Cálculo de Forças em Engrenagens Helicoidais e Reações de Apoio - Exemplo Prático

Um motor elétrico de 2HP e 1720 RPM movimenta um par engrenagens helicoidais como mostrado na figura O pinhão possui 20 dentes passo diametral normal igual a 10 dentespolegada ângulo de pressão de 2965o ângulo de hélice de 35o Calcule as forças atuantes no pinhão e as reações de apoio nos mancais 1 e 2 Considere o mancal 1 como um mancal de encosto capaz de resistir a cargas radiais e axial Diagrama de corpo livre tanφn tanφcosϕ tanφn tan2965o x cos35o 𝜙𝑛25𝑜 PPn x cosϕ P 10 x cos35o P 819 dentespol 𝑑𝑝 𝑁𝑝 𝑃 20 819 244 𝑉𝑝 𝜋 𝑥 𝑑𝑝 𝑥 𝑛𝑝 12 𝜋 𝑥 244 𝑥 1720 12 𝐕𝐩 109872 pésmin Cálculo das componentes de força 𝐹𝑇 33000 𝑥 𝑊 𝑉𝑃 33000 𝑥 2 109872 6007 lbs 𝐹𝐴 𝐹𝑇 tan 𝜑 4206 lbs 𝐹𝑅 𝐹𝑇𝑡𝑎𝑛 3419 lbs Cálculo das reações de apoio Baseado no diagrama de corpo livre temse 𝐹𝑥 0 F1x 4206 lbs 𝐹𝑦 0 F2yF1yFR0 𝐹𝑧 0 F2zF1zFT0 𝑀1 0 𝑅12 X𝐹2 𝑅13 X𝐹 T𝑖 0 Onde 𝑅12 12𝑖 0𝑗 0𝑘 𝑅13 16𝑖 083𝑗 0𝑘 O primeiro produto vetorial é dado por 𝑅12 X 𝐹2 𝑖 𝑗 𝑘 12 0 0 0 𝐹2𝑦 𝐹2𝑧 Note que o produto vetorial é calculado como 𝑅12 X 𝐹2 𝑖 𝑗 𝑘 12 0 0 0 𝐹2𝑦 𝐹2𝑧 𝑖 𝑗 12 0 0 𝐹2𝑦 𝑅12 X 𝐹2 0𝑖 0𝑗 12𝐹2𝑦𝑘 12𝐹2𝑧𝑗 0𝑖 0𝑘 12𝐹2𝑦𝑘 12𝐹2𝑧𝑗 O segundo produto vetorial pode ser descrito matermaticamente como 𝑅13 X 𝐹 𝑖 𝑗 𝑘 16 122 0 𝐹𝐴 𝐹𝑅 𝐹𝑇 𝑖 𝑗 16 122 𝐹𝐴 𝐹𝑅 𝑅13 X 𝐹 122𝐹𝑇𝑖 16𝐹𝑇𝑗 16𝐹𝑅 122𝐹𝐴𝑘 Substituindo os valores temse 𝑅13 X 𝐹 6302𝑖 82656𝑗 51469𝑘 A equação de somatório de momentos fornece 12𝐹2𝑦𝑘 12𝐹2𝑧𝑗6302𝑖 82656𝑗 51469𝑘 T𝑖 0 Assim é possível obter T𝑖 6302 lbsin F2y 4289 lbs 𝐹2𝑧 6888 𝑙𝑏𝑠 Substituindo o valor de F2y na equação de somatório de forças em relação ao eixo y temse F2y F1y FR 0 Ou seja 4289 F1y 2941 0 𝐹1𝑦 1348 𝑙𝑏𝑠 A substituição o valor de F2z na equação de somatório de forças em relação ao eixo z fornece a seguinte equação F2z F1z FT 0 Ou seja 6888 F1z 5166 0 𝐹1𝑧 1722 𝑙𝑏𝑠 Problema Proposto Shigley Um redutor de engrenagens helicoidais é mostrado na figura abaixo O pinhão 2 é condutor e recebe um torque de 1200 lbsin no seu eixo