Exercícios de Hiperestática: Cálculo de Reações, Deformações e Deslocamentos

Hiperestática 15000333 i Hiperestática 15000333 Exercícios A Reações de apoio e diagramas de esforços em estruturas isostáticas revisão B Princípio dos Trabalhos Virtuais Cálculo de deformações deslocamentos e rotações em estruturas isostáticas aplicando o método da carga unitária C Método das Forças ou da Flexibilidade D Método dos Deslocamentos ou da Rigidez E Processo de Cross ii Hiperestática 15000333 Hiperestática 15000333 1 Hiperestática 15000333 Exercícios A Reações de apoio e diagramas de esforços em estruturas isostáticas revisão Exercício A1 Exercício A2 Exercício A3 C D 4 m A 30 kN 1 m 3 m 40 kNm 20 kNm B E 2 m 1 m C D 4 m A 10 kN 1 m 3 m 10 kNm B 2 m 20 kN C D 2 m A 2 m 2 m 20 kNm 10 kNm B E 2 m 2 m 40 kN 2 m 2 Hiperestática 15000333 Exercício A4 Exercício A5 Exercício A6 C D 3 m 2 m 2 m 20 kNm B E A C D 2 m A 2 m 3 m 10 kNm B E 50 kN F 20 kNm 2 m C D 25 m 50 kNm B 25 m A 20 m 20 m 20 m 20 m E 50 kNm 40 kN Hiperestática 15000333 3 Exercício A7 F C D 4 m 2 m 4 m 10 kNm B E A 40 kNm 3 m 2 m 20 kN G 4 Hiperestática 15000333 B Princípio dos Trabalhos Virtuais Cálculo de deformações deslocamentos e rotações em estruturas isostáticas aplicando o método da carga unitária Exercício B1 E 200 GPa I 300 x 106 mm4 Considerando apenas a deformabilidade por flexão nas barras da estrutura representada desprezar a deformabilidade por esforço cortante calcular o deslocamento vertical dos pontos a D VD b B VB Exercício B2 E 200 GPa A 300 mm2 Calcular os deslocamentos seguintes a Deslocamento vertical do ponto C VC b Deslocamento horizontal relativo entre os pontos F e E HFE Exercício B3 E 30 GPa 02 barras com seção retangular de b 02 m x h 03 m Calcular o deslocamento horizontal do ponto C considerando apenas as deformabilidades de a flexão b esforço normal c esforço cortante d quantificar a importância relativa de cada deformabilidade B D A 30 kN 120 kNm C 30 m 30 m 45 m C E 30 m 20 kN 30 m 30 m 20 kN 30 m B D F A C 24 m 60 kNm B 30 m A Hiperestática 15000333 5 Exercício B4 E 14 GPa barra CDGEF I 5 x 103 m4 e A 16 x 102 m2 barras AC DB e BE A 8 x 102 m2 Calcular a rotação do ponto F considerar a deformabilidade por flexão e por esforço normal Exercício B5 E 205 GPa I 16 x 104 m4 h 06 m 105 ºC Calcular a rotação relativa em D devido às ações seguintes a carga distribuída de 10 kNm na barra EB conforme indicado na figura b variação de temperatura com Te 15 ºC e Ti 45 ºC c recalques de apoio A x 1 cm e y 2 cm B x 2 cm e y 2 cm Exercício B6 E 205 GPa G 79 GPa barras com seção circular oca øext 0106 m espessura 12 mm Calcular o deslocamento vertical na extremidade livre da grelha ponto C C D 30 m 30 m 30 m 20 kNm B G A E F 30 m 30 m 30 m C 30 m A 30 m 20 m 10 kNm B E D 50 m D B z y x 18 kNm 6 kN 10m C 10m 15m A 6 Hiperestática 15000333 Exercício B7 Considerando o pórtico representado na figura sujeito à ação de uma variação de temperatura com Te 10 ºC e Ti 70 ºC tal como indicado na figura e que h 05 m e 105ºC calcular a o deslocamento horizontal do ponto B b a rotação do ponto C Exercício B8 Considerando 105ºC e a ação de uma variação uniforme de temperatura de 20ºC Te Ti 20ºC em todas as barras da treliça representada calcular o deslocamento horizontal do ponto E HE Exercício B9 As barras de uma grelha têm seção retangular com h 05 m e o seu material tem 105ºC Calcular os deslocamentos verticais dos pontos B VB e C VC provocados pela ação de uma variação de temperatura com Ti 0ºC e Te 20ºC em