Aula 07 Eletromagnetismo- Cálculo do Potencial Elétrico

Fundamentos de Eletromagnetismo Segundo semestre 2024 Professor Paulo Sérgio Soares Guimarães Aula 07 Cálculo do Potencial elétrico 23 de outubro de 2024 quartafeira Turma M2 Aula passada definimos DIFERENÇA DE POTENCIAL ELÉTRICO 𝑽 𝑉 𝑉𝐵 𝑉𝐴 𝑈 𝑞 න 𝐴 𝐵 𝐸 𝑑Ԧ𝑙 Para definir a função potencial elétrico e não apenas a diferença de potencial é necessário escolher um ponto de referência onde V 0 Como em geral 𝐸 0 no infinito em geral 𝑽 𝒓 න 𝒓 𝑬 𝒅Ԧ𝒍 O potencial elétrico em um ponto 𝒓 é a energia necessária para trazer uma unidade de carga do infinito até o ponto 𝒓 Potencial elétrico é energia elétrica carga unidades de potencial elétrico são joule coulomb volt V 𝟏 V 𝟏 J C 𝑽 é a diferença de energia potencial elétrica por unidade de carga A B q 𝑉 𝑉𝐵 𝑉𝐴 1 V 𝑞 1602 1019 C 𝑒 módulo da carga de um elétron Uma unidade de energia útil o elétronvolt e V Variação de energia da carga e ao atravessar essa diferença de potencial de 1 V 𝑈 1602 1019 C 1 𝑉 1602 1019 J 1 𝑒V um elétronvolt é a variação de energia de uma unidade de carga fundamental 1602 176 634 1019 C ao atravessar uma diferença de potencial de 1 V 𝟏 𝒆V 𝟏 𝟔𝟎𝟐 𝟏𝟕𝟔 𝟔𝟑𝟒 𝟏𝟎𝟏𝟗 J Potencial elétrico devido à uma carga pontual q A B Ԧ𝑟𝐴 Ԧ𝑟𝐵 Ԧ𝑟 𝑑Ԧ𝑟 𝑑Ԧ𝑙 𝐸 Ԧ𝑟 1 4𝜋𝜀0 𝑞 𝑟2 Ƹ𝑟 𝑉 𝑉𝐵 𝑉𝐴 න 𝐴 𝐵 𝐸 𝑑Ԧ𝑙 𝐸 𝑑Ԧ𝑙 1 4𝜋𝜀0 𝑞 𝑟2 Ƹ𝑟 𝑑Ԧ𝑙 1 4𝜋𝜀0 𝑞 𝑟2 𝑑𝑙 cos 𝜃 𝜽 1 4𝜋𝜀0 𝑞 𝑟2 𝑑𝑟 𝑉 𝑉𝐵 𝑉𝐴 න 𝐴 𝐵 1 4𝜋𝜀0 𝑞 𝑟2 𝑑𝑟 1 4𝜋𝜀0 𝑞 1 𝑟 𝑟𝐴 𝑟𝐵 𝑉𝐵 𝑉𝐴 1 4𝜋𝜀0 𝑞 1 𝑟𝐵 1 𝑟𝐴 Escolhendo como referência ponto onde V 0 o infinito ou seja 𝑟𝐴 𝑽 𝒓 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒒 𝟏 𝒓 𝐸 Note que o resultado para a diferença de potencial 𝑉𝐵 𝑉𝐴 1 4𝜋𝜀0 𝑞 1 𝑟𝐵 1 𝑟𝐴 não depende do caminho feito entre os pontos A e B depende apenas dos pontos potencial de uma carga positiva x y energia potencial