na direção indicada O pinhão tem passo diametral normal igual a 8 dentespol 14 dentes ângulo de pressão normal de 20o e ângulo de hélice de 30o A engrenagem 3 é conduzida e possui 36 dentes A engrenagem 4 é condutora no segundo par de engrenagens e possui passo diametral normal igual a 5 dentespol 15 dentes ângulo de pressão normal de 20o e ângulo de hélice de 15o A engrenagem 5 é conduzida e possui 45 dentes Encontre a magnitude e a dimensão das forças nos mancais C e D se o mancal C é capaz de conter apenas cargas radiais enquanto que o mancal D é capaz de conter cargas axiais e radiais 𝑑2 𝑁2 𝑃𝑁cos 𝜑 14 8cos 30 202 𝑑3 36 8cos 30 520 𝑑4 15 5cos 15 311 𝑑5 45 5cos 15 933 Para o par de engrenagens 23 temse 𝜙 𝑡𝑎𝑛1 tan 𝜙𝑛 cos 𝜑 2280 Para o par de engrenagens 45 temse 𝜙 𝑡𝑎𝑛1 tan 𝜙𝑛 cos 𝜑 2060 Cálculo das componentes 𝐹23 𝑡 𝑇 𝑟 1200 202 2 11882 𝑙𝑏𝑠 𝐹54 𝑡 𝐹23 𝑡 𝑑3 𝑑4 11882 520 311 1986 𝑙𝑏𝑠 𝐹23 𝑟 𝐹23 𝑡 tan𝜙 11882 tan228 𝐹23 𝑟 4994 𝑙𝑏𝑠 𝐹23 𝑎 𝐹23 𝑡 tan φ 11882 tan300 𝐹23 𝑎 6859 𝑙𝑏𝑠 𝐹54 𝑟 𝐹54 𝑡 tan𝜙 1986 tan206 𝐹54 𝑟 7465 𝑙𝑏𝑠 𝐹54 𝑎 𝐹54 𝑡 tan φ 1986 tan150 𝐹54 𝑎 5321 𝑙𝑏𝑠 Observe o diagrama de corpo livre Cálculo dos vetores de posição e força VETORES DE POSIÇÃO 𝑅𝐶𝐺 0𝑖 156𝑗 3𝑘 𝑅𝐶𝐻 0𝑖 26𝑗 65𝑘 𝑅𝐶𝐷 0𝑖 0𝑗 85𝑘 VETORES DE FORÇA 𝐹54 1986𝑖 7465𝑗 5321𝑘 𝐹23 11882𝑖 4994𝑗 6859𝑘 𝐹𝐶 𝐹𝑐𝑥𝑖 𝐹𝑐 𝑦𝑗 0𝑘 𝐹𝐷 𝐹𝐷 𝑥𝑖 𝐹𝐷 𝑦𝑗 𝐹𝐷 𝑧𝑘 Aplicando a condição de somatório de momentos em relação ao ponto C igual a zero fornece a seguinte equação 𝑅𝐶𝐺 𝑋𝐹54 𝑅𝐶𝐻 𝑋𝐹23 𝑅𝐶𝐷 𝑋𝐹𝐷 0 Resolvendo os produtos vetoriais obtemse 𝑅𝐶𝐺 𝑋𝐹54 1414𝑖 5958𝑗 3100𝑘 𝑅𝐶𝐻 𝑋𝐹23 5035𝑖 7720𝑗 3100𝑘 𝑅𝐶𝐷 𝑋𝐹𝐷 85𝐹𝐷 𝑦𝑖 85𝐹𝐷 𝑥𝑗 0𝑘 Agrupando termos semelhantes temse 𝐹𝐷 𝑦 426 𝑙𝑏𝑠 𝐹𝐷 𝑥 1610 𝑙𝑏𝑠 Para determinar as reações restantes é necessário utilizar a outra equação de equilibrio ou seja somatório das forças iguais a zero Note que nesse caso utilizouse a forma vetorial 𝐹 0 𝑦𝑖𝑒𝑙𝑑𝑠 𝐹𝐶 𝐹54 𝐹23 𝐹𝐷 0 Reagrupando termos semelhantes e resolvendo as equações fornece as três reações faltantes ou seja 𝐹𝐶 𝑥 1564 𝑙𝑏𝑠 𝐹𝐶 𝑦 6731 𝑙𝑏𝑠 𝐹𝐶 𝑧 1538 𝑙𝑏𝑠