Área entre Curvas Polares - Cálculo e Interseções

Area entre Curvas Polares Prof Patricio Perez Licenciatura em Matematica DMAT February 13 2021 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 1 Introducao Uma outra interessante aplicacao das Coordenadas Polares e calcular a Area contida entre Curvas Polares Evidentemente que tera uma relacao direta com a Area de uma Regiao Polar Agora uma informacao muito importante para encontrar a area contida entre curvas e conhecer os Pontos de Intersecao destas curvas pois muitas vezes estes pontos sao os limites de integracao na formula do calculo da area Devido a forma especial que possuem as coordenadas polares para encontrar estes pontos vamos utilizar um metodo especial que veremos a continuacao Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 2 Intersecao entre Curvas Polares Metodo Consideremos duas curvas polares dadas pelas equacoes r f θ e r gθ Agora este metodo consiste em trˆes passos que estabeleceremos a seguir i Verificar inicialmente se a origem e um ponto da intersecao fazendo r 0 e resolvendo as equacoes f θ 0 e gθ 0 ii Encontrar todas as diferentes representacoes das curvas f θ 0 e gθ 0 Para isto vamos considerar para as funcoes f e g a expressao 1n r f θ n π n N Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 3 iii Resolver simultaneamente todos os diferentes sistemas formados pelas diferentes representacoes das curvas tomadas de dois em dois Area de uma regiao entre Curvas Polares Consideramos agora uma Regiao Polar R determinada pelas curvas polares r f θ e r gθ e pelos raios polares ou ˆangulos θ a e θ b onde f e g sao contınuas positivas e f θ gθ para todo θ a b sendo 0 b a 2π Como vemos na figura a seguir Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 4 Para calcular a area R vamos fazer da seguinte forma Consideremos inicialmente as areas R1 e R2 onde Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 5 R1 e a area do Setor Polar 1 determinado pela curva r f θ como na figura abaixo Regiao Maior E R2 e a area do Setor Polar 2 determinado pela curva r gθ como na figura abaixo Regiao Menor Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 6 Entao R sera obtido pela diferenca entre as areas R1 e R2 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 7 Lembremos que a área de um setor polar ou região polar é obtida pela fórmula AR 12 ab fθ² dθ Assim temos que AR AR1 AR2 12 ab fθ² dθ 12 ab gθ² dθ AR 12 ab fθ² gθ² dθ Exemplo 1 Calcule a area da regiao contida dentro da curva polar r 3 Senθ e fora da curva r 1 Senθ Neste caso temos que a primeira curva e uma circunferˆencia centrada sobre o eixo π 2 no ponto 1 5 π 2 e a segunda curva e um Limacon onde a 1 e b 1 entao temos um Cardioide Primeiramente faremos um estudo das curvas isto e Simetria e Assıntotas Tambem faremos os graficos correspondentes Iniciaremos este estudo pela circunferˆencia Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 9 Simetria I Eixo Polar Trocar r θ por r θ ou por r π θ r 3 Senθ r 3 Senθ r 3 Senθ Senθ e ımpar Como obtivemos a equacao diferente da original entao vamos considerar o outro par de coordenadas r 3 Senθ r 3 Senπ θ r 3Senπ Cosθ Senθ Cosπ r 30 Cosθ Senθ 1 r 3 Senθ r 3 Senθ Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 10 Como novamente obtivemos a equacao diferente da original entao nao temos simetria em relacao ao eixo polar II Eixo π 2 Trocar r θ por r θ ou por r π θ r 3 Senθ r 3 Senθ r 3 Senθ r 3 Senθ Como obtivemos a equacao original entao temos simetria em relacao ao eixo π 2 III Polo Trocar r θ por r θ ou por r π θ r 3 Senθ r 3 Senθ r 3 Senθ Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 11 Como obtivemos uma equacao diferente da original vamos verificar com o outro par de coordenadas r 3 Senθ r 3 Senπ θ r 3Senπ Cosθ Senθ Cosπ r 30 Cosθ Senθ 1 r 3 Senθ Como novamente obtivemos uma equacao diferente da original entao nao temos simetria em relacao ao polo Assıntotas Vamos fazer r 0 e resolver a equacao 0 3 Senθ Senθ 0 θ 0 ou π Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 12 Logo temos simetria no eixo π 2 e uma assıntota em θ 0 e θ π Agora de acordo com estas informacoes para fazer a grafica da curva vamos considerar uma tabela de ˆangulos que neste caso sera 0 θ π 2 Ja que a simetria em relacao ao eixo π 2 significa que a parte da curva do primeiro e quarto quadrantes se repete de forma identica no segundo e terceiro quadrantes Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 13 θ r 1 Senθ 3π2 r 1 1 0 5π3 r 1 32 013 7π4 r 1 22 029 11π6 r 1 12 12 05 0 r 1 0 1 π6 r 1 12 32 15 π4 r 1 22 170 π3 r 1 32 186 π2 r 1 1 2 Agora localizamos os pontos obtidos na tabela no plano polar Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 15 Agora conectamos os pontos obtidos formando a curva Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 16 Agora completamos a curva atraves da simetria Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 17 Agora faremos o estudo do cardiode Simetria I Eixo Polar Trocar r θ por r θ ou por r π θ r 1 Senθ r 1 Senθ r 1 Senθ Senθ e ımpar Como obtivemos a equacao diferente da original entao vamos considerar o outro par de coordenadas r 1 Senθ r 1 Senπ θ r 1 Senπ Cosθ Senθ Cosπ r 1 0 Cosθ Senθ 1 r 1 Senθ Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 18 r 1 Senθ Como novamente obtivemos a equacao diferente da original entao nao temos simetria em relacao ao eixo polar II Eixo π 2 Trocar r θ por r θ ou por r π θ r 1 Senθ r 1 Senθ r 1 Senθ r 1 Senθ Como obtivemos a equacao diferente da original entao vamos considerar o outro par de coordenadas Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 19 r 1 Senθ r 1 Senπ θ r 1 Senπ Cosθ Senθ Cosπ r 1 0 Cosθ Senθ 1 r 1 Senθ Como obtivemos a equacao original entao temos simetria em relacao ao eixo π 2 III Polo Trocar r θ por r θ ou por r π θ r 1 Senθ r 1 Senθ r 1 Senθ Como obtivemos uma equacao diferente da original vamos verificar com o outro par de coordenadas Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 20 r 1 Senθ r 1 Senπ θ r 1 Senπ Cosθ Senθ Cosπ r 1 0 Cosθ Senθ 1 r 1 Senθ Como novamente obtivemos uma equacao diferente da original entao nao temos simetria em relacao ao polo Assıntotas Vamos fazer r 0 e resolver a equacao 0 1 Senθ Senθ 1 θ 3π 2 Logo temos simetria no eixo π 2 e uma assıntota em θ 3π 2 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 21 Agora de acordo com estas informacoes para fazer a grafica da curva vamos considerar uma tabela de ˆangulos que neste caso sera 3π 2 θ π 2 Ja que a simetria em relacao ao eixo π 2 significa que a parte da curva do primeiro e quarto quadrantes se repete de forma identica no segundo e terceiro quadrantes Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 22 θ r 3 Senθ 0 r3 00 π6 r3 12 32 15 π4 r3 22 212 π3 r3 32 259 π2 r3 13 Agora localizamos os pontos obtidos na tabela no plano polar Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 24 Agora conectamos os pontos obtidos formando a curva Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 25 Agora completamos a curva atraves da simetria Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 26 Agora vamos calcular os pontos de intersecao das curvas Para isto utilizaremos o metodo explicado anteriormente Passo iVamos fazer r 0 e resolver a equacao para cada curva Observemos que este passo ja foi realizado quando calculamos as Assıntotas Assim Para a circunferˆencia obtivemos que θ 0 ou θ π Para o cardioide obtivemos que θ 3 π 2 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 27 