de uma carga Q colocada na distância r de q 𝑉 Ԧ𝑟 1 4𝜋𝜀0 𝑞 1 𝑟 𝑈 𝑄 𝑉 𝑄 1 4𝜋𝜀0 𝑞 1 𝑟 𝑈 𝑄 𝑉 𝑄𝑞 4𝜋𝜀0 1 𝑟 𝑉 Ԧ𝑟 න Ԧ𝑟 𝐸 𝑑Ԧ𝑙 O potencial criado por um conjunto de cargas pontuais é a soma dos potenciais individuais Princípio da superposição න Ԧ𝑟 𝐸1 𝐸2 𝐸3 𝑑Ԧ𝑙 Ԧ𝑟 𝐸1 𝑑Ԧ𝑙 Ԧ𝑟 𝐸2 𝑑Ԧ𝑙 Ԧ𝑟 𝐸3 𝑑Ԧ𝑙 𝑉1 𝑉2 𝑉3 Naturalmente a energia eletrostática U Q V também segue o princípio da superposição 𝑈 𝑄𝑉 𝑄𝑉1 𝑉2 𝑉3 𝑈1 𝑈2 𝑈3 Exemplo calcular o potencial elétrico total no ponto P de um sistema de duas cargas pontuais 𝑞1 200 106 C 𝑞2 600 106 C 𝑉 𝑃 1 4𝜋𝜀0 𝑞1 𝑑1 𝑞2 𝑑2 𝑑1 400 m 𝑑2 𝑟1 2 𝑟2 2 400 2 300 2 m Ԧ𝑟1 0 Ԧ𝑟2 300 m 𝑦 Ԧ𝑟𝑃 400 m 𝑥 Ԧ𝑑2 Ԧ𝑑1 1600 900 m 500 m 𝑉 𝑃 899 109 N m2 C2 200 106 C 400 m 600 106 C 500 m 𝑉 𝑃 629 103 V Calcular o potencial elétrico um escalar é mais fácil do que calcular o campo elétrico um vetor Sabemos calcular o potencial conhecido o campo elétrico 𝑉 Ԧ𝑟 න Ԧ𝑟 𝐸 𝑑Ԧ𝑙 E o inverso ou seja como obter 𝐸 Ԧ𝑟 conhecido o 𝑉 Ԧ𝑟 A diferença de potencial entre dois pontos separados por uma distância infinitesimal 𝑑Ԧ𝑙 é 𝑑𝑉 𝐸 𝑑Ԧ𝑙 Se o campo elétrico é uniforme ao longo de uma direção apenas por exemplo 𝐸 𝐸𝑥 𝑥 𝑑𝑉 𝐸 𝑑Ԧ𝑙 𝐸𝑥 𝑥 𝑑Ԧ𝑙 𝐸𝑥 𝑑𝑥 𝐸𝑥 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝐸 superficies equipotenciais 𝑿 𝒀 𝒁 𝒅Ԧ𝒍 Se o campo elétrico tem componentes em todas as três direções do espaço 𝐸 𝐸𝑥 𝑥 𝐸𝑦 𝑦 𝐸𝑧 Ƹ𝑧 𝑑𝑉 𝐸 𝑑Ԧ𝑙 𝐸𝑥 𝑥 𝐸𝑦 𝑦 𝐸𝑧 Ƹ𝑧 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑦 𝑦 𝑑𝑧 Ƹ𝑧 𝑑𝑉 𝐸𝑥𝑑𝑥 𝐸𝑦𝑑𝑦 𝐸𝑧𝑑𝑧 Ou seja 𝐸𝑥 𝑉 𝑥 𝐸𝑦 𝑉 𝑦 𝐸𝑧 𝑉 𝑧 Se conhecermos a função 𝑉 𝑥 𝑦 𝑧 podemos obter 𝐸 𝑥 𝑦 𝑧 simplesmente derivando 𝑉 Fazemos as derivadas parciais de 𝑉 𝑥 𝑦 𝑧 em relação a 𝑥 𝑦 e 𝑧 e colocamos os resultados como as respectivas componentes de 𝐸 𝐸 𝑥 𝑦 𝑧 𝑉 𝑥 𝑥 𝑉 𝑦 𝑦 𝑉 𝑧 Ƹ𝑧 Uma notação matemática mais elegante Podemos definir o operador gradiente 