Calculo IV - Prova 3 - Integrais e Series de Laurent

MTM5118 Cálculo IV Prova 3 201901 Nome 1 Calcule as seguintes integrais 15 a C e1zz dz sendo C a fronteira do quadrado de lado 1 e lados paralelos aos eixos com centro na origem e orientado no sentido antihorário 25 b C zπ22zπcos3zsin2z dz sendo C a circunferência ϕθreiθ 0 θ 2π com raio r satisfazendo π r 3π2 25 2 Encontre a representação em série de Laurent para a função fz 1z12z2 válida na região 1 z 2 3 A seguinte observação foi adaptada de um comentário que aparece no livro Lectures in Physics de R P Feynman Assim a energia média é dada por E ħω0 x 2x2 3x3 nxn 1 x x2 xn 1 Manipulando adequadamente a expressão acima sendo x eħωKT obtemos a primeira fórmula conhecida da mecânica quântica E ħω eħωKT 1 2 Sendo ħ ω K T constantes positivas e x eħωKT mostre que as séries numerador e denominador em 1 são convergentes e que 2 pode ser obtida a partir de 1 4 Encontre uma aproximação para a integral 045 ³1x3 dx com erro absoluto menor do que 106 Resolução P3 201901 Turma dia 1 a e1zz 1z 1 1z 12 1z2 13 1z3 1m 12m 1z 1z2 1z3 1m 12m1 Res10 1 Ce1zz dz 2πi π n 3π2 singularidades z00 z1π z2 π z3 π2 z4 π2 b z0 0 polo de ordem 2 Res10 limz0 ddz z2 fz 5π24 z1 π polo simples Res1π limzπ zπ2sen3z limzπ zπ2cos3z π24 z2 π polo de ordem 2 Res1π limzπ ddt z π2 fz 33π24 z3 π2 polo simples Res1π2 limzπ zπ23sen3z limzπ zπsen3z π2 z4 π2 polo de ordem 3 Res1π2 12 limzπ d2dz2 z π23 fz 14 π 149π Logo cfzdz 2πi 14 π 149π2 π2 33π24 π24 5π24 2 1z12z2 Az12 Bz1 Cz2 A 13 B 19 C 19 1z1 121 1z 12 n1 1zm1 m1 1zm 1z 1z2 12m 1z2 1z1 z2 2z3 n z n1 1z2 2z3 mzm1 1z2 121 z2 12 11 z2 12 m1 z2m1 n1 1m1 zm12m Logo 1z12z2 13 m1 mzm1 19 m1 1zm 19 m1 1m1 zm12m 1 z 2 Série do numerador Σm1 mxm tem raio de convergência R1 pois pelo teste da razão Llimm m1xm1m xm x 1 Logo como 0 x ehvKT 1 a série converge Série do denominador Σm1 xm1 que é uma série geométrica convergente pois 0 x ehvKT 1 Agora 1 x xm1 11x logo E ħωx 2x2 3x3 mxm 11x E ħωx1x 2x2 3x3 mxm ħωx2 2x3 3x4 mxm1 x 2x2 3x3 4x4 mxm ħωx x2 x3 x4 xm ħω x 1 x2 x3 xm1 ħω x 11x ħω ehvKT 1 ehvKT ħω ehvKT ehvKT 1 ehvKT ħω ehvKT 1 k 13 1 x313 1 13 x3 1313 1 x32 2 1313 113 2 x33 3 1313 113 213 3 x34 4 1313 113 2 13 m 1 x3m3 n 1 13 x3 132 12 x6 125 33 3 x9 1258 34 4 x12 1m 1258 3m4 3m m x3m 01 1 x343 dx x0453 13 x4045 1m 125 3m4 3m m 3m1 x3m1045 01 1 x343 dx 45 13 14 454 Σm2 1m 125 3m4 3m m 3m1 453m1 Pelo teste de Leibniz s sN LN1 s sN 125 3N1 3N N1 3N4 453N4 106 quando N 8 Logo S SN com erro absoluto menor que 106