Portanto o polo pertence a intersecao ou seja 0 θ Passo iiVamos encontrar as diferentes representacoes das curvas Para isto vamos considerar a formula 1n r f θ n π Para a circunferˆencia Supondo n 0 obtemos r 3 Senθ A equacao original Supondo n 1 obtemos Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 28 r 3 Senθ π r 3 Senθ Cosπ Senπ Cosθ r 3 Senθ 1 0 Cosθ r 3 Senθ r 3 Senθ A equacao original Portanto a circunferˆencia possui uma unica representacao Para o cardioide Supondo n 0 obtemos r 1 Senθ A equacao original Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 29 Supondo n 1 obtemos r 1 Senθ π r 1 Senθ Cosπ Senπ Cosθ r 1 Senθ 1 0 Cosθ r 1 Senθ r 1 Senθ A equacao diferente da original Supondo n 2 obtemos r 1 Senθ 2 π r 1 Senθ Cos2 π Sen2 π Cosθ r 1 Senθ 1 0 Cosθ r 1 Senθ A equacao original Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 30 Sistema II r 3 Senθ r 1 Senθ 3 Senθ 1 Senθ 2 Senθ 1 Senθ 12 θ 7π6 ou θ 11π6 Portanto obtivemos que os pontos 12 7π6 12 11π6 Observemos que ao localizar estes pontos no plano polar obtemos que 12 π6 12 7π6 e 12 5π6 12 11π6 Então a interseção é o conjunto 0θ 12 π6 12 5π6 Portanto o cardioide possui duas representações diferentes Passo iii Vamos resolver os sistemas de equações que se formam com as diferentes representações de cada curva Sistema I r 3 Senθ r 1 Senθ 3 Senθ 1 Senθ 2 Senθ 1 Senθ 12 θ π6 ou θ 5π6 Portanto obtivemos que os pontos 12 π6 12 5π6 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 33 Na figura anterior vemos as duas curvas no mesmo plano polar e os pontos de intersecao em destaque Lembremos que estamos resolvendo o problema de calcular a area da regiao contida dentro da curva polar r 3 Senθ e fora da curva polar r 1 Senθ Na figura a seguir vemos na area sombreada a regiao mencionada no problema Observe que a variacao da area fica entre os raios polares θ π 6 e θ 5 π 6 Como as curvas sao simetricas em relacao ao eixo π 2 vamos utilizar essa simetria e calcular a metade da area e multiplicar por dois Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 34 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 35 Portanto na fórmula para cálculo da área de uma região polar entre curvas vamos considerar que a região está entre os raios polares θ π6 e θ π2 Além disso na figura anterior podemos observar claramente que a curva r 3 Senθ é maior que a curva r 1 Senθ no intervalo π6 π2 Logo a área é calculada da seguinte forma AR 12 ab fθ² gθ² dθ 2 12 π6π2 3 Senθ² 1 Senθ² dθ π2π6 9 Sen²θ 1 2 Senθ Sen²θ dθ π2π6 8 Sen²θ 2 Senθ 1 dθ 8 π2π6 Sen²θ dθ 2 π2π6 Senθ dθ π2π6 dθ 8 π2π6 1 Cos2 θ2 dθ 2 π2π6 Senθ dθ π2π6 dθ 4 π2π6 1 Cos2 θ dθ 2 π2π6 Senθ dθ π2π6 dθ 4 π2π6 dθ 4 π2π6 Cos2 θ dθ 2 π2π6 Senθ dθ π2π6 dθ 3 π2π6 dθ 4 π2π6 Cos2 θ dθ 2 π2π6 Senθ dθ 3 θπ6π2 4 Sen2 θ2π6π2 2 Cosθπ6π2 3 π2 π6 2 Senπ Senπ3 2 Cosθπ6π2 3 2 π6 2 0 32 2 Cosπ2 Cosπ6 π 3 2 0 32 π 3 3 π AR π 2 Calcule a area da regiao contida fora da curva polar r 2 e dentro da curva r 4 Cos2 θ Neste caso temos que a primeira curva e uma circunferˆencia centrada no polo de raio 2 e a segunda curva e uma Rosacea de 4 folhas pois n 2 Primeiramente faremos um estudo das curvas isto e Simetria e Assıntotas Tambem faremos os graficos correspondentes Iniciaremos este estudo pela circunferˆencia Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 39 Simetria I Eixo Polar Trocar r θ por r θ ou por r π θ r 2 r 2 Como obtivemos a equacao original entao temos simetria em relacao ao eixo polar II Eixo π 2 Trocar r θ por r π θ ou por r θ r 2 r 2 Como obtivemos a equacao original entao temos simetria em relacao ao eixo π 2 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 40 III Polo Trocar r θ por r π θ ou por r θ r 2 r 2 Como obtivemos a equacao original entao temos simetria em