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑧 Ƹ𝑧 𝐸 𝑥 𝑦 𝑧 𝑉 𝑥 𝑥 𝑉 𝑦 𝑦 𝑉 𝑧 Ƹ𝑧 𝑉 𝑥 𝑦 𝑧 𝐸 Ԧ𝑟 𝑉 Ԧ𝑟 Por exemplo se 𝑉 𝑥 𝑦 𝑧 5𝑥2𝑦 𝑦2 𝑦𝑧 𝐸𝑥 𝑉 𝑥 2 5 𝑥𝑦 10𝑥𝑦 𝐸𝑦 𝑉 𝑦 5𝑥2 2𝑦 𝑧 𝐸𝑧 𝑉 𝑧 𝑦 𝐸 𝑥 𝑦 𝑧 10𝑥𝑦 𝑥 5𝑥2 2𝑦 𝑧 𝑦 𝑦 Ƹ𝑧 Outro exemplo calcular o potencial elétrico de um dipolo elétrico em um ponto sobre o eixo do dipolo à distância x do centro deste Dipolo elétrico duas cargas de mesma magnitude e sinais opostos separadas por d q q y x 𝑑 2 𝑑 2 𝑉 𝑉𝑞 𝑉𝑞 1 4𝜋𝜀0 𝑞 𝑥 𝑑 2 𝑞 𝑥 𝑑 2 𝑞 4𝜋𝜀0 𝑥 𝑑 2 𝑥 𝑑 2 𝑥2 𝑑 2 2 𝑞 4𝜋𝜀0 4𝑑 4𝑥2 𝑑2 𝑉 𝑞𝑑 𝜋𝜀0 1 4𝑥2 𝑑2 𝐸𝑥 𝑥 𝑦 𝑧 𝑉 𝑥 𝑥 𝑞𝑑 𝜋𝜀0 8𝑥 4𝑥2 𝑑2 2 𝑥 Para 𝒙 𝒅 𝑉 𝑥𝑑 𝑞𝑑 4𝜋𝜀0 1 𝑥2 e 𝐸 𝑥𝑑 𝑞𝑑 2𝜋𝜀0 1 𝑥3 𝑥 8𝑞𝑑 𝜋𝜀0 𝑥 4𝑥2 𝑑2 2 𝑥 𝐸𝑥 em um ponto sobre o eixo 𝑥 Como calcular o potencial elétrico para distribuições de carga contínuas r dq 𝑑𝑉 1 4𝜋𝜀0 𝑑𝑞 𝑟 Para achar o potencial total integrar 𝑑𝑉 sobre todo o volume do objeto carregado 𝑉 න 𝑑𝑉 1 4𝜋𝜀0 න 𝑑𝑞 𝑟 Integral é sobre o volume do objeto normalmente integral tripla Cálculo pode ser facilitado pela simetria e escolha de elemento de volume adequado Naturalmente se o campo elétrico é conhecido podese calcular o potencial da definição original 𝑉 Ԧ𝑟 න Ԧ𝑟 𝐸 𝑑Ԧ𝑙 Exemplo calcular o potencial elétrico em um ponto na altura z sobre o eixo de um anel de raio a que tem carga Q uniformente distribuída sobre o anel a a z Q dq Um pedaço infinitesimal do anel com carga dq cria um potencial no ponto P dado por P 𝑑𝑉 1 4𝜋𝜀0 𝑑𝑞 𝑟 O potencial total criado em P será dado pela soma sobre todos o anel 𝑉 න 𝑑𝑉 1 4𝜋𝜀0 න 𝑑𝑞 𝑟 Como 𝑟 é constante ou seja tem o mesmo valor para todos os pontos do anel 𝑟 𝑧2 𝑎2 𝑉 1 4𝜋𝜀0 1 𝑟 න 𝑑𝑞 1 4𝜋𝜀0 1 𝑟 𝑄 O campo elétrico em P é 𝐸 𝑉 𝑥 𝑥 𝑉 𝑦 𝑦 𝑉 𝑧 Ƹ𝑧 𝑉 𝑧 Ƹ𝑧 𝐸 𝑄 4𝜋𝜀0 𝑧 𝑧2 𝑎2 32 Ƹ𝑧 𝑉 1 4𝜋𝜀0 𝑄 𝑧2 𝑎2 Comparar com o resultado da questão 3 do TESTE 2 Mesmo resultado 𝑬𝒛 em um ponto sobre o eixo 𝒛 Exemplo 2 calcular