Exercícios Resolvidos - Introdução à Mecsol 2021-2

Determinar diâmetro dos pinos em 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶 e 𝐷𝐷 (cisalhamento duplo) Problema 1.13 𝜏𝜏𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 45 MPa 1) DCL Diagrama de Corpo Livre : Determinar área da seção transversal da barra 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 tubo de aço (apenas carga normal) Determinar área da seção transversal do cabo 𝐵𝐵𝐷𝐷𝐶𝐶(apenas carga normal) 𝜎𝜎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎_𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐 = 69 MPa 𝜎𝜎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎_𝑡𝑡𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑐𝑐 = 124 MPa 𝑻𝑻 𝑻𝑻 𝑻𝑻 𝑻𝑻 3) Determinação das forças: Σ𝐹𝐹𝑥𝑥 = 0: 𝐴𝐴𝑥𝑥+𝐷𝐷𝑥𝑥 = 0 Σ𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0: 𝐴𝐴𝑦𝑦 + 𝐷𝐷𝑦𝑦 − 𝑊𝑊 2 − 𝑊𝑊 2 = 0 Σ𝑀𝑀𝐷𝐷 = 0: 𝐴𝐴𝑥𝑥 1,8 − 𝑊𝑊 2 0,45 − 𝑊𝑊 2 (0,45 + 0,75 + 1,05) = 0 𝐴𝐴𝑥𝑥 = 6,6 2 0,45 +6,6 2 (2,25)= 1,8 = 3,3(2,7) 1,8 = 8,91 1,8 = 4,95 kN 3.1) Reações de apoio (equilíbrio): 𝐷𝐷𝑥𝑥 = −𝐴𝐴𝑥𝑥 = −4,95 kN 𝑊𝑊 = 6,6 kN 𝐷𝐷𝑦𝑦 = 𝑊𝑊 − 𝐴𝐴𝑦𝑦 A componente 𝐷𝐷𝑦𝑦 será a seguir calculada por equilíbrio no nó 𝐷𝐷 2) Determinação dos senos e cossenos dos ângulos 𝛼𝛼𝐵𝐵 e 𝛼𝛼𝐵𝐵 a partir da geometria: 𝐿𝐿𝐵𝐵𝐷𝐷 = 1,22 + 1,82 = 1,44 + 3,24 = 4,68 = 2,1633 m 𝐿𝐿𝐶𝐶𝐷𝐷 = 2,42 + 1,82 = 5,76 + 3,24 = 9 = 3 m cos 𝛼𝛼𝐵𝐵 = 0,45+0,75 2,1633 = 1,2 2,1633 = 0,555 sin 𝛼𝛼𝐵𝐵 = 1,8 2,1633 = 1,2 2,1633 = 0,832 cos 𝛼𝛼𝐶𝐶 = 2,4 3 = 0,8 sin 𝛼𝛼𝐶𝐶 = 1,8 3 = 0,6 3.2) Componente 𝐷𝐷𝑦𝑦 (equilíbrio no nó 𝐷𝐷): Obs. : Lembrar de colocar as forças internas saindo do nó no DCL DCL nó 𝐷𝐷: Σ𝐹𝐹𝑥𝑥 = 0: 𝐷𝐷𝑥𝑥 + 𝑇𝑇 cos 𝛼𝛼𝐵𝐵 + 𝑇𝑇 cos 𝛼𝛼𝐶𝐶 = 0 Σ𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0: 𝐷𝐷𝑦𝑦−𝑇𝑇 sin 𝛼𝛼𝐵𝐵 − 𝑇𝑇 sin 𝛼𝛼𝐶𝐶 = 0 Determinar diâmetro dos pinos em 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶 e 𝐷𝐷 (cisalhamento duplo) Problema 1.13 Determinar área da seção transversal da barra 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 tubo de aço (apenas carga normal) Determinar área da seção transversal do cabo 𝐵𝐵𝐷𝐷𝐶𝐶(apenas carga normal) 𝑻𝑻 𝑻𝑻 𝑻𝑻 𝑻𝑻 𝐷𝐷𝑦𝑦 𝐷𝐷𝑥𝑥 = −4,95 kN 𝑇𝑇 𝐷𝐷 𝛼𝛼𝐶𝐶 𝑇𝑇 𝛼𝛼𝐵𝐵 𝑇𝑇 = −𝐷𝐷𝑥𝑥 cos 𝛼𝛼𝐵𝐵+cos 𝛼𝛼𝐶𝐶 = −(−4,95) 0,555+0,8 = 4,95 1,355 = 3,653 kN 𝜏𝜏𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 45 MPa 𝜎𝜎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎_𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐 = 69 MPa 𝜎𝜎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎_𝑡𝑡𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑐𝑐 = 124 MPa 𝑊𝑊 = 6,6 kN cos 𝛼𝛼𝐵𝐵 = 0,555 sin 𝛼𝛼𝐵𝐵 = 0,832 cos 𝛼𝛼𝐶𝐶 = 0,8 sin 𝛼𝛼𝐶𝐶 = 0,6 (tração) 3.3) Do equilíbro nas reações de apoio slide anterior : 𝐴𝐴𝑦𝑦 = 𝑊𝑊 − 𝐷𝐷𝑦𝑦 = 6,6 − 5,231 = 1,369 kN 𝐷𝐷𝑦𝑦 = 𝑇𝑇(sin 𝛼𝛼𝐵𝐵 + sin 𝛼𝛼𝐶𝐶) = (3,653)(0,832 + 0,6) 𝐷𝐷𝑦𝑦 = (3,653)(1,432) = 5,231 kN 3.4) Resultantes em 𝐴𝐴 e 𝐷𝐷: Determinar diâmetro dos pinos em 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶 e 𝐷𝐷 (cisalhamento duplo) Problema 1.13 Determinar área da seção transversal da barra 