todas as barras da estrutura C 60 m A 40 m B D 40 m 10 ºC 70 ºC 10 ºC 70 ºC 70 ºC 10 ºC C E 30 m 30 m 30 m 30 m B D F A 20 ºC 20 ºC 20 ºC 20 ºC 20 ºC 20 ºC 20 ºC 20 ºC 20 ºC B z y x 40m C 40m A 0 ºC 20 ºC 0 ºC 20 ºC Hiperestática 15000333 7 Exercício B10 E 30 GPa I 32 x 103 m4 105ºC h 04 m Calcular os deslocamentos verticais das rótulas A e B da viga representada na figura a para as cargas indicadas b para uma variação de temperatura com Ti 15ºC e Te 15ºC c para os recalques de apoio seguintes C y 3 cm e 2 x 103 rad sentido retrógrado D y 2 cm Exercício B11 Considerando que a estrutura representada na figura sofre os recalques de apoio seguintes A x 1 cm y 2 cm e 103 rad sentido direto B x 2 cm Calcular a a rotação relativa das tangentes à linha elástica no ponto E rótula b o deslocamento vertical do ponto E Exercício B12 Considerando que a treliça abaixo representada sofre a ação dos seguintes recalques de apoio A x 15 cm e y 3 cm B y 18 cm calcular o deslocamento vertical do ponto C VC e o deslocamento horizontal do ponto E HE C D 30 m 30 m 30 kNm B A 20 m 50 m E 10 kNm C 60 m 30 m A 60 m 30 m B 30 m D E 30 m C E 30 m 30 m 30 m 30 m B D F A 8 Hiperestática 15000333 Exercício B13 E 25 GPa barras com seção retangular de b 10 m x h 015 m Calcular o máximo deslocamento vertical que se verifica na estrutura desprezar a deformabilidade por esforço normal e por esforço cortante Exercício B14 E 205 GPa I 000275 m4 h 06 m 105ºC a Calcular e fazer o traçado dos diagramas de esforços N V e M que se verificam no pórtico sob ação das cargas representadas na figura Calcular a alteração da distância entre os pontos C e D do pórtico quando este é sujeito às seguintes ações b as cargas representadas na figura c uma variação de temperatura com Ti 5ºC e Te 20ºC em todas as barras do pórtico d calcular o deslocamento vertical do ponto E que se verifica devido aos recalques de apoio A x 2 cm e y 4 cm B y 2 cm A 075m B 10 kNm 10m 10m C D 10 kNm 10 kNm 10m 10m 075m E C 50 m A 50 m B D 40 m 40 m 10 kNm 15 kNm E 10 m 10 m Hiperestática 15000333 9 Exercício B15 EI 105 kNm2 105ºC Considerando a estrutura representada na figura calcular o deslocamento vertical da rótula E devido às seguintes ações desprezar a deformabilidade por corte e por esforço normal a cargas representadas na figura b aumento uniforme de temperatura de 25 ºC c recalques de apoio A x 05 cm e y 1 cm B y 05 cm C 40 m 40 m 40 m 20 kNm B E A 20 m 20 m G 20 m D F H I 2I I 2I 2I 2I I 10 Hiperestática 15000333 C Método das forças ou da flexibilidade Exercício C1 Calcular os diagramas de esforços na viga contínua representada na figura considerando que tem seção e material constante ao longo dos seus dois tramos EI const desprezar a deformabilidade por esforço cortante a utilizar um sistema base obtido por libertação do deslocamento vertical em B remoção do apoio móvel em B b utilizar um sistema base obtido por libertação da rotação relativa em B introdução de uma rótula em B Exercício C2 Utilizando o método das forças resolver a estrutura representada na figura calculando as reações de apoio e os diagramas de esforços N V e M Exercício C3 EI 105 kNm2 h 04 m 105 ºC Utilizando o método das forças determinar os diagramas de esforços N V e M e as reações de apoio para cada uma das ações seguintes a variação de temperatura com Te 5 ºC e Ti 15 ºC b recalques de apoio A x 05cm e y 2cm B x 12cm c carga distribuída de 20 kNm na barra CD representada na figura C 40 m A B 50 m 10 kNm EI EI C 50 m 30 m 20 kNm B A 12EI EI C D 40 m 40 m 