Método dos Deslocamentos em Hiperestática: Tabelas e Cálculos

Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez Para aplicação do método dos deslocamentos utilizamse tabelas com as forças de fixação em três tipos de barras sujeitas a diversos tipos de carregamentos 𝜶𝒈 𝟑 𝟏 𝟏 𝟐 As forças de fixação correspondem às reações de apoio nas três barras das tabelas sujeitas aos diversos tipos de carregamentos considerados Os valores que constam nessas tabelas podem ser calculados utilizando o método das forças No método dos deslocamentos os valores que constam nessas tabelas vão ser utilizados para formar o vetor de forças devidas às cargas aplicadas nas barras barra engastada engastada barra engastada rotulada 𝜶𝒈 𝟑 𝟏 𝟎 𝟑 barra engastada engastada deslizante 𝜶𝒈 𝟑 𝟏 𝟏 𝟐 Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez Tabelas para calcular as forças de fixação com as quais se forma o vetor de forças devidas às cargas aplicadas nas barras Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez Tabelas para calcular as forças de fixação com as quais se forma o vetor de forças devidas às cargas aplicadas nas barras Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez Tabelas para calcular as forças de fixação com as quais se forma o vetor de forças devidas às cargas aplicadas nas barras Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez Para aplicação do método dos deslocamentos utilizamse também tabelas que para os mesmos três tipos de barras têm os valores das forças e momentos necessários para impor deformações unitárias nas extremidades dessas barras Os valores que constam nesta tabela podem ser calculados utilizando o PTV As forças e momentos necessários para impor deformações unitárias correspondem ao conceito de rigidez inverso de flexibilidade e são utilizadas no método dos deslocamentos para formar a matriz de rigidez da estrutura Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez No método dos deslocamentos é necessário avaliar inicialmente o parâmetro d que pode ser designado por grau de indeterminação cinemática da estrutura ou nº de deslocabilidades da estrutura d representa o nº de graus de liberdade independentes dos nós de uma estrutura ou seja as rotações e deslocamentos lineares que os nós da estrutura podem ter Para avaliar d é necessário ter em consideração o tipo de estrutura que se está a analisar e os graus de liberdade gl possíveis em cada um dos seus nós Vigas e pórticos planos 3 gl por nó dx dy qz Grelhas planas 3 gl por nó dz qx qy Treliças planas 2 gl por nó dx dy Treliças espaciais 3 gl por nó dx dy dz Pórticos