Aula 06 Eletromagnetismo - Aplicações da Lei de Gauss e Potencial Elétrico

Fundamentos de Eletromagnetismo Segundo semestre 2024 Professor Paulo Sérgio Soares Guimarães Aula 06 Aplicações da Lei de Gauss Potencial elétrico 21 de outubro de 2024 segundafeira Turma M2 λ P L L dq r z x 𝐸 න 𝑑𝐸 1 4𝜋𝜀0 න 𝑑𝑞 𝑟2 Ƹ𝑟 𝑑𝑞 𝜆 𝑑𝑥 𝑟2 𝑥2 𝑧2 pela simetria do problema o campo resultante é na vertical direção Ƹ𝑧 𝑑𝐸 𝜃 𝐸 1 4𝜋𝜀0 න 𝐿 𝐿 𝜆 𝑑𝑥 𝑥2 𝑧2 cos 𝜃 Ƹ𝑧 1 4𝜋𝜀0 න 𝐿 𝐿 𝑧 𝜆 𝑑𝑥 𝑥2 𝑧2 32 Ƹ𝑧 4𝜋𝜀0 2 𝑧 𝐿 𝐿2 𝑧2 Ƹ𝑧 cos 𝜃 𝑧 𝑟 TESTE 03 Questão 1 Uma barra estreita de comprimento 2L está carregada uniformemente com densidade linear de carga λ como mostra a figura Calcular o campo elétrico no ponto P a uma distância z acima do centro da barra lambda Não temos simetria cilíndrica A barra é finita 2𝜋𝜀0 Ƹ𝑧 𝑧 𝐿 𝐿2 𝑧2 Na aula 04 resolvemos esse mesmo problema mas para um fio infinito usando a lei de Gauss Fio infinito simetria cilíndrica fácil resolver a integral na lei de Gauss Compare os dois resultados fazendo 𝑳 na expressão acima TESTE 03 Questão 2 Uma casca esférica de raio R e espessura infinitesimal está carregada eletricamente com carga elétrica total Q distribuída uniformemente sobre a sua superfície como mostra a figura Calcule o campo elétrico dentro e fora da casca esférica SOLUÇÃO Simetria esférica 𝐸 Ԧ𝑟 𝐸 𝑟 Ƹ𝑟 Lei de Gauss ׯ 𝐸 𝑑 Ԧ𝑎 𝑞𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝜀0 dentro e fora da casca ׯ 𝐸 𝑑 Ԧ𝑎 𝐸 4𝜋𝑟2 Dentro da casca esférica r R 𝑞𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 0 𝑬 𝒓 𝑹 𝟎 Fora da casca esférica r R 𝑞𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑄 𝑬 𝒓 𝑹 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝑸 𝒓𝟐 𝒓 r TESTE 03 Questão 3 Uma carga elétrica pontual q está localizada no centro de um anel circular de raio b Esse anel tem densidade de carga linear λ uniformemente distribuída no anel Uma esfera de raio a b está também centrada na carga q como mostra a figura O fluxo de campo elétrico através da esfera de raio a é 𝒒 𝜺𝟎 Explicação a Lei de Gauss nos diz que o fluxo de campo elétrico através de uma superfície qualquer é igual à carga elétrica contida dentro da superfície multiplicada por 1 𝜀0 Um problema do livro do Moysés Nussenzweig uma esfera uniformemente carregada com densidade de carga volumétrica constante contém em seu interior uma cavidade esférica Calcule o campo elétrico dentro dessa cavidade esférica O vetor 𝒅 mostrado na figura liga os centros das duas esferas 𝒅 Princípio da superposição o campo elétrico total de duas distribuições de carga é a soma vetorial dos campos elétricos produzidos por cada distribuição de carga individualmente Em uma aula anterior Aula 03 calculamos o campo elétrico no interior de uma esfera sólida uniformemente carregada com densidade de carga volumétrica constante 𝑬 𝒓 𝝆 𝟑𝜺𝟎 𝒓 𝒓 𝝆 𝟑𝜺𝟎 𝒓 Vamos supor uma esfera com raio igual ao da cavidade esférica e uniformemente carregada com densidade de carga 𝝆 está centrada no ponto 𝒅 A soma das duas esferas com densidades de carga 𝜌 e 𝜌 reproduz exatamente a situação do problema 𝝆 𝝆 𝝆 𝒅 O campo elétrico total em um ponto no interior da cavidade esférica é 𝑬 𝒓 𝝆 𝟑𝜺𝟎 𝒓 𝝆 𝟑𝜺𝟎 𝒓 𝒅 𝒓 𝒓 𝒅 𝑬 𝒓 𝝆𝒅 𝟑𝜺𝟎 Condutor ideal número infinito de cargas completamente livres para se movimentar Em equilíbrio 𝑭 𝟎 𝑬 𝟎 no interior do condutor Imediatamente após aplicar o campo elétrico cargas no interior do condutor se movimentam respondendo à força aplicada sobre elas Equilíbrio 𝑭 𝟎 𝑬 𝟎 Superfície gaussiana 𝑬 𝟎 Condutor ideal Aplicar lei de Gauss sobre superfície gaussiana no interior do condutor raspando a borda deste ර 𝑺 𝑬 𝒅𝒂 𝒒𝒅𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝜺𝟎 𝟎 Carga