Lista 1 - Estatistica e Introdução a Econometria - 2023-1

EXERCÍCIOS DA SEÇÃO 6.8 Determine a média e o desvio-padrão dos números de quatro dígitos de loteria uniformemente distri- buídos (0000 a 9999). 6.9 As idades de programadores de Java da SynFlex Corp. variam de 20 a 60 anos. (a) Se suas idades são uniformemente distribuídas, qual seria a média e desvio-padrão? (b) Qual é a probabilidade de que uma idade de um programador selecionado aleatoriamente seja de ao menos 40 anos? E ao menos 30 anos? Dica: Trate as idades dos funcionários como inteiros. 6.10 Um auditor de uma companhia de seguro médico seleciona aleatoriamente uma amostra de solici- tações de reembolso de drogas prescritas para avaliação de pagamento correto por especialistas da companhia. As solicitações foram selecionadas aleatoriamente de um banco de dados de 500 mil solicitações, usando-se números aleatórios uniformes entre 1 e 500 mil. Para verificar se os números aleatórios eram realmente de uma distribuição uniforme, o auditor calculou a média e o desvio-padrão dos números aleatórios. Quais deveriam ser a média e o desvio-padrão se os números fossem inteiros uniformemente distribuídos? 6.11 (a) Se os dias dos aniversários de estudantes nascidos em janeiro são uniformemente distribuídos, quais deveriam ser a média esperada e o desvio-padrão? (b) Você acha que os aniversários em janeiro são realmente uniformemente distribuídos? 6.12 Use o Excel para gerar 100 inteiros aleatórios de (a) 1 a 2, inclusive; (b) 1 a 5, inclusive; e (c) 0 a 99, inclusive. (d) Em cada caso, escreva a fórmula do Excel. (e) Em cada caso, calcule a média e o desvio- padrão da amostra de 100 inteiros gerados e compare-as com seus valores teóricos. 6.16 Calcule cada probabilidade binomial: a. X = 2, n = 8, π = 0,10 b. X = 1, n = 10, π = 0,40 c. X = 3, n = 12, π = 0,70 d. X = 5, n = 9, π = 0,90 6.17 Calcule a probabilidade de cada evento composto: a. X ≤ 3, n = 8, π = 0,20 b. X > 7, n = 10, π = 0,50 c. X < 3, n = 6, π = 0,70 d. X ≤ 10, n = 14, π = 0,95 6.18 Calcule cada uma das probabilidades binomiais: a. Menos do que 4 sucessos em 12 ensaios com probabilidade de sucesso de 10%. b. Ao menos 3 sucessos em 7 ensaios com probabilidade de sucesso de 40%. c. No máximo 9 sucessos em 14 ensaios com 60% de probabilidade de sucesso. d. Mais do que 10 sucessos em 16 ensaios com probabilidade de sucesso de 80%. 6.19 No Hotel Ardmore, 20% dos clientes pagam com o cartão de crédito American Express. (a) Dos próxi- mos 10 clientes, qual é a probabilidade de que nenhum pague com American Express? (b) E ao menos dois? (c) E menos do que três? (d) Qual é o número esperado de clientes que pagam com American Express? (e) Encontre o desvio-padrão. (f) Construa a distribuição de probabilidade (usando o Excel ou o Apêndice A). (g) Faça um gráfico de sua FDP e descreva a sua forma. 