Exercícios de Hiperestática: Cálculo de Reações e Esforços em Estruturas Isostáticas

Hiperestática 15000333 i Hiperestática 15000333 Soluções dos Exercícios A Reações de apoio e diagramas de esforços em estruturas isostáticas revisão B Princípio dos Trabalhos Virtuais Cálculo de deformações deslocamentos e rotações em estruturas isostáticas aplicando o método da carga unitária C Método das Forças ou da Flexibilidade D Método dos Deslocamentos ou da Rigidez E Processo de Cross ii Hiperestática 15000333 Hiperestática 15000333 1 Hiperestática 15000333 Exercícios A Reações de apoio e diagramas de esforços em estruturas isostáticas revisão A1 C D 4 m A 30 kN 1 m 3 m 40 kNm 20 kNm B E 2 m 1 m M kNm N kN V kN RBy70 kN RAy40 kN RAx60 kN 30 70 Vx60 20 x C D A B E 40 40 C D A B E 60 Mx130 40 x 30 C D A B E 90 Mx30 30 x 130 Mx 60 x 10 x2 2 Hiperestática 15000333 A2 B 201 Vx29210 x M kNm 406 N kN RAy1 kN RAx50kN RCy51 kN 20 C D 40m A 10 kN 10m 30m 10 kNm B 20m 20 kN C D A B 292 V kN 10 C D A B 41 21 20 C D A 292 m 21 Mx292 x 5 x 2 292 m 4263 Mx21 41 x Mx3010 x Hiperestática 15000333 3 A3 Mx4020 x C D 2 m A 2 m 2 m 20 kNm 10 kNm B E 2 m 2 m 40 kN 2 m M kNm N kN V kN RBy20 kN RAy20 kN RAx20 kN Vx20 10 x 20 MA0 C D A B E C D 2 m A 2 m 2 m 20 kNm 10 kNm B E 2 m 2 m 40 kN 2 m RBy20 kN RAy20 kN RAx20 kN MA0 20 20 20 C D A B E 20 20 F F F 40 C D A B E 20 20 F 40 20 2 Mx20 20 x 5 x Mx20 x Mx2020 x 4 Hiperestática 15000333 A4 375 M kNm N kN V kN RBy50 kN RBx50 kN Vx40 20 x C D 30m 20m 20m 20 kNm B A E RAy50 kN RAx50 kN 50 C D B A E 50 C D B A E 50 7071 40 Vx50 20 x 100 C D B A E Mx 50 x 40 10 25m 50 2 Mx4040 x 10 x 25m 100 Mx10050 x 10 x2 Hiperestática 15000333 5 A5 C D 2 m A 2 m 3 m 10 kNm B E 50 kN F 20 kNm 2 m M kNm N kN RBx240 kN Vx20 x RAy210 kN RAx240 kN 40 240 RBy0 C D A B E F 240 V kN 240 C D A B E F 210 130 40 20 20 Vx130 20 x Vx10 x Vx20 10 x C D A B E F 680 20 Mx240 x Mx5 x2 Mx10 x 2 Mx2020 x5 x 2 40 720 Mx680130 x10 x 2 6 Hiperestática 15000333 A6 C D 25 m 50 kNm B 25 m A 20 m 20 m 20 m 20 m E 50 kNm 40 kN M kNm N kN RBx10 kN RAy25 kN RAx30 kN RBy25 kN V kN 25 C D B A E C D A E C D B A E 25 25 25 781 B 781 383 258 Mx781 x Mx25781 x Mx781 x Mx25781 x Hiperestática 15000333 7 A7 F C D 4 m 2 m 4 m 10 kNm B E A 40 kNm 3 m 2 m 20 kN G N kN V kN RBy232 kN Nx314 48 x 368 MA1612 kNm RAy368 kN RAx316 kN RAx116 kN F C D B E A G 314 116 74 259 316 F C D B E A G 225 95 116 352 m 32 232 232 Vx225 64 x Vx 32 10 x 8 Hiperestática 15000333 M kNm 1612 F C D B E A G 396 348 352 m 464 64 325 Mx 464 232 x 325 Mx 325 32 x 5 x 2 Mx225 x 32 x 2 Mx 348 116 x Mx 1612 316 x Hiperestática 15000333 9 B Princípio dos Trabalhos Virtuais Cálculo de deformações deslocamentos e rotações em estruturas isostáticas aplicando o método da carga unitária Exercício B1 E 200 GPa I 300 x 106 mm4 Considerando apenas a deformabilidade por flexão nas barras da estrutura representada desprezar a deformabilidade por esforço cortante calcular o deslocamento vertical dos pontos a D VD b B VB a VD 141 mm b VB 675 mm