relacao ao polo Assıntotas Vamos fazer r 0 e resolver a equacao Como r 2 entao esta curva nao possui assıntotas Logo temos simetria no eixo polar no eixo π 2 e no polo e nao temos assıntotas Agora de acordo com estas informacoes para fazer a grafica vamos considerar uma tabela de ˆangulos 0 θ π 2 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 41 Ja que a simetria em relacao ao eixo polar ao eixo π 2 e ao polo significa que a parte da curva do primeiro quadrante se repete de forma identica no segundo terceiro e quarto quadrantes θ r 2 0 r 2 π 6 r 2 π 4 r 2 π 3 r 2 π 2 r 2 Agora localizamos os pontos obtidos na tabela no plano polar Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 42 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 43 Agora conectamos os pontos obtidos formando a curva Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 44 Agora completamos a curva atraves da simetria no eixo polar Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 45 Agora completamos a curva atraves da simetria no eixo π 2 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 46 Agora faremos o estudo da rosacea Simetria I Eixo Polar Trocar r θ por r θ ou por r π θ r 4 Cos2 θ r 4 Cos2 θ r 4 Cos2 θ Cosθ e par Como obtivemos a equacao original entao temos simetria em relacao ao eixo polar II Eixo π 2 Trocar r θ por r π θ ou por r θ r 4 Cos2 θ r 4 Cos2π θ r 4 Cos2π 2θ r 4 Cos2π Cos2θ Sen2π Sen2θ Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 47 r 4 1 Cos2θ 0 Sen2θ r 4 Cos2θ Como obtivemos a equacao original entao temos simetria em relacao ao eixo π 2 III Polo Trocar r θ por r π θ ou por r θ r 4 Cos2 θ r 4 Cos2π θ r 4 Cos2π 2θ r 4 Cos2π Cos2θ Sen2π Sen2θ r 4 1 Cos2θ 0 Sen2θ r 4 Cos2θ Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 48 Como obtivemos a equacao original entao temos simetria em relacao ao polo Assıntotas Vamos fazer r 0 e resolver a equacao 0 4Cos2θ Cos2θ 0 2θ π 2 ou 3π 2 θ π 4 ou 3π 4 Logo temos simetria no eixo polar no eixo π 2 e no polo e assıntotas em θ π 4 e θ 3π 4 Agora de acordo com estas informacoes para fazer a grafica da curva vamos considerar uma tabela de ˆangulos que neste caso sera 0 θ π 2 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 49 Ja que a simetria em relacao ao eixo polar ao eixo π 2 e ao polo significa que a parte da curva do primeiro quadrante se repete de forma identica no segundo terceiro e quarto quadrantes Agora como o ˆangulo θ esta multiplicado pelo fator 2 entao para ter uma figura mais precisa vamos considerar na tabela ˆangulos menores que sejam divisıveis por 2 Sendo assim vamos considerar ˆangulos m ultiplos de π 8 ou seja a metade do ˆangulo π 4 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 50 θ r 4 Cos2 θ 0 r 4 1 4 π8 r 4 22 2 2 282 π6 r 4 12 2 π4 r 4 0 0 π3 r 4 12 2 3π8 r 4 22 2 2 282 π2 r 4 1 4 Agora localizamos os pontos obtidos na tabela no plano polar Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 52 Agora conectamos os pontos obtidos formando a curva Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 53 Agora completamos a curva atraves da simetria no eixo polar Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 54 Agora completamos a curva atraves da simetria no eixo π2 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 55 Agora vamos calcular os pontos de intersecao das curvas Para isto utilizaremos o metodo explicado anteriormente Passo iVamos fazer r 0 e resolver a equacao para cada curva Observemos que este passo ja foi realizado quando calculamos as Assıntotas Assim Para a circunferˆencia obtivemos que nao tem assıtotas Para o cardioide obtivemos que θ 3 π 2 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 56 Portanto o polo nao pertence a intersecao Passo iiVamos encontrar as diferentes