espaciais 6 gl por nó dx dy dz qx qy qz d é igual ao nº de incógnitas cinemáticas que são consideradas na análise de uma estrutura através do método dos deslocamentos Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez Avaliação do grau de indeterminação cinemática d A B C 𝒅𝟏 𝒅𝟐 d 2 considerando a deformabilidade axial das barras Admitindo que a deformabilidade axial das barras é muito pequena de modo que pode ser desprezada ou seja que as barras são indeformáveis axialmente A B C 𝒅𝟏 d 1 considerando que a deformabilidade axial das barras é muito pequena A B C D 𝒅𝟏 𝒅𝟑 𝒅𝟐 d 3 considerando a deformabilidade axial das barras A B C D 𝒅𝟏 d 1 considerando que a deformabilidade axial das barras é muito pequena Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez Avaliação do grau de indeterminação cinemática d 𝒅𝟏 𝒅𝟑 𝒅𝟐 d 6 no caso geral considerando a deformabilidade axial das barras considerando que a deformabilidade axial das barras é muito pequena A AB d2 0 CD d5 0 BC d1 d4 A B D C 𝒅𝟒 𝒅𝟔 𝒅𝟓 d 3 A d1 dhBC d2 qB d3 qC 𝒅𝟐 A B D C 𝒅𝟏 𝒅𝟑 A B D C O grau de indeterminação cinemática pode ser avaliado quantificando o nº de graus de liberdade que é necessário impedir para restringir os movimentos possíveis dos nós de uma estrutura 2 1 3 d 3 Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez Avaliação do grau de indeterminação cinemática d 𝒅𝟐 𝒅𝟒 𝒅𝟑 d1 não é independente d7 não é independente considerando A ABd20 CDd50 BCd1d4 𝒅𝟓 𝒅𝟕 𝒅𝟔 d2 A d1dhBC d2qB 𝒅𝟐 𝒅𝟏 Numa estrutura pode haver graus de liberdade que podem ser considerados como dependentes de outros não sendo necessário contabilizálos na avaliação do grau de indeterminação cinemática d A B D C 𝒅𝟏 𝒅𝟏 𝒅𝟑 𝒅𝟐 d 5 𝒅𝟒 𝒅𝟓 A B D C A B D C Hiperestática Método dos deslocamentos B C A B C A Método dos deslocamentos ou da rigidez Exercício D1 𝒅𝟏 d1 não é independente d5 não é independente A d4 d2 0 1 Grau de indeterminação cinemática d 𝒅𝟐 𝒅𝟑 d1 A d1qB 𝒅𝟏 𝒅𝟒 C 60 m A B 20 m 16 kNm EI EI 32 kN 20 m Desprezar a deformabilidade axial das barras A 𝒅𝟓 Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez consultar tabelas das forças de fixação 2 Estado E0 estrutura bloqueada d10 𝟓 𝟏𝟔 𝑷 𝟑 𝟏𝟔 𝑷𝑳 P B C L 2 L 2 𝟏𝟏 𝟏𝟔 𝑷 𝟓 𝟖 𝒑𝑳 𝒑𝑳𝟐 𝟖 p A B L 𝟑 𝟖 𝒑𝑳 𝟑 𝟖 𝒑 𝑳 𝟑 𝟖 𝟏𝟔 𝟔 𝟑𝟔 𝒌𝑵 𝟓 𝟖 𝒑 𝑳 𝟓 𝟖 𝟏𝟔 𝟔 𝟔𝟎 𝒌𝑵 𝒑 𝑳𝟐 𝟖 𝟏𝟔 𝟔𝟐 𝟖 𝟕𝟐 𝒌𝑵 𝒎 C A B 16 kNm 32 kN 𝟑𝟔 𝒌𝑵 𝟔𝟎 𝒌𝑵 𝟕𝟐 𝒌𝑵 𝒎 𝟏𝟏 𝟏𝟔 𝑷 𝟏𝟏 𝟏𝟔 𝟑𝟐 𝟐𝟐 𝒌𝑵 𝟑 𝟏𝟔 𝑷 𝑳 𝟑 𝟏𝟔 𝟑𝟐 𝟒 𝟐𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝟓 𝟏𝟔 𝑷 𝟓 𝟏𝟔 𝟑𝟐 𝟏𝟎 𝒌𝑵 𝟐𝟐 𝒌𝑵 𝟐𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝟏𝟎 𝒌𝑵 F0 vetor de forças devidas às cargas aplicadas nas barras Fn vetor de forças diretamente