Aula 02 Eletromagnetismo - Forca Elétrica e Campo Elétrico

Fundamentos de Eletromagnetismo Segundo semestre 2024 Professor Paulo Sérgio Soares Guimarães Aula 02 Força elétrica Campo elétrico 02 de outubro de 2024 quartafeira Turma M2 Nosso problema fundamental qual é a força sentida por uma carga de prova devido à uma dada distribuição de cargas e correntes q3 q2 q1 Ԧ𝑟1 Ԧ𝑟2 Ԧ𝑟3 Ԧ𝑟𝑥 Ԧ𝑟 Ԧ𝐹 Ԧ𝑟 Q I O Qual é a magnitude direção e sentido dessa força Vamos nos limitar primeiro ao caso mais simples apenas duas cargas ambas em repouso Experimentos Coulomb e outros mostram que q2 q1 Ԧ𝑟1 Ԧ𝑟2 O Caso mais simples possível duas cargas elétricas em repouso Ԧr Ԧr 𝒓𝟐 𝒓𝟏 Ԧ𝐹 1 Ԧr 2 1 r2 Ou seja a força entre as duas cargas é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas Outra constatação feita a partir dos resultados de muitos experimentos Ԧ𝐹 𝐹 𝑞1𝑞2 a força entre as duas cargas é proporcional ao produto das cargas E também a direção da força é ao longo da linha que vai de uma carga à outra Ԧ𝐹 𝐹 Ƹ𝑟 𝐹 𝒓𝟐 𝒓𝟏 𝒓𝟐 𝒓𝟏 𝐹 Ƹr Note que se cargas de sinal diferente Ԧ𝐹 0 se cargas de mesmo sinal Ԧ𝐹 0 força atrativa força repulsiva Juntando as três observações experimentais Ԧ𝐹 𝐾 𝑞1𝑞2 r2 Ƹr K é uma constante A constante K depende das unidades que forem usadas para medir carga elétrica força e distância No Sistema Internacional SI carga em coulombs C força em newtons N distâncias em metros m 𝑲 𝟖 𝟗𝟖75 𝟏𝟎𝟗 Nm2 C2 Ԧr 𝒓𝟐 𝒓𝟏 r Ԧ𝐹 𝐾 𝑞1𝑞2 r2 Ƹr No SI 𝑲 𝟖 𝟗𝟖75 𝟏𝟎𝟗 Nm2 C2 No Sistema CGS centímetro grama segundo 𝐾 1 Vamos usar o SI Parece mais complicado mas como veremos depois é bem mais simples No SI usual escrever 𝑲 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝜀0 88542 1012 C2 Nm2 é a permitividade do vácuo Ficamos então com a LEI DE COULOMB Ԧ𝐹 1 4𝜋𝜀0 𝑞1𝑞2 r2 Ƹr Ԧ𝐹 1 4𝜋𝜀0 𝑞1𝑞2 r2 Ƹr A Lei de Coulomb é um postulado é uma expressão matemática de resultados experimentais E se tivermos mais de duas cargas elétricas Lembrar que ela é válida no caso em que ambas as cargas estão em repouso Mais uma observação experimental a força que a carga q1 faz sobre q2 independe da presença de outras cargas a força total sobre uma carga é a soma vetorial das forças feitas por cada uma das outras cargas separadamente Ԧ𝐹𝑞1 Ԧ𝐹𝑞1𝑞2 Ԧ𝐹𝑞1𝑞3 Ԧ𝐹𝑞1𝑞4 Ԧ𝐹𝑞1𝑞5 Ԧ𝐹𝑞1𝑞6 Ԧ𝐹𝑞1 1 4𝜋𝜀0 𝑞1𝑞2 𝑟12 2 Ƹ𝑟12 1 4𝜋𝜀0 𝑞1𝑞3 𝑟13 2 Ƹ𝑟13 1 4𝜋𝜀0 𝑞1𝑞4 𝑟14 2 Ƹ𝑟14 Ԧ𝐹𝑞1 1 4𝜋𝜀0 𝑞1𝑞2 𝑟12 2 Ƹ𝑟12 1 4𝜋𝜀0 𝑞1𝑞3 𝑟13 2 Ƹ𝑟13 1 4𝜋𝜀0 𝑞1𝑞4 𝑟14 2 Ƹ𝑟14 Princípio da superposição a força resultante sobre uma carga é a soma vetorial de todas forças que atuam sobre ela CAMPO ELÉTRICO A força elétrica age à distância quer dizer não há contato físico entre os objetos carregados as cargas similar à força gravitacional Vamos definir o campo elétrico no ponto Ԧ𝑟 𝑬 𝒓 𝑭𝒒𝟏 𝒒𝟏 𝐸 Ԧ𝑟1 Ԧ𝐹𝑞1 𝑞1 1 4𝜋𝜀0 𝑞2 𝑟12 2 Ƹ𝑟12 1 4𝜋𝜀0 𝑞3 𝑟13 2 Ƹ𝑟13 1 4𝜋𝜀0 𝑞4 𝑟14 2 Ƹ𝑟14 Conceito de campo as outras cargas criam um campo no espaço