Controladores PID - Ações Básicas de Controle e Projeto via Ziegler-Nichols

1 Sumário 6 AÇÕES BÁSICAS DE CONTROLE 2 61 INTRODUÇÃO 2 62 AÇÃO DE CONTROLE DE DUAS POSIÇÕES OU LIGADESLIGA 4 63 CONTROLADOR PID 6 631 Ação de Controle Proporcional P 7 632 Ação de Controle ProporcionalDerivativa PD 9 633 Ação de Controle Integral I 12 634 Ação de Controle ProporcionalIntegral PI 15 635 Ação de Controle ProporcionalIntegralDerivativa PID 17 636 Rejeição a distúrbios 18 637 Possibilidade de escolha dos polos 21 638 Variações do Controlador PID 24 64 PROJETO DE CONTROLADOR PID VIA ZIEGLERNICHOLS MALHA ABERTA 30 65 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 35 66 PROJETOS DE SISTEMAS DE CONTROLE 53 661 Suspensão Ativa 53 662 Velocidade Veicular 55 67 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 57 68 RESPOSTAS 61 2 6 Ações Básicas de Controle 61 Introdução Controlar um sistema significa alterar o seu desempenho de forma satisfatória através da adição de elementos externos chamados de controladores ou reguladores Sistema sem controle muitas vezes chamado de malha aberta pode ser observado na figura abaixo Quem ajusta a reposta do sistema ct é o operador ajustando a entrada ut Figura 61 Sistema sem controle ou chamado de Malha Aberta Sistema de controle em malha fechada envolve pelo menos uma realimentação presente na malha como por exemplo o apresentado na figura abaixo Figura 62 Representação típica de um sistema de controle Sendo que os sinais são dados por Rs é a referência a ser seguida ajustada pelo operador Es é o erro do sistema de controle Us é a lei de controle por ser saída do controlador mas ao mesmo tempo é a entrada da planta a ser controlada Cs é a resposta controlada real Contudo esta não é a única configuração possível do sistema de controle Outras configurações podem ser observadas como apresentadas na figura abaixo 3 Figura 63 Possíveis colocações do sistema de controle Controlador Clássico representa as formulações clássicas de sistemas de controle como controlador PID e Avanço e Atraso de Fase Controle em Realimentação representa as formulações de controle moderno como Controle H2 e H Controle em avanço representa as metodologias adaptativas tais como LMS Filtrado De modo geral a posição do controlador em relação à planta a ser controlada depende do conhecimento do programador do sistema de controle Aqui será estudado o controlador PID que é o sistema de controle clássico mais utilizado em sistemas industriais que envolvem o controle de uma entrada e de uma saída Uma definição de sistemas de controle bastante interessante é a resposta à seguinte pergunta Quais são os polos em malha fechada para que o sistema possua o desempenho desejado Por exemplo observe o diagrama de blocos abaixo Figura 64 Sistema simples de controle em realimentação Supondo que Ms é a função de transferência do controlador Gs a função de transferência do processo a ser controlado e Hs a função de transferência do sensor de medida que por simplicidade será considerado um sensor de medida ideal Hs 1 Como cada uma destas funções de transferência possuem numerador e denominador então 𝑀𝑠 𝑀𝑁𝑠 𝑀𝐷𝑠 𝑒 𝐺𝑠 𝐺𝑁𝑠 𝐺𝐷𝑠 A função de transferência de malha fechada CsRs é dada por 𝑇𝑠 𝑀𝑠𝐺𝑠 1 𝑀𝑠𝐺𝑠𝐻𝑠 𝑀𝑁𝑠 𝑀𝐷𝑠 𝐺𝑁𝑠 𝐺𝐷𝑠 1 𝑀𝑁𝑠 𝑀𝐷𝑠 𝐺𝑁𝑠 𝐺𝐷𝑠 𝑀𝑁𝑠𝐺𝑁𝑠 𝑀𝐷𝑠𝐺𝐷𝑠 𝑀𝑁𝑠𝐺𝑁𝑠 Como é visto o denominador da função de transferência de malha fechada Ts é composto pelos polos e zeros do controlador da planta a ser controlada alterando assim os polos do sistema em malha fechada 4 Agora para entender a influência dos polos na resposta de um sistema controlado será utilizado um sistema de 2ª ordem padrão conforme 𝐺1𝑠 1 52 𝑠2 2 02 5 𝑠 52 𝐺2𝑠 1 52 𝑠2 2 07 5 𝑠 52 𝐺3𝑠 1 102 𝑠2 2 07 10 𝑠 102 𝐺4𝑠 1 102 𝑠2 2 10 10 𝑠 102 𝐺5𝑠 1 102 𝑠2 2 15 10 𝑠 102 Figura 65 Resposta de sistemas de 2ª Ordem padrão Como é observado na figura acima aparentemente o melhor desempenho é alcançado pelo sistema de maior frequência natural e com fator de amortecimento entre 07 e 1 Pois o sistema responde mais rápido e se acomoda antes sem oscilar muito Portanto as análises futuras para o entendimento da influência de cada controlador serão feitas em função dos fatores de amortecimento e das frequências naturais 62 Ação de Controle de duas posições ou ligadesliga Em um sistema de controle de duas posições o elemento atuante possui apenas duas posições fixas que são em muitos casos as posições Liga e Desliga Este tipo de sistema de controle é relativamente barato e simples de ser implementado quando comparado com sistemas que permitem variações contínuas da saída Ele representa sempre o controle de processos em que por exemplo ocorre o acionamento de um motor como sistema de controle Neste caso o motor deve estar ligado ou desligado Exemplos deste sistema são o controle de sistemas térmicos e de sistemas fluídicos Considerase o controlador Ms tal que a entrada seja et e a saída seja ut No controle de duas posições o sinal ut permanece em um determinado valor máximo ou em um valor mínimo dependendo de o sinal de erro atuante ser negativo ou positivo 5 𝑢𝑡 𝑈1 𝑝𝑒𝑡 0 𝑈2 𝑝𝑒𝑡 0 Onde U1 e U2 são constantes O valor mínimo U2 geralmente é zero Quando o valor máximo U1 é unitário temse que a saída é dada pela Função Heaviside Essa função é do tipo degrau e assume o valor zero quando a entrada é negativa e o valor unitário quando a entrada é positiva Figura 66 Função de Heaviside O intervalo no qual o sinal de erro deve variar antes de ocorrer a comutação entre U1 e U2 é denominado de Intervalo Diferencial Esse intervalo é de suma importância pois permite evitar que o sistema controlado oscile entre os dois estágios com muita frequência Tal oscilação pode provocar a redução da vida útil do equipamento Um exemplo é o controle do compressor de um sistema de refrigeração Supondo que seu funcionamento esteja condicionado à temperatura de referência ou do inglês setpoint de 5C temse que o compressor será acionado quando a temperatura estiver acima da referência e desligado quando a temperatura for igual ou inferior a esse limite Sem o Intervalo Diferencial uma pequena variação 01C por exemplo ao redor da referência faria o compressor ser ativado ou desativado com muita frequência Com a aplicação de um Intervalo de Diferencial de 2C o compressor só seria ativado quando a temperatura atingisse 4C e desativado em 6C Figura 67 Controle de um sistema de refrigeração 6 Vale destacar que a extensão da histerese não deve ser muito grande de modo a evitar que a ativação ou desativação do sistema controlado demore a acontecer No exemplo do compressor do sistema de refrigeração 4C não pode ser uma temperatura que prejudique significativamente o ambiente a ser resfriado Além disso outro tópico que precisa ser levado em consideração no projeto de um controlador ligadesliga é a possibilidade de as variações abruptas da saída causarem problemas aos componentes envolvidos tais como abertura de trincas devido à dilatação e à contração que podem ocorrer em decorrência das variações de temperatura Outra aplicação dos controladores de duas posições é no controle da circulação de água em aquecedores solares Esta ação é feita através do diferencial de temperaturas entre o reservatório térmico e os coletores solares Sensores captam as temperaturas do