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Engenharia Mecânica ·
Introdução à Mecânica dos Sólidos
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Problema 5.3 Determinar as tensões máximas de tração e compressão (flexão) Mantendo 𝑞𝑞, determinar a carga máxima admissível 𝑃𝑃 𝜎𝜎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 13 MPa (tração e compressão) Σ𝐹𝐹𝑥𝑥 = 0: 𝐴𝐴𝑥𝑥= 0 Σ𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0: 𝐴𝐴𝑦𝑦 + 𝐵𝐵𝑦𝑦 − 50 − 147,4 = 0 Σ𝑀𝑀𝐴𝐴 = 0: 𝐵𝐵𝑦𝑦 6,7 − 50 2,5 − 147,4(3,35) = 0 𝐵𝐵𝑦𝑦 = 125+493,79 6,7 = 618,79 6,7 = 92,357 kN 𝐴𝐴𝑦𝑦 = 197,4 − 𝐵𝐵𝑦𝑦 2) Reações de apoio (equilíbrio): 1) DCL (Diagrama de Corpo Livre) 𝑞𝑞= 22 kN/m 𝑃𝑃 = 50 kN 𝐴𝐴 𝐶𝐶 𝐵𝐵 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑦𝑦 𝐵𝐵𝑦𝑦 4,2 m 2,5 m 6,7 m 𝑄𝑄= (22)(6,7)=147,4 kN 3,35 m = 197,4 − 92,357 = 105,043 kN 𝐶𝐶 3) Corte da estrutura nos intervalos entre descontinuidades 1 2 3.1) DCL′s (Diagramas de Corpo Livre) das seções De 𝐴𝐴 a 𝐶𝐶: 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2,5 m De 𝐶𝐶 a 𝐵𝐵: 2,5 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 6,7 m 22 kN/m 𝑉𝑉 𝐴𝐴 𝑥𝑥 105,043 kN M 1 𝑃𝑃 = 50 kN 𝐴𝐴 𝐶𝐶 𝐵𝐵 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑦𝑦 𝐵𝐵𝑦𝑦 4,2 m 2,5 m 6,7 m 1 2 𝑞𝑞= 22 kN/m 50 kN 2,5 m 𝐴𝐴 𝑥𝑥 105,043kN 𝑉𝑉 M 2 𝑥𝑥 − 2,5 22 kN/m Problema 5.3 Determinar as tensões máximas de tração e compressão (flexão) Mantendo 𝑞𝑞, determinar a carga máxima admissível 𝑃𝑃 DCL Diagrama de Corpo Livre da estrutura completa: 3.2) Determinação dos esforços internos em função da coordenada 𝑥𝑥 equilíbrio : Obs. : Forças em kN e momentos em [kNm] Σ𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0: 105,043 − 22(𝑥𝑥) − 𝑉𝑉 = 0 Σ𝑀𝑀1 = 0: −105,043 𝑥𝑥 + 22(𝑥𝑥) ⁄ 𝑥𝑥 2 + 𝑀𝑀 = 0 𝑉𝑉 = −22𝑥𝑥 + 105,043 𝑀𝑀(0) = 0 𝑉𝑉 0 = 105,043 𝑉𝑉 2,5 = 50,043 𝑀𝑀(2,5) = 193,858 Nos limites do domínio: 𝑀𝑀(2,5) = 193,858 𝑉𝑉 2,5 = 0,043 ≅ 0 𝑉𝑉 6,7 = −92,357 𝑀𝑀 6,7 = 0 Nos limites do domínio: De 𝐴𝐴 a 𝐶𝐶: 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2,5 m 22 kN/m 𝑉𝑉 𝐴𝐴 𝑥𝑥 105,043 kN M 1 𝑀𝑀 = −11𝑥𝑥2 + 105,043𝑥𝑥 x 2 22(𝑥𝑥) 50 kN 2,5 m 𝐴𝐴 𝑥𝑥 105,043kN 𝑉𝑉 M 2 𝑥𝑥 − 2,5 22 kN/m De 𝐶𝐶 a 𝐵𝐵: 2,5 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 6,7 m Σ𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0: 105,043 − 22 𝑥𝑥 − 50 − 𝑉𝑉 = 0 22(𝑥𝑥) x 2 𝑉𝑉 = −22𝑥𝑥 + 55,043 Σ𝑀𝑀2 = 0: −105,043 𝑥𝑥 + 22 𝑥𝑥 ⁄ 𝑥𝑥 2 + 50 𝑥𝑥 − 2,5 + 𝑀𝑀 = 0 𝑀𝑀 = −11𝑥𝑥2 + 105,043𝑥𝑥 − 50𝑥𝑥 + 125 𝑀𝑀 = −11𝑥𝑥2 + 55,043𝑥𝑥 + 125 Problema 5.3 Determinar as tensões máximas de tração e compressão (flexão) Mantendo 𝑞𝑞, determinar a carga máxima admissível 𝑃𝑃 3.3) Determinação dos diagramas dos esforços internos em função da coordenada 𝑥𝑥: 𝑥𝑥 𝑉𝑉 (kN) 𝑥𝑥 𝑀𝑀 (kNm) Problema 5.3 Determinar as tensões máximas de tração e compressão (flexão) Mantendo 𝑞𝑞, determinar a carga máxima admissível 𝑃𝑃 De 𝐴𝐴 a 𝐶𝐶: 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2,5 m De 𝐶𝐶 a 𝐵𝐵: 2,5 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 6,7 m 𝐶𝐶 𝑉𝑉 = −22𝑥𝑥 + 105,043 𝑀𝑀 = −11𝑥𝑥2 + 105,043𝑥𝑥 Obs. : Forças