Exercício B2 E 200 GPa A 300 mm2 Calcular os deslocamentos seguintes a Deslocamento vertical do ponto C VC b Deslocamento horizontal relativo entre os pontos F e E HFE a VC 62 mm b HFE 10 mm F E Exercício B3 E 30 GPa 02 barras com seção retangular de b 02 m x h 03 m Calcular o deslocamento horizontal do ponto C considerando apenas as deformabilidades de a flexão b esforço normal c esforço cortante d quantificar a importância relativa de cada deformabilidade B D A 30 kN 120 kNm C 30 m 30 m 45 m C E 30 m 20 kN 30 m 30 m 20 kN 30 m B D F A C 24 m 60 kNm B 30 m A 10 Hiperestática 15000333 a deslocamento horizontal do ponto C devido à deformabilidade por flexão das barras da estrutura HCM 12300 mm b deslocamento horizontal do ponto C devido à deformabilidade axial das barras da estrutura HCN 023 mm c deslocamento horizontal do ponto C devido à deformabilidade por corte das barras da estrutura HCV 097 mm d deslocamento horizontal total do ponto C HC HCM HCN HCV 12300 023 097 12420 mm HCM 990 HCN 02 HCV 08 Neste exemplo a deformabilidade por flexão das barras é a que tem maior importância para os deslocamentos que a estrutura tem Exercício B4 E 14 GPa barra CDGEF I 5 x 103 m4 e A 16 x 102 m2 barras AC DB e BE A 8 x 102 m2 Calcular a rotação do ponto F considerar a deformabilidade por flexão e por esforço normal FM 332 104 rad sentido horário FN 14 104 rad sentido horário F FM FN 332 104 14 104 346 104 rad sentido horário FM 96 FN 4 Exercício B5 E 205 GPa I 16 x 104 m4 h 06 m 105 ºC Calcular a rotação relativa em D devido às ações seguintes a carga distribuída de 10 kNm na barra EB conforme indicado na figura b variação de temperatura com Te 15 ºC e Ti 45 ºC c recalques de apoio A x 1 cm e y 2 cm B x 2 cm e y 2 cm C D 30 m 30 m 30 m 20 kNm B G A E F 30 m 30 m 30 m C 30 m A 30 m 20 m 10 kNm B E D 50 m Hiperestática 15000333 11 a D 5378 103 rad b D 1046 103 rad c D 8571 103 rad Exercício B6 E 205 GPa G 79 GPa barras com seção circular oca øext 0106 m espessura 12 mm Calcular o deslocamento vertical na extremidade livre da grelha ponto C devido à deformabilidade por flexão VCM 1084 mm devido à deformabilidade por corte VCV 06 mm devido à deformabilidade por torção VCT 982 mm VC VCM VCV VCT 1084 06 982 2072 mm VCM 523 VCV 03 VCT 474 Exercício B7 Considerando o pórtico representado na figura sujeito à ação de uma variação de temperatura com Te 10 ºC e Ti 70 ºC tal como indicado na figura e que h 05 m e 105ºC calcular a o deslocamento horizontal do ponto B b a rotação do ponto C a HB 658 mm b C 48 104 rad sentido horário D B z y x 18 kNm 6 kN 10m C 10m 15m A C 60 m A 40 m B D 40 m 10 ºC 70 ºC 10 ºC 70 ºC 70 ºC 10 ºC 12 Hiperestática 15000333 Exercício B8 Considerando 105ºC e a ação de uma variação uniforme de temperatura de 20ºC Te Ti 20ºC em todas as barras da treliça representada calcular o deslocamento horizontal do ponto E HE HE 12 mm Exercício B9 As barras de uma grelha têm seção retangular com h 05 m e o seu material tem 105ºC Calcular os deslocamentos verticais dos pontos