Aula 03 - Fundamentos do Eletromagnetismo - Campo Elétrico

Fundamentos de Eletromagnetismo Segundo semestre 2024 Professor Paulo Sérgio Soares Guimarães Aula 03 Campo elétrico 09 de outubro de 2024 quartafeira Turma M2 Nosso problema fundamental qual é a força sentida por uma carga de prova devido à uma dada distribuição de cargas e correntes Ԧ𝑟 Ԧ𝐹 Ԧ𝑟 Q Transformamos o problema de achar a força no problema de achar o campo elétrico Distribuição de cargas q1 q2 q3 cria um campo elétrico no espaço 𝑬 𝒓 𝑄 𝐸 Ԧ𝑟 q3 q2 q1 Ԧ𝑟1 Ԧ𝑟2 Ԧ𝑟3 O q4 Ԧ𝑟4 Campo elétrico de uma carga pontual 𝐸𝑛 Ԧ𝑟 1 4𝜋𝜀0 𝑞𝑛 𝑟𝑛2 Ƹ𝑟𝑛 𝜺𝟎 88542 1012 C2 Nm2 é a permitividade do vácuo LEI DE COULOMB 𝒓𝒏 é a distância entre o ponto Ԧ𝑟 e a carga 𝑞𝑛 𝒓𝒏 é o vetor unitário da direção Ԧ𝑟 Ԧ𝑟𝑛 𝒓𝟑 𝒓𝟒 O campo elétrico obedece o princípio da superposição o campo elétrico criado por N cargas é a soma vetorial dos campos individuais 𝐸 Ԧ𝑟 1 4𝜋𝜀0 𝑛1 𝑁 𝑞𝑛 𝑟𝑛 2 Ƹ𝑟𝑛 onde 𝑟𝑛 é a distância da nésima carga ao ponto Ԧ𝑟 Para uma distribuição contínua de cargas o campo elétrico em um ponto Ԧ𝑟 é calculado somando o campo elétrico das cargas infinitesimais 𝑞 que constituem o objeto carregado 𝐸 Ԧ𝑟 1 4𝜋𝜀0 𝑛 𝑞 𝑟𝑛 2 Ƹ𝑟𝑛 𝑞𝑑𝑞 1 4𝜋𝜀0 ම 𝑑𝑞 r2 Ƹr 𝒅𝒒 𝝆 𝒓 𝒅𝑽 Ԧr r 𝑬 Ԧ𝑟 𝑟 Ԧr Ԧ𝑟 𝑟 Para calcular a integral precisamos conhecer a densidade de carga 𝝆 𝒓 a carga por unidade de volume em cada ponto 𝝆 𝒓 𝒅𝒒 𝒅𝑽 dx dy dz 𝝆 𝒙 𝒚 𝒛 𝒅𝒒 𝝆 𝒙 𝒚 𝒛 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 𝒅𝑽 é o elemento de volume no ponto xyz Em coordenadas cartesianas dV dx dy dz 𝐸 Ԧ𝑟 1 4𝜋𝜀0 න 𝑥𝑖 𝑥𝑓 න 𝑦𝑖 𝑦𝑓 න 𝑧𝑖 𝑧𝑓 𝑑𝑞 r2 Ƹr 𝑬 𝒓 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 න 𝒙𝒊 𝒙𝒇 න 𝒚𝒊 𝒚𝒇 න 𝒛𝒊 𝒛𝒇 𝝆 𝒙 𝒚 𝒛 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 𝒙 𝒙 𝟐 𝒚 𝒚 𝟐 𝒛 𝒛 𝟐 𝒙 𝒙 𝒙 𝒚 𝒚 𝒚 𝒛 𝒛 𝒛 𝒙 𝒙 𝟐 𝒚 𝒚 𝟐 𝒛 𝒛 𝟐 Para objetos carregados com formatos nãosimétricos a integral será muito complicada dq 𝝆 𝒓 𝒅𝑽 𝒅𝑬 Ԧr Exemplo 1 aula passada Uma barra de comprimento L está uniformemente carregada com carga por unidade de comprimento λ Calcule o campo elétrico em um ponto P localizado à distância a da barra ao longo do eixo desta mas agora do outro lado 𝑑𝐸 1 4𝜋𝜀0 𝑑𝑞 𝑑2 𝑥 𝐸 𝑃 1 4𝜋𝜀0 න 0 𝐿 𝜆 𝑑𝑥 𝐿 𝑎 𝑥 2 𝑥 𝑑𝑞 𝜆 𝑑𝑥 𝐸 𝑃 𝑥 4𝜋𝜀0 𝜆 න 𝐿𝑎 𝑎 𝑑𝑢 𝑢2 𝐸 𝑃 𝑥 4𝜋𝜀0 𝜆 1 𝑎 1 𝐿 𝑎 𝐸 𝑃 𝜆 𝐿 4𝜋𝜀0 𝑥 𝑎 𝑎 𝐿 𝑥 4𝜋𝜀0 𝜆 𝐿 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝐿 1 4𝜋𝜀0 𝜆 1 𝑢 𝐿𝑎 𝑎 𝑥 L a x y dx P 𝑑𝐸 x d Lax 𝑑 𝐿 𝑎 𝑥 Definir 𝑢 𝐿 𝑎 𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 TESTE 01 Questão 1 Elétrons tem carga negativa remover elétrons deixa objeto com excesso de cargas positivas TESTE 01 Questão 2 1 e 2 se atraem 1 e 2 tem cargas de sinais diferentes 1 e 3 se repelem 3 tem carga de mesmo sinal que 1 2 e 3 se atraem Situação possível 1 e 3 positivas 2 negativa TESTE 01 Questão 3 Na situação descrita o que ocorre é a transferência de carga elétrica entre cabelo e balão carga passa de um para o outro Mas a carga total continua a mesma Carga elétrica se conserva Exemplo 