em kN e momentos em [kNm] 𝑀𝑀(0) = 0 𝑉𝑉 0 = 105,043 𝑉𝑉 2,5 = 50,043 𝑀𝑀(2,5) = 193,858 Nos limites do domínio: 𝑀𝑀(2,5) = 193,858 𝑉𝑉 2,5 = 0,043 ≅ 0 𝑉𝑉 6,7 = −92,357 𝑀𝑀 6,7 = 0 Nos limites do domínio: 𝑉𝑉 = −22𝑥𝑥 + 55,043 𝑀𝑀 = −11𝑥𝑥2 + 55,043𝑥𝑥 + 125 +105,043 +50,043 −92,357 193,858 3.3) Determinação do momento máximo: 𝑀𝑀𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥 = 193,858 kNm 4) Determinação das tensões máximas Problema 5.3 Determinar as tensões máximas de tração e compressão (flexão) Momento de inércia (seção retangular maciça) 𝐼𝐼 = 𝑏𝑏ℎ3 12 = (220)(700)3 12 = 6,2883 × 109 mm4 𝜎𝜎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥 = ⁄ 𝑀𝑀𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥(±ℎ 2) 𝐼𝐼 Mantendo 𝑞𝑞, determinar a carga máxima admissível 𝑃𝑃 ≤ 𝜎𝜎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎= 13 MPa ✓ 5) Mantendo 𝑞𝑞, determinar a carga máxima admissível 𝑃𝑃 Σ𝐹𝐹𝑥𝑥 = 0: 𝐴𝐴𝑥𝑥= 0 Σ𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0: 𝐴𝐴𝑦𝑦 + 𝐵𝐵𝑦𝑦 − 𝑃𝑃 − 147,4 = 0 Σ𝑀𝑀𝐴𝐴 = 0: 𝐵𝐵𝑦𝑦 6,7 − 𝑃𝑃 2,5 − 147,4(3,35) = 0 𝐵𝐵𝑦𝑦 = 2,5𝑃𝑃+493,79 6,7 = 0,373𝑃𝑃 + 73,7 𝐴𝐴𝑦𝑦 = 147,4 + 𝑃𝑃 − 𝐵𝐵𝑦𝑦 5.1) Reações de apoio em função de 𝑃𝑃: = ⁄ (193,858 × 106 Nmm)(±700 2 mm) 6,2883 × 109 mm4 = ± 67850,3 6288,3 ⁄ N mm2 = ±10,79 MPa = 147,4 + 𝑃𝑃 − 0,373𝑃𝑃 − 73,7 = 0,627𝑃𝑃 + 73,7 DCL: 0,627𝑃𝑃 + 73,7 Problema 5.3 Determinar as tensões máximas de tração e compressão (flexão) Mantendo 𝑞𝑞, determinar a carga máxima admissível 𝑃𝑃 5.2) Momento máximo em função de P: Σ𝑀𝑀1 = 0: −(0,627𝑃𝑃 + 73,7) 𝑥𝑥 + 22(𝑥𝑥) ⁄ 𝑥𝑥 2 + 𝑀𝑀 = 0 De 𝐴𝐴 a 𝐶𝐶: 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2,5 m De 𝐶𝐶 a 𝐵𝐵: 2,5 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 6,7 m Σ𝑀𝑀2 = 0: −(0,627𝑃𝑃 + 73,7) 𝑥𝑥 + 22 𝑥𝑥 ⁄ 𝑥𝑥 2 + 𝑃𝑃 𝑥𝑥 − 2,5 + 𝑀𝑀 = 0 𝑀𝑀 = −11𝑥𝑥2 + (0,627𝑃𝑃 + 73,7)𝑥𝑥 𝑀𝑀𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥 = 1,5675𝑃𝑃 + 115,5 Momento máximo ocorre em x = 2,5 m: 𝑀𝑀 = −11𝑥𝑥2 + 0,627𝑃𝑃 + 73,7 𝑥𝑥 − 𝑃𝑃 𝑥𝑥 − 2,5 Momento máximo ocorre em x = 2,5 m: 𝑀𝑀𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥 = 1,5675𝑃𝑃 + 115,5 ✓ 5.3) Determinação da carga máxima admissível 𝑃𝑃 𝜎𝜎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥 = ⁄ 𝑀𝑀𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥(ℎ 2) 𝐼𝐼 = ⁄ (1,5675𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 + 115,5) × 106 Nmm (700 2 mm) 6,2883 × 109 mm4 = 𝜎𝜎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎= 13 MPa 548,66 6288,3 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 + 40425 6288,3 = 0,008725𝑃𝑃 + 6,4286 = 13 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 13 − 6,4286 0,008725 = 6,5714 0,008725 = 75,31 kN 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ≡[kN] 𝑃𝑃 ≡[kN] 𝑃𝑃 ≡[kN] DCL: DCL: 0,627𝑃𝑃 + 73,7 Problema 5.3 Determinar as tensões máximas de tração e compressão (flexão) Mantendo 𝑞𝑞, determinar a carga máxima admissível 𝑃𝑃 𝑥𝑥 𝑉𝑉 (kN) 𝑥𝑥 𝑀𝑀 (kNm) +105,043 +50,043 −92,357 193,858 𝐶𝐶 Verificação utilizando FTool:
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