B VB e C VC provocados pela ação de uma variação de temperatura com Ti 0ºC e Te 20ºC em todas as barras da estrutura VB 32 mm VC 64 mm Exercício B10 E 30 GPa I 32 x 103 m4 105ºC h 04 m Calcular os deslocamentos verticais das rótulas A e B da viga representada na figura a para as cargas indicadas b para uma variação de temperatura com Ti 15ºC e Te 15ºC c para os recalques de apoio seguintes C y 3 cm e 2 x 103 rad sentido horário D y 2 cm a VA 42 mm VB 45 mm b VA 34 mm VB 53 mm c VA 36 mm VB 28 mm C E 30 m 30 m 30 m 30 m B D F A 20 ºC 20 ºC 20 ºC 20 ºC 20 ºC 20 ºC 20 ºC 20 ºC 20 ºC B z y x 40m C 40m A 0 ºC 20 ºC 0 ºC 20 ºC C D 30 m 30 m 30 kNm B A 20 m 50 m E 10 kNm Hiperestática 15000333 13 Exercício B11 Considerando que a estrutura representada na figura sofre os recalques de apoio seguintes A x 1 cm y 2 cm e 103 rad sentido direto B x 2 cm Calcular a a rotação relativa das tangentes à linha elástica no ponto E rótula b o deslocamento vertical do ponto E a E 0011 rad b VE 43 mm Exercício B12 Considerando que a treliça abaixo representada sofre a ação dos seguintes recalques de apoio A x 15 cm e y 3 cm B y 18 cm calcular o deslocamento vertical do ponto C VC e o deslocamento horizontal do ponto E HE VC 22 mm HE 19 mm Exercício B13 E 25 GPa barras com seção retangular de b 10 m x h 015 m Calcular o máximo deslocamento vertical que se verifica na estrutura desprezar a deformabilidade por esforço normal e por esforço cortante O máximo deslocamento vertical ocorre no ponto E VE 68 mm C 60 m 30 m A 60 m 30 m B 30 m D E 30 m C E 30 m 30 m 30 m 30 m B D F A A 075m B 10 kNm 10m 10m C D 10 kNm 10 kNm 10m 10m 075m E 14 Hiperestática 15000333 Exercício B14 E 205 GPa I 000275 m4 h 06 m 105ºC a Calcular e fazer o traçado dos diagramas de esforços N V e M que se verificam no pórtico sob ação das cargas representadas na figura Calcular a alteração da distância entre os pontos C e D do pórtico quando este é sujeito às seguintes ações b as cargas representadas na figura c uma variação de temperatura com Ti 5ºC e Te 20ºC em todas as barras do pórtico d calcular o deslocamento vertical do ponto E que se verifica devido aos recalques de apoio A x 2 cm e y 4 cm B y 2 cm a B A 50 m 40 m C 50 m 10 m 40 m D 10 kNm 15 kNm E 10 m N kN RBy21 kN RAy29 kN RAx70 kN 21 7433 B A C D E 29 6295 Hiperestática 15000333 15 b HCD 174 mm C D na direção horizontal os pontos afastamse um do outro c HCD 137 mm C D na direção horizontal os pontos aproximamse um do outro d VE 30 mm 120 280 M kNm V kN Vx 60 15 x Vx 4216 10 x 60 1471 B A C D E 70 883 4216 422 m 120 B A C D E 280 205 422 m Mx 70 x 205 Mx 280 1471 x Mx 120 60 x 75 x2 Mx 205 4216 x 5 x2 11613 16 Hiperestática 15000333 Exercício B15 EI 105 kNm2 105ºC Considerando a estrutura representada na figura calcular o deslocamento vertical da rótula E devido às seguintes ações desprezar a deformabilidade por corte e por esforço normal a cargas representadas na figura b aumento uniforme de temperatura de 25 ºC c recalques de apoio A x 05 cm e y 1 cm B