Prova Substitutiva - Fundamentos de Mecânica 2021-2

Sub de Fundamentos de Mecanica (1) Considere 0 langamento vertical de um projétil (uma esfera de ferro fundido com massa m = 16 kg expelida por um canhaéo medieval) a uma velocidade inicial de vp = 400 m/s. Considerando a forga resistiva (forga de arrasto) proporcional ao quadrado da velocidade com b = 2,5 x 10°? Ns?/m?, entao: (a) (1,0 ponto) Calcule a velocidade limite vy, na trajetéria decendente do projétil. (b) (1,0 ponto) Calcule o tempo t; necessdrio para o projétil alcangar a altura maxima alcangada pelo projétil. Compare com o tempo tz necessdrio para o projeto atingir a altura maxima na auséncia de resisténcia do ar. (2) Considere uma energia potencial no espago dada por: U(x.y.z) = Upe tY7/® entao: (a) (1,0 pontos) Calcule o campo de forcas F(x.y.z). (b) (1,0 pontos) Calcule o trabalho do campo de forgas no plano ao longo de uma circunferéncia de raio R centrada na origem. (3) A pardbola é uma curva plana definida por uma reta diretriz r e um foco F’ (nao pertencente a reta diretriz), definida como o conjunto dos pontos P equidistantes de re F’. (a) (1,0 ponto) Tomando, no plano cartesiano, o foco com coordenadas F'(p/2, 0) e a dire- triz r dada pela reta x = —p/2, escreva a equacao da parabola em coordenadas cartesianas. (b) (1,0 ponto) Tomando o foco F'(p/2,0) como a origem de um sistema de coordenadas polares, escreva a equacao da parabola nessas coordenadas. (c) (1,0 ponto) Mostre que a trajetéria de um objeto lancado obliquamente na superficie terrestre (desprezando a resisténcia do ar) é parabdlica. (4) (1,0 ponto) Mostre que, para um corpo rigido, em qualquer instante de tempo t, existe uma relacao linear entre a velocidade angular do corpo w(t) e o momento angular total do corpo L(t). (5) (a) (1,0 ponto) Calcule o momento de inércia de uma barra homogénea de compri- mento L = 1m e massa M = 12 kg em relacao ao eixo de simetria que passa pelo centro de massa da barra e é perpendicular ao seu comprimento. 1 (b) (1,0 ponto) Suponha que a mesma barra gire com velocidade angular constante de período T = πs em torno de uma de suas extremidades, então calcule a energia cinética associada. 2 𝑚𝑔 = 𝑏𝑣𝐿 2 → 𝑣𝐿 = √𝑚𝑔 𝑏 𝑣𝐿 = √ 16 ∗ 9,81 2,5 ∗ 10−2 = 79,236 𝑚/𝑠 𝑃⃗ = 𝑚𝑔 𝐹 = −𝑏𝑣2 ⃗⃗⃗⃗ 𝑚𝑔 + 𝑏𝑣2 − 𝑚𝑎 = 0 𝑚𝑣̇ − 𝑏𝑣2 = 𝑚𝑔 𝑏/𝑚 𝑘² 𝑏 𝑚 (𝑣2 + 𝑚𝑔 𝑏 ) = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 → 𝑏 𝑚 (𝑣2 + 𝑘2) = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑏 𝑚 ∫ 𝑑𝑡 𝑡 0 = ∫ 1 𝑣2 + 𝑘2 𝑑𝑣 𝑣 𝑣0 → 𝑏 𝑚 𝑡 = 1 𝑘 [atan (𝑣 𝑘)] 𝑣0 𝑣 𝑏 𝑚 𝑡 = 1 𝑘 [atan (𝑣 𝑘) − atan (𝑣0 𝑘 )] 𝑣 𝑣 = 𝑘 tan [𝑏𝑘 𝑚 𝑡 + atan (𝑣0 𝑘 )] 𝑡1 𝑡1 = 𝑚 𝑏𝑘 [𝜋 − atan (𝑣0 𝑘 )] 𝑡1 = √ 𝑚 𝑏𝑔[𝜋 − atan (√𝑣0 2𝑏 𝑚𝑔)] 𝑡1 = √ 16 2,5 ∗ 10−2 ∗ 9,81 [𝜋 − atan (√4002 ∗ 2,5 ∗ 10−2 16 ∗ 9,81 )] = 14,269 𝑠 𝑡2 = 𝑣0 𝑔 = 400 9,81 = 40,775 𝑠 𝐹 = ∇⃗⃗ 𝑈 = − 𝑈0 𝑎3 (𝑦𝑧𝑒 𝑥𝑦𝑧 𝑎3 𝑖̂ + 𝑥𝑧𝑒 𝑥𝑦𝑧 𝑎3 𝑗̂ + 𝑥𝑦𝑒 𝑥𝑦𝑧 𝑎3 𝑘̂) 𝐹 (𝑥, 𝑦) = 1 2𝜋 (𝑦𝑖̂ − 𝑥𝑗̂ 𝑥2 + 𝑦2) 𝑑𝑆 = −𝑅𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜃𝑖̂ + 𝑅 cos(𝜃) 𝑑𝜃𝑗̂ 𝑊 = ∮ 𝐹 ⋅ 𝑑𝑆 𝐶 = 𝑅 2𝜋 ∫ (𝑦𝑖̂ − 𝑥𝑗̂ 𝑥2 + 𝑦2) ⋅ (−𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜃𝑖̂ + cos(𝜃) 𝑑𝜃𝑗̂) 2𝜋 0 𝑊 = −𝑅 2𝜋 ∫ 𝑦𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 𝑥 cos(𝜃) 𝑥2 + 𝑦2 2𝜋 0 𝑑𝜃 𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜃) ; 𝑦 = 𝑅𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2 𝑊 = −1 2𝜋 ∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝜃) + cos2(𝜃) 2𝜋 0 𝑑𝜃 𝑊 = −1 2𝜋 ∫ 𝑑𝜃 2𝜋 0 = − 1 2𝜋 2𝜋 = −1 𝐼 = ∫ 𝑥2𝑑𝑚 𝑑𝑚 = 𝜆𝑑𝑥 𝐼 = 𝜆 ∫ 𝑥2𝑑𝑥 𝐿 2 −𝐿 2 = 𝜆 3 [𝑥3] −𝐿 2 𝐿 2 = 𝜆 3 [(𝐿 2) 3 − (− 𝐿 2) 3 ] = 𝐿3𝜆 12 𝜆𝐿 = 𝑚 𝐼𝐶𝑀 = 𝑚𝐿2 12 = 12 ∗ 12 12 = 1 𝑘𝑔 ⋅ 𝑚2 𝐼 = 𝐼𝐶𝑀 + 𝑚𝑑2 = 𝑚𝐿2 12 + 𝑚 (𝐿 2) 2 = 𝑚𝐿2 3 = 12 ∗ 12 3 = 4 𝑘𝑔 ⋅ 𝑚2 𝐾 = 𝐼𝜔2 2 𝜔 = 2𝜋 𝑇 𝐾 = 𝐼 (2𝜋 𝑇 ) 2 𝐾 = 4 (2𝜋 𝜋 ) 2 = 4 𝐽