está na superfície Também Campo 𝑬 na superfície do condutor tem de ser perpendicular à superfície se houver componente do campo paralela à superfície cargas se movem devido à força 𝑭 𝒒𝑬 tempo real para atingir equilíbrio 𝑡 1012 s em um condutor razoável Aplicar a lei de Gauss sobre superfície gaussiana que é um cilindro perpendicular à superfície do condutor S parte fora e parte dentro deste න 𝑺 𝑬 𝒅𝒂 𝑬𝑨 𝒒 𝜺𝟎 𝝈𝑨 𝜺𝟎 S 𝑬 𝝈 𝜺𝟎 𝒏 Campo elétrico na superfície de um condutor é perpendicular à superfície e é constante proporcional à densidade de carga superficial Vamos agora definir Potencial elétrico Conceito útil para entender a física da situação ferramenta muito útil para auxiliar o cálculo do campo elétrico q 𝑬 campo faz força sobre carga Ԧ𝐹𝐸 𝑞𝐸 Em um deslocamento infinitesimal 𝑑Ԧ𝑙 o campo elétrico faz trabalho sobre a carga O trabalho feito pelo campo elétrico é 𝑑𝑊 Ԧ𝐹 𝑑Ԧ𝑙 𝑞𝐸 𝑑Ԧ𝑙 Como o campo elétrico fez trabalho sobre a carga a energia potencial da carga muda de 𝑑𝑈 𝑞𝐸 𝑑Ԧ𝑙 Em um deslocamento macroscópico do ponto A ao ponto B ao longo de um certo caminho a energia potencial da carga muda de 𝑈 𝑈𝐵 𝑈𝐴 𝑞 න 𝐴 𝐵 𝐸 𝑑Ԧ𝑙 q A B 𝑬 𝑑Ԧ𝑙 Como a força elétrica é conservativa a integral 𝐴 𝐵 𝐸 𝑑Ԧ𝑙 não depende do caminho entre os pontos A e B Mas precisamos levar em conta a variação de 𝐸 com a posição 𝑬 É útil definir uma grandeza que não depende da carga q a energia potencial por unidade de carga potencial elétrico DIFERENÇA DE POTENCIAL ELÉTRICO 𝑽 𝑉 𝑉𝐵 𝑉𝐴 𝑈 𝑞 න 𝐴 𝐵 𝐸 𝑑Ԧ𝑙 Para definir a função potencial elétrico e não apenas a diferença de potencial é necessário escolher um ponto de referência onde V 0 Como em geral 𝐸 0 no infinito 𝑽 𝒓 න 𝒓 𝑬 𝒅Ԧ𝒍 O potencial elétrico em um ponto 𝒓 é a energia necessária para trazer uma unidade de carga do infinito até o ponto 𝒓 Potencial elétrico é energia elétrica carga unidades de potencial elétrico são joule coulomb volt V 𝟏 V J C Observações Potencial elétrico é um escalar Apenas diferenças de potencial elétrico tem significado físico 𝑉 𝑉𝐵 𝑉𝐴 න 𝐴 𝐵 𝐸 𝑑Ԧ𝑙 Campo elétrico aponta na direção de diminuição de potencial 𝑬 q A B d 𝑈 𝑞𝐸𝑑 Análogo à campo gravitacional 𝒈 m A B d 𝑈𝑔 𝑚𝑔𝑑 Uma carga positiva perde energia potencial elétrica quando ela cai em um campo elétrico ganha energia cinética e perde energia potencial Caso um pouco mais geral carga positiva se deslocando em campo elétrico uniforme 𝐸 𝑉 𝑉𝐵 𝑉𝐴 න 𝐴 𝐵 𝐸 𝑑Ԧ𝑙 𝑉 න 𝐴 𝐵 𝐸 𝑑𝑙 cos 𝜃 𝑉𝐵 𝑉𝐴 𝐸 cos 𝜃 න 𝐴 𝐵 𝑑𝑙 𝑑Ԧ𝑙 θ 𝐸 cos 𝜃 𝑥𝐵 𝑥𝐴 𝐸 𝑑 cos 𝜃 𝑑 cos 𝜃 𝑥𝐶 𝑥𝐴 𝑥𝐵 𝑥𝐴 Ou seja o resultado seria o mesmo se a carga fosse de A para C cos 𝜃 0 e de C para B A diferença de potencial entre dois pontos só depende da posição dos pontos não do caminho feito para ir de um ponto ao outro Todos os pontos em um plano perpendicular ao campo elétrico exemplo B e C acima estão no mesmo potencial estão em um equipotencial superfície com o mesmo potencial elétrico x xA xB 𝐸 A B d 𝐸 80 104 N C 𝑑 050 m q 𝑉 𝑉𝐵 𝑉𝐴 𝑉 න 𝐴 𝐵 𝐸 𝑑Ԧ𝑙 𝑉 𝐸 න 𝐴 𝐵 𝑑𝑙 𝐸𝑑 𝑉 80 104 N C 050 m 𝑉 40 104 N C m Podemos escolher 𝑉𝐴 0 𝑉𝐵 40 104 V 40 104 J C 𝐸 𝑉 𝑑 40 104 V 050 m 80 104 V m Variação de energia potencial da carga 𝒒 1 𝜇C ao ir de A a B 𝑈 𝑞𝑉 1 106𝐶 40 104 V 40 102 J N C V m Exemplo numérico campo uniforme RESUMINDO definimos DIFERENÇA DE POTENCIAL ELÉTRICO 𝑽 𝑉 𝑉𝐵 𝑉𝐴 𝑈 𝑞 න 𝐴 𝐵 𝐸 𝑑Ԧ𝑙 Para definir a função potencial elétrico e não apenas a diferença de potencial é necessário escolher um ponto de referência onde V 0 Como em geral 𝐸 0 no infinito em geral 𝑽 𝒓 න 𝒓 𝑬 𝒅Ԧ𝒍 O potencial elétrico em um ponto 𝒓 é a energia necessária para trazer uma unidade de carga do infinito até o ponto 𝒓 Potencial elétrico é energia elétrica carga unidades de potencial elétrico são joule coulomb volt V 𝟏 V 𝟏 J C