y 05 cm a VE 214 mm b VE 20 mm c VE 100 mm C 40 m 40 m 40 m 20 kNm B E A 20 m 20 m G 20 m D F H I 2I I 2I 2I 2I I Hiperestática 15000333 17 C Método das forças ou da flexibilidade C1 Calcular os diagramas de esforços na viga contínua representada na figura considerando que tem seção e material constante ao longo dos seus dois tramos EI const desprezar a deformabilidade por esforço cortante a utilizar um sistema base obtido por libertação do deslocamento vertical em B remoção do apoio móvel em B b utilizar um sistema base obtido por libertação da rotação relativa em B introdução de uma rótula em B a X1 5681 kN b X1 2625 kNm C 40 m A B 50 m 10 kNm EI EI 2656 M kNm RCy1975 kN 1344 V kN RBy5681 kN RAy1344 kN C B 3025 1975 1344 m 3025 m A 903 C B 2625 1344 m 3025 m A 1950 18 Hiperestática 15000333 C2 Utilizando o método das forças resolver a estrutura representada na figura calculando as reações de apoio e os diagramas de esforços N V e M C 50 m 30 m 20 kNm B A 12EI EI M kNm RCy4167 kN RCx1389 kN RAy5833 kN RAx1389 kN C B A N kN 1389 5833 C B A V kN 5833 1389 4167 2917 m C B A 4167 4167 2917 m 4340 Hiperestática 15000333 19 C3 EI 105 kNm2 h 04 m 105 ºC Utilizando o método das forças determinar os diagramas de esforços N V e M e as reações de apoio para cada uma das ações seguintes a variação de temperatura com Te 5 ºC e Ti 15 ºC C D 40 m 40 m 40 m variação de temperatura com Te5 ºC e Ti15 ºC B A 40 m EI EI A5I m E M kNm RDy948 kN RBy1423 kN RBx1423 kN N kN 671 V kN RAx1423 kN RAy474 kN C D B A 2012 1341 C D B A 948 7587 C D B A 7587 20 Hiperestática 15000333 b recalques de apoio A x 05cm e y 2cm B x 12cm C D 40 m 40 m 40 m recalques de apoio A x 05cm dir e y 2cm baixo B x 12cm dir B A 40 m EI EI A5I m E M kNm RDy0169 kN RBy0253 kN RBx0253 kN N kN 0119 V kN RAx0253 kN RAy0084 kN C D B A 0358 0239 C D B A 0169 135 C D B A 135 Hiperestática 15000333 21 c carga distribuída de 20 kNm na barra CD C D 40 m 40 m 40 m 20 kNm B A 40 m EI EI A5I m E M kNm RDy6894 kN RBy5658 kN RBx5658 kN N kN 6439 V kN RAx5658 kN RAy3447 kN C D B A 8002 1564 C D B A 9106 6894 455 m 8845 C D B A 8845 11892 455 m 22 Hiperestática 15000333 C4 a Propor vários sistemas base que podem ser utilizados para analisar a estrutura com o método das forças indicando para cada um o que são as respetivas incógnitas hiperestáticas b Escolher um dos sistemas base propostos em a e analisar a estrutura com o método das forças Determine os diagramas de esforços N V e M C A B D C A B D C A B D C A B D C A D C A D X2 X1 Sistema base 1 X1 RDx X2 RDy X1 X2 Sistema base 2 X1 RAx X2 MA X1 X2 Sistema base 3 X1 RDx X2 MA X1 X2 Sistema base 4 X1 RDx X2 MB B X1 X2 Sistema base 5 X1 MB X2 MA B X1 Sistema base 6 X1 MB X2 RDy X2 atenção este sistema base não é válido porque a barra BCD fica transformada num mecanismo fica instável C 30 m 30 m 20 kN A B EI EI 30 kNm 30 m EI D RDy830 kN RDx2864 kN RAy1170 kN RAx6136 kN MA3886 kNm Hiperestática 15000333 23 c Calcular a rotação em D EI105kNm2 igual nas 2 barras da estrutura D 3477 