6.20 Historicamente, 5% dos clientes recorrentes de uma empresa de vendas por correio têm o endereço atual incorreto na base de dados computacional da empresa. (a) Qual é a probabilidade de que nenhum dos próximos 12 clientes que voltam a telefonar tenha um endereço incorreto? (b) E um cliente? E dois clientes? (d) Menos do que três? (e) Construa a distribuição de probabilidade (usando o Excel ou o Apêndice A), construa um gráfico de sua FDP e descreva a sua forma. 6.21 Em um escritório de apostas de futebol americano existem 10 jogos difíceis esta semana (isto é, as chances para os times são de meio a meio). Um apostador escolhe o ganhador em cada um dos jogos usando o resultado de cara ou coroa. (a) Qual é a probabilidade de que ele faça a escolha correta em todos os 10 jogos? (b) E ao menos em cinco jogos? (c) E para menos do que três jogos? (d) E para não mais do que seis jogos? 6.22 A J. D. Power e Associados diz que 60% dos compradores de automóveis atualmente usam a internet para pesquisar e fazer comparação de preços. (a) Encontre a probabilidade de que, em uma amostra de oito compradores, todos os oito usarão a internet; (b) ao menos cinco; (c) mais que quatro. (d) Encontre a média e o desvio-padrão da distribuição de probabilidade. (e) Esboce a FDP (usando o Excel ou o Apêndice A) e descreva a sua aparência (por exemplo, o tipo de assimetria). (Dados de PETER, J. Paul; OLSON Jerry C. Consumer Behavior and Marketing Strategy 7. ed., McGraw-Hill/lrwin, 2005, p. 188. 6.24 Calcule cada uma das probabilidades Poisson: a. X = 2, λ = 0,1 b. X = 1, λ = 2,2 c. X = 3, λ = 1,6 d. X = 6, λ = 4 e. X = 10, λ = 12 6.25 Calcule a probabilidade para cada evento composto: a. X ≤ 3, λ = 4,3 b. X > 7, λ = 5,2 c. X < 3, λ = 2,7 d. X ≤ 10, λ = 11 6.26 Calcule cada uma das probabilidades Poisson: a. Menos que 4 chegadas com λ = 5,8. b. Ao menos 3 chegadas com λ = 4,8. c. No máximo 9 chegadas com λ = 7. d. Mais que 10 chegadas com λ = 8. 6.27 De acordo com a J. D. Power e Associados, a taxa média de defeitos em um Porsche 2004 novo era de 2,4 defeitos. Em uma amostra aleatória de Porsches novos, encontre a probabilidade de (a) ao menos um defeito; (b) ausência de defeitos; (c) mais que três defeitos. (d) Construa a distribuição de proba- bilidade (Excel ou Apêndice B), faça o gráfico de sua FDP e descreva sua forma. (Dados do The Wall Street Journal, 30 jun. 2004, p. D3.) 