Lista 3 - Dinâmica de Corpo Rígido - Fundamentos de Mecânica 2022-2

LISTA 3 Dinâmica de Corpo Rígido 1. Calcule os momentos de inércia do sistema composto por duas massas m localizadas em (0, y0, z0) e (0, y0, -z0) (ver figura) em relação aos eixos x, y e z. Resp: Ix=2m(yo2+z02),Iz=2myo2, Iy=2mz02. 2. Três massas m são colocadas nas posições (0, 0, 0), (L, 0, 0) e (0, L, 0). Calcule o momento de inércia em relação aos eixos (x, y, z). 3. Mostre que, para uma figura plana colocada no plano (x,z), seu momento de inércia Iyy=Ixx+Izz 4. Calcule o momento de inércia de uma chapa fina de lado 2b girando em torno de um eixo perpendicular à chapa, que passa pelo seu centro de massa. 5. Considere o pêndulo duplo da figura abaixo composto por uma haste rígida de comprimento b com uma massa m1 em sua extremidade. Uma massa m2 é colocada na metade da haste. Calcule o momento angular do sistema. Use o sistema de eixos (e1, e2, e3) indicados na figura. Resp: L=(m1+m2/4)b2 d𝛳/dt 6. O disco de 80 kg é suportado por um pino em A. Se ele é solto a partir do repouso na posição da figura, calcule os valores das reações no pino. O raio do disco é de 1,5 m. Resp.: Ax=0, Ay=262N 7. O disco da figura tem massa M e raio R. Se um bloco de massa m está ligado à corda, calcule a aceleração do bloco quando é abandonado do repouso. Resp.: a=2mg/(M+2m) 8. Em um plano inclinado que faz um ângulo de 𝜃 graus com a horizontal, solta-se do repouso um cilindro de massa M e raio R, e uma esfera de mesma massa e mesmo raio. Se os dois corpos descem o plano sem escorregar, qual chegará primeiro? Dados: momento de inercia esfera = ⅖ MR2, disco = ½ MR2 9. O rolo de papel, com 20 kg, tem raio de giração kA = 900 mm em relação a um eixo que passa no ponto A e é suportado em ambas as extremidades por hastes AB ligadas a pinos. Se o rolo se apoia contra a parede sob um coeficiente de atrito cinético 𝝁 = 0,2 e uma força vertical F = 30 N é aplicada a extremidade do papel, determine a aceleração angular do rolo à medida que o papel se desenrola.Resp.: 𝜶 = 7,3 rad/s 10. Suponha que um ioiô de massa m, tenha a geometria dada pela figura. Se ele é solto do repouso, calcule sua aceleração linear. Qual é a tensão na corda nesse instante? Dados I=½ mR2. 11. A figura abaixo mostra o diagrama de forças de um corpo rígido sujeito a uma rotação em torno de um eixo que passa por O (fora de seu centro de massa). Mostre que IG𝜶 pode ser eliminado das equações se movermos os vetores m(aG)t e m(aG)n para o ponto P, localizado a uma distância rGPk2G/rOG do centro de massa, sendo que kG representa o raio de giração do corpo em relação a G. O ponto P recebe o nome de ponto de percussão. 1) Pela definição, I = \sum_i m_i r_i^2. Logo, temos: I_x = \sum_i m_i (y_i^2 + z_i^2) = m(y_0^2 + z_0^2) + m(y_0^2 + (-z_0)^2) I_x = 2m(y_0^2 + z_0^2). Além disso, I_y = \sum_i m_i (x_i^2 + z_i^2) = 2m z_0^2, pois x_i = 0 . Por fim, I_z = \sum_i m_i (x_i^2 + y_i^2) = 2m y_0^2, pois x_i = 0 2) Novamente, vamos usar a definição: I_x = \sum_i m_i (y_i^2 + z_i^2) = 0 + 0 + mL^2 = mL^2 I_y = \sum_i m_i (x_i^2 + z_i^2) = 0 + mL^2 + 0 = mL^2 I_z = \sum_i m_i (x_i^2 + y_i^2) = 0 + mL^2 + mL^2 = 2mL^2 3) Pela