coletor solar e do reservatório de água Quando a diferença entre as temperaturas ultrapassa o valor previamente ajustado para ativação temse início a circulação de água através do acionamento de uma bomba Então a água quente do coletor desce para o reservatório e a água do reservatório sobe para o coletor Quando a diferença entre as temperaturas fica abaixo da referência de desligar a bomba é desativada Um terceiro exemplo de aplicação de controladores ligadesliga é no controle do nível de tanques Nesse caso o controlador seria utilizado para ligar e desligar a bomba alimentadora do reservatório Quando o nível do tanque mensurado com o uso de uma boia está abaixo do valor de referência inferior a bomba é acionada Já quando a altura ultrapassa o limite superior a bomba é desativada A figura abaixo apresenta um sistema de controle típico Figura 68Controlador tipo LigaDesliga 63 Controlador PID O Controlador PID é o sistema de controle mais simples e largamente estudado e aplicado na indústria Ele consiste na ação de três partes Pproporcional Iintegral e D derivativa Sua implementação é feita conforma diagrama de blocos abaixo Figura 69Controlador PID 7 Onde que Ms é a função de transferência do controlador PID Gs a função de transferência do processo a ser controlado e Hs a função de transferência do sensor de medida 631 Ação de Controle Proporcional P No controle Proporcional P a relação entre a lei de controle e o erro do controlador é apenas uma constante de proporcionalidade 𝐾𝑝 𝑢𝑡 𝐾𝑝𝑒𝑡 Aplicando a transformada de Laplace 𝑈𝑠 𝐸𝑠 𝐾𝑝 Onde 𝐾𝑝 é denominado de Ganho Proporcional Influência da Ação Proporcional Para verificar a influência da ação proporcional tomase como exemplo o controle proporcional de um sistema de 2ª ordem padrão sem erro estacionário para uma entrada degrau unitário conforme Figura 610 Sistema simples de controle em realimentação Com Hs 1 sensor ideal 𝑀𝑠 𝐾𝑝 controle Proporcional e 𝐺𝑠 9 𝑠23𝑠9 Malha fechada CsRs 𝐶𝑠 𝑅𝑠 𝑀𝑠𝐺𝑠 1 𝑀𝑠𝐺𝑠𝐻𝑠 𝐾𝑝9 𝑠2 3𝑠 9 1 𝐾𝑝9 𝑠2 3𝑠 9 𝐾𝑝9 𝑠2 3𝑠 91 𝐾𝑝 Observase que para um sistema de 2ª ordem padrão sem erro estacionário para uma entrada degrau unitário Função de Transferência 𝐺𝑠 𝜔𝑛2 𝑠22𝜁𝜔𝑛𝑠𝜔𝑛2 Polos complexos conjugados s12 ζωn jωd com 𝜔𝑑 𝜔𝑛1 𝜁2 Resposta temporal ct 8 𝑐𝑡 1 𝑒𝜁𝜔𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑑𝑡 𝜁 1𝜁2 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑑𝑡 para t 0 Tabela 61 Comparação dos parâmetros da resposta Parâmetros Sistema sem controle Sistema controlado Frequência Natural ωn 3 31 𝐾𝑝 Fator de amortecimento ζ 1 2 1 21 𝐾𝑝 Frequência Natural Amortecida ωd 3 2 3 3 2 3 4𝐾𝑝 Resposta em regime permanente para uma entrada degrau unitário 1 𝐾𝑝 1 𝐾𝑝 Erro estacionário para uma entrada degrau unitário 0 1 1 𝐾𝑝 Observe os vários significados obtidos e sintetizados da tabela acima Se 𝐾𝑝aumenta o O sistema oscila mais e é menos amortecido pois o fator de amortecimento diminuiu o O sistema responde mais rápido pois a frequência natural aumentou Erro estacionário o Análise para termo s0 0 Se não houver erro estacionário ele aparecerá Se houver erro estacionário ele pode ser reduzido mas não eliminado o Análise para termo s0 0 Erro estacionário é sempre eliminado Figura 611 Influencia da ação Proporcional 0 05 1 15 2 25 3 35 4 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 Resposta ao Degrau Unitário Tempo sec Amplitude Kp 5 Kp 30 9 Para exemplificar a atuação do controlador Proporcional em que o termo s0 é nulo pode aplicar no sistema de servomotor cuja função de transferência é dada por 𝜃𝑠 𝑀𝑠 𝐾𝑎 𝐽𝑠2 𝑏𝑠 Sendo que θ é o ângulo de giro do motor M é o momento devido a ação eletromagnética no motor J é a inércia de rotação e b é o amortecimento Aplicando um controle proporcional e fazendo o fechamento de malha com realimentação unitária temse 𝜃𝑠 𝑅𝑠 𝐾𝑎𝐾𝑝 𝐽𝑠2 𝑏𝑠 𝐾𝑎𝐾𝑝 Desta forma o sistema não possui erro estacionário para uma entrada tipo degrau 632 Ação de Controle ProporcionalDerivativa PD O controle proporcionalderivativo é definido como 𝑢𝑡 𝐾𝑝 𝑒𝑡 𝑇𝑑 𝑑 𝑑𝑡 𝑒𝑡 A função de transferência é dada por 𝑈𝑠 𝐸𝑠 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 1 𝐾𝑑𝑠 𝐾𝑝 Onde Td é o chamado Tempo Derivativo e Kd é o Ganho do Derivativo As duas formas são frequentes mas a formulação com Td é a mais utilizada para projetos Influência da Ação ProporcionalDerivativa Assumindo um sistema de 2ª ordem padrão conforme figura abaixo Figura 612 Sistema simples de controle em realimentação Com Hs 1 sensor ideal 𝑀𝑠 𝐾𝑝1 𝑇𝑑𝑠 controle ProporcionalDerivativo PD e 𝐺𝑠 9 𝑠23𝑠9 Malha fechada CsRs 10 𝐶𝑠 𝑅𝑠 𝑀𝑠𝐺𝑠 1 𝑀𝑠𝐺𝑠𝐻𝑠 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 1 9 𝑠2 3𝑠 9 1 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 1 9 𝑠2 3𝑠 9 9𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 1 𝑠2 3 9𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 91 𝐾𝑝 Observe que foi adicionado um zero ao sistema em malha fechada Contudo a constante Td está no termo de s e o denominador é de 2ª ordem significando que a ação proporcional adiciona amortecimento ao sistema Como uma ação secundária observase que o sistema responde mais rápido devido ao aumento da frequência natural mas o sistema que originalmente não apresentava erro estacionário agora apresenta devido à ação proporcional Figura 613 Influência da Ação Derivativa A função de transferência com 𝐾𝑝 5 e 𝑇𝑑 01 𝐶𝑠 𝑅𝑠 9𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 1 𝑠2 3 9𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 91 𝐾𝑝 45𝑠 45 𝑠2 75𝑠 54 Entretanto para calcular a lei de controle Us que é a saída do controlador utilizase o diagrama de blocos abaixo Figura 614 Sistema de controle com saída Us A função de transferência UsRs 11 𝑈𝑠 𝑅𝑠 𝑀𝑠 1 𝑀𝑠𝐺𝑠𝐻𝑠 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 1 1 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 1 9 𝑠2 3𝑠 9 Realizando a simplificação 𝑈𝑠 𝑅𝑠 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 1𝑠2 3𝑠 9 𝑠2 3 9𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 91 𝐾𝑝 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠3 1 3𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠2 3 9𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 9 𝑠2 3 9𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 91 𝐾𝑝 Como é possível observar pela equação acima a função de transferência UsRs é uma função de transferência imprópria significando que não pode ser implementada na prática Então não é possível implementar o controle derivativo como apresentado acima Notase que a função de transferência UsRs é imprópria ou seja o grau do polinômio do numerador é maior que o do denominador Funções de transferências impróprias descrevem sistemas nãocasuais Para contornar essa situação utilizase uma aproximação do termo derivativo para ser obtida uma função de transferência própria Essa aproximação do termo derivativo a qual será explicada no item 638 deste capítulo e a nova função de transferência UsRs são apresentadas a seguir Aproximação para tornar o termo derivativo fisicamente realizável 𝑇𝑑𝑠 𝑇𝑑𝑠 1 𝛾𝑇𝑑𝑠 𝑇𝑑𝑠 1 01𝑇𝑑𝑠 Função de transferência de malha fechada 𝑈𝑠 𝑅𝑠 𝑀𝑠 1 𝑀𝑠𝐺𝑠𝐻𝑠 𝐾𝑝 𝑇𝑑𝑠 01𝑇𝑑𝑠 1 1 1 𝐾𝑝 𝑇𝑑𝑠 01𝑇𝑑𝑠 1 1 9 𝑠2 3𝑠 9 Substituindo os valores e realizando a simplificação 𝑈𝑠 𝑅𝑠 03𝑠3 59𝑠2 177𝑠 45 001𝑠3 103𝑠2 579𝑠 54 12 Figura 615 Lei de controle ut para entrada degrau