6.28 Em uma clínica de saúde mental, há a taxa média de 1,5 consultas canceladas por dia em uma quarta- feira típica. Seja X o número de cancelamentos em certa quarta-feira. (a) Justifique o uso do modelo Poisson. (b) Qual é a probabilidade de que não ocorram cancelamentos em certa quarta-feira? (c) E um cancelamento? (d) Mais que dois? (e) Cinco ou mais? 6.29 Na Copa do Mundo de futebol, a média por partida é de 2,7 gols. Em um jogo, seja X o número de gols. (a) Justifique o uso do modelo de Poisson. (b) Qual é a probabilidade de ao menos um gol? (c) Mais de três gols? (d) Construa a distribuição de probabilidade (Excel ou Apêndice B, faça o gráfico de sua FDP e descreva sua forma. (Dados de USA Today, 2 jul. 1998, p. 1C.) 6.30 (a) Por que o número de bocejos por minuto dado por estudantes em uma sala de aula quente não é um evento de Poisson? (b) Dê dois exemplos adicionais de eventos por unidade de tempo que violam as suposições do modelo de Poisson e explique por quê. EXERCÍCIOS DA SEÇÃO Note: Use o Apêndice C-1 ou C-2 para estes exercícios. 7.13 Encontre a área da distribuição normal padrão para cada uma das seguintes probabilidades, mostrando seu raciocínio claramente e indicando qual tabela você usou. a. P(0 < Z < 0,5) b. P(−0,5 < Z < 0) c. P(Z > 0) d. P(Z = 0) 7.14 Encontre a área da distribuição normal padrão para cada uma das probabilidades seguintes, mostrando seu raciocínio claramente e indicando qual tabela você usou. a. P(1,22 < Z < 2,15) b. P(2 < Z < 3) c. P(−2 < Z < 2) d. P(Z > 0,5) 7.15 Encontre a área da distribuição normal padrão para cada uma das seguintes probabilidades, mostrando seu raciocínio claramente e indicando qual tabela você usou. a. P(−1,22 < Z < 2,15) b. P(−3 < Z < 2) c. P(Z < 2) d. P(Z = 0) 7.16 A produção diária da refinaria de Marathon’s Garyville, Lousiana, é normalmente distribuída com média de 232.000 barris de óleo cru por dia, com desvio-padrão de 7.000 barris. (a) Qual é a probabilidade de se produzir ao menos 232.000 barris? (b) E entre 232.000 e 239.000 barris? (c) E menos que 239.000 barris? (d) Menos que 245.000 barris? (e) Mais que 225.000 barris? 7.17 Assuma que o número de calorias em um Egg McMuffin do McDonald’s é uma variável aleatória normalmente distribuída com média de 290 calorias e desvio-padrão de 14 calorias. (a). Qual é a probabilidade de que uma particular porção contenha menos do que 300 calorias? (b) Mais de 250 calorias? (c) Entre 275 e 310 calorias? Mostre todo o trabalho claramente. (Dados de McDonalds.com) 7.18 O peso de uma balinha de chocolate Tootsie Roll é normalmente distribuído com média de 3,3 gramas e desvio-padrão de 0,13 gramas. (a) Dentro de que intervalo de peso caem 95% dos valores centrais de todas as balinhas de chocolate Tootsie Rolls? (b) Qual é a probabilidade de uma balinha menor Tootsie Roll escolhida aleatoriamente pesar mais do que 3,5 gramas? (Dados de um projeto do estudante de MBA Henry Scussel.) 