40 m 20 kNm B A 40 m EI EI A5I m E Hiperestática 15000333 11 Exercício C4 a Propor vários sistemas base que podem ser utilizados para analisar a estrutura com o método das forças indicando para cada um o que são as respetivas incógnitas hiperestáticas b Escolher um dos sistemas base propostos em a e analisar a estrutura com o método das forças Determine os diagramas de esforços N V e M c Calcular a rotação em D EI105kNm2 igual nas 2 barras da estrutura Exercício C5 E 40 GPa seção retangular b 025 m h 06 m 105 ºC Utilizando o método das forças calcular os esforços internos devidos à ação de uma variação de temperatura com Te 20 ºC e Ti 10 ºC ter em atenção que a estrutura é simétrica e está sujeita a uma ação simétrica C 30 m 30 m 20 kN A B EI EI 30 kNm 30 m EI D B A 50 m 40 m C 50 m 15 m 40 m D E 15 m 10ºC 20ºC 20ºC 10ºC 20ºC 10ºC 20ºC 10ºC 12 Hiperestática 15000333 Exercício C6 EI 105 kNm2 barra CD A 50 I m a Qual o grau de estaticidade da estrutura externo interno e global b Propor dois sistemas base que podem ser utilizados para analisar a estrutura através do método das forças c Utilizando um dos sistemas base propostos em b calcular os esforços internos N V e M traçar os seus diagramas e as reações de apoio d Determinar o deslocamento horizontal do ponto F Exercício C7 Calcular os diagramas de esforços N V e M e as reações de apoio na viga contínua representada na figura EI constante ao longo de todas as barras Exercício C8 Calcular os diagramas de esforços N V e M e as reações de apoio na estrutura representada na figura EI constante em todas as barras C D 20 m 40 m A 40 m F 10 m B 30 m E 2I A50I m I I I I 30 kNm 40 m A B 50 m 20 kNm EI EI 60 m EI 40 m EI C D E A 30 m B 40 m 30 m C D 10 kNm 20 kNm EI 30 m EI EI Hiperestática 15000333 13 Exercício C9 EI 105 kNm2 h 04 m 105 ºC Utilizando o método das forças calcular os esforços internos N V e M e as reações de apoio devidos à ação de uma variação de temperatura com Te 5 ºC e Ti 15 ºC Exercício C10 Utilizando o método das forças calcular os esforços internos N V e M C 50 m 30 m B A 12EI EI 5ºC 15ºC 5ºC 15ºC A 20 m B 40 m 20 m C EI EI 40 m D 30 kNm EI 14 Hiperestática 15000333 D Método dos deslocamentos ou da rigidez Exercício D1 Analisar a estrutura representada na figura calculando os diagramas de esforços V e M para as ações indicadas em cada alínea Considerar que as barras têm propriedades constantes EI105kNm2 h05 m e 105ºC e que são indeformáveis axialmente a Cargas representadas na figura b Variação de temperatura com Te 5 ºC e Ti 5 ºC c Recalque vertical do apoio B y 1cm Exercício D2 Analisar a estrutura representada na figura calculando as reações de apoio e os diagramas de esforços N V e M barras indeformáveis axialmente Exercício D3 Analisar a estrutura representada na figura calculando as reações de apoio e os diagramas de esforços N V e M barras indeformáveis axialmente C 60 m A B 20 m 16 kNm EI EI 32 kN 20 m C 60 m 40 m 4 kNm B A EI EI C 40 m 60 m 10 kNm B A EI 2EI 4 kNm Hiperestática 15000333 15 Exercício D4 Analisar a estrutura representada na figura calculando as reações de apoio e os diagramas de esforços N V e M barras indeformáveis axialmente Exercício D5 Analisar a estrutura representada na figura calculando as reações de apoio e os diagramas de esforços N V e M barras indeformáveis axialmente Exercício D6 Analisar a estrutura representada na figura calculando as reações de apoio e os diagramas de esforços V e M barras indeformáveis axialmente A 60 m 60 m 40 kNm B F EI EI 60 kN 40 m EI 40 