P2 - Introdução à Mecânica dos Sólidos

Universidade Federal de Minas Gerais Escola de Engenharia Departamento de Engenharia de Estruturas EES022 –Introdução à Mecânica dos Sólidos – Prof. Carlos A. Cimini Jr. Segunda Prova 17/02/2022 Aluno: Matrícula: Questão 1 (10,0): A placa quadrada de aço possui espessura de 1 mm e está submetida ao carregamento de borda mostrado na Figura 1. Determinar as tensões principais, a tensão de cisalhamento máxima e verificar se ocorre falha pelo critério de Von Mises. Considerar a tensão de escoamento como σe = 90 MPa. Figura 1 Questão 2 (10,0): A roseta de 45º está montada em um eixo de aço, conforme mostrado na Figura 2. As seguintes leituras foram obtidas para cada extensômetro (strain gage): εa = –900✕10-6, εb = –400✕10-6 e εc = 100✕10-6. Determinar as deformações principais no plano e a orientação do sistema principal considerando originalmente o eixo x orientado na direção da roseta b. Figura 2 Universidade Federal de Minas Gerais Escola de Engenharia Departamento de Engenharia de Estruturas Questão 3 (15,0): Um vaso de pressão está submetido a uma pressão interna p que provoca o estado de tensões em sua superfície externa, no sistema de coordenadas xy, com x alinhado longitudinalmente e y tangente a essa superfície, conforme mostrado na Figura 3. O vaso foi construído a partir da soldagem de uma chapa helicoidal no ângulo de θ = 60º. Qual é a pressão interna máxima p para que não ocorra falha, considerando o critério de falha de Tresca para o estado plano de tensões, e o critério de tensão máxima para tensão normal à linha de soldagem? Considerar σe = 90 MPa e , onde p é a pressão interna, r é o raio do vaso de pressão ( ) e t é a espessura do vaso de pressão ( ). Figura 3 Resposta Resposta EES022 – Introdução à Mecânica dos Sólidos Prova 2 – Solução Questão 1 (10 pontos) 50 kN/m 50 kN/m 500 mm 500 mm E. P. T. : 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 𝜎𝜎𝑥𝑥 = 25 × 103N 5 × 10−4 m2 = 50 × 106 Pa = 50 MPa 𝐹𝐹𝑥𝑥 = 50 kN m 0,5 m = 25 kN 𝐹𝐹𝑥𝑥 = −50 kN m 0,5 m = −25 kN 𝐴𝐴𝑥𝑥 = 𝐴𝐴𝑥𝑥 = 0,5 m 0,001 m = 5 × 10−4m2 𝜎𝜎𝑥𝑥 = −25 × 103N 5 × 10−4 m2 = −50 × 106 Pa = −50 MPa Tensões principais: Não precisa calcular pois 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 e, portanto o estado de tensões original é também o estado de tensões principal 𝜎𝜎1 2 − 𝜎𝜎1𝜎𝜎2 + 𝜎𝜎2 2 ≤ 𝜎𝜎𝑒𝑒2 𝜎𝜎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝜎𝜎1 2 − 𝜎𝜎1𝜎𝜎2 + 𝜎𝜎2 2 = (50)2− 50 −50 + (50)2 𝜎𝜎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 2 ≤ 𝜎𝜎𝑒𝑒2 𝜎𝜎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = (50)2+(50)2+(50)2= 3(50)2= 50 3 = 86,60 MPa 𝜎𝜎𝑒𝑒 𝜎𝜎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 ≥ 1 Não Falha! Von Mises: 𝜎𝜎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 ≤ 𝜎𝜎𝑒𝑒 Tensão de