𝑋: 𝐼𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐽𝑎𝑣𝑎 𝑑𝑎 𝑆𝑦𝑛𝐹𝑙𝑒𝑥 → 𝑋 ∼ 𝑈𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒(20; 60) 𝑓𝑋(𝑥) = { 1 𝑏 − 𝑎 , 𝑠𝑒 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 → 𝑓𝑋(𝑥) = { 1 40 , 𝑠𝑒 20 ≤ 𝑥 ≤ 60 0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 a) 𝑀é𝑑𝑖𝑎 = 𝜇 = 𝑎 + 𝑏 2 = 20 + 60 2 = 40 𝑎𝑛𝑜𝑠 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑃𝑎𝑑𝑟ã𝑜 = 𝜎 = √(𝑏 − 𝑎 + 1)2 − 1 12 = √(60 − 20 + 1)2 − 1 12 = 11,8322 ≈ 12 𝑎𝑛𝑜𝑠 b) 𝐴𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 40 𝑎𝑛𝑜𝑠 = 𝑃(𝑋 ≥ 40) = ∫ 1 40 𝑑𝑥 60 40 = ( 𝑥 40) 40 60 = 60 40 − 40 40 = 20 40 = 1 2 = 0,5 = 50% 𝐴𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 30 𝑎𝑛𝑜𝑠 = 𝑃(𝑋 ≥ 30) = ∫ 1 40 𝑑𝑥 60 30 = ( 𝑥 40) 30 60 = 60 40 − 30 40 = 30 40 = 3 4 = 0,75 = 75% 𝑋: 𝐴𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠á𝑟𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑛𝑎𝑠𝑐𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑚 𝐽𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑜 → 𝑋 ∼ 𝑈𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒(1; 31) 𝑓𝑋(𝑥) = { 1 𝑏 − 𝑎 , 𝑠𝑒 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 → 𝑓𝑋(𝑥) = { 1 30 , 𝑠𝑒 1 ≤ 𝑥 ≤ 31 0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 a) 𝑀é𝑑𝑖𝑎 = 𝜇 = 𝑎 + 𝑏 2 = 1 + 31 2 = 16 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑃𝑎𝑑𝑟ã𝑜 = 𝜎 = √(𝑏 − 𝑎 + 1)2 − 1 12 = √(31 − 1 + 1)2 − 1 12 = 8,9443 ≈ 9 𝑑𝑖𝑎𝑠 b) Sim, visto que a probabilidade de alguém nascer em janeiro é igual para todos os dias. a) 𝑋 ∼ 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑎𝑖𝑙(8; 0,20) 𝑃(𝑋 ≤ 3) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) = (8 0) ⋅ 0,20 ⋅ 0,88 + (8 1) ⋅ 0,21 ⋅ 0,87 + (8 2) ⋅ 0,22 ⋅ 0,86 + (8 3) ⋅ 0,23 ⋅ 0,85 = 0,1678 + 0,3355 + 0,2936 + 0,1468 = 0,9437 = 34,37% b) 𝑋 ∼ 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑎𝑖𝑙(10; 0,50) 𝑃(𝑋 > 7) = 𝑃(𝑋 = 8) + 𝑃(𝑋 = 9) + 𝑃(𝑋 = 10) = (10 8 ) ⋅ 0,58 ⋅ 0,52 + (10 9 ) ⋅ 0,59 ⋅ 0,51 + (10 10) ⋅ 0,510 ⋅ 0,50 = 0,0439 + 0,0098 + 0,0010 = 0,0547 = 5,47% c) 𝑋 ∼ 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑎𝑖𝑙(6; 0,70) 𝑃(𝑋 < 3) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) = (6 0) ⋅ 0,70 ⋅ 0,36 + (6 1) ⋅ 0,71 ⋅ 0,35 + (6 2) ⋅ 0,72 ⋅ 0,34 = 0,0007 + 0,0102 + 0,0595 = 0,0705 = 7,05% d) 𝑋 ∼ 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑎𝑖𝑙(14; 0,95) 𝑃(𝑋 ≤ 10) = 1 − 𝑃(𝑋 > 10) = 1 − [𝑃(𝑋 = 11) + 𝑃(𝑋 = 12) + 𝑃(𝑋 = 13) + 𝑃(𝑋 = 14)] = 1 − [(14 11) ⋅ 0,9511 ⋅ 0,053 + (14 12) ⋅ 0,9512 ⋅ 0,052 + (14 13) ⋅ 0,9513 ⋅ 0,051 + (14 14) ⋅ 0,9514 ⋅ 0,050] = 1 − (0,0259 + 0,1229 + 0,3593 + 0,4877) = 1 − 0,9958 = 0,0042 = 0,42% 𝑋:𝐶𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑚 𝑐𝑜𝑚 𝑐𝑎𝑟𝑡ã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑟é𝑑𝑖𝑡𝑜 