unitário KP 5 e Td 01 633 Ação de Controle Integral I Em um sistema de controle integral a lei de controle ut é modificada conforme 𝑢𝑡 𝐾𝐼 𝑒𝑡𝑑𝑡 𝑡 0 Onde KI é o ganho do controle integral A função de transferência fica 𝑈𝑠 𝐸𝑠 𝐾𝐼 𝑠 Influência da Ação Integral Para verificar a influência da ação integral tomase como exemplo o controle integral de um sistema de 2ª ordem padrão com erro estacionário para uma entrada degrau unitário conforme Figura 616 Sistema simples de controle em realimentação Com Hs 1 sensor ideal Ms KIs controle integral e 𝐺𝑠 92 𝑠23𝑠9 Malha fechada CsRs 13 𝐶𝑠 𝑅𝑠 𝑀𝑠𝐺𝑠 1 𝑀𝑠𝐺𝑠𝐻𝑠 𝐾𝐼 𝑠 92 𝑠2 3𝑠 9 1 𝐾𝐼 𝑠 92 𝑠2 3𝑠 9 9 2 𝐾𝐼 𝑠3 3𝑠2 9𝑠 9 2 𝐾𝐼 Observe que foram adicionados um polo e um ganho ao sistema em malha fechada tal que o erro estacionário para uma entrada degrau unitário foi eliminado Como sistema é de 3ª ordem os polos do sistema obtido com ajuda do Matlab Para KI 05 temse Eigenvalue Damping Freq rads 273e001 100e000 273e001 136e000 253e000i 475e001 287e000 136e000 253e000i 475e001 287e000 Para KI 25 temse Eigenvalue Damping Freq rads 166e00 100e00 166e00 670e01 252e00i 257e01 260e00 670e01 252e00i 257e01 260e00 Agora para KI 5 temse Eigenvalue Damping Freq rads 273e00 100e00 273e00 137e01 287e00i 477e02 287e00 137e01 287e00i 477e02 287e00 Desta forma verificase que à medida que KI aumenta o sistema tende a ficar mais oscilante e menos amortecido se KI aumentar muito pode acontecer de o sistema ficar sem amortecimento e até mesmo aparecerem polos com parte real positiva A partir da simulação abaixo verificase que à medida que KI aumenta o erro estacionário é eliminado mais rápido 14 Figura 617 Influência da ação integral Analisando os polos dominantes do sistema em malha fechada observase que para KI 05 temse um polo de parte real negativa e parte imaginária nula o que justifica o comportamento semelhante ao de um sistema de primeira ordem À medida que aumenta o valor de KI o sistema passa a apresentar comportamento de segunda ordem É possível notar que valores mais elevados de KI tendem a aumentar o módulo da parte imaginária e reduzir o módulo da parte real dos polos caracterizando um aumento no valor da frequência natural amortecida e uma redução no coeficiente de amortecimento do sistema Tal efeito pode ser comprovado pela maior amplitude de oscilação pelo maior tempo de assentamento e maior velocidade de resposta que o sistema assume quando KI 5 quando comparada com a resposta para KI 25 Para a lei de controle ut Figura 618 Sistema de controle com saída Us 𝐶𝑠 𝑅𝑠 𝑀𝑠 1 𝑀𝑠𝐺𝑠𝐻𝑠 𝐾𝐼 𝑠 1 𝐾𝐼 𝑠 92 𝑠2 3𝑠 9 𝐾𝐼𝑠2 3𝑠 9 𝑠3 3𝑠2 9𝑠 9 2 𝐾𝐼 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 02 04 06 08 1 12 14 16 Resposta ao Degrau Unitário Tempo sec Amplitude KI 05 KI 25 KI 5 15 634 Ação de Controle ProporcionalIntegral PI Em geral o controle integral sozinho raramente é usado optase normalmente pelo controle ProporcionalIntegral A ação do controle proporcionalintegral é a soma das duas atuações conforme 𝑢𝑡 𝐾𝑝𝑒𝑡 𝐾𝐼 𝑒𝑡𝑑𝑡 𝑡 0 𝐾𝑝 𝑒𝑡 1 𝑇𝑖 𝑒𝑡𝑑𝑡 𝑡 0 Onde Ti é chamado de Tempo Integrativo Passando para função de transferência 𝑈𝑠 𝐸𝑠 𝐾𝑝 1 1 𝑇𝑖𝑠 𝐾𝑝 𝐾𝐼 𝑠 A forma com tempo do integrador é mais utilizada em projetos quando ambos os controladores são usados Para entender o significado de Ti assumese que a entrada et é um degrau unitário portanto 𝑈𝑠 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 𝐾𝑝 𝑇𝑖𝑠 1 𝑠 𝐾𝑝 𝑠 𝐾𝑝 𝑇𝑖𝑠2 Cuja transforma inversa de Laplace fica 𝑢𝑡 𝐾𝑝 𝐾𝑝 𝑇𝑖 𝑡 pt 0 Observe que quando t 0 ut Kp quando t Ti ut 2 Kp Isso significa que Ti representa o tempo necessário para o controle integral dobrar a sua ação Além disso como Ti está no denominador ele é inversamente proporcional isto é quando Ti é muito pequeno a ação integral é muito grande 16 Influência da Ação ProporcionalIntegral Para verificar a influência da ação integral toma se como exemplo o controle proporcionalintegral de um sistema de 2ª ordem padrão com erro estacionário para uma entrada degrau unitário conforme Figura 619 Sistema simples de controle em realimentação Com Hs 1 sensor ideal 𝑀𝑠 𝐾𝑝 1 1 𝑇𝑖𝑠 controle integral e 𝐺𝑠 92 𝑠23𝑠9 Malha fechada CsRs 𝐶𝑠 𝑅𝑠 𝑀𝑠𝐺𝑠 1 𝑀𝑠𝐺𝑠𝐻𝑠 𝐾𝑝 1 1 𝑇𝑖𝑠 9 2 𝑠2 3𝑠 9 1 𝐾𝑝 1 1 𝑇𝑖𝑠 9 2 𝑠2 3𝑠 9 𝐶𝑠 𝑅𝑠 9 2 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 1 𝑇𝑖𝑠3 3𝑇𝑖𝑠2 9𝑇𝑖𝑠 9 2 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 1 Observe que agora o erro estacionário é eliminado pela adição de um polo e um zero Assim o sistema não apresenta erro estacionário Além disso podemse fazer as mesmas observações que são apresentadas para os controladores agindo separadamente contudo deve se lembrar que neste caso a parcela integral é inversamente proporcional e assim quanto maior for Ti menor será a ação integral do controlador A seguir são apresentadas as respostas no domínio do tempo ct et e ut assumindo a entrada degrau unitário KP 20 e Ti 001 Notase que a ação integral atua reduzindo o erro estacionário até que ele atinja zero Nesse exato momento a resposta et também assume valor nulo Isso acontece pois nesse momento ct passa a valer exatamente rt Como o sensor Hs é um sensor ideal podese dizer que et é a diferença entre a saída e a entrada Portanto nesse instante et passa a ser nulo e a ação deixa de atuar Figura 620 Resposta ao degrau unitário 17 Notase que a ação integral do controlador PI atua fazendo o erro do sistema tender a zero Dessa maneira o erro estacionário passa a ser nulo como pode ser observado no gráfico de et e de ct 635 Ação de Controle ProporcionalIntegralDerivativa PID O controle ProporcionalIntegralDerivativo é a soma das ações sendo dada por 𝑢𝑡 𝐾𝑝 𝑒𝑡 𝑇𝑑 𝑑 𝑑𝑡 𝑒𝑡 1 𝑇𝑖 𝑒𝑡𝑑𝑡 𝑡 0 A função de transferência é dada por 𝑈𝑠 𝐸𝑠 𝐾𝑝 1 𝑇𝑑𝑠 1 𝑇𝑖𝑠 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑇𝑖𝑠2 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 𝐾𝑝 𝑇𝑖𝑠 𝐾𝑝 𝐾𝑑𝑠 𝐾𝑖 𝑠 Influência da Ação ProporcionalIntegralDerivativa Assumindo um sistema de 2ª ordem padrão conforme figura abaixo Figura 621 Sistema simples de controle em realimentação Com Hs 1 sensor ideal Ms um controle ProporcionalIntegralDerivativo com Kp 5 Td 310 e Ti 925 𝐺𝑠 9 𝑠23𝑠9 𝐶𝑠 𝑅𝑠 5 1 3 10 𝑠 25 9𝑠 9 𝑠2 3𝑠 9 1 5 1 3 10 𝑠 25 9𝑠 9 𝑠2 3𝑠 9 5 90𝑠 27𝑠2 250 90𝑠 9 𝑠2 3𝑠 9 1 5 90𝑠 27𝑠2 250 90𝑠 9 𝑠2 3𝑠 9 4527𝑠2 90𝑠 250 90𝑠𝑠2 3𝑠 9 4527𝑠2 90𝑠 250 4527𝑠2 90𝑠 250 90𝑠3 1485𝑠2 4860𝑠 45 250 18 Figura 622 Influência do Controlador PID 636 Rejeição a distúrbios Uma das vantagens do sistema de controle é a possibilidade de rejeição a distúrbios indesejados que podem aparecer em sistemas de controle Para entender este fenômeno consideramse distúrbios de entrada e de saída conforme figura abaixo Figura 623 Atuação dos principais tipos de distúrbios Onde Ns é a representação de um distúrbio de entrada e Ds é um distúrbio de saída Distúrbios de saída são aqueles que atuam diretamente na resposta do sistema enquanto que os distúrbios de entrada são aqueles que afetam indiretamente a resposta do sistema Exemplo de distúrbio de saída é a laminação enquanto distúrbios de entrada é a descida ou subida do veículo Rejeição a distúrbios significa que o controlador mantém a referência mesmo na presença de distúrbios Então supõese um sistema de 2ª ordem padrão em um sistema de controle conforme apresentado na figura abaixo Figura 624 Malha Fechada com distúrbio de saída 19 Supondo Ms controlador