o potencial elétrico em um ponto na altura z sobre o eixo de um disco de raio R que tem densidade de carga superficial uniforme 𝝈 z dr 𝑑𝑎 2𝜋𝑟 𝑑𝑟 Podemos usar o resultado do exemplo anterior onde encontramos que o potencial elétrico criado por um disco de raio r e carga Q sobre um ponto na altura z sobre o eixo do disco será 𝑉 1 4𝜋𝜀0 𝑄 𝑧2 𝑟2 Portanto o potencial dV criado pelo disco de raio r que tem carga 𝑑𝑞 𝜎 𝑑𝑎 𝜎 2𝜋𝑟 𝑑𝑟 será 𝑑𝑉 1 4𝜋𝜀0 𝜎 2𝜋𝑟 𝑑𝑟 𝑧2 𝑟2 Integrando sobre todo o disco ou seja somando os potenciais dV com r indo de 0 a R 𝑉 න 𝑑𝑉 𝜎 2𝜋 4𝜋𝜀0 න 0 𝑅 𝑟 𝑑𝑟 𝑧2 𝑟2 𝜎 2𝜀0 න 𝑧2 𝑧2𝑅2 𝑢12𝑑𝑢 𝑉 𝜎 2𝜀0 𝑧2 𝑅2 𝑧 𝝈 Mais um exemplo cilindro condutor infinito carregado com densidade linear de carga λ a λ s L z Simetria cílindrica 𝐸 Ԧ𝑟 𝐸 𝑠 Ƹ𝑠 න 𝐸 𝑑 Ԧ𝑎 𝑄𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝜀0 𝐸 2𝜋𝑠𝐿 𝜆𝐿 𝜀0 𝐸 𝑠 𝜆 2𝜋𝜀0 1 𝑠 Ƹ𝑠 Distribuição de carga vai até o infinito não podemos adotar 𝑉 0 Vamos tomar a superfície do fio cilindro s a como o ponto de referência 𝑉 𝑠 𝑎 0 𝑉 𝑉 𝑠 𝑉 𝑠 𝑎 න 𝑎 𝑠 𝐸 𝑑Ԧ𝑠 𝑉 𝑠 𝜆 2𝜋𝜀0 න 𝑎 𝑠 1 𝑠 𝑑𝑠 𝑉 𝑠 𝜆 2𝜋𝜀0 ln 𝑠 𝑎 Note que esse potencial está em coordenadas cilíndricas então cuidado ao tentar calcular o campo elétrico 𝐸 𝑉 Necessário usar o gradiente expresso nas coordenadas cilíndricas Um último exemplo simples uma esfera condutora de raio R carregada com carga Q R Q Condutor carga se distribui na superfície 𝐸 𝑟 𝑅 0 ver aula 06 Campo elétrico para 𝑟 𝑅 Lei de Gauss 𝐸 Ԧ𝑟 1 4𝜋𝜀0 𝑄 𝑟2 Ƹ𝑟 Potencial elétrico 𝑉 Ԧ𝑟 න Ԧ𝑟 𝐸 𝑑Ԧ𝑠 𝑉 Ԧ𝑟 1 4𝜋𝜀0 𝑄 1 𝑟 1 4𝜋𝜀0 𝑄 න 𝑟 1 𝑟2 𝑑𝑟 Na superfície da esfera 𝑉 𝑅 1 4𝜋𝜀0 𝑄 1 𝑅 mesmo potencial em todos os pontos da superfície 𝑉 𝑅 1 4𝜋𝜀0 𝑄 𝑅 𝑅 𝑅 1 𝜀0 𝑄 4𝜋𝑅2 𝑅 1 𝜀0 𝜎𝑅 Ou seja a densidade superficial de carga σ na superfície de uma esfera condutora de raio R é inversamente proporcional ao raio 𝝈 Τ 𝜺𝟎𝑽 𝑹