cisalhamento máxima: 𝑅𝑅 = 𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑥𝑥 2 2 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 2 = 50 + 50 2 2 + 0 2 = 50 2 = 50 MPa 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 1 2 𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝜎𝑥𝑥 = 1 2 50 − 50 = 0 𝜎𝜎1 = 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑅𝑅 = 0 + 50 = 50 MPa 𝜎𝜎2 = 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑅𝑅 = 0 − 50 = −50 MPa 𝜏𝜏𝑃𝑃 = 0 𝜎𝜎1 = 50 MPa 𝜎𝜎2 = −50 MPa 𝜏𝜏𝑃𝑃 = 0 𝜏𝜏𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 = 𝜎𝜎1 − 𝜎𝜎2 2 = 50 − (−50) 2 = 50 MPa 𝜏𝜏𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 = 𝑅𝑅 = 50 MPa 𝜏𝜏𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 = 50 MPa 90 86,60 = 1,04 ≥ 1 Resposta EES022 – Introdução à Mecânica dos Sólidos Prova 2 – Solução Questão 2 (10 pontos) 45° 45° 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝜀𝜀𝑏𝑏 = 𝜀𝜀𝑥𝑥 0 −1 𝜀𝜀𝑚𝑚 = 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑚𝑚 = 1 2 𝜀𝜀𝑥𝑥 + 𝜀𝜀𝑥𝑥 + 1 2 𝜀𝜀𝑥𝑥 − 𝜀𝜀𝑥𝑥 cos 2(−45°) + 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑥𝑥 2 sin 2(−45°) = 1 2 𝜀𝜀𝑥𝑥 + 𝜀𝜀𝑥𝑥 + 1 2 𝜀𝜀𝑥𝑥 − 𝜀𝜀𝑥𝑥 cos(−90°) + 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑥𝑥 2 sin(−90°) 𝜀𝜀𝑐𝑐 = 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑐𝑐 = 1 2 𝜀𝜀𝑥𝑥 + 𝜀𝜀𝑥𝑥 + 1 2 𝜀𝜀𝑥𝑥 − 𝜀𝜀𝑥𝑥 cos 2(45°) + 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑥𝑥 2 sin 2(45°) = 1 2 𝜀𝜀𝑥𝑥 + 𝜀𝜀𝑥𝑥 + 1 2 𝜀𝜀𝑥𝑥 − 𝜀𝜀𝑥𝑥 cos(90°) + 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑥𝑥 2 sin(90°) 0 1 𝜀𝜀𝑚𝑚 = 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑚𝑚 = 1 2 𝜀𝜀𝑏𝑏 + 𝜀𝜀𝑥𝑥 − 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑥𝑥 2 𝜀𝜀𝑐𝑐 = 𝜀𝜀𝑥𝑥𝑐𝑐 = 1 2 𝜀𝜀𝑏𝑏 + 𝜀𝜀𝑥𝑥 + 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑥𝑥 2 𝜀𝜀𝑥𝑥 2 − 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑥𝑥 2 = 𝜀𝜀𝑚𝑚 − 𝜀𝜀𝑏𝑏 2 𝜀𝜀𝑥𝑥 2 + 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑥𝑥 2 = 𝜀𝜀𝑐𝑐 − 𝜀𝜀𝑏𝑏 2 1 2 + 1 2 𝜀𝜀𝑥𝑥 = 𝜀𝜀𝑐𝑐 + 𝜀𝜀𝑚𝑚 + − 1 2 − 1 2 𝜀𝜀𝑏𝑏 𝜀𝜀𝑥𝑥 = 𝜀𝜀𝑐𝑐 + 𝜀𝜀𝑚𝑚 − 𝜀𝜀𝑏𝑏 (𝜀𝜀𝑐𝑐 + 𝜀𝜀𝑚𝑚 − 𝜀𝜀𝑏𝑏) 2 − 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑥𝑥 2 = 𝜀𝜀𝑚𝑚 − 𝜀𝜀𝑏𝑏 2 −𝛾𝛾𝑥𝑥𝑥𝑥 = 2𝜀𝜀𝑚𝑚 − 𝜀𝜀𝑏𝑏 − 𝜀𝜀𝑐𝑐 − 𝜀𝜀𝑚𝑚 + 𝜀𝜀𝑏𝑏 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝜀𝜀𝑐𝑐 − 𝜀𝜀𝑚𝑚 + 𝜀𝜀𝑥𝑥 2 − 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑥𝑥 2 = 𝜀𝜀𝑚𝑚 − 𝜀𝜀𝑏𝑏 2 E. P. D. : 𝜀𝜀𝑐𝑐 = 100 × 10−6 𝜀𝜀𝑚𝑚 = −900 × 10−6 𝜀𝜀𝑏𝑏 = −400 × 10−6 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝜀𝜀𝑐𝑐 − 𝜀𝜀𝑚𝑚 = 100 − −900 × 10−6 = 1000 × 10−6 𝜀𝜀𝑥𝑥 = 𝜀𝜀𝑏𝑏 = −400 × 10−6 𝜀𝜀𝑥𝑥 = 𝜀𝜀𝑐𝑐 + 𝜀𝜀𝑚𝑚 − 𝜀𝜀𝑏𝑏 = 100 + −900 − −400 × 10−6 = −400 × 10−6 Dados: 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑥𝑥 = 1000 × 10−6 𝜀𝜀𝑥𝑥 = −400 × 10−6 𝜀𝜀𝑥𝑥 = −400 × 10−6 EES022 – Introdução à Mecânica dos Sólidos Prova 2 – Solução Questão 2 (10 pontos) Resposta 45° 