Coordenadas Polares - Guia Completo para Matemática - DMAT

Coordenadas Polares Prof Patricio Perez Licenciatura em Matematica DMAT February 13 2021 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Coordenadas Polares 1 Introducao Um Sistema de Coordenadas representa a Posicao de um objeto em relacao a um Sistema de Referˆencia No Sistema Cartesiano utilizamos dois eixos perpendiculares como sistema de referˆencia e as coordenadas sao um par ordenado que representa a distˆancia perpendicular do objeto aos eixos O Sistema de Coordenadas Polares introduzido por Newton e importante pelas variadas aplicacoes Por exemplo foram utilizadas na deducao das Leis de Kepler do Movimento dos Planetas e em geral no estudo da Astronomia Agora vamos definir um Sistema de Referˆencia em Coordenadas Polares chamado Plano Polar Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Coordenadas Polares 2 O Plano Polar Consideremos inicialmente um ponto no plano chamado Polo ou Origem representado por 0 A partir do polo tomamos uma semireta chamada Eixo Polar crescente no sentido positivo Agora seja P um ponto qualquer no plano Seja r a distˆancia do ponto P ao polo 0 Isto e r 0P Seja θ o ˆangulo em Radianos a partir do eixo polar ate a reta 0P θ e positivo no sentido antihorario Assim o ponto P e representado pelas coordenadas P r θ Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Coordenadas Polares 3 Coordenadas Polares do ponto P Observacao i Se r 0 entao P 0 0 θ e o polo para qualquer que seja θ ii Os pontos r θ e r θ sao chamdos Antıpodas Estao na mesma reta e sao simetricos a uma distˆancia r do polo Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Coordenadas Polares 4 iii Se r 0 o ponto r θ esta no mesmo quadrante que θ iv Se r 0 o ponto r θ esta no quadrante do lado oposto ao polo Isto e r θ r θ π Representacao das Antıpodas Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Coordenadas Polares 5 Como encontrar as Coordenadas Polares Para facilitar o desenho dos pontos no plano polar vamos considerar as semiretas passando pelos ˆangulos principais 0 π 6 π 4 π 3 π 2 Da mesma forma vamos considerar as circunferˆencias centradas na origem de raios 1 2 3 4 5 Assim obtemos uma grade de retas paralelas no plano polar Portanto para encontrar um ponto no plano polar localizamos sobre o eixo polar o valor de r correspondente em seguida acompanhamos a circunferˆencia centrada na origem de raio r ate o ˆangulo θ Vejamos alguns exemplos Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Coordenadas Polares 6 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Coordenadas Polares 7 Observacao Observemos que pelas caracteristicas da definicao das coordenadas polares cada ponto pode ter infinitas representacoes Por exemplo 2 π 2 π 2 3π 2 3π 2 5π 2 5π Logo para obter a Unicidade da Representacao vamos exigir que 0 θ 2π e que r 0 quando nao for a origem Relacao com as Coordenadas Cartesianas Para que as coordenadas polares sejam interessantes e importante que tenhamos uma forma de relacionalas com as coordenadas cartesianas Sendo assim poderemos transitar livremente do plano polar para o plano cartesiano e viceversa Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Coordenadas Polares 8 Para isto consideremos um ponto qualquer Px y Pr θ e o triˆangulo 0PQ Assim temos que Cosθ x r e Senθ y r Portanto x r Cosθ e y r Senθ Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Coordenadas Polares 9 Logo quando são conhecidas as coordenadas polares podemos encontrar as coordenadas cartesianas correspondentes Além disso temos as seguintes relações x² y² r Cosθ² r Senθ² r² Cos²θ r² Sen²θ r² Cos²θ Sen²θ r² Isto é x² y² r² E também tgθ Senθ Cosθ y x Logo θ tg¹ y x Portanto quando sao conhecidas as coordenadas cartesianas podemos encontrar as coordenadas polares correspondentes Exemplo 1 Encontre as coordenadas cartesianas do ponto Pr θ 2 π 3 Primeiramente observemos que r 2 e θ π 3 Entao pelas relacoes anteriores obtemos que Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Coordenadas Polares 11 x r Cosθ y r Senθ x 2 Cosπ3 y 2 Senπ3 x 2 12 1 y 2 32 3 Portanto temos que Pr θ 2 π3 corresponde a Px y 1 3 2 Encontre as coordenadas polares do ponto Px y 1 1 Primeiramente observemos que x 1 e 1 Então pelas relações anteriores obtemos que x² y² r² r² 1² 1² 1 1 r 2 Além disso θ tg¹ yx θ tg¹ 11 θ tg¹ 1 Portanto θ 7π4 para x 0 y 0 3π4 para x 0 y 0 Como Px y 1 1 é um ponto do quarto quadrante temos que Pr θ 2 7π4 3 Dada uma equacao em coordenadas polares r2 4 Sen2 θ Encontre a sua correspondente em coordenadas cartesianas Sabemos que Sen2 θ 2 Senθ Cosθ entao temos que r2 4 Sen2 θ r2 4 2 Senθ Cosθ r2 8 Senθ Cosθ r2 8 x r y r 8 x y r2 r2 r2 8 x y x2 y2 x2 y2 8 x y x2 y22 8 x y Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Coordenadas Polares 14 4 Dada uma equacao em coordenadas cartesianas x2 y2 4x 0 Encontre a sua correspondente em coordenadas polares Pelas relacoes anteriores temos que x2 y2 4x 0 r2 4 r Cosθ 0 r r 4 Cosθ 0 r 0 ou r 4 Cosθ r 4 Cosθ Observemos que r 0 corresponde ao polo logo nao pode ser uma curva Por isso a resposta e r 4 Cosθ Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Coordenadas Polares 15 Ja que tomamos conhecimento das Coordenadas Polares Agora veremos algumas aplicacoes primeiramente estudaremos as chamadas Curvas Polares Este sera o assunto da nossa proxima aula QUE JESUS ILUMINE SUA VIDA Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Coordenadas Polares 16