PID com Kp 3 Td 01 e Ti 05 𝐺𝑠 20 𝑠2𝑠25 Observe que Gs possui frequência natural 5 rads fator de amortecimento 01 e apresenta uma resposta em regime permanente de 08 para uma entrada degrau unitário Para analisar a rejeição a distúrbios do controlador PID fazse a malha fechada mas para um sistema com duas entradas e uma saída 𝐶𝑠 𝐷𝑠 𝐺𝑠𝑀𝑠𝐸𝑠 I 𝐸𝑠 𝑅𝑠 𝐶𝑠 II Substituindo II em I 𝐶𝑠 𝐷𝑠 𝐺𝑠𝑀𝑠𝑅𝑠 𝐶𝑠 1 𝑀𝑠𝐺𝑠𝐶𝑠 𝐷𝑠 𝑀𝑠𝐺𝑠𝑅𝑠 Chegando a 𝐶𝑠 1 1 𝑀𝑠𝐺𝑠𝐷𝑠 𝑀𝑠𝐺𝑠 1 𝑀𝑠𝐺𝑠 𝑅𝑠 Observe que o denominador é igual para todas as entradas sendo apenas o numerador diferente Como o controlador PID deve eliminar a influência de Ds em Cs para qualquer entrada então escolhese a entrada mais fácil de ser trabalhada rt 0 e dt entrada degrau unitário Assim s 1 3 51 s 20 0 15s 25 s s s 50 25 s s s 50 s 1 25 s s 20 s 50 3 51 s 0 15s 1 1 D s M s G s 1 1 s C 2 2 2 2 2 Verificando o erro estacionário 𝑙𝑖𝑚 𝑡𝑟𝑡 𝑐𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠𝑅𝑠 𝐶𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠 0 05𝑠𝑠2 𝑠 25 05𝑠𝑠2 𝑠 25 20015𝑠2 15𝑠 3 1 𝑠 0 Como não há erro estacionário o controlador PID consegue eliminar a influência do distúrbio de saída Ds Abaixo a simulação do sistema completo admitindo que o distúrbio ocorre em 6 segundos para evidenciar a rejeição à distúrbio do sistema 20 Figura 625 Diagrama de blocos do Exemplo de rejeição a distúrbios Figura 626 Exemplo de rejeição a distúrbios A figura a seguir apresenta as respostas ct ut e et do sistema apresentado na Figura 623 Figura 627 Respostas do sistema com PID 0 2 4 6 8 10 12 0 05 1 15 2 25 Tempo s Sem Controle Controlador PID 21 Observase que a ação integral do controlador acrescenta um polo e um zero à função de transferência de malha fechada e dessa forma atua até que o erro estacionário do sistema tenda a zero Dessa maneira o controlador PID elimina os efeitos do distúrbio Ds sobre a saída Cs 637 Possibilidade de escolha dos polos Em sistemas de controle é possível escolher os polos do sistema em malha fechada Em geral procuramse polos que não sejam puramente reais mas sim aqueles que apresentem fator de amortecimento em torno de 07 pois desta forma ocorre uma boa relação entre sobressinal e velocidade de resposta Para escolher os polos com o controlador PID deve ser lembrado que são três constantes para serem estabelecidas para que o sistema em malha fechada não apresente erro estacionário haverá a necessidade da presença do integrador De modo geral para que seja possível escolher exatamente os polos do sistema controlado é necessário que a planta Gs e sensor Hs tenham no máximo 2 polos que juntamente com o controlador PID que adiciona mais um polo formando um sistema de 3ª ordem Pois o controlador PID tem 3 constantes e necessário 3 polos para ajustar as constantes Exemplo 1 Este pode ser escolhido os polos Supondo o sistema abaixo com 𝐺𝑠 9 𝑠2𝑠9 e Hs 1 Figura 628 Sistema simples de controle em realimentação Observe que Gs é de 2ª ordem e Hs não introduz uma ordem como o PID aumentará em uma ordem o sistema em malha fechada será de 3ª ordem Então podese encontrar os valores das constantes do controlador PID para que o sistema em malha fechada possua os polos com frequência natural 5 rads e fator de amortecimento 07 e há a necessidade de adicionar mais um polo que pode ser um polo puramente real com constante de tempo τ 01 Montando o denominador 𝑠2 2𝜁𝜔𝑛𝑠 𝜔𝑛 2𝜏𝑠 1 𝑠3 17𝑠2 95𝑠 250 Fazendo a malha fechada do sistema de controle 𝐶𝑠 𝑅𝑠 𝑀𝑠𝐺𝑠 1 𝑀𝑠𝐺𝑠𝐻𝑠 𝐾𝑝 1 𝑇𝑑𝑠 1 𝑇𝑖𝑠 9 𝑠2 𝑠 9 1 𝐾𝑝 1 𝑇𝑑𝑠 1 𝑇𝑖𝑠 9 𝑠2 𝑠 9 22 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑇𝑖𝑠2 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 𝐾𝑝 𝑇𝑖𝑠 9 𝑠2 𝑠 9 1 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑇𝑖𝑠2 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 𝐾𝑝 𝑇𝑖𝑠 9 𝑠2 𝑠 9 9𝐾𝑝𝑇𝑑𝑇𝑖𝑠2 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 𝐾𝑝 𝑇𝑖𝑠𝑠2 𝑠 9 9𝐾𝑝𝑇𝑑𝑇𝑖𝑠2 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 𝐾𝑝 9𝐾𝑝𝑇𝑑𝑇𝑖𝑠2 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 𝐾𝑝 𝑇𝑖𝑠3 𝑇𝑖1 9𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠2 9𝑇𝑖1 𝐾𝑝𝑠 9𝐾𝑝 Observe que comparando os denominadores há a necessidade de um dos fatores ser igual Assim dividindo o maior termo de s do denominador por Ti 𝐶𝑠 𝑅𝑠 9𝐾𝑝𝑇𝑑𝑇𝑖𝑠2 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 𝐾𝑝 𝑇𝑖 𝑠3 1 9𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠2 91 𝐾𝑝𝑠 9𝐾𝑝𝑇𝑖 Comparando os denominadores observe que o termo de s3 é unitário para ambas as equações permitindo que seja feita a igualdade corretamente 𝑠3 17𝑠2 95𝑠 250 𝑠3 1 9𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠2 91 𝐾𝑝𝑠 9𝐾𝑝𝑇𝑖 Observase que 95 91 𝐾𝑝 𝐾𝑝 869 17 1 9𝐾𝑝𝑇𝑑 𝑇𝑑 843 250 9𝐾𝑝𝑇𝑖 𝑇𝑖 43125 Figura 629 Resposta controlada com escolha dos polos Exemplo 2 Este NÃO pode ser escolhido os polos Supondo o sistema abaixo com 𝐺𝑠 9 𝑠2𝑠9 e 𝐻𝑠 10 𝑠10 23 Figura 630 Sistema simples de controle em realimentação Observe que Gs é de 2ª ordem e Hs é de 1ª ordem como o PID aumentará em uma ordem o sistema em malha fechada será de 4ª ordem Então podese encontrar os valores das constantes do controlador PID para que o sistema em malha fechada possua dois pares de polos com frequência natural 5 rads e fator de amortecimento 05 Montando o denominador desejado 𝑠2 2𝜁𝜔𝑛𝑠 𝜔𝑛 22 𝑠2 5𝑠 252 𝑠4 10𝑠3 75𝑠2 250𝑠 625 Fazendo a malha fechada do sistema de controle 𝐶𝑠 𝑅𝑠 𝑀𝑠𝐺𝑠 1 𝑀𝑠𝐺𝑠𝐻𝑠 𝐾𝑝 1 𝑇𝑑𝑠 1 𝑇𝑖𝑠 9 𝑠2 𝑠 9 1 𝐾𝑝 1 𝑇𝑑𝑠 1 𝑇𝑖𝑠 9 𝑠2 𝑠 9 10 𝑠 10 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑇𝑖𝑠2 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 𝐾𝑝 𝑇𝑖𝑠 9 𝑠2 𝑠 9 1 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑇𝑖𝑠2 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 𝐾𝑝 𝑇𝑖𝑠 9 𝑠2 𝑠 9 10 𝑠 10 9𝐾𝑝𝑇𝑑𝑇𝑖𝑠2 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 𝐾𝑝𝑠 10 𝑇𝑖𝑠𝑠2 𝑠 9𝑠 10 90𝐾𝑝𝑇𝑑𝑇𝑖𝑠2 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 𝐾𝑝 9𝐾𝑝𝑇𝑑𝑇𝑖𝑠2 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 𝐾𝑝𝑠 10 𝑇𝑖𝑠𝑠3 11𝑠2 19𝑠 90 90𝐾𝑝𝑇𝑑𝑇𝑖𝑠2 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 𝐾𝑝 9𝐾𝑝𝑇𝑑𝑇𝑖𝑠2 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 𝐾𝑝𝑠 10 𝑇𝑖𝑠4 11𝑇𝑖𝑠3 𝑇𝑖19 90𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠2 90𝑇𝑖1 𝐾𝑝𝑠 901 𝐾𝑝 Agora dividindo por Ti 9𝐾𝑝𝑇𝑑𝑇𝑖𝑠2 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 𝐾𝑝𝑠 10𝑇𝑖 𝑠4 11𝑠3 19 90𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠2 901 𝐾𝑝𝑠 901 𝐾𝑝𝑇𝑖 Comparando os denominadores 𝑠4 11𝑠3 19 90𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠2 901 𝐾𝑝𝑠 901 𝐾𝑝𝑇𝑖 𝑠4 10𝑠3 75𝑠2 250𝑠 625 24 Pois os termos de s3 em ambos os polinômios são diferentes mostrando que não é possível escolher exatamente qual os polos desejados 638 Variações do Controlador PID O termo derivativo causa um problema para a simulação do sistema pois ele não pode ser simulado diretamente em sistemas de controle Pois gera uma função de transferência imprópria se observada a saída do controlador conforme apresentada abaixo Figura 631 Controlador D tradicional Na figura acima supondo Ns e Ds polinômios em s o fechamento da malha para CsRs é dado por 𝐶𝑠 𝑅𝑠 𝑇𝑑𝑠 𝑁𝑠 𝐷𝑠 1 𝑇𝑑𝑠 𝑁𝑠 𝐷𝑠 𝑇𝑑𝑠𝑁𝑠 𝐷𝑠 𝑇𝑑𝑠𝑁𝑠 Como o grau do denominador Ds é maior ou igual ao grau do numerador Ns a função de transferência de malha fechada é uma função própria e pode ser simulada Entretanto se o fechamento da malha for feito para calcular a saída do controlador Figura 632 