Aula 08 Eletromagnetismo - Potencial Elétrico e Capacitores

Fundamentos de Eletromagnetismo Segundo semestre 2024 Professor Paulo Sérgio Soares Guimarães Aula 08 Potencial elétrico Capacitores 30 de outubro de 2024 quartafeira Turma M2 Sistema de coordenadas esféricas FIGURE 136 Introduction to electrodynamics David J Griffiths Reed College Fourth edition dr r a r dθ dθ b rsinθ dϕ θ r dϕ rsinθ c FIGURE 138 TESTE 04 Q1 Um cilindro muito longo pode ser considerado de comprimento infinito de raio R está uniformemente carregado com densidade de carga volumétrica uniforme ρ como mostra a figura Calcule o campo elétrico a uma distância r do eixo do cilindro onde r R SOLUÇÃO Simetria cilíndrica 𝐸 Ԧ𝑟 𝐸 𝑟 Ƹ𝑟 Lei de Gauss ׯ 𝐸 𝑑 Ԧ𝑎 𝑞𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝜀0 L ׯ 𝐸 𝑑 Ԧ𝑎 𝐸 2𝜋𝑟𝐿 𝑞𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝜌 𝑑𝑉 𝜌 𝑑𝑉 𝜌 𝜋𝑟2𝐿 𝐸 2𝜋𝑟𝐿 1 𝜺𝟎 𝜌 𝜋𝑟2𝐿 𝑬 𝒓 𝝆𝒓 𝟐𝜺𝟎 𝒓 TESTE 04 Q2 SOLUÇÃO Simetria esférica 𝐸 Ԧ𝑟 𝐸 𝑟 Ƹ𝑟 Lei de Gauss ׯ 𝐸 𝑑 Ԧ𝑎 𝑞𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝜀0 dentro e fora da casca ׯ 𝐸 𝑑 Ԧ𝑎 𝐸 4𝜋𝑟2 Dentro da casca esférica r R 𝑞𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 0 𝑬 𝒓 𝑹 𝟎 r Fora da casca esférica r R 𝑞𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑄 𝑬 𝒓 𝑹 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝑸 𝒓𝟐 𝒓 TESTE 04 Q3 SOLUÇÃO Princípio da superposição 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐸 𝐸 𝐸 𝜌 3𝜀0 Ԧ𝑟 𝐸 𝜌 3𝜀0 Ԧ𝑟 Ԧ𝑑 𝒓 𝐸𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒çã𝑜 𝜌 3𝜀0 Ԧ𝑟 𝜌 3𝜀0 Ԧ𝑟 𝜌 3𝜀0 Ԧ𝑑 𝐸 𝜌 3𝜀0 Ԧ𝑑 DIFERENÇA DE POTENCIAL ELÉTRICO 𝑽 𝑉 𝑉𝐵 𝑉𝐴 𝑈 𝑞 න 𝐴 𝐵 𝐸 𝑑Ԧ𝑠 Em geral 𝐸 0 no infinito então em geral podemos adotar o ponto de referência para o qual V 0 no infinito 𝑽 𝒓 න 𝒓 𝑬 𝒅𝒔 Escolhendo como referência o infinito o potencial de uma carga pontual q é dado por 𝑽 𝒓 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒒 𝟏 𝒓 Vimos também como calcular o potencial elétrico para distribuições de carga contínuas 𝑑𝑉 1 4𝜋𝜀0 𝑑𝑞 𝑟 dq Ԧ𝑟 𝑽 න 𝒅𝑽 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 න 𝒅𝒒 𝒓 Calculamos o potencial elétrico em algumas situações a a z Q dq 𝑉 1 4𝜋𝜀0 𝑄 𝑧2 𝑎2 em um ponto na altura z sobre o eixo de um disco de raio R que tem densidade de carga superficial uniforme 𝝈 𝝈 z 𝑑𝑎 2𝜋𝑟 𝑑𝑟 𝑉 𝜎 2𝜀0 𝑧2 𝑅2 𝑧 em um ponto na altura z sobre o eixo de um anel de raio a que tem carga Q uniformente distribuída sobre o anel em um ponto à distância 𝑠 do eixo de um cilindro condutor infinito carregado com densidade linear de carga λ a λ s z 𝑉 𝑠 𝜆 2𝜋𝜀0 ln 𝑠 𝑎 Vimos também como calcular o campo elétrico 𝐸 𝑥 𝑦 𝑧 a partir do potencial ou seja a partir da função potencial 𝑉 𝑥 𝑦 𝑧 𝐸 𝑥 𝑦 𝑧 𝑉 𝑥 𝑥 𝑉 𝑦 𝑦 𝑉 𝑧 Ƹ𝑧 𝐸 Ԧ𝑟 𝑉 Ԧ𝑟 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑧 Ƹ𝑧 Ou seja uma vez calculado o potencial elétrico uma função escalar basta derivar para encontrar o campo elétrico Finalmente calculamos o potencial elétrico em uma esfera condutora de raio R carregada com carga Q R Q Condutor carga se distribui na superfície 𝐸 𝑟 𝑅 0 Campo elétrico para 𝒓 𝑹 Lei de Gauss 𝐸 Ԧ𝑟 1 4𝜋𝜀0 𝑄 𝑟2 Ƹ𝑟 Potencial elétrico 𝑉 Ԧ𝑟 න Ԧ𝑟 𝐸 𝑑Ԧ𝑠 𝑉 Ԧ𝑟 1 4𝜋𝜀0 𝑄 1 𝑟 1 4𝜋𝜀0 𝑄 න 𝑟 1 𝑟2 𝑑𝑟 Na superfície da esfera 𝑉 𝑅 1 4𝜋𝜀0 𝑄 1 𝑅 mesmo potencial em todos os pontos da esfera 𝑉 𝑅 1 4𝜋𝜀0 𝑄 𝑅 1 𝜀0 𝑄 4𝜋𝑅2 𝑅 1 𝜀0 𝜎𝑅 Ou seja a densidade superficial de carga σ na superfície de uma esfera condutora de raio R é inversamente proporcional ao raio 𝝈 Τ 𝜺𝟎𝑽 𝑹 𝑅 𝑅 A densidade de carga na superfície de um condutor carregado com carga Q é 𝝈 𝜺𝟎𝑽 𝑹 Quanto menor o raio maior a densidade de carga Q Poder das pontas Efeito corona ionização das moléculas de ar próximas da região com campo elétrico alto pontas elétrons livres recombinando com as moléculas ionizadas levam à emissão de luz descarga ou brilho corona 𝐸 𝜎 𝜀0 𝑛 Na superfície de um condutor ver aula 06 Um arranjo de dois condutores de qualquer formato carregados com cargas de mesmo modulo e sinais contrários é chamado de CAPACITOR 𝑬 A diferença de potencial entre os condutores será 𝑉 𝑉𝐵 𝑉𝐴 න 𝐴 𝐵 𝐸 𝑑Ԧ𝑠 Difícil de calcular em geral pois 𝐸 pode ser muito complicado Mas qualquer que seja 𝐸 sempre 𝑬 𝑸 𝑉 න 𝐴 𝐵 𝐸 𝑑Ԧ𝑠 𝑄 Chamamos a constante de proporcionalidade de C CAPACITÂNCIA 𝑪 𝑸 𝑽 Unidades no SI 𝑪 𝑽 𝑭 farad 𝜇𝐹 𝑚𝑖𝑐𝑟𝑜𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑 𝑝𝐹 𝑝𝑖𝑐𝑜𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑 Capacitância 