𝐴𝑚𝑒𝑟𝑖𝑐𝑎𝑛 𝐸𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠 𝑋 ∼ 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙(10; 0,20) a) 𝑃(𝑋 = 0) = (10 0 ) ⋅ 0,20 ⋅ 0,810 = 0,1074 = 10,74% Resp.: Dos próximos 10 clientes a probabilidade de nenhum pagar com o cartão de crédito American Express é de 10,74% b) 𝑃(𝑋 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑋 < 2) = 1 − [𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1)] = 1 − [0,1074 + (10 1 ) ⋅ 0,21 ⋅ 0,89] = 1 − (0,1074 + 0,2684) = 1 − 0,3758 = 0,6242 = 62,42% Resp.: Dos próximos 10 clientes a chance de pelo menos 2 pagarem com o cartão de crédito American Express é de 62,42%. c) 𝑃(𝑋 < 3) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) = 0,1074 + 0,2684 + (10 2 ) ⋅ 0,22 ⋅ 0,88 = 0,3758 + 0,3020 = 0,6778 = 67,78% Resp.: Dos próximos 10 clientes a chance de menos de 3 pagarem com o cartão American Express é de 67,78% d) 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑝 = 𝐸[𝑋] = 𝑛 ⋅ 𝑝 = 10 ⋅ 0,20 = 2 Resp.: Espera-se que 2 dos próximos 10 clientes paguem com o cartão de crédito American Express. e) 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑛 ⋅ 𝑝 ⋅ 𝑞 = 10 ⋅ 0,20 ⋅ 0,80 = 1,6 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑃𝑎𝑑𝑟ã𝑜 = √𝑉𝑎𝑟(𝑋) = √1,6 = 1,2649 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 f) x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P(X=x) 0,1074 0,2684 0,3020 0,2013 0,0881 0,0264 0,0055 0,0008 0,0001 4,1x10-6 1,02x10-6 g) A distribuição é assimétrica para esquerda. 𝑋:𝑐ℎ𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑜 𝑎𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎𝑟 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑚𝑒 𝑔𝑎𝑛ℎ𝑎𝑑𝑜𝑟 → 𝑋 ∼ 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙(10;0,5) a) 𝑃(𝑋 = 10) = (10 10) ⋅ 0,510 ⋅ 0,50 = 0,0010 = 0,1% Resp.: A probabilidade do apostador acertar os 10 jogos é de 0,1%. b) 𝑃(𝑋 ≥ 5) = 𝑃(𝑋 = 5) + 𝑃(𝑋 = 6) + 𝑃(𝑋 = 7) + 𝑃(𝑋 = 8) + 𝑃(𝑋 = 9) + 𝑃(𝑋 = 10) = (10 5 ) ⋅ 0,55 ⋅ 0,55 + (10 6 ) ⋅ 0,56 ⋅ 0,54 + (10 7 ) ⋅ 0,57 ⋅ 0,53 + (10 8 ) ⋅ 0,58 ⋅ 0,52 + (10 9 ) ⋅ 0,59 ⋅ 0,51 + 0,0010 = 0,2461 + 0,2051 + 0,1172 + 0,0439 + 0,0098 + 0,0010 = 0,6230 = 62,30% Resp.: A chance de o apostador acertar pelo menos 5 jogos é de 62,30%. c) 𝑃(𝑋 < 3) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) = (10 0 ) ⋅ 0,50 ⋅ 0,510 + (10 1 ) ⋅ 0,51 ⋅ 0,59 + (10 2 ) ⋅ 0,52 ⋅ 0,58 = 0,0010 + 0,0098 + 0,0439 = 0,0547 = 5,47% Resp.: A probabilidade do apostador acertar menos de 3 jogos é de 5,47%. 