definição, I_x= \int(y^2 + z^2) dm ; I_y= \int(x^2 + z^2) dm ; I_z= \int(x^2 + y^2) dm . Se a figura se encontra no plano xz, logo y = 0 e I_x= \int z^2 dm , I_z= \int x^2 dm, de modo que I_y= \int x^2 dm + \int z^2 dm = I_x + I_z 4) Vamos assumir que a massa está distribuída de maneira uniforme. Logo, dm = \rho dA = \frac{M}{4b^2} dxdy O momento de inércia é: I_z = \int (x^2 + y^2) \rho dA = \frac{M}{4b^2} \int_{-b}^{b} \int_{-b}^{b} (x^2 + y^2) dxdy I_z = \frac{M}{4b^2} \int_{-b}^{b} \left( \frac{2b^3}{3} + 2b y^2 \right) dy = \frac{M}{4b^2} \left( \frac{4b^4}{3} + \frac{4b^4}{3} \right) I_z = \frac{2Mb^2}{3} 5) Sabemos que L = I \omega, com \omega = \frac{d\Theta}{dt} , Precisamos calcular I : Sabemos que para uma coleção pontual de massa, I = \sum_i m_i r_i^2 = m_1 b^2 + m_3 \frac{b^2}{4} = b^2 \left( m_1 + \frac{m_3}{4} \right), pois r_1 = b e r_2 = \frac{b}{2}. Logo, L = b^2 \left(m_1 + \frac{m_3}{4} \right) \frac{d\Theta}{dt} 6) Na Horizontal : \sum F_x = ma_x \rightarrow a_x = 0 e então a reação é 0. Na vertical: \sum F_y = ma_y \rightarrow A_y - mg = -mr\alpha , onde \alpha é a aceleração angular. Para calcularmos a aceleração, usamos que ΣΓ = Iα -> Torque mg r = 3/2 m r² a -> a = 9,81/1,5·1,5 a = 4,36 rad/s². Usamos que I = 3/2 m r² para um eixo na extremidade do disco. Por fim, Ay = mg - m r a = 80 (9,81 - 1,5·4,36) Ay = 262 N 7) Para o bloco, mg - T = ma. Para a polia, T r = M r² ac -> T = M r ac/2. Logo, como ac = a/r, então T = Ma/2, e, substituindo: mg - Ma/2 = ma -> mg = a(m + M/2) = a(2m + M/2) a = 2mg/(2m + M) 8) A aceleração pode ser calculada: O torque é devido à gravidade: ΣΓ = I ac -> mg r senoΘ = I a/r mg r² senoΘ/I = a. Como I = k m r², a = g senoΘ/k. Logo, como k = 2/5 para a esfera e 1/2 para o disco, a_esfera > a_disco e a esfera chega primeiro. 9) Na Horizontal: ΣFx = m ax Nx - TAB cosΘ = 0. Mas, Θ = tan⁻¹(300/125) = 67,38°. Logo, Nx = 0,38 TAB. Na vertical: ΣFy = m ay TAB senΘ - μ Nx - mg - F = 0 0,92 TAB - 0,2 Nx - 192,2 - 30 = 0 Para o torque: ΣΓ = I ac = m kA² ac -0,2 Nc·0,125 + 30·0,125 = 20·0,9² ac Resolvendo as duas primeiras equações para Nc, temos: Nc = 103 N. Logo, ac = (3,45 - 2,575)/20·0,9² = 0,073 rad/s² A resposta daria 7,3 rad/s² se kA fosse 90 mm. mgy = \frac{mv^2}{2} + \frac{Iu^2}{2} Como I = \frac{mR^2}{2} \text{ e } u = \frac{v}{r} , \text{ temos:} mgh = \frac{mv^2}{2} \left(1 + \frac{R^2}{2r^2} \right) - 0 = \frac{2gh}{1 + \frac{R^2}{2r^2}} Por Torricelli, v^2 - v_i^2 = 2ay . \text{ Como } v_i = 0, 2ay = v^2 - 0 \Rightarrow a = \frac{g}{1+\frac{R^2}{2r^2}} Para a Tensao, vemos que \sum F_y = T - mg = ma T = ma + mg = mg \frac{1}{1+\frac{R^2}{2r^2}} T = mg \left(1 - \frac{2r^2}{2r^2 + R^2}\right) = mg \left(\frac{R^2}{2r^2 + R^2}\right) = mg \frac{R^2}{2} \frac{1}{r^2 + R^2/2} (1) \text{ Temos, pela imagem,} m(a_g)_t r_{og} + I_g \alpha = m(a_g)_t r_{og} + m k_g^2 \alpha Mas, se k_g^2 = r_{gp} r_{og} \text{ e } \alpha = (a_g)_t \frac{1}{r_{og}}, \text{ entao} m(a_g)_t r_{og} + I_g \alpha = m(a_g)_t r_{og} + m r_{gp} r_{og} \cdot \frac{(a_g)_t}{r_{og}} Por fim, m(a_g)_t r_{og} + I_g \alpha = m(a_g)_t (r_{og} + r_{gp}), de modo que I_g \alpha pode ser eliminado por essa igualdade.