104 rad sentido antihorário M kNm N kN 2864 1170 V kN 1170 830 C A B D 2864 C A B D 6136 0955 m 2045 m 1023 2489 239 C A B D 3886 0955 m 2045 m 1023 24 Hiperestática 15000333 C5 E 40 GPa seção retangular b 025 m h 06 m 105 ºC Utilizando o método das forças calcular os esforços internos devidos à ação de uma variação de temperatura com Te 20 ºC e Ti 10 ºC B A 50 m 40 m C 50 m 15 m 40 m D E 15 m 10ºC 20ºC 20ºC 10ºC 20ºC 10ºC 20ºC 10ºC M kNm RBy0 RBx606 kN V kN 606 RAy0 RAx606 kN B A C D E 580 580 B A C D E 174 174 N kN D 580 580 606 B A C D E 2425 2425 2425 2425 3334 3334 Hiperestática 15000333 25 C6 EI 105 kNm2 barra CD A 50 I m a Qual o grau de estaticidade da estrutura externo interno e global e 4 3 1 i 3 x 1 2 1 g e i 1 1 2 ou g 3 x 2 4 2 b Propor dois sistemas base que podem ser utilizados para analisar a estrutura através do método das forças c Utilizando um dos sistemas base propostos em b calcular os esforços internos N V e M traçar os seus diagramas e as reações de apoio C D A F B E X1 X2 Sistema base 1 X1 ME X2 MF C D A F B E X1 Sistema base 2 X1 MF X2 NCD X2 X2 C D 20 m 40 m A 40 m F 10 m B 30 m E 2I A50I m I I I I 30 kNm RBy80 kN RBx389 kN RAy40 kN RAx389 kN 26 Hiperestática 15000333 d Determinar o deslocamento horizontal do ponto F HD 183 mm M kNm N kN 1942 80 V kN C D A F B E 80 1553 4444 3750 1942 389 C D A F B E 80 052 1442 40 1333 m 6215 389 C D A F B E 1611 1785 1333 m 6215 4452 1785 Hiperestática 15000333 27 C7 Calcular os diagramas de esforços N V e M e as reações de apoio na viga contínua representada na figura EI constante ao longo de todas as barras C 40 m A B 50 m 20 kNm EI EI 4935 M kNm RCy11350 kN 3065 V kN RBy9596 kN RAy3065 kN C B 4661 5339 153 m 233 m A 3740 E 60 m D 40 m EI EI REy2658 kN RDy11331 kN 6011 5989 D 5342 2658 301 m 267 m E C B 153 m 233 m A D 301 m 267 m E 2345 1690 5369 3611 1763 5436 28 Hiperestática 15000333 C8 Calcular os diagramas de esforços N V e M e as reações de apoio na estrutura representada na figura EI constante em todas as barras 3632 A 30 m B 40 m 30 m C D 10 kNm 20 kNm EI 30 m EI EI M kNm RAy3150 kN RDx4861 kN N kN 4861 V kN MD9418 kNm 3150 2850 A B C D A B C D A B C D RAx4861 kN RDy5850 kN 4861 5599 2850 5850 636 1575 m 9418 3632 450 1575 m 2481 Hiperestática 15000333 29 C9 EI 105 kNm2 h 04 m 105 ºC Utilizando o método das forças calcular os esforços internos N V e M e as reações de apoio devidos à ação de uma variação de temperatura com Te 5 ºC e Ti 15 ºC C 50 m 30 m B A 12EI EI 5ºC 15ºC 5ºC 15ºC M kNm RCy1691 kN RCx2818 kN RAy1691 kN RAx2818 kN C B A N kN 2818 1691 V kN C B A 8453 8453 B A 2818 1691 C 30 Hiperestática 15000333 C10 Utilizando o método das forças calcular os esforços internos N V e M 4760 A 20 m B 40 m 20 m C EI EI 40 m D 30 kNm EI M kNm RDy5933 kN RDx983 kN RAy6067 kN RAx4017 kN N kN 5933 V kN MD3597 kNm 7223 6193 3934 A B C D A 20 m B 40 m 20 m C EI EI 40 m D 30 kNm EI RDy5933 kN RDx983 kN RAy6067 kN RAx4017 kN MD3597 kNm A B C D A B C D 7223 880 880 983 2408 m 3934 1631 3597 2408 m 1631 