Controlador D tradicional Lei de controle Na figura acima supondo Ns e Ds polinômios em s o fechamento da malha para UsRs é dado por 𝑈𝑠 𝑅𝑠 𝑇𝑑𝑠 1 𝑇𝑑𝑠 𝑁𝑠 𝐷𝑠 𝑇𝑑𝑠𝐷𝑠 𝐷𝑠 𝑇𝑑𝑠𝑁𝑠 Como o grau do denominador Ds é maior ou igual ao grau do numerador Ns a função de transferência acima é caracterizada como uma função de transferência imprópria não podendo ser implementada na prática 25 Para aplicações práticas do controlador PID a parte referente ao termo derivativo não pode ser implementada diretamente pois a função de transferência do controlador PID é dada por 𝑈𝑠 𝐸𝑠 𝐾𝑝 1 𝑇𝑑𝑠 1 𝑇𝑖𝑠 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑇𝑖𝑠2 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 𝐾𝑝 𝑇𝑖𝑠 Que corresponde a função de transferência imprópria que não pode ser fisicamente realizável podendo ser substituída pela aproximação numérica de uma derivada de 1ª ordem mas isso causa problemas quando a entrada sofrer uma variação brusca que matematicamente significa que não pode ser aplicada a derivada neste ponto Figura 633 Controlador PID tradicional explodido Assim para o termo correspondente ao Derivativo na prática utilizase 𝑇𝑑𝑠 𝑇𝑑𝑠 1 𝛾𝑇𝑑𝑠 Onde γ é algo em torno de 01 Tornando agora a função de transferência do controlador PID uma função própria pois 𝑈𝑠 𝐸𝑠 𝐾𝑝 1 𝑇𝑑𝑠 1 𝛾𝑇𝑑𝑠 1 𝑇𝑖𝑠 1 𝛾𝐾𝑝𝑇𝑑𝑇𝑖𝑠2 𝐾𝑝𝑇𝑖 𝛾𝑇𝑑𝑠 𝐾𝑝 𝛾𝑇𝑑𝑇𝑖𝑠2 𝑇𝑖𝑠 Figura 634 Controlador PID com alteração no termo derivativo Alternativas podem ser utilizadas em conjunto com a apresentada acima como a apresentada abaixo denominada de Forma PID onde o termo derivativo é mudado para o ramo de realimentação para evitar problemas com a variação brusca da entrada 26 Figura 635 Controlador PID na forma PID A função de transferência neste caso é dada por 𝐶𝑆 𝐺𝐾𝑝1 𝐼𝑅𝑠 𝐶𝑠 𝐷𝐶𝑠 Chegando a 𝐶𝑠 𝑅𝑠 𝐾𝑝1 𝐼𝐺 1 𝐾𝑝1 𝐷 𝐼𝐺 Outra variação é a Forma IPD sendo que o termo de Kp também muda para a realimentação conforme figura abaixo Figura 636 Controlador PID na forma IPD A função de transferência neste caso é dada por 𝐶𝑆 𝐺𝐾𝑝𝐼𝑅𝑠 𝐶𝑠 1 𝐷𝐶𝑠 Chegando a 𝐶𝑠 𝑅𝑠 𝐼𝐾𝑝𝐺 1 𝐾𝑝1 𝐷 𝐼𝐺 Para demonstrar o tipo de resposta de cada uma das formas é realizada a simulação da forma como apresentada abaixo Observe que os parâmetros foram os mesmos para todas as situações sendo que Kp 5 Ti 025 e Td 01 e que a lei de controle ut é diferente para cada uma das variações do controlador PID 27 Figura 637 Controlador PID tradicional explodido usando termo derivativo com aproximação de 1ª ordem Figura 638 Respostas ct et ao PID tradicional Figura 639 Controlador PID explodido usando alternativa para a derivada 28 Figura 640 Respostas ct ut et ao PID usando alternativa para a derivada Figura 641 Controlador PID explodido usando alternativa para a derivada Figura 642 Respostas ct ut et ao PID usando alternativa para a derivada 29 Figura 643 Controlador IPD explodido usando alternativa para a derivada Figura 644 Respostas ct ut et ao IPD usando alternativa para a derivada Figura 645 Comparação das formas do controlador PID 30 Uma alternativa bastante utilizada para evitar que o início do processo a Lei de Controle ut seja muito grande é apresentada abaixo onde se observa a presença de uma função de 1ª ordem entre a referência a ser seguida e o somador Este sistema de 1ª ordem faz com que a referência vá para 1 devagar sem causar um salto Figura 646 Diagrama de blocos com sistema de 1ª ordem Figura 647 Comparação das formas com sistema de 1ª Ordem 64 Projeto de Controlador PID via ZieglerNichols Malha Aberta O método ZieglerNichols em malha aberta se aplica se a curva de resposta ao degrau unitário de entrada apresentar o aspecto de um S Essa curva de resposta ao degrau unitário pode ser gerada experimentalmente ou a partir de uma simulação dinâmica da planta 31 Figura 648 Resposta ao degrau unitário A curva com o formato em S pode ser caracterizada por duas constantes o atraso L e a constante de tempo T O atraso e a constante de tempo são determinados desenhandose uma linha tangente no ponto de inflexão da curva com o formato em S e determinandose a interseção da linha tangente com o eixo do tempo Tabela 62 Parâmetros do controlador PID segundo o método ZieglerNichols malha aberta Tipo de controlador Kp Ti Td P TL 0 PI 09TL L03 0 PID 12TL 2L 05L Exemplo 1 Projetar um sistema de controle PID utilizando o método ZieglerNichols de malha aberta para a função de transferência abaixo 𝐺𝑠 5 𝑠 1𝑠 2𝑠 3 Solução Aplicando a resposta ao degrau unitário 32 Admitindo que os valores são dados por 𝐿 04 𝑒 𝑇 27 04 23 Como há a necessidade de utilizar um controlador PID da tabela 𝐾𝑝 12 𝑇 𝐿 69 𝑇𝑖 2𝐿 08 𝑇𝑑 1 2 𝐿 02 Colocando em malha fechada conforme abaixo mas fazendo Hs 1 sensor ideal Gerando a resposta abaixo para o sistema controlado conforme programa Cap06Exemplo04m ZieglerNichols malha aberta clear allclose allclc Função de Transferência G tf5poly1 2 3 resposta ao degrau unitário figurestepG axis0 4 0 1 setgcaxtick0024 Constantes L 04 T 27L Ganhos do controlador Kp 12TL Ti 2L Td 05L 33 M tfKpTdTi KpTi KpTi 0 Sistema emalha fechada Ta feedbackMG1 Resposta controlada figurestepTa Ajustes nos Ganhos do controlador Kp Kp2 Ti Ti2 Td Td2 M tfKpTdTi KpTi KpTi 0 Sistema emalha fechada Tb feedbackMG1 Resposta controlada figurestepTaTb legendProjetadoAjustado De maneira geral sempre devese fazer ajustes nos ganhos do controlador PID baseado nas simulações para alcançar a resposta desejada neste exemplo foi proposto como no programa mas não significa que será o mesmo ajuste para todas as implementações Exemplo 2 Projetar um sistema de controle PID utilizando o método ZieglerNichols de malha aberta para a função de transferência abaixo 𝐺𝑠 80 𝑠2 10𝑠 100 Que é uma Função de transferência com fator de amortecimento 𝜁 05 porem sua resposta não oscila muito aplicando o método Admitindo que os valores são dados por 𝐿 004 𝑒 𝑇 225 04 23 34 Encontrase os resultados abaixo com o controlador Observação sobre o método Ele só funciona somente para degrau unitário Resposta Não por exemplo abaixo é apresentada para a mesma planta só que com uma entrada degrau de amplitude 03 os parâmetros de projeto L e T se mantiveram o mesmo 35 65 Exercícios Resolvidos Exercício 1 Movimentação de blocos Considerando o fechamento de malha CsRs Cuja solução é dada por 𝐶𝑠 𝑅𝑠 𝑀𝑠𝐺𝑠 1 𝑀𝑠𝐺𝑠𝐻𝑠 Observe que é possível fazer a movimentação do bloco Gs para obter o resultado de Us conforme UsRs Cuja solução é dada por 𝑈𝑠 𝑅𝑠 𝑀𝑠 1 𝑀𝑠𝐺𝑠𝐻𝑠 Que pode ser conseguida utilizando 𝐶𝑠 𝑅𝑠 𝑀𝑠𝐺𝑠 1 𝑀𝑠𝐺𝑠𝐻𝑠 𝑒 𝐶𝑠 𝐺𝑠𝑈𝑠 𝐺𝑠𝑈𝑠 𝑅𝑠 𝑀𝑠𝐺𝑠 1 𝑀𝑠𝐺𝑠𝐻𝑠 𝑈𝑠 𝑅𝑠 𝑀𝑠 1 𝑀𝑠𝐺𝑠𝐻𝑠 Exercício 2 Exercício Introdutório do Teorema do Valor Final Teorema do valor final é definido por lim 𝑡 𝑐𝑡 lim 𝑠0 𝑠𝐶𝑠 lim 𝑠0 𝑠 𝐶𝑠 𝑅𝑠 𝑅𝑠 lim 𝑠0 𝑠𝐺𝑠𝑅𝑠 36 Onde ct é a resposta temporal para uma entrada rt do sistema gt sendo que Cs é a representação em Laplace da resposta Rs a representação em Laplace da entrada e Gs é a função de transferência do sistema Notar que se a entrada for degrau unitário o valor final se resume a lim 𝑡 𝑐𝑡 lim 𝑠0 𝑠𝐺𝑠𝑅𝑠 lim 𝑠0 𝑠𝐺𝑠 1 𝑠 lim 𝑠0 𝐺𝑠 Abaixo exemplos de aplicação direta do Teorema do valor final a Calcular o valor final para uma entrada degrau de amplitude 3 para 𝐺𝑠 8 2𝑠2 3𝑠 10 lim 𝑠0 𝑠𝐺𝑠𝑅𝑠 lim 𝑠0 𝑠𝐺𝑠 3 𝑠 lim 𝑠0 𝑠 8 2𝑠2 3𝑠 10 3 𝑠 24 10 b Com o tempo tendendo ao Infinito o sistema abaixo apresenta um valor final de 57 Qual o valor da amplitude do degrau