que é revelado pela força que a carga 𝑞1 sente Princípio da superposição Pela definição as unidades de campo elétrico no SI são newton coulomb N C A direção e sentido do campo elétrico em um ponto são pela definição a mesma direção e sentido da força resultante sobre uma carga elétrica de prova positiva naquele ponto A carga de prova tem de ser pequena o suficiente para não modificar a distribuição de carga que provoca o campo elétrico Naturalmente o campo elétrico também obedece o princípio da superposição 𝐸 Ԧ𝑟1 Ԧ𝐹𝑞1 𝑞1 1 4𝜋𝜀0 𝑞2 𝑟12 2 Ƹ𝑟12 1 4𝜋𝜀0 𝑞3 𝑟13 2 Ƹ𝑟13 1 4𝜋𝜀0 𝑞4 𝑟14 2 Ƹ𝑟14 𝐸 Ԧ𝑟 1 4𝜋𝜀0 𝑛1 𝑁 𝑞𝑛 𝑟𝑛 2 Ƹ𝑟𝑛 onde 𝑟𝑛 é a distância da nésima carga ao ponto Ԧ𝑟 O que fazer para calcular o campo elétrico criado por um grande número de cargas Uma esfera com uma carga negativa de 1 C tem por exemplo 1 𝐶 16021019𝐶 6 1018 elétrons q A granulação da carga elétrica é tal que podemos nesses casos considerar que a distribuição de carga elétrica é contínua constituída de inúmeros pedacinhos q O campo elétrico em um ponto Ԧ𝑟 é calculado somando o campo elétrico das cargas infinitesimais 𝑞 que constituem o objeto carregado No limite em que q 0 ou seja qdq a somatória passa a ser uma integral sobre o objeto 𝐸 Ԧ𝑟 1 4𝜋𝜀0 𝑛 𝑞 𝑟𝑛 2 Ƹ𝑟𝑛 𝑞0 1 4𝜋𝜀0 ම 𝑑𝑞 𝑟2 Ƹ𝑟 Integral tripla porque é uma integral sobre todo o volume do objeto 𝐸 Ԧ𝑟 1 4𝜋𝜀0 න 𝑥𝑖 𝑥𝑓 න 𝑦𝑖 𝑦𝑓 න 𝑧𝑖 𝑧𝑓 𝑑𝑞 𝑟2 Ƹ𝑟 𝐸 Ԧ𝑟 1 4𝜋𝜀0 න 𝑥𝑖 𝑥𝑓 න 𝑦𝑖 𝑦𝑓 න 𝑧𝑖 𝑧𝑓 𝑑𝑞 𝑟2 Ƹ𝑟 Para calcular a integral precisamos saber a quantidade de carga em cada ponto ou seja precisamos da densidade de carga 𝝆 𝒓 densidade de carga 𝝆 𝒓 é a carga por unidade de volume em cada ponto 𝝆 𝒓 𝒅𝒒 𝒅𝑽 A carga infinitesimal em um ponto Ԧ𝑟 de coordenadas x y z é 𝒅𝒒 𝝆 𝒓 𝒅𝑽 𝝆 𝒙 𝒚 𝒛 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 dq dx dy dz 𝝆 𝒙 𝒚 𝒛 elemento de volume no ponto xyz 𝒅𝒒 𝝆 𝒙 𝒚 𝒛 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 Se o objeto carregado é tridimensional um volume temos a carga por unidade de volume 𝝆 𝒓 𝒅𝒒 𝒅𝑽 onde dV dx dy dz e a integral que temos de fazer para calcular o campo elétrico é uma integral de volume Se o objeto carregado é bidimensional uma superfície temos a carga por unidade de área 𝝈 𝒓 𝒅𝒒 𝒅𝑨 onde dA dx dy e a integral que temos de fazer para calcular o campo elétrico é uma integral de superfície Se o objeto carregado é unidimensional uma linha temos a carga por unidade de comprimento 𝝀 𝒓 𝒅𝒒 𝒅𝒍 onde dl dx e a integral que temos de fazer para calcular o campo elétrico é uma integral de linha Exemplo Uma barra de comprimento L está uniformemente carregada com carga por unidade de comprimento λ Calcule o campo elétrico em um ponto P localizado à distância a da barra ao longo do eixo desta à esquerda da barra 𝑑𝐸 1 4𝜋𝜀0 𝑑𝑞 𝑥2 𝑥 𝐸 1 4𝜋𝜀0 න 𝑎 𝑎𝐿 𝜆 𝑑𝑥 𝑥2 𝑥 𝑑𝑞 𝜆 𝑑𝑥 𝐸 𝑃 𝑥 4𝜋𝜀0 𝜆 න 𝑎 𝑎𝐿 𝑑𝑥 𝑥2 𝐸 𝑃 𝑥 4𝜋𝜀0 𝜆 1 𝑎 𝐿 1 𝑎 𝐸 𝑃 𝜆 𝐿 4𝜋𝜀0 𝑥 𝑎 𝑎 𝐿 𝑥 4𝜋𝜀0 𝜆 𝑎 𝑎 𝐿 𝑎 𝑎 𝐿 1 4𝜋𝜀0 𝜆 1 𝑥 𝑎 𝑎𝐿 𝑥 L 𝒅𝑬