aplicadas segundo os graus de liberdade independentes da estrutura 𝑭𝟎𝟏 𝟕𝟐 𝟐𝟒 𝟒𝟖 𝒌𝑵 𝒎 𝑭𝒏𝟏 𝟎 Hiperestática Método dos deslocamentos B C A Método dos deslocamentos ou da rigidez consultar tabela da matriz da rigidez 3 Estado E1 d11 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑𝑬𝑰 𝑳 B C 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑𝑬𝑰 𝑳 A B 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑 𝟑𝟔 𝑬𝑰 𝟏 𝟏𝟐 𝑬𝑰 𝟑𝑬𝑰 𝑳 𝟑 𝟔 𝑬𝑰 𝟏 𝟐 𝑬𝑰 𝟏 𝟏𝟐 𝟏 𝟏𝟐 𝟏 𝟐 𝟑𝑬𝑰 𝑳𝟐 𝟑 𝟏𝟔 𝑬𝑰 𝟑𝑬𝑰 𝑳 𝟑 𝟒 𝑬𝑰 𝟑 𝟏𝟔 𝟑 𝟒 𝟑 𝟏𝟔 Formação da matriz de rigidez K que contem as forças que é necessário aplicar para impor um valor unitário nos graus de liberdade independentes da estrutura 𝑲𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝑬𝑰 𝟑 𝟒 𝑬𝑰 𝟓 𝟒 𝑬𝑰 𝟏 𝟐𝟓 𝑬𝑰 EI Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez 𝒌𝟏𝟏 𝒅𝟏 𝑭𝟎𝟏 𝑭𝒏𝟏 4 Equação de equilíbrio 𝟓 𝟒 𝑬𝑰 𝒅𝟏 𝟒𝟖 𝟎 𝒅𝟏 𝟒𝟖 𝟒 𝟓 𝑬𝑰 𝒅𝟏 𝟑𝟖 𝟒 𝑬𝑰 𝒓𝒂𝒅 F0 vetor de forças devidas às cargas aplicadas nas barras 𝑲 𝒅 𝑭𝟎 𝑭𝒏 K matriz de rigidez que contem as forças que é necessário aplicar para impor um valor unitário nos graus de liberdade independentes da estrutura d é o vetor dos deslocamentos incógnitas cinemáticas Fn vetor de forças diretamente aplicadas segundo os graus de liberdade independentes da estrutura Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez 5 Esforços e reações de apoio finais por sobreposição dos diversos estados C A B 16 kNm 32 kN 𝟑𝟔 𝒌𝑵 𝟔𝟎 𝒌𝑵 𝟕𝟐 𝒌𝑵 𝒎 𝟐𝟐 𝒌𝑵 𝟐𝟒 𝒌𝑵 𝒎 𝟏𝟎 𝒌𝑵 Estado E0 Estado E1 B C A 𝟏 𝟏𝟐 𝟏 𝟏𝟐 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏𝟔 𝟑 𝟒 𝟑 𝟏𝟔 EI 𝑽 𝑽𝟎 𝒅𝟏 𝑽𝟏 𝑴 𝑴𝟎 𝒅𝟏 𝑴𝟏 𝒅𝟏 𝟑𝟖 𝟒 𝑬𝑰 𝒓𝒂𝒅 V V 𝑽𝑨 𝟑𝟔 𝟑𝟖 𝟒 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟏𝟐 𝟑𝟗 𝟐 𝒌𝑵 𝑽𝑩 𝟔𝟎 𝟑𝟖 𝟒 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟏𝟐 𝟓𝟔 𝟖 𝒌𝑵 𝑽𝑩 𝟐𝟐 𝟑𝟖 𝟒 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟏𝟔 𝟐𝟗 𝟐 𝒌𝑵 𝑽𝑪 𝟏𝟎 𝟑𝟖 𝟒 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟏𝟔 𝟐 𝟖 𝒌𝑵 barra AB barra BC M M 𝑴𝑨 𝟎 𝟑𝟖 𝟒 𝑬𝑰 𝟎 𝟎 𝑴𝑩 𝟕𝟐 𝟑𝟖 𝟒 𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟐 𝟓𝟐 𝟖 𝒌𝑵 𝒎 barra AB 𝑴𝑪 𝟎 𝟑𝟖 𝟒 𝑬𝑰 𝟎 𝟎 𝑴𝑩 𝟐𝟒 𝟑𝟖 𝟒 𝑬𝑰 𝟑 𝑬𝑰 𝟒 𝟓𝟐 𝟖 𝒌𝑵 𝒎 barra BC Hiperestática Método dos deslocamentos Método dos deslocamentos ou da rigidez 5 Esforços e reações de apoio finais por sobreposição dos diversos estados 𝑽𝑨 𝟑𝟗 𝟐 𝒌𝑵 𝑽𝑩 𝟓𝟔 𝟖 𝒌𝑵 𝑽𝑩 𝟐𝟗 𝟐 𝒌𝑵 𝑽𝑪 𝟐 𝟖 𝒌𝑵 barra AB barra BC C 60 m A B 20 m 16 kNm EI EI 32 kN 20 m B C A V kN 392 568 28 292 x 𝑴𝑨 𝟎 𝑴𝑩 𝟓𝟐 𝟖 𝒌𝑵 𝒎 𝑴𝑪 𝟎 𝑴𝑩 𝟓𝟐 𝟖 𝒌𝑵 𝒎 𝒙 𝟑𝟗 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟒𝟓 𝒎 𝑴𝒎á𝒙 𝟎 𝟐 𝟒𝟓 𝟑𝟗 𝟐 𝟐 𝟒𝟖 𝟎𝟐 𝒌𝑵 𝒎 B C A M kNm 528 56 4802 𝑴𝒎á𝒙 𝟓𝟐 𝟖 𝟐 𝟐𝟗 𝟐 𝟓 𝟔 𝒌𝑵 𝒎 𝑹𝑨𝒚 𝟑𝟗 𝟐 𝒌𝑵 𝑹𝑩𝒚 𝟐𝟗 𝟐 𝟓𝟔 𝟖 𝟖𝟔 𝒌𝑵 𝑹𝑪𝒚 𝟐 𝟖 𝒌𝑵 𝑹𝑨𝒚 𝟑𝟗 𝟐 𝒌𝑵 𝑹𝑩𝒚 𝟖𝟔 𝒌𝑵 𝑹𝑪𝒚 𝟐 𝟖 𝒌𝑵