aplicado 𝐺𝑠 3 2𝑠2 3𝑠 8 lim 𝑠0 𝑠𝐺𝑠𝑅𝑠 lim 𝑠0 𝑠 3 2𝑠2 3𝑠 8 𝐾 𝑠 5 7 3 8 𝐾 5 7 𝐾 40 21 c Com o tempo tendendo ao Infinito o sistema abaixo apresenta um valor final de 97 para uma entrada degrau de amplitude 85 Qual o valor da constante K 𝐺𝑠 𝐾 3𝑠2 𝑠 2 lim 𝑠0 𝑠𝐺𝑠𝑅𝑠 lim 𝑠0 𝑠 𝐾 3𝑠2 𝑠 2 85 𝑠 9 7 𝐾 2 8 5 9 7 𝐾 45 28 Exercício 3 Sendo 𝐺𝑠 7 𝑠24𝑠9 projete um controlador PID representado por Ms para que o sistema em malha fechada possua fator de amortecimento de 2 2 e ωn 5 rads e que não apresente erro estacionário Como solução de projeto há várias possibilidades como apresentado abaixo Solução 1 Adição de mais um polo 37 Observe que a planta é de 2ª ordem então seria necessário a inclusão de mais um polo de 1ª ordem na ordem de 5 a 10 vezes mais afastado que os polos complexos conjugados Por exemplo os polos complexos conjugados podem ser encontrados completando o quadrado conforme 𝑠2 4𝑠 9 𝑠 22 9 4 𝑠 22 5 Então os polos são dados por 𝑠12 2 𝑗5 O polo adicional de 1ª ordem 𝑠 10 𝑠 10 Compondo assim o denominador de malha fechada de 3ª ordem conforme 𝑠2 2 2 2 5𝑠 25 𝑠 10 𝑠3 52𝑠2 25𝑠 10𝑠2 502𝑠 250 𝑠3 10 52𝑠2 25 502𝑠 250 E o procedimento seria o mesmo apresentado no item de Possibilidade de Escolha dos Polos do PID já apresentado antes Realizando o fechamento da malha com o PID Ts MsGs 1 MsGs KpTdTis2 KpTis Kp Tis 7 s2 4s 9 1 KpTdTis2 KpTis Kp Tis 7 s2 4s 9 Reagrupando Ts 7KpTdTis2 7KpTis 7Kp Tis3 4Ti 7KpTdTis2 9Ti 7KpTis 7Kp Dividindo por Ti Ts 7KpTds2 7Kps 7Kp 𝑇𝑖 s3 4 7KpTds2 9 7Kps 7Kp 𝑇𝑖 Igualando 38 s3 4 7KpTds2 9 Kps 7Kp 𝑇𝑖 𝑠3 10 52𝑠2 25 502𝑠 250 9 7Kp 25 502 𝐾𝑝 16 502 7 7Kp 𝑇𝑖 250 𝑇𝑖 16 502 250 4 7KpTd 10 52 𝑇𝑑 6 52 16 502 Solução 2 Realimentação positiva em torno da função de transferência A segunda possibilidade seria a aplicação de uma realimentação positiva com um ganho em torno da planta Gs para que o termo de s0 do denominador desapareça Isto é feito conforme Cuja malha fechada é dada por 𝐶𝑠 𝑈𝑠 𝐺𝑠 1 𝐾𝑒𝐺𝑠 7 𝑠2 4𝑠 9 1 𝐾𝑒 7 𝑠2 4𝑠 9 7 𝑠2 4𝑠 9 7𝐾𝑒 Para que o termo de s0 desapareça 9 7𝐾𝑒 0 𝐾𝑒 9 7 Agora adicionando o controle PD ProporcionalDerivativo no novo diagrama de blocos do sistema conforme 39 Sendo que 𝑀𝑠 𝐾𝑝1 𝑇𝑑𝑠 Malha fechada fica 𝐶s 𝑅s 𝑀s 𝐺𝑠 1 𝐾𝑒𝐺𝑠 1 𝑀s 𝐺𝑠 1 𝐾𝑒𝐺𝑠 𝐾𝑝1 𝑇𝑑𝑠 7 𝑠2 4𝑠 1 𝐾𝑝1 𝑇𝑑𝑠 7 𝑠2 4𝑠 7𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 7𝐾𝑝 s2 4 7𝐾𝑝𝑇𝑑s 7𝐾𝑝 O denominador desejado é dado por 𝑠2 52𝑠 25 Portando igualando os denominadores 𝐾𝑝 25 7 4 7 25 7 𝑇𝑑 52 𝑇𝑑 52 4 24 Solução 3 Realimentação com ganho Cuja malha fechada é dada por 𝐶s 𝑅s 𝑀sGs 1 𝑀s𝐺𝑠𝐾𝑒 𝐾𝑝1 𝑇𝑑𝑠 7 𝑠2 4𝑠 9 1 𝐾𝑝1 𝑇𝑑𝑠 7 𝑠2 4𝑠 9 𝐾𝑒 7𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 7𝐾𝑝 s2 4 7𝐾𝑝𝑇𝑑𝐾𝑒s 9 7𝐾𝑝𝐾𝑒 Para que não haja erro estacionário 7𝐾𝑝 9 7𝐾𝑝𝐾𝑒 1 𝐾𝑒 7𝐾𝑝 9 7𝐾𝑝 Das relações de igualdade dos denominadores 40 s2 4 7𝐾𝑝𝑇𝑑𝐾𝑒s 9 7𝐾𝑝𝐾𝑒 𝑠2 52𝑠 25 9 7𝐾𝑝𝐾𝑒 25 𝐾𝑒 16 7𝐾𝑝 Igualando os termos para Ke 7𝐾𝑝 9 7𝐾𝑝 16 7𝐾𝑝 𝐾𝑝 25 7 𝑒 𝐾𝑒 16 7 25 7 16 25 4 7𝐾𝑝𝑇𝑑𝐾𝑒 52 𝑇𝑑 52 4 7 25 7 16 25 52 4 16 Estas são as possibilidades para resolver o problema caso contrário se for aplicado a metodologia padrão haverá erro estacionário Solução 4 COM ERRO ESTACIONÁRIO Conforme apresentado abaixo Considerando Ms o controlador PID 𝑀𝑠 𝐾𝑝 1 𝑇𝑑𝑠 1 𝑇𝑖𝑠 Fazendo o fechamento de malha 𝐶𝑠 𝑅𝑠 𝑀𝑠𝐺𝑠 1 𝑀𝑠𝐺𝑠 𝐾𝑝 1 𝑇𝑑𝑠 1 𝑇𝑖𝑠 7 𝑠2 4𝑠 9 1 𝐾𝑝 1 𝑇𝑑𝑠 1 𝑇𝑖𝑠 7 𝑠2 4𝑠 9 Expandindo e simplificando 𝐶𝑠 𝑅𝑠 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑇𝑑𝑠2 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 𝐾𝑝 𝑇𝑖𝑠 7 𝑠2 4𝑠 9 1 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑇𝑑𝑠2 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 𝐾𝑝 𝑇𝑖𝑠 7 𝑠2 4𝑠 9 41 7𝐾𝑝𝑇𝑖𝑇𝑑𝑠2 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 𝐾𝑝 𝑇𝑖𝑠3 4𝑇𝑖𝑠2 9𝑇𝑖𝑠 7𝐾𝑝𝑇𝑖𝑇𝑑𝑠2 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 𝐾𝑝 7𝐾𝑝𝑇𝑖𝑇𝑑𝑠2 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 𝐾𝑝 𝑇𝑖𝑠3 𝑇𝑖4 7𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠2 𝑇𝑖9 7𝐾𝑝𝑠 7𝐾𝑝 Dividindo por Tis para eliminar o termo Tis de Tis³ estando assim na forma padrão de 2ª Ordem s² 𝐶 𝑅 7 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 𝐾𝑝 𝐾𝑝 𝑇𝑖𝑠 𝑠2 4 7𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 9 7𝐾𝑝 7𝐾𝑝 𝑇𝑖𝑠 O denominador característico de 2ª ordem é s2 2𝜁𝜔𝑛𝑠 𝜔𝑛 2 comparando com a equação percebese que a parcela 7𝐾𝑝 𝑇𝑖𝑠 não deve existir visto que o denominador característico não apresenta ordem 𝑠1 Desse modo como podese determinar o valor para Ti escolhendo Ti Assim concluise que 9𝐾𝑝 𝑇𝑖𝑠 0 𝐶 𝑅 7𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 7𝐾𝑝 𝑠2 4 7𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 9 7𝐾𝑝 Através dos valores de 𝜁 𝑒 𝜔𝑛 podemos encontrar os valores de Kp e Td Sendo 𝐾𝑝 25 9 7 16 7 𝑒 𝑇𝑑 52 4 16 Sendo assim o controlador PD pois não há ação integral é Ms 16 7 1 52 4 16 𝑠 Cálculo do erro em regime permanente lim 𝑡𝑟𝑡 𝑐𝑡 lim 𝑠0 𝑠𝑅𝑠 𝐶𝑠 lim 𝑠0 𝑠𝑅𝑠 𝐶𝑠 𝑅𝑠 𝑅𝑠 lim 𝑠0 𝑠 1 𝑠 7𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 7𝐾𝑝 𝑠2 4 7𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 9 7𝐾𝑝 1 𝑠 1 7𝐾𝑝 9 7𝐾𝑝 1 16 9 16 9 25 Como observado o erro estacionário não foi eliminado Exercício 4 Para verificar a ação de um sistema de controle será considerado o diagrama de blocos abaixo 42 Figura 649 Diagrama para CsRs Sendo 𝐶𝑠 𝑈𝑠 𝐺𝑠 20 𝑠2 𝑠 25 𝑋𝑠 𝐶𝑠 𝐻𝑠 10 𝑠 10 Adicionando um controle PD ProporcionalDerivativo representado por Ms com constantes Kp 5 e Td ¼ segundos Verificar utilizando o teorema do valor final todos os sinais apresentados no diagrama de blocos para uma entrada degrau unitário Iniciando com o fechamento da malha CsRs 𝐶𝑠 𝑅𝑠 𝑀𝑠𝐺𝑠 1 𝑀𝑠𝐺𝑠𝐻𝑠 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 𝐾𝑝 20 𝑠2 𝑠 25 1 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 𝐾𝑝 20 𝑠2 𝑠 25 10 𝑠 10 5 4 𝑠 5 20 𝑠2 𝑠 25 1 5 4 𝑠 5 20 𝑠2 𝑠 25 10 𝑠 10 Aplicando o teorema do valor final para cada um dos sinais e aplicando uma entrada degrau unitário em rt Para a saída ct 5 4 10 25 52010 1 25 20 5 s 1 10 s 10 25 s s 20 5 4 s 5 1 25 s s 20 5 4 s 5 s lim s R M s G s H s 1 M s G s lim s s R s R lim s C s lim sC s tc lim 2 2 0 s 0 s 0 s 0 s t Para a saída xt 43 5 4 10 25 52010 1 10 25 2010 5 s 1 10 s 10 25 s s 20 5 4 s 5 1 10 s 10 25 s s 20 5 4 s 5 s lim s R M s G s H s 1 M s G s H s lim s s R s R lim s X s lim sX s x t lim 2 2 0 s 0 s 0 s 0 s t Outra forma para xt 𝑙𝑖𝑚 𝑡𝑥𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠𝑋𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠𝐻𝑠𝐶𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠 10 𝑠 10 4 5 1 𝑠 4 5 Para a entrada do controlador et 5 1 4 1 1 10 25 52010 1 1 s 1 10 s 10 25 s s 20 5 4 s 5 1 1 s lim R s M s G s H s 1 1 lim s R s s R lim s E s te lim 2 0 s 0 s 0 s t Forma alternativa para et 5 1 5 4 1 s 1 10 s 10 25 s s 20 5 4 s 5 1 10 s 10 25 s s 20 5 4 s 5 s 1 lim R s s R X s lim s 1 X s lim s R s lim sE s te lim 2 2 0 s 0 s 0 s 0 s t Para a saída do controlador ut ou chamada lei de controle 𝑙𝑖𝑚 𝑡𝑢𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠𝑈𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠𝑀𝑠𝐸𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠 5 4 𝑠 5 1 5 1 𝑠 1 Erro estacionário ou erro de regime permanente 𝑙𝑖𝑚 𝑡𝑟𝑡 𝑐𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠𝑅𝑠 𝐶𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠 1 𝐶𝑠 𝑅𝑠 𝑅𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠 1 4 5 1 𝑠 1 5 A seguir temse os gráficos das respostas