Hiperestática 15000333 31 D Método dos deslocamentos ou da rigidez D1 Barras indeformáveis axialmente e com EI105kNm2 h05 m e 105ºC a Cargas representadas na figura b Variação de temperatura com Te 5 ºC e Ti 5 ºC M kNm C 60 m A B 20 m 16 kNm EI EI 32 kN 20 m 568 392 V kN RAy392 kN B 292 28 A 528 B A 2345 56 RBy860 kN RCy28 kN 245 m C C M kNm C 60 m A B 20 m EI EI 20 m 75 50 V kN RAy5 kN B 50 75 A B A 300 RBy125 kN RCy75 kN C C 32 Hiperestática 15000333 c Recalque vertical do apoio B y 1cm D2 Analisar a estrutura representada na figura calculando as reações de apoio e os diagramas de esforços N V e M barras indeformáveis axialmente M kNm C 60 m A B 20 m EI EI 20 m 3125 2083 V kN RAy2083 kN B 2083 3125 A B A 1250 RBy5208 kN RCy3125 kN C C C 60 m 40 m 4 kNm B A EI EI RCy10 kN RCx45 kN RAy14 kN RAx45 kN MA 6 kNm C B A N kN 45 14 Hiperestática 15000333 33 D3 Analisar a estrutura representada na figura calculando as reações de apoio e os diagramas de esforços N V e M barras indeformáveis axialmente C B A V kN 10 45 14 350 m M kNm 125 C B A 12 12 350 m 6 C 40 m 60 m 10 kNm B A EI 2EI 4 kNm RAy141 kN RCy259 kN RCx24 kN MC 484 kNm N kN C B A 259 34 Hiperestática 15000333 D4 Analisar a estrutura representada na figura calculando as reações de apoio e os diagramas de esforços N V e M barras indeformáveis axialmente V kN 259 24 141 141 m M kNm 994 236 236 484 C B A C B A 141 m A 60 m 60 m 40 kNm B F EI EI 60 kN 40 m EI 40 m EI C EI E D REy9554 kN REx1727 kN RCy18417 kN RCx1107 kN MC 2214 kNm RAy2029 kN RAx620 kN MA 124 kNm N kN 1727 2029 A B F C D 18417 E 620 Hiperestática 15000333 35 D5 Analisar a estrutura representada na figura calculando as reações de apoio e os diagramas de esforços N V e M barras indeformáveis axialmente V kN 9554 14446 361 m 620 A B F C D 1107 E 3971 2029 M kNm 11396 14679 124 A B F C D E 5635 248 248 2214 4428 10251 20 m 40 m 50 m B 2EI 24 kNm A 20 m 2EI G C EI D 50 kN 30 kN E F 2EI 2EI 2EI RAy986 kN RDx272 kN MC 12441 kNm RGy3017 kN RCy9117 kN RDy6880 kN RCx272 kN MD 12182 kNm 36 Hiperestática 15000333 N kN 6897 B A G C D E F 272 272 V kN 120 m 272 B A G C D E F 9117 2883 986 986 6880 3880 3017 3144 9051 M kNm 1578 12182 120 m 285 B A G C D E F 3946 802 9336 12441 4874 Hiperestática 15000333 37 D6 Analisar a estrutura representada na figura calculando as reações de apoio e os diagramas de esforços V e M barras indeformáveis axialmente Esta estrutura é idêntica à do exercício C7 simplesmente aqui pretendese que a análise seja efetuada com o método dos deslocamentos Portanto para ver o resultado final consultar a solução do exercício C7 D7 Calcular os diagramas de esforços N V e M e as reações de apoio na estrutura da figura EI 105 kNm2 h 06 m em todas as barras quando sujeita separadamente às ações indicadas nas alíneas seguintes a As cargas representadas na figura 40 m A B 50 m 20 kNm EI EI 60 m EI 40 m EI C D E C 80 m 40 m B A EI EI 20 m 20 m EI 20 kN D 20 kNm 50 kN EI RBy7703 kN RBx6594 kN MB 26375 kNm RAy8297 kN RAx406 kN C B A D N kN 6594 