representacoes das curvas Para isto vamos considerar a formula 1n r f θ n π Para a circunferˆencia Supondo n 0 obtemos r 2 A equacao original Supondo n 1 obtemos Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 57 r 2 r 2 A equacao diferente da original Supondo n 2 obtemos r 2 A equacao original Portanto a circunferˆencia possui duas representacoes Para a rosacea Supondo n 0 obtemos r 4 Cos2 θ A equacao original Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 58 Supondo n 1 obtemos r 4 Cos2θ π r 4 Cos2 θ 2 π r 4 Cos2 θ Cos2 π Sen2 θ Sen2 π r 4 Cos2 θ 1 Sen2 θ 0 r 4 Cos2 θ r 4 Cos2 θ A equacao diferente da original Supondo n 2 obtemos r 4 Cos2θ 2 π r 4 Cos2 θ 4 π r 4 Cos2 θ Cos4 π Sen2 θ Sen2 π Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 59 r 4 Cos2θ 1 Sen2θ 0 r 4 Cos2θ A equação original Portanto a rosácea possui duas representações diferentes Passo iii Vamos resolver os sistemas de equações que se formam com as diferentes representações de cada curva Sistema I r 2 r 4 Cos2θ 2 4 Cos2θ Cos2θ 12 2θ 2π3 ou 2θ 4π3 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matemática DMAT Área entre Curvas Polares 60 θ π3 ou θ 2π3 Portanto obtivemos que os pontos 2 π3 2 2π3 Sistema II r 2 r 4 Cos2θ 2 4 Cos2θ Cos2θ 12 2θ π3 ou 2θ 5π3 θ π6 ou θ 5π6 Portanto obtivemos que os pontos 2 π6 2 5π6 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matemática DMAT Área entre Curvas Polares 61 Sistema III r 2 r 4 Cos2θ 2 4 Cos2θ Cos2θ 12 2θ π3 ou 2θ 5π3 θ π6 ou θ 5π6 Portanto obtivemos que os pontos 2 π6 2 5π6 Sistema IV r 2 r 4 Cos2θ 2 4 Cos2θ Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matemática DMAT Área entre Curvas Polares 62 Cos2θ 12 2θ 2π3 ou 2θ 4π3 θ π3 ou θ 2π3 Portanto obtivemos que os pontos 2 π3 2 2π3 Observemos que ao localizar estes pontos no plano polar obtemos que 2 π6 2 7π6 2 5π6 2 11π6 2 π3 2 4π3 e 2 2π3 2 5π3 Então a interseção é o conjunto 2 π3 2 2π3 2 π6 2 5π6 2 7π6 2 11π6 2 4π3 2 5π3 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 64 Na figura anterior vemos as duas curvas no mesmo plano polar e os pontos de intersecao em destaque Lembremos que estamos resolvendo o problema de calcular a area da regiao contida dentro da curva polar r 4 Cos2 θ e fora da curva polar r 2 Na figura a seguir vemos na area sombreada a regiao mencionada no problema Observe que a variacao da area fica entre os raios polares θ π 3 e θ 2 π 3 Como as curvas sao simetricas em relacao ao eixo π 2 vamos utilizar essa simetria e calcular a metade da area e multiplicar por oito Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 65 Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 66 Portanto na fórmula para cálculo da área de uma região polar entre curvas vamos considerar que a região está entre os raios polares θ π3 e θ π2 Além disso na figura anterior podemos observar claramente que a curva r 4 Cos2θ é maior que a curva r 2 no intervalo π3 π2 Logo a área é calculada da seguinte forma AR 12 ab fθ2 gθ2 dθ 8 12 π3 π2 4 Cos2θ2 22 dθ 4 π3 π2 16 Cos22θ 4 dθ 64 π3 π2 Cos22θ dθ 16 π3 π2 dθ 64 π3 π2 1 Cos4θ2 dθ 16 π3 π2 dθ 32 π3 π2 1 Cos4θ dθ 16 π3 π2 dθ 32 π3 π2 dθ 32 π3 π2 Cos4θ dθ 16 π3 π2 dθ 16 π3 π2 dθ 32 π3 π2 Cos4θ dθ 16θπ2π3 32Sen4 θ4π2π3 16π2 π3 8Sen2 π Sen4 π3 16π6 80 32 8 π3 4 3 AR 8 π3 4 3 Assim com este ultimo assunto concluimos o estudos das Funcoes de uma Variavel Real onde apredemos sobre Limites Derivadas e Integrais de Funcoes Reais e suas aplicacoes Agora iniciaremos o estudo das Funcoes de Varias Variaveis Para isto iniciaremos nosso estudo vendo a sua definicao grafico limite entre outros conceitos Este sera o assunto da nossa proxima aula QUE JESUS ILUMINE SUA VIDA Prof Patricio patricioeadayahoocombr Licenciatura em Matematica DMAT Area entre Curvas Polares 70