Lista de Exercícios - Fundamentos de Mecânica 2021 2

(5) (a) Mostre que p/ o problema de dois corpos, podemos definir uma energia radial efetiva como: U_{ef}(r) = \frac{-K}{r^2} (r - \frac{1}{2} r_c) \qquad com \qquad r_c = \frac{L^2}{mK} 1 onde r_c é o raio crítico. Esboce o gráfico. (b) Mostre que p/ uma energia negativa (0 < |E| < \frac{K}{2r_c}), a trajetória é uma elipse com eccentricidade \epsilon = \sqrt{1 - \frac{2|E|r_c}{K}} \qquad e \qquad r_c = \frac{b^2/a = L^2}{mK} (6) (a) Calcule o momento de inércia I de um cone reto de base circular de raio R, massa homogênea M e altura h em relação ao seu eixo de simetria. (b) Calcule I em relação a um eixo paralelo ao eixo de simetria, mas a uma distância R dele. (7) Dado um sistema mecânico formado por dois objetos astronômicos de massas m_1 e m_2, definimos respectivamente o vetor centro de massa \vec{R}_{CM} e o vetor de posição relativo das massas em relação a um sistema de referência inercial arbitrário como: \vec{R}_{CM} = \frac{m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2}{m_1 + m_2} \qquad e \qquad \vec{r} = \vec{r}_1 - \vec{r}_2 Mostre, então, a validade da seguinte EDO para \vec{r}: \mu \frac{d^2r}{dt^2} = \vec{F}_{(2 \rightarrow 1)} onde \mu = \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2} é a chamada massa reduzida do sistema e \vec{F}_{(2 \rightarrow 1)} = \frac{Gm_1m_2}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|^3} (\vec{r}_1 - \vec{r}_2) 2 Lista de Exercícios de Fundamentos de Mecânica (1) Ache a solução x(t) da equação de movimento do MRUV pelo método da energia. (2) Considere o potencial de Lennard-Jones abaixo, que descreve um modelo semi- emprírico de interação entre átomos ou moléculas neutras: U(x) = 4V \left[ \left(\frac{a}{x}\right)^{12} - \left(\frac{a}{x}\right)^6 \right] \quad \left(V > 0 \right) onde x é a distância entre as partículas, a é a distância finita em que o potencial cai efetiva- mente para zero e V é a profundidade do poço de potencial, então: (a) Qual a dimensão das constantes V e a? (b) Estude os pontos de equilíbrio e esboce o gráfico de U(x) e F(x). (3) A elipse é a curva plana definida pelos focos F_1(-c,0) e F_2(c,0) e pelo semi-eixo a, tal que d(P, F_1) + d(P, F_2) = 2a Mostre, então, que \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \qquad com \qquad a^2 = b^2 + c^2 E ainda, tomando foco F_2(0,c) como a origem ou um sistema de coordenadas polares, mostre que: r(\theta) = \frac{b^2/a}{1 + \epsilon \cos \theta} \quad com \quad \epsilon = c/a (4) (a) Mostre que a equação diferencial p/ a componente radial (em coordenadas polares no plano) p/ o problema de Kepler é dada por: \frac{d^2r}{dt^2} + \frac{K}{mr^2} - \frac{L^2}{m^2r^3} = 0 \quad onde \quad K = GmM (b) Mostre que uma EDO p/ a equação da órbita r(\theta) (em coordenadas polares no plano) pode ser obtida da EDO do exercício anterior através da substituição da variável auxiliar u = 1/r obtendo: \frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{mK}{L^2} (5) (a) Mostre que p/ o problema de dois corpos, podemos definir uma energia radial efetiva como: U_{ef}(r) = \frac{-K}{r^2} (r - \frac{1}{2} r_c) \qquad com \qquad r_c = \frac{L^2}{mK} 1 onde r_c é o raio crítico. Esboce o gráfico. (b) Mostre que p/ uma energia negativa (0 < |E| < \frac{K}{2r_c}), a trajetória é uma elipse com eccentricidade \epsilon = \sqrt{1 - \frac{2|E|r_c}{K}} \qquad e \qquad r_c = \frac{b^2/a = L^2}{mK}