temporais ct xt ut e et para o sistema com o controlador PD 44 Figura 650 ct com controlador PD Figura 651 xt com controlador PD Figura 652 ut com controlador PD Figura 653 et com Controlador PD Observase que a resposta do sistema controlado ct não é igual à referência a ser seguida mostrando que o sistema possui erro estacionário Exercício 5 Para verificar a ação de um sistema de controle será considerado o diagrama de blocos abaixo Mesmo que exercício 3 Figura 654 Diagrama para CsRs Sendo 𝐶𝑠 𝑈𝑠 𝐺𝑠 20 𝑠2 𝑠 25 𝑋𝑠 𝐶𝑠 𝐻𝑠 10 𝑠 10 45 Agora adicionando um controlador PID representado por Ms com constantes Kp 5 e Td ¼ segundos e Ti ½ segundo Verificar utilizando o teorema do valor final todos os sinais apresentados no diagrama de blocos para uma entrada degrau unitário Para o controlador Ms 𝑀𝑠K𝑝 𝑇𝑑𝑇𝑖𝑠2T𝑖s1 𝑇𝑖𝑠 5 1 4 1 2 𝑠2 1 2 s1 1 2 𝑠 5 4 𝑠25s10 𝑠 Para a saída ct 𝑙𝑖𝑚 𝑡𝑐𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠𝐶𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠 𝐶𝑠 𝑅𝑠 𝑅𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠 𝑀𝑠𝐺𝑠 1 𝑀𝑠𝐺𝑠𝐻𝑠 𝑅𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠 5 4 𝑠2 5𝑠 10 𝑠 20 𝑠2 𝑠 25 1 5 4 𝑠2 5𝑠 10 𝑠 20 𝑠2 𝑠 25 10 𝑠 10 1 𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0 25𝑠2 100𝑠 200 𝑠3 𝑠2 25𝑠 1 25𝑠2 100𝑠 200 𝑠3 𝑠2 25𝑠 10 𝑠 10 𝑙𝑖𝑚 𝑠0 25s2100s200s10 𝑠3s225ss101025s2100s2001 Para a entrada do controlador et 0 1 1 s 1 10 s 10 lim s 1 s 1 10 s 10 s s 1 lim H s C s lim s R s X s lim s R s lim sE s te lim 0 s 0 s 0 s 0 s 0 s t Para a saída do controlador ut ou chamada lei de controle 𝑙𝑖𝑚 𝑡𝑢𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠𝑈𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠 𝑈𝑠 𝑅𝑠 𝑅𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠 𝑀𝑠 1 𝑀𝑠𝐺𝑠𝐻𝑠 𝑅𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠 5 4 𝑠2 5𝑠 10 𝑠 1 5 4 𝑠2 5𝑠 10 𝑠 20 𝑠2 𝑠 25 10 𝑠 10 1 𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0 5 4 𝑠2 5𝑠 10 𝑠 1 25𝑠2 100𝑠 200 𝑠3 𝑠2 25𝑠 10 𝑠 10 𝑙𝑖𝑚 𝑠0 𝑠2 𝑠 25𝑠 105 4 𝑠2 5𝑠 10 𝑠2 𝑠 25𝑠𝑠 10 1025𝑠2 100𝑠 200 5 4 Outra forma para ut 46 𝑙𝑖𝑚 𝑡𝑢𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠𝑈𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠 1 𝐺𝑠 𝐶𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠 𝑠2 𝑠 25 20 1 𝑠 5 4 Erro estacionário ou erro de regime permanente 𝑙𝑖𝑚 𝑡𝑟𝑡 𝑐𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠𝑅𝑠 𝐶𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠 1 𝐶𝑠 𝑅𝑠 𝑅𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠1 1 1 𝑠 0 Figura 655 Comparação entre as respostas ao degrau unitário As respostas temporais de ct xt ut e et são demonstradas nos gráficos que se seguem Figura 656 ct com controlador PID Figura 657 xt com controlador PID 0 05 1 15 2 25 3 35 4 0 05 1 15 2 25 Resposta ao Degrau Unitário Tempo sec Saída ct Malha Aberta Controle PD Controle PID 47 Figura 658 ut com controlador PID Figura 659 et com Controlador PID Observase que neste caso o sistema controlado não possui erro estacionário 48 A resolução do exercício anterior utilizando programa em Matlab é apresentado a seguir Curiosidade Comparando os dois exemplos pode ser afirmado que o controlador PID ajusta a sua saída ut até que a entrada et seja zero Para demonstrar isso deve ser adicionado um erro entre Cs e Xs através da adição de um erro estacionário em Hs como por exemplo fazendo 𝐻𝑠 8 𝑠 10 Para o controlador Ms do tipo PID ExemploC6I10m Exemplo de simulação de controlador clear allclose allclc Funções de Transferência G tf201 1 25 Planta H tf101 10 Sensor ideal Tempo de simulação tt3 Controlador PD Kp 5 Td 14 M tfKpTd Kp1 Resposta controlada Cs MFC feedbackMGH FigurestepMFCtt titleResposta Controlada ct Erro do Controlador Es MFE feedback1MGH FigurestepMFEtt titleErro do Controlador et Resposta do Sensor de Erro Xs MFX feedbackMGH1 FigurestepMFXtt titleResposta do Sensor xt Lei de Controle Us MFU feedbackMGH Função imprópria por isso não pode ser simulada para sair disso podese utilizar a aproximação do controlador derivativo conforme apresentado no próprio capítulo 6 seção 69 gama001 PD tfTd 0gamaTd 1 Parcela derivativa do PD M Kp1PD Controlador PD MFU feedbackMGH figure stepMFUtt titleLei de Controle ut axis0 tt 10 10 49 𝑀𝑠K𝑝 𝑇𝑑𝑇𝑖𝑠2T𝑖s1 𝑇𝑖𝑠 5 1 4 1 2 𝑠2 1 2 s1 1 2 𝑠 5 4 𝑠25s10 𝑠 Para a saída ct 𝑙𝑖𝑚 𝑡𝑐𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠𝐶𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠 𝐶𝑠 𝑅𝑠 𝑅𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠 𝑀𝑠𝐺𝑠 1 𝑀𝑠𝐺𝑠𝐻𝑠 𝑅𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠 5 4 𝑠25s10 𝑠 20 𝑠2s25 1 5 4 𝑠25s10 𝑠 20 𝑠2s25 8 s10 1 𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0 25s2100s200 𝑠3s225s 125s2100s200 𝑠3s225s 8 s10 𝑙𝑖𝑚 𝑠0 25s2100s200s10 𝑠3s225ss10825s2100s200 10 8 5 4 Para a entrada do controlador et 0 0 0 0 0 limet limsEs lims RsXs lims RsHsCs 1 8 5 1 8 5 1 lims lims 1 110 s s10 4 s s10 4 s t s s s s s Para a Lei de Controle ut 𝑙𝑖𝑚 𝑡𝑢𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑠0sU𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠 1 𝐺𝑠 𝐶𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠 𝑠2s25 20 5 4 1 𝑠 25 20 5 4 25 16 Para a resposta do sensor xt 𝑙𝑖𝑚 𝑡𝑥𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑠0sX𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0sH𝑠𝐶𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠 8 s10 5 4 1 𝑠 8 10 5 4 1 Erro estacionário ou erro de regime permanente 𝑙𝑖𝑚 𝑡𝑟𝑡c𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠𝑅𝑠C𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠 1 𝐶𝑠 𝑅𝑠 𝑅𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑠0𝑠 1 5 4 1 𝑠 1 4 Os gráficos das respostas temporais ct xt ut e et são apresentadas nos gráficos seguintes 50 Figura 660 ct com sensor nãoideal Figura 661 xt com sensor nãoideal Figura 662 ut com sensor nãoideal Figura 663 et com sensor nãoideal Se isso for feito c 54 x 1 e 0 u 2516 Erro de regime permanente 𝑙𝑖𝑚 𝑡𝑟𝑡 𝑐𝑡 1 4 Isto significa que se a malha em realimentação apresentar erro estacionário este pode gerar um erro estacionário na malha de controle Exercício 6 Cap06Resolvido06slx Para observar que quem atua até o erro ser anulado é a parcela integral do controlador PID temse o seguinte exemplo 51 Figura 664 Exemplo de controlador IPD com alteração do termo derivativo Para o sistema apresentado temse que 𝑅𝑠 1 𝑠 Kp 5 Td 01 Ti 1 𝐻𝑠 9 s 10 𝐺𝑠 144 𝑠2 s 16 Calculando a Função de transferência de malha fechada 𝐶𝑠 𝐺𝑠𝐾𝑝 1 𝑇𝑖𝑠 𝑅𝑠 𝐻𝑠𝐶𝑠 𝑇𝑑𝑠 01𝑇𝑑𝑠 1 1 𝐻𝑠𝐶𝑠 Rearranjando 1 𝐺𝑠𝐻𝑠𝐾𝑝 1 𝑇𝑖𝑠 𝑇𝑑𝑠 01𝑇𝑑𝑠 1 1 𝐶𝑠 𝐺𝑠𝐾𝑝 1 𝑇𝑖𝑠 𝑅𝑠 Então 𝐶𝑠 𝑅𝑠 𝐺𝑠𝐾𝑝 1 𝑇𝑖𝑠 1 𝐺𝑠𝐻𝑠𝐾𝑝 1 𝑇𝑖𝑠 𝑇𝑑𝑠 01𝑇𝑑𝑠 1 1 Aplicando o limite e substituindo os valores lim 𝑠0 𝑠 𝐶𝑠 𝑅𝑠 𝑅𝑠 lim 𝑠0 𝑠 144 𝑠2 𝑠 16 5 1 𝑠 1 144 𝑠2 𝑠 16 9 𝑠 10 5 1 𝑠 01𝑠 001𝑠 1 1 1 𝑠 Zerando os termos com s que não apresentam problemas e somando os termos lim 𝑠0 144 16 5 1 𝑠 1 144 16 9 10 5 1 𝑠 1 lim 𝑠0 144 5 16𝑠 16 10 𝑠 144 9 5 1 𝑠 16 10 𝑠 10 9 52 Fazendo uma rápida análise dos valores finais podese dizer que 𝑐 10 9 e 0 u 100 81 x 1 a 101 81 b 1 d 0 Observe que apesar de o valor final de et ser nulo o sistema ainda apresenta o valor final da saída diferente do valor final da entrada De fato 𝑟 𝑐 1 10 9 1 9 A seguir são apresentados os gráficos de ct ut e et Figura 665 Resposta ct ut e et Exercício 7 Para observar que quem atua até o erro ser anulado