𝑪 𝑸 𝑽 Usual dizer que Q é a carga no capacitor apesar da carga total ser zero Usual chamar a diferença de potencial 𝑉 de voltagem Para calcular a capacitância em geral calculamos a diferença de potencial entre os dois condutores que formam o capacitor as placas do capacitor para uma carga hipotética Q a constante de proporcionalidade entre 𝑽 e Q é a capacitância Exemplo capacitor de placas paralelas 𝑬 Longe das bordas o campo elétrico entre as placas é 𝐸 𝜎 𝜀0 𝑛 1 𝜀0 𝑄 𝐴 Ƹ𝑧 Q Q d A A 𝑬 𝝈 𝜺𝟎 𝒏 𝑉 𝑉 𝑉 න 1 𝜀0 𝑄 𝐴 Ƹ𝑧 𝑑𝑧 Ƹ𝑧 1 𝜀0 𝑄 𝐴 න 𝑑𝑧 1 𝜀0 𝑄 𝐴 𝑑 𝑉 1 𝜀0 𝑑 𝐴 𝑄 Pela definição de capacitância 𝐶 𝑄 𝑉 𝑪 𝜺𝟎 𝑨 𝒅 capacitância não depende da carga ou diferença de potencial no capacitor Diferença de potencial entre as placas é Capacitor de placas paralelas SE distância entre as placas é muito menor que o tamanho destas 𝒅 𝑨 𝑬 𝝈 𝜺𝟎 𝒏 Mais um exemplo capacitor esférico Duas cascas esféricas concêntricas com raios a e b carregadas com Q e Q respectivamente Lei de Gauss aplicada em uma casca esférica de raio r com 𝒂 𝒓 𝒃 fornece 𝐸 𝑎 𝑟 𝑏 1 4𝜋𝜀0 𝑄 𝑟2 Ƹ𝑟 Diferença de potencial entre as esferas placas é 𝑉 𝑉 𝑉 න 𝑎 𝑏 1 4𝜋𝜀0 𝑄 𝑟2 Ƹ𝑟 𝑑𝑟 Ƹ𝑟 𝑉 𝑄 4𝜋𝜀0 න 𝑎 𝑏 1 𝑟2 𝑑𝑟 𝑄 4𝜋𝜀0 1 𝑟 𝑏 𝑎 𝑄 4𝜋𝜀0 1 𝑎 1 𝑏 𝑪 𝑸 𝑽 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝒂𝒃 𝒃 𝒂 Associações de capacitores representação de um capacitor em circuitos elétricos representação de uma bateria em circuitos elétricos capacitores ligados em paralelo 𝑉 fios condutores potencial é o mesmo ao longo de todo o fio 𝑉 𝑉1 𝑉2 capacitores ligados em paralelo capacitor equivalente 𝑪𝒆𝒒 𝑉 𝑉1 𝑉2 𝑄 𝐶 𝑉 da definição de C 𝑪𝒆𝒒 𝑉 𝑄 𝑉 𝑄1 𝑄2 𝐶1 𝐶2 𝑄 𝑄1 𝑄2 𝐶𝑒𝑞 𝑉 𝐶1𝑉 𝐶2𝑉 𝑪𝒆𝒒 𝑪𝟏 𝑪𝟐 capacitores em paralelo Capacitores ligados em paralelo a capacitância equivalente é a soma das capacitâncias 𝑪𝒆𝒒 𝑪𝟏 𝑪𝟐 𝑪𝟑 𝑪𝟒 Associações de capacitores capacitores ligados em série 𝑪𝒆𝒒 𝑉 𝑄 𝑄 𝑄 𝑉 𝐶1 𝐶2 A bateria transfere carga da placa da esquerda de um capacitor para a placa da direita do outro ou viceversa Logo a carga é a mesma nos dois capacitores mas a diferença de potencial é dividida 𝑄 𝑄1 𝑄2 e 𝑉 𝑉1 𝑉2 Da definição de capacitância 𝑄 𝐶 𝑉 𝑄 𝐶𝑒𝑞 𝑄 𝐶1 𝑄 𝐶2 1 𝐶𝑒𝑞 1 𝐶1 1 𝐶2 𝟏 𝑪𝒆𝒒 𝟏 𝑪𝟏 𝟏 𝑪𝟐 𝟏 𝑪𝟑 𝟏 𝑪𝟒 Capacitores ligados em série