P1 - Introdução à Mecânica dos Sólidos

Universidade Federal de Minas Gerais Escola de Engenharia Departamento de Engenharia de Estruturas EES022 –Introdução à Mecânica dos Sólidos – Prof. Carlos A. Cimini Jr. Primeira Prova 13/01/2022 Aluno: Matrícula: Questão 1 (8,75): Determinar as forças resultantes internas, normal e de cisalhamento no componente prismático mostrado na Figura 1: (a) na seção a–a (b) na seção b–b cada uma dessas seções passando pelo ponto A (centroide da seção transversal). Considere θ = 60º. A força de 1300 N é aplicada no eixo passando pelo centroide do componente. 1300 N 1300 N b b a a θ A 4 x y 800 A B C D B’ C’ D’ 600 10 6 4 8 4 Figura 1 Figura 2 Questão 2 (8,75): A placa plástica da Figura 2 é originalmente retangular, com as bordas delimitadas pelas linhas cheias. Após a aplicação de um determinado carregamento, ela se deforma segundo as linhas tracejadas. Determinar a deformação normal média ao longo de suas diagonais AC e DB. As dimensões são dadas em milímetros (mm). Universidade Federal de Minas Gerais Escola de Engenharia Departamento de Engenharia de Estruturas Questão 3 (8,75): O diagrama tensão-deformação para uma barra de aço é mostrado na Figura 3. Determinar aproximadamente o módulo de elasticidade (E), o limite de proporcionalidade (σp) e a tensão de ruptura (σr). Se a barra for carregada até a tensão de 225 MPa, determinar a deformação permanente após ser descarregada. ε (mm/mm) σ (MPa) 25 75 125 175 225 275 100 150 200 250 50 0 0,10 0,20 0,30 0,0010 0,0020 0,0030 Figura 3 0 0 0,01 0,02 0,03 0,04 10 16,1 20 25 30 35 40 50 47,5 45 σ (MPa) ε (mm/mm) compressão tração Figura 4 P A B C D Figura 5 Questão 4 (8,75): O diagrama tensão-deformação para uma resina poliéster está mostrado na Figura 4. A viga rígida AC é suportada em suas extremidades por uma barra AB e por uma coluna CD (Figura 5), ambas de seção transversal circular maciça e fabricadas com esse material. Determinar a maior carga P que pode ser aplicada na viga antes que haja ruptura da barra e/ou coluna. O diâmetro da barra é 24 mm e o diâmetro da coluna é 80 mm. EES022 – Introdução à Mecânica dos Sólidos Prova 1 – Solução Questão 1 1300 N 1300 N b b a a θ = 60ο A Seção aa Seção bb Σ𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0 1300 − 𝑁𝑁 = 0 𝑁𝑁 = 1300 N Σ𝐹𝐹𝑥𝑥 = 0 𝑉𝑉 = 0 N N V 1300 N x y 60ο 1300 N 30ο N V (1300)cos30º 30ο (1300)sin30º Σ𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0 1300 sin 30° − 𝑁𝑁 = 0 𝑁𝑁 = 1300 3 2 = 1126 N Σ𝐹𝐹𝑥𝑥 = 0 𝑉𝑉 + (1300) cos 30° = 0 𝑉𝑉 = − 1300 1 2 = −650 N Resposta Resposta Resposta Resposta EES022 – Introdução à Mecânica dos Sólidos Prova 1 – Solução Questão 2 4 x y 800 A B C D B’ C’ D’ 600 10 6 4 8 4 𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑑𝑑𝐵𝐵𝐵𝐵𝐴 = 8002 + 6002 = 1000000 = 1000 mm [mm] 𝜀𝜀𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴′ − 𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 1012,8 − 1000 1000 = 0,0128 (1,28%) 𝜀𝜀𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑑𝑑𝐵𝐵′𝐵𝐵′ − 𝑑𝑑𝐵𝐵𝐵𝐵𝐴 𝑑𝑑𝐵𝐵𝐵𝐵𝐴 = 1001,6 − 1000 1000 = 0,0016 (0,16%) Considerando a origem do sistema de coordenadas 𝑥𝑥𝑥𝑥 em 𝐴𝐴: Pto 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝐴𝐴 0 0 𝐵𝐵 800 0 𝐶𝐶 800 600 𝐷𝐷 0 600 𝐵𝐵𝐵 806 4 𝐶𝐶𝐵 810 608 𝐷𝐷𝐵 4 604 𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴′ = 𝑥𝑥𝐴𝐴′ − 𝑥𝑥𝐴𝐴 2 + 𝑥𝑥𝐴𝐴′ − 𝑥𝑥𝐴𝐴 2 = (810 − 0)2+(608 − 0)2 = 8102 + 6082 = 1025764 = 1012,8 mm 𝑑𝑑𝐵𝐵′𝐵𝐵′ = 𝑥𝑥𝐵𝐵′ − 𝑥𝑥𝐵𝐵′ 2 + 𝑥𝑥𝐵𝐵′ − 𝑥𝑥𝐵𝐵′ 2 = (4 − 806)2+(604 − 4)2 = (−802)2+6002 = 1003204 = 1001,6 mm Cálculo das diagonais: Cálculo das deformações normais na direção das diagonais: Resposta Resposta EES022 – Introdução à Mecânica dos Sólidos Prova 1 – Solução Questão 3 ε (mm/mm) σ (MPa) 25 75 125 175 225 275 100 150 200 250 50 0 0,10 0,20 0,30 0,0010 0,0020 0,0030 θ 𝜎𝜎𝑝𝑝 ≅ 162,5 MPa 𝜎𝜎𝑟𝑟 ≅ 250 MPa 𝐸𝐸 = tan 𝜃𝜃 ≅ 162,5 0,015 = 108333 MPa = 108,3 GPa 𝐸𝐸 = tan 𝜃𝜃 = 225 MPa 𝜀𝜀𝑒𝑒𝑒𝑒 = 162500 MPa Recuperação elástica: 𝜀𝜀𝑒𝑒𝑒𝑒 = 225 108333 = 0,00207 225 MPa θ 𝜀𝜀𝑒𝑒𝑒𝑒 Para 225 MPa a deformação total é de 0,075: 0,075 𝜀𝜀𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝜀𝜀𝑒𝑒𝑒𝑒 + 𝜀𝜀𝑝𝑝𝑒𝑒 = 0,075 𝜀𝜀𝑝𝑝𝑒𝑒 = 𝜀𝜀𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 − 𝜀𝜀𝑒𝑒𝑒𝑒 = 0,075 − 0,00207 = 0,07292 (7,292%) A deformação total é igual à deformação plástica mais a recuperação elástica. 𝜀𝜀𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝜀𝜀𝑒𝑒𝑒𝑒 + 𝜀𝜀𝑝𝑝𝑒𝑒 Portanto, a deformação plástica é: 0,0015 Resposta Resposta Resposta Resposta P 1 m 1,5 m 1,5 m 4 m A B C D EES022 – Introdução à Mecânica dos Sólidos Prova 1 – Solução Questão 4 DCL′s Diagramas de Corpo Livre : RC RD RB RA P RA RC 1,5 m 1,5 m Para a barra e a coluna (equilíbrio vertical de forças): Σ𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0 𝑅𝑅𝐵𝐵 − 𝑅𝑅𝐴𝐴 = 0 x y −𝑅𝑅𝐴𝐴 + 𝑅𝑅𝐵𝐵 = 0 𝑅𝑅𝐵𝐵 = 𝑅𝑅𝐴𝐴 𝑅𝑅𝐴𝐴 = 𝑅𝑅𝐵𝐵 Para a viga (equações de equilíbrio): Σ𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0 𝑅𝑅𝐴𝐴 + 𝑅𝑅𝐵𝐵 − 𝑃𝑃 = 0 𝑅𝑅𝐴𝐴 = 1,5𝑃𝑃 3 = 𝑃𝑃 2 − 1,5 𝑃𝑃 + 1,5 + 1,5 𝑅𝑅𝐴𝐴 = 0 Σ𝑀𝑀𝐴𝐴 = 0 𝑅𝑅𝐴𝐴 = 𝑃𝑃 − 𝑅𝑅𝐵𝐵 = 𝑃𝑃 2 Assim, as forças internas normais na barra e na coluna são: 𝑅𝑅𝐵𝐵 = 𝑅𝑅𝐴𝐴 = 𝑃𝑃 2 𝑅𝑅𝐴𝐴 = 𝑅𝑅𝐵𝐵 = 𝑃𝑃 2 (tração) (compressão) Cálculo das forças normais na barra e na coluna barra coluna EES022 – Introdução à Mecânica dos Sólidos Prova 1 – Solução Questão 4 0 0 0,01 0,02 0,03 0,04 10 16,1 20 25 30 35 40 50 47,5 45 σ (MPa) ε (mm/mm) compressão tração barra 𝑁𝑁 = 𝑅𝑅𝐵𝐵 = 𝑅𝑅𝐴𝐴 = 𝑃𝑃 2 (tração) (compressão) Cálculo das tensões normais na barra e na coluna coluna 𝜎𝜎 = 𝑁𝑁 𝐴𝐴 onde 𝐴𝐴 é a área da seção transversal, circular e maciça tanto para a barra quanto para a coluna Tensão normal 𝐴𝐴 = 𝜋𝜋𝑑𝑑2 4 Cáculo de 𝑃𝑃 admissível para a barra e a coluna 𝜎𝜎𝑟𝑟 = 25 MPa 𝜎𝜎𝑟𝑟 = 47,5 MPa 𝜎𝜎 = 𝑁𝑁 𝐴𝐴 𝐴𝐴 = 𝜋𝜋(24)2 4 = 452,39 mm2 𝜎𝜎𝑟𝑟 = ⁄ 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 2 𝐴𝐴 = ⁄ 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 2 452,39 = 25 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎 = 2 452,39 25 = 22619,5 N = 22,6 kN 𝑁𝑁 = 𝑅𝑅𝐴𝐴 = 𝑅𝑅𝐵𝐵 = 𝑃𝑃 2 𝐴𝐴 = 𝜋𝜋(8𝐴)2 4 = 5026,56 mm2 𝜎𝜎𝑟𝑟 = ⁄ 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 2 𝐴𝐴 = ⁄ 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 2 5𝐴26,56 = 47,5 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎 = 2 5026,56 47,5 = 477523,2 N = 477,5 kN A carga 𝑃𝑃 admissível é, portanto, a menor das duas 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎 = 22,6 kN Resposta