é a parcela integral do controlador PID temse o seguinte exemplo Regra prática que pode facilitar o entendimento do problema de valor final para uma malha Considerando entrada degrau de amplitude 3 colocar o valor final em cada uma das linhas 53 Exercício 8 Supondo uma entrada degrau de amplitude 2 calcular os valores finais Es Us e Cs para o sistema abaixo 66 Projetos de Sistemas de Controle Objetivo do Projeto Adquirir conhecimentos de simulação de sistemas utilizando uma ferramenta numérica Observar a aplicabilidade da simulação de sistemas Implementar um sistema de controle básico utilizando o PID 661 Suspensão Ativa Problema Proposto Controlar uma suspensão de ¼ de veículo tomando como resposta o deslocamento Yst da massa suspensa para uma entrada de distúrbio Wt na forma de uma lombada Desenvolvimento O aluno deverá escolher um veículo para a simulação e retirar os dados necessário para a formulação da função de transferência definir o formato da lombada e a velocidade de passagem Sendo que os passos devem ser 1 Apresentar o diagrama de blocos do sistema de controle com o PID 2 Escolher os valores das constantes do controlador PID para que tenha um desempenho melhor em relação ao sistema não controlado 3 Medir 𝑦𝑠𝑡 e 𝑦𝑠𝑡 deslocamento e aceleração da massa suspensa 4 Medir a Lei de Controle 𝑢𝑡 54 Dicas 1 Verificar a necessidade do PID completo pode ser que um PI seja suficiente 2 Para o controle Derivativo D utilizar a forma alternativa como 𝑀𝐷𝑠 𝑇𝑑𝑠 𝛾𝑇𝑑𝑠 1 3 Observar se a Lei de Controle 𝑢𝑡 não oscila muito pois poderia ser um problema na implementação real 4 Observar a Aceleração da massa suspensa 𝑦𝑠𝑡 pois sua variação está associada ao conforto na direção Esquema de controle 55 662 Velocidade Veicular Problema Proposto Controlar a velocidade de veículo Desenvolvimento O aluno deverá escolher um veículo para a simulação e retirar os dados necessários tais como Aceleração o de 0 a 100 kmh 147 segundos o de 0 a 1000 m 3608 14523 kmh Retomadas o de 40 a 80 kmh 83 segundos o de 60 a 100 kmh 128 segundos o de 80 a 120 kmh 219 segundos Massa m 993 kg Velocidade máxima 161 kmh Ângulo máximo pedal estimado 45º Para a formulação da função de transferência que correlaciona o Ângulo do pedal do acelerador As com a Velocidade do Veículo Vs conforme 𝑉𝑠 𝐴𝑠 𝐾𝑎𝜔𝑛 2 𝑠2 2𝜁𝜔𝑛𝑠 𝜔𝑛2 𝐾𝑔 𝑘𝑒 𝑚 𝑠2 𝑐𝑒 𝑚 𝑠 𝑘𝑒 𝑚 𝐾𝑔𝑘𝑒 𝑚𝑠2 𝑐𝑒𝑠 𝑘𝑒 Desta forma temse que ajustar três constantes 𝐾𝑔 𝑐𝑒 𝑒 𝑘𝑒 que podem ser obtidas utilizando as informações na ficha técnica apresentada Por exemplo utilizando o teorema do valor final lim 𝑡 𝑣𝑡 lim 𝑠0 𝑠𝑉𝑠 lim 𝑠0 𝑠 𝐾𝑔𝑘𝑒 993𝑠2 𝑐𝑒𝑠 𝑘𝑒 45 𝑠 161 36 𝐾𝑔 16136 45 Solução temporal para uma entrada degrau de amplitude 45º temse que como se supõe que a velocidade do carro não vai oscilar significando um sistema superamortecido a solução é dada por 𝐺𝑠 𝐾𝑔𝜔𝑛 2 𝑠2 2𝜁𝜔𝑛𝑠 𝜔𝑛2 𝐾𝑔𝜔𝑛 2 𝑠 𝑠1𝑠 𝑠2 Polos reais negativos e diferentes 𝑠12 𝜁 𝜁2 1𝜔𝑛 Resposta ao degrau unitário 56 𝑣𝑡 𝐾𝑔 1 𝜔𝑛 2𝜁2 1 𝑒𝑠1𝑡 𝑠1 𝑒𝑠2𝑡 𝑠2 Observando que se tem duas incógnitas a serem encontradas Utilizando De 0 a 100 kmh 147 segundos 𝟏𝟎𝟎36 45 16136 45 1 𝜔𝑛 2𝜁2 1 𝑒𝑠1𝟏𝟒𝟕 𝑠1 𝑒𝑠2𝟏𝟒𝟕 𝑠2 Utilizando De 0 a 1000 m 3608 14523 kmh 𝟏𝟒𝟓𝟐𝟑36 45 16136 45 1 𝜔𝑛 2𝜁2 1 𝑒𝑠1𝟑𝟔𝟎𝟖 𝑠1 𝑒𝑠2𝟑𝟔𝟎𝟖 𝑠2 Também pode ser usado os dados de RETOMADA conforme Utilizando De 40 a 80 kmh 83 segundos 𝟒𝟎 𝟑 𝟔 16136 45 1 𝜔𝑛 2𝜁2 1 𝑒𝑠1𝒕𝟏 𝑠1 𝑒𝑠2𝒕𝟏 𝑠2 𝟖𝟎 𝟑 𝟔 16136 45 1 𝜔𝑛 2𝜁2 1 𝑒𝑠1𝒕𝟐 𝑠1 𝑒𝑠2𝒕𝟐 𝑠2 Sendo que 𝟖 𝟑 𝒕𝟐 𝒕𝟏 Formalização do problema Encontrar as constantes do controlador PID tal que 5 Escolher a forma do controlador isto é um PID PID ou IPD na implementação 6 Verificar a necessidade do PID completo pode ser que um PI seja suficiente 7 Para o controle Derivativo D utilizar a forma alternativa como 𝑀𝐷𝑠 𝑇𝑑𝑠 𝛾𝑇𝑑𝑠 1 8 Observar se a Lei de Controle 𝑢𝑡 que neste caso é o ângulo do pedal As não oscila muito e está limitada aos intervalos de existência pois poderia ser um problema na implementação real 9 Desejável que a resposta do sistema de controle não ultrapasse a velocidade desejada isto é que não tenha sobressinal 57 𝑠12 𝜁 𝜁2 1 𝜔𝑛 𝟏𝟎𝟎 161 1 𝜔𝑛 2𝜁2 1 𝑒𝑠1 𝑠1 𝑒𝑠2 𝑠2 𝑒𝟏𝟒𝟕 𝟔𝟏 𝜔𝑛 2𝜁2 1 𝑠2𝑒𝑠1 𝑠1𝑒𝑠2 𝑠1𝑠2 𝑒𝟏𝟒𝟕 𝑠12 𝜔𝑛𝜁 𝜔𝑛𝜁2 1 67 Exercícios Propostos 1 Para o sistema em malha fechada abaixo com 𝐺𝑠 3 𝑠5 e 𝐻𝑠 1 3𝑠1 a Determinar os valores das constantes do controlador PID representado por Ms para que o denominador do sistema em malha fechada seja equivalente ao denominador um sistema de 2ª ordem com fator de amortecimento 07 frequência natural n 3 rads b Determinar os valores das constantes do controlador PID representado por Ms para que o denominador do sistema em malha fechada abaixo possua os mesmos polos que o produto de um sistema de 1ª ordem com constante de tempo τ 02 segundos com um sistema de 2ª ordem com fator de amortecimento 05 e frequência natural n 5 rads c Para os itens a e b qual será o 𝑙𝑖𝑚 𝑡𝑐𝑡 para uma entrada degrau unitário d Para os itens a e b qual será o 𝑙𝑖𝑚 𝑡𝑢𝑡 para uma entrada degrau unitário 2 Para o diagrama de blocos abaixo obter o erro estacionário para um controlador Ms ProporcionalIntegralDerivativo PID com Kp 3 Td ½s Ti1s para uma entrada 𝑟𝑡 2 5 sendo 𝐺𝑠 1 𝑠2 𝐻𝑠 3 𝑠1 e 𝐷𝑠 2 𝑠3 58 3 Para o diagrama de blocos abaixo obter o erro estacionário ou erro de regime permanente para um controlador Ms Proporcional Integral Derivativo PID com Kp 4 Td 2 e Ti 3 para uma entrada degrau rt 2 sendo 𝐺𝑠 1 𝑠22𝑠2 𝐻𝑠 2 𝑠3 e 𝐹𝑠 2 𝑠2 4 Para o diagrama de blocos acima qual o valor K para que o sistema em malha fechada não apresente erro estacionário para uma entrada degrau unitário Ms Proporcional Integral Derivativo PID com Kp 4 Td 2 e Ti 3 𝐺𝑠 𝐾 𝑠22s2 𝐻𝑠 2 s3 e 𝐹𝑠 2 𝑠4 5 Para o diagrama de blocos abaixo determinar o valor de K em Hs para que o sistema em malha definida por CsRs não possua erro estacionário para uma entrada tipo degrau unitário Sendo que Ms é um controlador PID com Kp 2 Td ½ e Ti 3 Gs 3 s2 2s 5 Hs K 5s 2 Fs 2 s 7 59 6 Para o diagrama de blocos abaixo sendo que Kp 2 Ti 5 e Td ½ Determinar o erro estacionário para uma entrada degrau unitário 𝐺𝑠 2 𝑠2 3𝑠 2 𝐻𝑠 2 𝑠 13 7 Supondo a função de transferência abaixo em malhar aberta colocar um sistema de controle ProporcionalDerivativo PD para que seja duplicada a frequência natural e o fator de amortecimento 𝐺𝑠 15 3𝑠2 35𝑠 27 8 Projeto de controladores A função de transferência acima com o controle PD não é suficiente para que não ocorra erro estacionário ou erro de regime permanente é necessária a introdução do controle integral junto do controle PD formando assim o PID Para que isso seja feito o terceiro polo deve ser escolhido de tal forma a ser puramente real e negativo com módulo pelo menos 3 vezes maior que o módulo dos polos imaginários 9 Considere o sistema de controle de posição de um satélite mostrado na figura a abaixo A saída do sistema apresenta oscilações continuadas não desejáveis Esse sistema pode ser estabilizado pelo uso de realimentação tacométrica como mostra a figura b Se KJ 4 que valor de Kh resultará em um coeficiente de amortecimento igual a 06 a Rs K 1Js2 Cs b Rs KJs Kh 1s Cs 60 61 68 Respostas 1 a 𝐾𝑝 22 3 𝑇𝑖 𝑇𝑑 17 110 b 𝐾𝑝 145 3 𝑇𝑖 29 75 𝑇𝑑 14 145 c a lim 𝑡 𝑐𝑡 22 27 b lim 𝑡 𝑐𝑡 1 d a lim 𝑡 𝑢𝑡 110 81 b lim 𝑡 𝑢𝑡 5 3 2 ess 1 5 3 ess 8 3 4K 8 3 5 K 62 21 6 ess 5 6 7𝑃𝐷 27 5 1 7 54 𝑠 8 𝑠1 28 3 54683𝑖 𝑠2 28 3 54683𝑖 𝑠3 28 𝑃𝐼𝐷 27 5 1 7 54 𝑠 1 03134𝑠 9 𝐾ℎ 06