0.0000 0.0500 0.1000 0.1500 0.2000 0.2500 0.3000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Distribuição de X d) 𝑃(𝑋 ≤ 6) = 1 − 𝑃(𝑋 > 6) = 1 − [𝑃(𝑋 = 7) + 𝑃(𝑋 = 8) + 𝑃(𝑋 = 9) + 𝑃(𝑋 = 10)] = 1 − [0,1172 + 0,0439 + 0,0098 + 0,0010] = 1 − 01719 = 8281 = 82,81% Resp.: A probabilidade de acertar menos de 6 jogos é de 82,81%. a) 𝑋 ∼ 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(4,3) 𝑃(𝑋 ≤ 3) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) = 𝑒−4,3 ⋅ 4,30 0! + 𝑒−4,3 ⋅ 4,31 1! + 𝑒−4,3 ⋅ 4,32 2! + 𝑒−4,3 ⋅ 4,33 3! = 𝑒−4,3 ⋅ (4,30 0! + 4,31 1! + 4,32 2! + 4,33 3! ) = 𝑒−4,3 ⋅ (1 + 4,3 + 9,245 + 13,2512) = 0,3772 = 37,72% b) 𝑋 ∼ 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(5,2) 𝑃(𝑋 > 7) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 7) = 1 − [𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) + 𝑃(𝑋 = 4) + 𝑃(𝑋 = 5) + 𝑃(𝑋 = 6) + 𝑃(𝑋 = 7)] = 1 − [𝑒−5,2 ⋅ 5,20 0! + 𝑒−5,2 ⋅ 5,21 1! + 𝑒−5,2 ⋅ 5,22 2! + 𝑒−5,2 ⋅ 5,23 3! + 𝑒−5,2 ⋅ 5,24 4! + 𝑒−5,2 ⋅ 5,25 5! + 𝑒−5,2 ⋅ 5,26 6! + 𝑒−5,2 ⋅ 5,27 7! ] = 1 − 𝑒−5,2 ⋅ (5,20 0! + 5,21 1! + 5,22 2! + 5,23 3! + 5,24 4! + 5,25 5! + 5,26 6! + 5,27 7! ) = 1 − 𝑒−5,2 ⋅ (1 + 5,2 + 13,52 + 23,4347 + 30,4651 + 31,6837 + 27,4592 + 20,3982) = 1 − 0,8449 = 0,1551 = 15,51% c) 𝑋 ∼ 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(2,7) 𝑃(𝑋 < 3) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) = 𝑒−2,7 ⋅ 2,70 0! + 𝑒−2,7 ⋅ 2,71 1! + 𝑒−2,7 ⋅ 2,72 2! = 0,0672 + 0,1815 + 0,2450 = 0,4936 = 49,36% d) 𝑋 ∼ 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(11) 𝑃(𝑋 ≤ 10) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) + 𝑃(𝑋 = 4) + 𝑃(𝑋 = 5) + 𝑃(𝑋 = 6) + 𝑃(𝑋 = 7) + 𝑃(𝑋 = 8) + 𝑃(𝑋 = 9) + 𝑃(𝑋 = 10) = 𝑒−11 ⋅ 110 0! + 𝑒−11 ⋅ 111 1! + 𝑒−11 ⋅ 112 2! + 𝑒−11 ⋅ 113 3! + 𝑒−11 ⋅ 114 4! + 𝑒−11 ⋅ 115 5! + 𝑒−11 ⋅ 116 6! + 𝑒−11 ⋅ 117 7! + 𝑒−11 ⋅ 118 8! + 𝑒−11 ⋅ 119 9! + 𝑒−11 ⋅ 1110 10! = 𝑒−11 ⋅ (1 + 11 + 112 2! + 113 3! + 114 4! + 115 5! + 116 6! + 117 7! + 118 8! + 119 9! + 1110 10! ) = 𝑒−11 ⋅ (12 + 60,5 + 221,8333 + 610,0417 + 1342,0917 + 2460,5014 + 3866,5022 + 5316,4405 + 6497,8717 + 7147,6589) = 𝑒−11 ⋅ 27535,4414 = 0,4599 = 45,99% 𝑋:𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑃𝑜𝑟𝑠𝑐ℎ𝑒 → 𝑋 ∼ 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 (2,4) a) 𝑃(𝑋 ≥ 1) = 1 − 𝑃(𝑋 < 1) = 1 − 𝑃(𝑋 = 0) = 1 − 𝑒−2,4⋅2,40 0! = 0,0907 = 0,9093 = 90,93% Resp.: A probabilidade de ter pelo menos um defeito na amostra selecionada é de 90,93%. b) 𝑃(𝑋 = 0) = 0,0907 = 9,07% Resp.: A probabilidade da amostra tiver ausência de defeito é de 9,07%. c) 𝑃(𝑋 > 3) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 3) = 1 − [𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3)] = 1 − [𝑒−2,4⋅2,40 0! + 𝑒−2,4⋅2,41 1! + 𝑒−2,4⋅2,42 2! + 𝑒−2,4⋅2,43 3! ] = 1 − 𝑒−2,4 ⋅ (1 + 2,4 + 2,42 2! + 2,43 3! ) = 1 − 𝑒−2,4 ⋅ (3,4 + 2,88 + 2,304) = 1 − 𝑒−2,4 ⋅ 8,584 = 1 − 0,7787 = 0,2213 = 22,13% Resp.: A probabilidade de ter menos que 3 defeitos é de 22,13%. d) Dada que a Função de Probabilidade de X