2 Um disco de raio R tem uma densidade de carga superficial uniforme σ Calcule o campo elétrico em um ponto P sobre o eixo perpendicular ao disco à distância x do centro deste Elemento de área 𝑑𝑎 2𝜋𝑟 𝑑𝑟 Elemento de carga será 𝑑𝑞 𝜎 𝑑𝑎 2𝜋𝜎𝑟𝑑𝑟 Pela simetria do problema o campo 𝐸 resultante é perpendicular ao disco ao longo do eixo deste 𝑑𝐸 𝑃 1 4𝜋𝜀0 2𝜋𝜎 𝑟𝑑𝑟 𝑥2𝑟2 cos Θ 𝑥 𝑥2 𝑟2 cos Θ 𝑥 𝑥2𝑟2 𝐸 𝑃 𝑥 4𝜋𝜀0 𝜋𝑥𝜎 න 0 𝑅 2 𝑟 𝑑𝑟 𝑥2 𝑟2 32 𝑢 𝑟2 𝑑𝑢 2𝑟𝑑𝑟 𝐸 𝑃 𝑥 4𝜋𝜀0 𝜋𝑥𝜎 න 0 𝑅2 𝑑𝑢 𝑥2 𝑢 32 𝑥 4𝜋𝜀0 𝜋𝑥𝜎 𝑥2 𝑢 12 12 0 𝑅2 𝐸 𝑃 𝑥 4𝜋𝜀0 2𝜋𝑥𝜎 1 𝑥 1 𝑥2 𝑅2 12 𝐸 𝑃 𝜎 2𝜀0 𝑥 1 𝑥 1 𝑥2𝑅2 12 𝑥 Importante notar que a integral foi simplificada pela escolha inteligente do elemento de área 𝒅𝒂 𝟐𝝅𝒓 𝒅𝒓 disco visto de frente r dr fazendo r variar de 0 a R varremos todo o disco todos os pontos do anel estão à mesma distância do ponto P pela simetria do problema o campo elétrico resultante é perpendicular ao disco Outros elementos de área podem ser escolhidos facilitando ou dificultando a integral Outra possibilidade disco visto de frente dr fazendo r variar de 0 a R e variar de 0 a 2 varremos todo o disco todos os pontos do anel estão à mesma distância do ponto P disco visto de perfil r R x P Representação do campo elétrico linhas de campo desenhar linhas paralelas ao campo elétrico em cada ponto do espaço Lembrar que o campo elétrico é contínuo Enquanto o número de linhas é discreto Número de linhas N que sai chega de carga q q é proporcional a q Número de linhas por unidade de área em casca esférica de raio r com centro na carga é 𝑵 𝟒𝝅𝒓𝟐 𝑬 𝟏 𝒓𝟐 ou seja como previsto pela Lei de Coulomb o número de linhas por unidade de área através de uma superfície perpendicular às linhas é proporcional ao modulo do campo elétrico em cada ponto Duas cargas positivas iguais q Em qual ponto o campo é mais intenso A ou B A B campo mais intenso na placa A mais linhas por unidade de área 𝑬 Se a área da placa B é maior que a área de A numa proporção tal que o número de linhas de campo que atravessa A é igual ao número de linhas que atravessa B FLUXO por A FLUXO por B 2q Fluxo de campo elétrico através de uma superfície é um número proporcional ao número de linhas de campo elétrico que atravessa aquela superfície 𝛷𝐸 𝑁 Como 𝐸 𝑁 𝐴 𝛷𝐸 𝐸 𝐴 Superfície de área A perpendicular a 𝐸 𝐸 𝛷𝐸 𝐸 𝐴 Superfície de área A com normal em ângulo 𝜃 com 𝐸 𝐸 𝛷𝐸 𝐸 𝐴 cos 𝜃 O fluxo do campo elétrico através de uma superfície é proporcional à componente do campo que é perpendicular à superfície ou seja proporcional a 𝐸 cos 𝜃 Em uma superfície qualquer o campo elétrico pode ter valores diferentes em cada ponto 𝐸𝑖 fluxo em cada ponto é Φ𝐸 𝐸𝑖 𝐴𝑖 cos 𝜃 fazendo 𝐴𝑖 da 𝑑Φ𝐸 𝐸𝑖 𝑑𝑎 cos 𝜃 𝒅𝜱𝑬 𝑬 𝒅𝒂 O vetor 𝒅𝒂 tem módulo 𝒅𝒂 igual à área do elemento de área no local direção perpendicular à superfície no ponto e sentido para fora da superfície O fluxo de campo elétrico total através de uma superfície S é dado pela integral de 𝒅𝜱𝑬 sobre toda a superfície 𝜱𝑬 න 𝑺 𝑬 𝒅𝒂