45° 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝜀𝜀1 = 𝜀𝜀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑅𝑅 𝜀𝜀2 = 𝜀𝜀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑅𝑅 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 𝑅𝑅 = 𝜀𝜀𝑥𝑥 − 𝜀𝜀𝑥𝑥 2 2 + 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑥𝑥 2 2 = −400 − (−400) 2 × 10−6 2 + 1000 × 10−6 2 2 𝜀𝜀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 1 2 𝜀𝜀𝑥𝑥 + 𝜀𝜀𝑥𝑥 = 1 2 −400 − 400 × 10−6 = −800 × 10−6 2 = −400 × 10−6 = (−400 + 500) × 10−6 = 100 × 10−6 = −400 − 500 × 10−6 = −900 × 10−6 𝑅𝑅 = 0 2 + 500 × 10−6 2 = 500 × 10−6 2 = 500 × 10−6 Deformações principais: tan 2𝜃𝜃𝑃𝑃 = 1000 × 10−6 −400 − (−400) × 10−6 = 1000 × 10−6 0 → ∞ tan 2𝜃𝜃𝑃𝑃 = 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑥𝑥 𝜀𝜀𝑥𝑥 − 𝜀𝜀𝑥𝑥 2𝜃𝜃𝑃𝑃 = tan−1 ∞ = ±90° 𝜃𝜃𝑃𝑃 = +45° 𝜀𝜀1 = 𝜀𝜀𝑐𝑐 𝜀𝜀2 = 𝜀𝜀𝑚𝑚 E. P. D. : 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑥𝑥 = 1000 × 10−6 𝜀𝜀𝑥𝑥 = −400 × 10−6 𝜀𝜀𝑥𝑥 = −400 × 10−6 𝜀𝜀1 = 100 × 10−6 𝜀𝜀2 = −900 × 10−6 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 Orientação do sistema principal: Resposta 𝜀𝜀𝑐𝑐 = 100 × 10−6 𝜀𝜀𝑚𝑚 = −900 × 10−6 𝜀𝜀𝑏𝑏 = −400 × 10−6 Dados: EES022 – Introdução à Mecânica dos Sólidos Prova 2 – Solução Questão 3 (15 pontos) E. P. T. : 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 𝜎𝜎𝑥𝑥 = 𝜎𝜎0 𝜎𝜎𝑥𝑥 = 2𝜎𝜎0 Tensões principais: 𝜏𝜏𝑃𝑃 = 0 𝜎𝜎1 = 2𝜎𝜎0 𝜎𝜎2 = 𝜎𝜎0 Não precisa calcular pois 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 e, portanto o estado de tensões original é também o estado de tensões principal, nesse caso, conjugado. Critério de falha de Tresca: 𝜎𝜎0 = 𝑝𝑝𝑝𝑝 2𝑡𝑡 = (0,5) 2(0,001) 𝑝𝑝 = 250 𝑝𝑝 𝑝𝑝 ≤ 0,36 MPa Critério de falha de Máxima Tensão: 𝜎𝜎𝑥𝑥1 = 1 2 𝜎𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝜎𝑥𝑥 + 1 2 𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑥𝑥 cos 2𝜃𝜃 + 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 sin 2𝜃𝜃 𝜎𝜎𝑥𝑥1 = 1 2 𝜎𝜎0 + 2𝜎𝜎0 + 1 2 𝜎𝜎0 − 2𝜎𝜎0 cos(120°) + (0) sin(120°) 0 𝜎𝜎𝑥𝑥1 = 3𝜎𝜎0 2 + − 𝜎𝜎0 2 − 1 2 = 3 2 + 1 4 𝜎𝜎0 = 6 + 1 4 𝜎𝜎0 = 7𝜎𝜎0 4 𝜎𝜎𝑥𝑥1 ≤ 𝜎𝜎𝑒𝑒 7𝜎𝜎0 4 ≤ 𝜎𝜎𝑒𝑒 𝜎𝜎0 = 𝑝𝑝𝑝𝑝 2𝑡𝑡 7𝑝𝑝𝑝𝑝 8𝑡𝑡 ≤ 𝜎𝜎𝑒𝑒 𝑝𝑝 ≤ 8𝜎𝜎𝑒𝑒𝑡𝑡 7𝑝𝑝 = 8 90 0,001 7(0,5) 𝑝𝑝 ≤ 0,206 MPa 𝑝𝑝 ≤ 0,206 MPa Resposta A pressão 𝑝𝑝 crítica é a menor das duas encontradas e o vaso de pressão falhará na sua linha de solda segundo o critério de falha de Máxima Tensão. 𝜏𝜏𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 = 𝜎𝜎1 − 𝜎𝜎2 2 ≤ 𝜎𝜎𝑒𝑒 2 𝜎𝜎1 − 𝜎𝜎2 ≤ 𝜎𝜎𝑒𝑒 2𝜎𝜎0 − 𝜎𝜎0 ≤ 𝜎𝜎𝑒𝑒 𝜎𝜎0 ≤ 𝜎𝜎𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝 2𝑡𝑡 ≤ 𝜎𝜎𝑒𝑒 𝑝𝑝 ≤ 2𝜎𝜎𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑝𝑝 = 2 90 0,001 0,5 𝜎𝜎𝑥𝑥1 = 7𝑝𝑝𝑝𝑝 8𝑡𝑡 = 7(0.5) 8(0.001) 𝑝𝑝 = 437,5 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑦𝑦 2𝜎𝜎0 2𝜎𝜎0 𝜎𝜎0 𝜎𝜎0 𝜎𝜎 = 𝜎𝜎𝑚𝑚 0 0 2𝜎𝜎𝑚𝑚 𝜃𝜃 = 60° 𝜎𝜎𝑒𝑒 = 90 MPa 𝜎𝜎0 = 𝑝𝑝𝑝𝑝 2𝑡𝑡 𝑝𝑝 = 500 mm 𝑡𝑡 = 1 mm