é dada por: 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑒−2,4 ⋅ 2,4𝑥 𝑥! As probabilidades para quando X vai até 10 é: x P(X=x) 0 0,0907 1 0,2177 2 0,2613 3 0,2090 4 0,1254 5 0,0602 6 0,0241 7 0,0083 8 0,0025 9 0,0007 10 0,0002 Pelo gráfico podemos notar a que distribuição é assimétrica a direita. a) O uso do modelo de Poisson é justificado para modelar o número de gols em uma partida de futebol porque os gols são eventos independentes, ocorrem a uma taxa 0.0000 0.0500 0.1000 0.1500 0.2000 0.2500 0.3000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Distribuição de X média conhecida (2,7 gols por partida), são raros e discretos, e estamos interessados em contar esses eventos em um intervalo específico de tempo (a duração do jogo). b) 𝑃(𝑋 ≥ 1) = 1 − 𝑃(𝑋 < 1) = 1 − 𝑃(𝑋 = 0) = 1 − 𝑒−2,7⋅2,70 0! = 1 − 0,0672 = 0,9328 = 93,28% Resp.: A probabilidade de ter pelo menos um gol em uma partida é de 93,28%. c) 𝑃(𝑋 > 3) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 3) = 1 − [𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3)] = 1 − [𝑒−2,7⋅2,70 0! + 𝑒−2,7⋅2,71 1! + 𝑒−2,7⋅2,72 2! + 𝑒−2,7⋅2,73 3! ] = 1 − 𝑒−2,7 ⋅ (1 + 2,7 + 2,72 2 + 2,73 6 ) = 1 − 𝑒−2,7 ⋅ 13,906 = 1 − 0,9346 = 0,0654 Resp.: A probabilidade de ter mais que 3 gols é de 6,54%. d) As probabilidades dos 10 valores são: x P(X=x) 0 0,0672 1 0,1815 2 0,2450 3 0,2205 4 0,1488 5 0,0804 6 0,0362 7 0,0139 8 0,0047 9 0,0014 10 0,0004 Distribuição assimétrica a direita. a) 𝑃(0 < 𝑍 > 0,5) = 0,1915 b) 𝑃(−0,5 < 𝑍 < 0) = 𝑃(0 < 𝑍 < 0,5) = 0,1915 c) 𝑃(𝑍 > 0) = 0,5 → Como a distribuição normal padrão é simétrica em torno de 0 isso significa que antes de 0 há 50% e depois de 0 há 50%. d) 𝑃(𝑍 = 0) = 0 → Nas distribuições contínuas as probabilidades pontuais são nulas. a) 𝑃(−1,22 < 𝑍 < 2,15) = 𝑃(0 < 𝑍 < 1,22) + 𝑃(0 < 𝑍 < 2,15) = 0,3888 + 0,4842 = 0,8730 b) 𝑃(−3 < 𝑍 < 2) = 𝑃(0 < 𝑍 < 3) + 𝑃(0 < 𝑍 < 2) = 0,4987 + 0,4772 = 0,9759 0.0000 0.0500 0.1000 0.1500 0.2000 0.2500 0.3000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Distribuição de X c) 𝑃(𝑍 < 2) = 0,5 + 𝑃(0 < 𝑍 < 2) = 0,5 + 0,4772 = 0,9772 d) 𝑃(𝑍 = 0) = 0 𝑋 ∼ 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙(290; 142) a) 𝑃(𝑋 < 300) = 𝑃 (𝑍 < 300 − 290 14 ) = 𝑃(𝑍 < 0,71) = 0,5 + 𝑃(0 < 𝑍 < 0,71) = 0,5 + 0,2611 = 0,7611 = 76,11% Resp.: A probabilidade de haver menos de 300 calorias em uma porção é de 76,11% b) 𝑃(𝑋 > 250) = 𝑃 (𝑍 > 250 − 290 14 ) = 𝑃(𝑍 > −2,86) = 0,5 + 𝑃(0 < 𝑍 < 2,86) = 0,5 + 4979 = 0,9979 = 99,79% Resp.: A probabilidade de haver mais de 250 calorias na porção é de 99,79%. c) 𝑃(275 < 𝑋 < 310) = 𝑃 (275 − 290 14 < 𝑍 < 310 − 290 14 ) = 𝑃(−1,07 < 𝑍 < 1,43) = 𝑃(0 < 𝑍 < 1,07) + 𝑃(0 < 𝑍 < 1,43) = 0,3577 + 0,4236 = 0,7813 = 78,13% Resp. A probabilidade é de 78,13%.