7703 8297 38 Hiperestática 15000333 b Recalque vertical do apoio A y 2cm V kN 7703 8297 6594 C B A D 406 1594 415 m M kNm 26375 14841 2375 C B A D 415 m 812 2375 MB 4688 kNm C 80 m B A EI 40 m EI D EI RBy586 kN RBx1172 kN RAy586 kN RAx1172 kN Hiperestática 15000333 39 C B A D N kN 1172 586 586 V kN 1172 C B A D 1172 586 M kNm 4688 C B A D 4688 4688 40 Hiperestática 15000333 c Recalque de rotação do apoio B 0001 rad sentido horário MB 1875 kNm C 80 m B A EI 40 m EI D EI RBy234 kN RBx469 kN RAy234 kN RAx469 kN C B A D N kN 469 234 234 V kN 469 C B A D 469 234 Hiperestática 15000333 41 d Variação de temperatura na barra CD Te6C e Ti6C 105C M kNm 1875 C B A D 1875 1875 MB 15 kNm C 80 m B A EI 40 m EI D EI RBy188 kN RBx375 kN RAy188 kN RAx375 kN C B A D N kN 375 188 188 42 Hiperestática 15000333 D8 Calcular os diagramas de esforços N V e M e as reações de apoio na estrutura representada na figura barras indeformáveis axialmente V kN 275 C B A D 275 188 M kNm 15 C B A D 15 15 60 m 60 m B D EI 2EI C A 60 m 100 kNm 2EI RDy56 kN RDx0 MD 338 kNm RCy122 kN RAy422 kN Hiperestática 15000333 43 N kN 40 B D C A V kN 178 422 B D C A 122 40 422 m M kNm 338 731 B D C A 890 422 m 44 Hiperestática 15000333 D9 Calcular os diagramas de esforços N V e M e as reações de apoio na estrutura representada na figura barras indeformáveis axialmente A 20 m B 30 m C 50 kNm 110 kN EI 40 m EI EI 20 m D RAy12178 kN RAx6207 kN MA 9570 kNm RCy22822 kN RCx17207 kN N kN 6207 22582 9982 A B C D 28582 15982 Hiperestática 15000333 45 V kN 12178 7822 A B C D 4228 272 4572 072 2436 m 0151 m 838 859 M kNm 9570 859 A B C D 5260 5804 2436 m 0151 m 46 Hiperestática 15000333 E Processo de Cross estruturas de nós fixos E1 Analisar a estrutura da figura calculando os diagramas de esforços V e M e as reações de apoio EI const barras indeformáveis axialmente E2 Analisar a estrutura da figura calculando os diagramas de esforços V e M e as reações de apoio EI const barras indeformáveis axialmente MA 1222 kNm C 100 m A B 80 m 12 kNm EI EI M kNm 5334 6666 V kN RAy6666 kN 1043 556 556 m RBy6377 kN RCy1043 kN MC 278 kNm C A B 1222 278 556 m C A B 631 MA 1258 kNm C 100 m A B 80 m 12 kNm EI EI M kNm 5226 6774 V kN RAy6774 kN 605 484 RBy5831 kN RCy605 kN A B 1258 A B 656 C C 565 m 565 m Hiperestática 15000333 47 E3 Analisar a estrutura da figura calculando os diagramas de esforços V e M e as reações de apoio EI const barras indeformáveis axialmente E4 Analisar a estrutura da figura calculando os diagramas de esforços N V e M e as reações de apoio EI const barras indeformáveis axialmente 80 m A C 50 m 50 kNm EI EI D 50 m B EI M kNm 200 200 V kN 400 m RDy609 kN MD 1016 kNm RAy609 kN MA 1016 kNm RBy2609 kN RCy2609 kN A C D B 609 609 2031 2031 400 m A C D B 1016 1016 1969 40 m 20 m 8 kNm B A EI EI 30 m C D EI RAy975 kN RCy1509 kN RDy084 kN RDx338 kN Rcx338 kN MD113 kNm MC225 kNm B A C D N kN 1509 338 48 Hiperestática 15000333 E5 Analisar a estrutura da figura calculando os diagramas de esforços N V e M e as reações de apoio EI