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 tubo de aço (apenas carga normal) Determinar área da seção transversal do cabo 𝐵𝐵𝐷𝐷𝐶𝐶 (apenas carga normal) 𝑻𝑻 𝑻𝑻 𝑻𝑻 𝑻𝑻 𝜏𝜏𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 45 MPa 𝜎𝜎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎_𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐 = 69 MPa 𝜎𝜎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎_𝑡𝑡𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑐𝑐 = 124 MPa 𝑊𝑊 = 6,6 kN cos 𝛼𝛼𝐵𝐵 = 0,555 sin 𝛼𝛼𝐵𝐵 = 0,832 cos 𝛼𝛼𝐶𝐶 = 0,8 sin 𝛼𝛼𝐶𝐶 = 0,6 𝐴𝐴𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝐴𝐴𝑥𝑥 2 + 𝐴𝐴𝑦𝑦 2 = 4,952 + 1,3692 = 24,5025 + 1,8742 = 26,3767 = 5,136 kN 𝐷𝐷𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝐷𝐷𝑥𝑥 2 + 𝐷𝐷𝑦𝑦 2 = (−4,95)2+5,2312 = 24,5025 + 27,3634 = 51,8659 = 7,202 kN Determinar diâmetro dos pinos em 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶 e 𝐷𝐷 (cisalhamento duplo) Problema 1.13 Determinar área da seção transversal da barra 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 tubo de aço (apenas carga normal) Determinar área da seção transversal do cabo 𝐵𝐵𝐷𝐷𝐶𝐶(apenas carga normal) 𝑻𝑻 𝑻𝑻 𝑻𝑻 𝑻𝑻 𝜏𝜏𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 45 MPa 𝜎𝜎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎_𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐 = 69 MPa 𝜎𝜎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎_𝑡𝑡𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑐𝑐 = 124 MPa 𝑊𝑊 = 6,6 kN cos 𝛼𝛼𝐵𝐵 = 0,555 sin 𝛼𝛼𝐵𝐵 = 0,832 cos 𝛼𝛼𝐶𝐶 = 0,8 sin 𝛼𝛼𝐶𝐶 = 0,6 4) Diâmetro dos pinos em 𝐴𝐴 e 𝐷𝐷: 𝜏𝜏 = 𝑉𝑉 2𝐴𝐴 Para cisalhamento duplo: 𝐴𝐴𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑉𝑉 2𝜏𝜏𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 Portanto: 4.1) Diâmetro do pino em 𝐴𝐴: 𝐴𝐴𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝜋𝜋𝑎𝑎𝐴𝐴 2 4 = 5136 2(45) = 57,067 mm2 N MPa = N N/mm2 = mm2 Unidades (SI): 𝑑𝑑𝐴𝐴 = 4(57,067) 𝜋𝜋 = 72,659 𝑑𝑑𝐴𝐴 = 8, 524 mm 4.2) Diâmetro do pino em 𝐵𝐵 e 𝐶𝐶: 𝐴𝐴𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝜋𝜋𝑎𝑎𝐵𝐵 2 4 = 3653 2(45) = 40,589 mm2 𝑑𝑑𝐵𝐵 = 𝑑𝑑𝐶𝐶 = 4(40,589) 𝜋𝜋 = 51,679 𝑑𝑑𝐵𝐵 = 𝑑𝑑𝐶𝐶 = 7, 189 mm 𝐴𝐴𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟 = 5,136 kN 𝐷𝐷𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟 = 7,202 kN 𝑇𝑇 = 3,653 kN 𝑇𝑇 = 3,653 kN 4.3) Diâmetro do pino em 𝐷𝐷: 𝐴𝐴𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝜋𝜋𝑎𝑎𝐷𝐷 2 4 = 7202 2(45) = 80,022 mm2 𝑑𝑑𝐷𝐷 = 4(80,022) 𝜋𝜋 = 101,887 𝑑𝑑𝐷𝐷 = 10,093 mm Determinar diâmetro dos pinos em 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶 e 𝐷𝐷 (cisalhamento duplo) Problema 1.13 Determinar área da seção transversal da barra 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 tubo de aço (apenas carga normal) Determinar área da seção transversal do cabo 𝐵𝐵𝐷𝐷𝐶𝐶 (apenas carga normal) 𝑻𝑻 𝑻𝑻 𝑻𝑻 𝑻𝑻 𝜏𝜏𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 45 MPa 𝜎𝜎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎_𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐 = 69 MPa 𝜎𝜎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎_𝑡𝑡𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑐𝑐 = 124 MPa 𝑊𝑊 = 6,6 kN cos 𝛼𝛼𝐵𝐵 = 0,555 sin 𝛼𝛼𝐵𝐵 = 0,832 cos 𝛼𝛼𝐶𝐶 = 0,8 sin 𝛼𝛼𝐶𝐶 = 0,6 5) Área da seção transversal da barra 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 (tubo de aço): 𝐴𝐴𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟 = 5,136 kN 𝐷𝐷𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟 = 7,202 kN 5.1) Obtenção dos esforços normais axiais na barra 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 (sem considerar flexão): DCL: De 𝐶𝐶 a 𝐵𝐵: 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1,2 m 1 2 DCL: Σ𝐹𝐹𝑥𝑥 = 0: −𝑁𝑁 − 𝑇𝑇 cos 𝛼𝛼𝐶𝐶 = 0 𝑁𝑁 = −𝑇𝑇 cos 𝛼𝛼𝐶𝐶 = − 3,653 0,8 De 𝐶𝐶 a 𝐵𝐵: 1,2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2,4 m DCL: Σ𝐹𝐹𝑥𝑥 = 0: −𝑁𝑁 − 𝑇𝑇 cos 𝛼𝛼𝐵𝐵 − 𝑇𝑇 cos 𝛼𝛼𝐶𝐶 = 0 𝑁𝑁 = −𝑇𝑇 (cos 𝛼𝛼𝐵𝐵 + cos 𝛼𝛼𝐶𝐶) = − 3,653 0,555 + 0,8 𝑁𝑁 = −2,922 kN 𝑁𝑁 = −4,950 kN (compressão) (compressão) 𝑇𝑇 = 3,653 kN 𝑇𝑇 = 3,653 kN 𝑥𝑥 𝑇𝑇 = 3,653 kN 𝑁𝑁 𝛼𝛼𝐶𝐶 𝑥𝑥 𝑇𝑇 = 3,653 kN 𝑁𝑁 𝛼𝛼𝐶𝐶 𝑇𝑇 = 3,653 kN 𝐵𝐵 𝛼𝛼𝐵𝐵 𝑇𝑇 = 3,653 kN 𝑇𝑇 = 3,653 kN 𝐴𝐴 𝐶𝐶 𝐵𝐵 𝐴𝐴𝑥𝑥 = 4,95 kN 𝐴𝐴𝑦𝑦 = 1,369 kN Determinar diâmetro dos pinos em 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶 e 𝐷𝐷 (cisalhamento duplo) Problema 1.13 Determinar área da seção transversal da barra 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 (tubo de aço) (apenas carga normal) Determinar área da seção transversal do cabo 𝐵𝐵𝐷𝐷𝐶𝐶 (apenas carga normal) 𝑻𝑻 𝑻𝑻 𝑻𝑻 𝑻𝑻 𝜏𝜏𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 45 MPa 𝜎𝜎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎_𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐 = 69 MPa 𝜎𝜎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎_𝑡𝑡𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑐𝑐 = 124 MPa 𝑊𝑊 = 6,6 kN cos 𝛼𝛼𝐵𝐵 = 0,555 sin 𝛼𝛼𝐵𝐵 = 0,832 cos 𝛼𝛼𝐶𝐶 = 0,8 sin 𝛼𝛼𝐶𝐶 = 0,6 𝐴𝐴𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟 = 5,136 kN 𝐷𝐷𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟 = 7,202 kN 5.2) Obtenção da área da seção transversal da barra 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶: 𝑇𝑇 = 3,653 kN 𝑇𝑇 = 3,653 kN 𝐴𝐴 𝐶𝐶 𝐵𝐵 𝐴𝐴𝑥𝑥 = 4,95 kN 𝐴𝐴𝑦𝑦 = 1,369 kN −2,922 −4,950 N (kN) 𝐴𝐴 𝐶𝐶 𝐵𝐵 𝑥𝑥 (compressão) 𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥 = −4,950 kN 𝜎𝜎 = 𝑁𝑁 𝐴𝐴 Para tensão normal: 𝐴𝐴𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥 𝜎𝜎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎_𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐 Portanto: (compressão) 𝐴𝐴𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 4950 69 = 71,739 mm2 N MPa = N N/mm2 = mm2 Unidades (SI): 6) Obtenção da área da seção transversal do cabo 𝐵𝐵𝐷𝐷𝐶𝐶: 𝐴𝐴𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑇𝑇 𝜎𝜎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎_𝑡𝑡𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑐𝑐 (tração) 𝐴𝐴𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 3653 124 = 29,460 mm2 𝑇𝑇 = 3,653 kN 𝑇𝑇 = 3,653 kN