m EI C EI E D 20 m 40 m 30 m B 2EI 24 kNm A 20 m 2EI 20 m G C EI D 50 kN 30 kN E F 2EI 2EI 2EI 40 m A B 50 m 20 kNm EI EI 60 m EI 40 m EI C D E 16 Hiperestática 15000333 Exercício D7 Calcular os diagramas de esforços N V e M e as reações de apoio na estrutura da figura EI 105 kNm2 h 06 m em todas as barras quando sujeita separadamente às ações indicadas nas alíneas seguintes a As cargas representadas na figura b Recalque vertical do apoio A y 2cm c Recalque de rotação do apoio B 0001 rad sentido horário d Variação de temperatura na barra CD Te6C e Ti6C 105C Exercício D8 Calcular os diagramas de esforços N V e M e as reações de apoio na estrutura representada na figura barras indeformáveis axialmente C 80 m 40 m B A EI EI 20 m 20 m EI 20 kN D 20 kNm 50 kN EI 60 m 60 m B D EI 2EI C A 60 m 100 kNm 2EI Hiperestática 15000333 17 Exercício D9 Calcular os diagramas de esforços N V e M e as reações de apoio na estrutura representada na figura barras indeformáveis axialmente A 20 m B 30 m C 50 kNm 110 kN EI 40 m EI EI 20 m D 18 Hiperestática 15000333 E Processo de Cross estruturas de nós fixos Exercício E1 Analisar a estrutura da figura calculando os diagramas de esforços V e M e as reações de apoio EI const barras indeformáveis axialmente Exercício E2 Analisar a estrutura da figura calculando os diagramas de esforços V e M e as reações de apoio EI const barras indeformáveis axialmente Exercício E3 Analisar a estrutura da figura calculando os diagramas de esforços V e M e as reações de apoio EI const barras indeformáveis axialmente Exercício E4 Analisar a estrutura da figura calculando os diagramas de esforços N V e M e as reações de apoio EI const barras indeformáveis axialmente Exercício E5 Analisar a estrutura da figura calculando os diagramas de esforços N V e M e as reações de apoio EI const barras indeformáveis axialmente C 100 m A B 80 m 12 kNm EI EI C 100 m A B 80 m 12 kNm EI EI 80 m A C 50 m 50 kNm EI EI D 50 m B EI 40 m 20 m 8 kNm B A EI EI 30 m C D EI 40 m 20 m 8 kNm B A EI EI 30 m C D EI 10 kNm Hiperestática 15000333 19 Exercício E6 Analisar a estrutura da figura calculando os diagramas de esforços V e M EI const barras indeformáveis axialmente Exercício E7 Analisar a estrutura da figura calculando os diagramas de esforços V e M e as reações de apoio EI const barras indeformáveis axialmente Exercício E8 Analisar a estrutura da figura calculando os diagramas de esforços V e M e as reações de apoio EI const barras indeformáveis axialmente Exercício E9 Analisar a estrutura da figura calculando os diagramas de esforços V e M e as reações de apoio EI const barras indeformáveis axialmente 75 m 30 m 2 kNm B EI EI 40 m D EI C A A B 10 kNm EI 30 m C 30 m D 30 m EI EI 10 kNm A B EI 30 m C 30 m D 30 m EI EI 10 kNm 40 m A B 50 m 20 kNm EI EI 60 m EI 40 m EI C D E 20 Hiperestática 15000333 Exercício E10 Analisar a estrutura da figura calculando os diagramas de esforços V e M EI const barras indeformáveis axialmente Exercício E11 Analisar a estrutura da figura calculando os diagramas de esforços N V e M e as reações de apoio E const barras indeformáveis axialmente Exercício E12 Analisar a estrutura da figura calculando os diagramas de esforços V e M e as reações de apoio EI const barras indeformáveis axialmente Ter em atenção que a estrutura é simétrica e o carregamento é simétrico A 30 m 50 m 5 kNm B EI EI 40 m EI 50 m EI C E D 20 kNm A 40 m 12 kNm B I 80 m 2I 80 m 2I C D 60 m 2I E 2 m A B 4 m 3 kNm EI EI 6 m EI E D 6 m EI C 6 m EI F 4 m EI G 5 kNm 3 kNm 6 m EI H 2 m EI I