const barras indeformáveis axialmente B A C D V kN 1425 084 975 338 122 m B A C D 225 1125 45 122 m M kNm 675 225 594 10 kNm 40 m 20 m 8 kNm B A EI EI 30 m C D EI RAy1058 kN RCy1520 kN RDy178 kN RDx713 kN Rcx713 kN MD238 kNm MC475 kNm B A C D N kN 1520 713 Hiperestática 15000333 49 E6 Analisar a estrutura da figura calculando os diagramas de esforços V e M EI const barras indeformáveis axialmente B A C D V kN 1342 178 1058 713 132 m B A C D 475 2375 95 M kNm 425 475 698 132 m 75 m 30 m 2 kNm B EI EI 40 m D EI C A V kN 788 712 235 B D C A 356 m 084 50 Hiperestática 15000333 E7 Analisar a estrutura da figura calculando os diagramas de esforços V e M e as reações de apoio EI const barras indeformáveis axialmente M kNm 517 1032 750 469 B D C A 356 m 281 235 141 A B 10 kNm EI 30 m C 30 m D 30 m EI EI M kNm 13 17 V kN RDy130 kN RAy05 kN RBy30 kN RCy195 kN A B C D 25 170 m 05 60 A B C D 170 m 15 845 Hiperestática 15000333 51 E8 Analisar a estrutura da figura calculando os diagramas de esforços V e M e as reações de apoio EI const barras indeformáveis axialmente E9 Analisar a estrutura da figura calculando os diagramas de esforços V e M e as reações de apoio EI const barras indeformáveis axialmente Esta estrutura é idêntica à do exercício C7 e D6 também simplesmente aqui pretendese que a análise seja efetuada utilizando o processo de Cross Portanto para ver o resultado final consultar a solução do exercício C7 10 kNm A B EI 30 m C 30 m D 30 m EI EI 10 kNm RDy178 kN RAy378 kN RBy267 kN RCy067 kN 178 V kN A B C D 111 378 534 A B C D 133 10 M kNm 466 40 m A B 50 m 20 kNm EI EI 60 m EI 40 m EI C D E 52 Hiperestática 15000333 E10 Analisar a estrutura da figura calculando os diagramas de esforços V e M EI const barras indeformáveis axialmente A 30 m 50 m 5 kNm B EI EI 40 m EI 50 m EI C E D 20 kNm RAy895 kN ME309 kNm RCy307 kN REy798 kN REx185 kN RDx185 kN MD664 kNm N kN 798 185 A B C E D V kN 1105 185 895 307 A B C E D 179 m 418 M kNm 1336 309 664 616 801 198 A B C E D 179 m Hiperestática 15000333 53 E11 Analisar a estrutura da figura calculando os diagramas de esforços N V e M e as reações de apoio E const barras indeformáveis axialmente A 40 m 12 kNm B I 80 m 2I 80 m 2I C D 60 m 2I E MA215 kNm RAy484 kN RAx161 kN REy64 kN REx18 kN RCy54 kN RCx179 kN N kN 484 A B C D E 161 18 64 V kN 476 64 484 A B C D E 18 161 403 m 54 Hiperestática 15000333 E12 Analisar a estrutura da figura calculando os diagramas de esforços V e M e as reações de apoio EI const barras indeformáveis axialmente Ter em atenção que a estrutura é simétrica e o carregamento é simétrico M kNm 43 538 40 43 A B C D E 11 403 m 215 11 D B C 2 m A B 4 m 3 kNm EI EI 6 m EI E D 6 m EI C 6 m EI F 4 m EI G 5 kNm 3 kNm 6 m EI H 2 m EI I M kNm 658 885 V kN RHy1485 kN RGy1457 kN REy3290 kN RDy2013 kN RCy1457 kN RBy1485 kN RFy2013 kN A E F G H I 1645 1645 600 915 542 1355 1355 658 915 542 885 600 295 m 181 m 271 m 329 m 219 m 305 m D B C 60 A E F G H I 179 71 69 295 m 181 m 271 m 329 m 219 m 305 m 92 92 20 60 71 69 92 92 20