apresentado na figura abaixo determine os valores de 𝐾 e 𝑘 de modo que o sistema tenha um coeficiente de amortecimento 𝜁 igual a 07 e uma frequência natural não amortecida 𝜔𝑛 de 4 rads 28 7 Considere um sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta seja 𝐺𝑠 𝐾 𝑠𝐽𝑠 𝐵 Discuta os efeitos que as variações de 𝐾 e 𝐵 produzem sobre o erro estacionário da resposta à entrada em rampa unitária Esboce as curvas típicas de resposta à rampa unitária para valores pequenos médios e elevados de 𝐾 supondo que 𝐵 seja constante 29 510 Respostas 1 a Cs Rs 5 4s1 e3s b Cs Rs 3 5s1 e3s 2 a Cs Rs 3 3s1 e2s b Resposta ao degrau 3 3 a b 30 4 a 𝐶𝑠 𝑅𝑠 035 5𝑠1 𝑒4𝑠 b 𝐶𝑠 𝑅𝑠 180 𝑠214𝑠100 𝑒4𝑠 5 a Constante de tempo 𝜏 15337𝑠 b Erro apresentado para temperatura com taxa de 10Cmin 𝑒𝑡 2556 6𝐾 16 𝑘 0225 7 Um aumento em 𝐾 diminui o erro estacionário da resposta à entrada em rampa unitária e um aumento em 𝐵 aumenta o erro uma vez que este é sempre 𝐵𝐾 para a função de transferência de malha aberta 𝐺𝑠 dada