Edp - Cálculo 04

1 Resolva por integração direta as seguintes EDPs a 10 pontos 6u uy ux 3u2 ux y x2 y sendo u uxy b 10 pontos z uyz 2uxy x z2 lny sendo u uxyz 2 Suponha que a temperatura u uxt de uma barra homogênea é governada pelo seguinte problema de valor de contorno e inicial utxt α² ²ux² xt π²L² cosπxL 0 x L t 0 u0t T1 uLt T2 t 0 ux0 fx 0 x L sendo T1 e T2 constantes a 10 pontos Encontre a temperatura de equilíbrio da barra b 125 pontos Utilizando o item a encontre a solução u na forma de série 3 225 pontos Escreva um problema de contorno que governa a a distribuição estacionária de temperatura num retângulo 0 a x 0b Os lados do retângulo correspondentes a x 0 y 0 e y b são mantidos isolados O lado do retângulo correspondente a x a é mantido à temperatura gy para 0 y b Resolva o problema obtendo uma solução na forma de série 4 Considere o seguinte sistema modelando o deslocamento de uma corda vibrante sob a ação de uma força externa Ax sendo A 0 uma constante ²ut²xt ²ux² xt Ax 0 x L t 0 u0t uLt 0 t 0 ux0 ut x0 0 0 x L a 025 pontos Faça uxt Uxt ψx Mostre que substituindo na EDP obtemos ²Ut²xt ²Ux² xt Ax ψx b 05 pontos Admitindo que ψ0 ψL 0 encontre ψ satisfazendo Ax ψx 0 c 075 pontos Mostre que com essa escolha de ψ a função U satisfaz a equação da onda homogênea com condições de contorno U0t ULt 0 para t 0 e com condições iniciais Ux0 ψx Ut x0 0 para 0 x L d 20 pontos Resolva o problema para U Escreva a solução final do problema uxt Uxt ψx 1 Resolva por integração direta as seguintes EDPs a 10 pontos 6uuyux 3u²uxy x²y b 10 pontos zuyz 2uxy xz²lny sendo u uxyz 6u uy ux 3u² uxy x² y 6u uy ux 3u² y ux x² y u uxy 6u uy ux 3u² y ux y 3u² ux Então y 3u² ux x² y Integrando em relação à y y 3u² ux dy x² y dy 3u² ux x² y²2 Cy Integrando 3 u² du y²2 x² dx Cy dx u³3 y²2 x³3 Cy x Cx u³ y² x³6 Cy x Cx uxy y² x³6 Cy x Cx 13 b z uxyz 2uxy xz² lny z z y ux 2 y ux xz² lny Multiplicando os dois lados por z z² z y ux 2z y ux xz³ lny Usando a ideia de derivada de quociente fg fg fgg² fg fg g² fg com g z² f y ux temos z² z y ux 2z y ux z⁴ y uxz² Então z4 z ux z² x lny z ux z² dz x lnyz dz x lny dzz y ux z² x lny lnz Cz y ux z² z² x lny lnz Cz y ux x lny z² lnz z² Cz Integrando em relação à y y ux dy x z² lnz lny dy z² Cz dy y lny y ux x z² lnz y lny y z² Cz y Cy Integrando em relação à x ux dx z² lnz y lny 1 x dx z² Cy Cy dx x²2 x μxyz z² lnz y lny 1 x²2 z² Cy Cy x Cx 2 Suponha que a temperatura u uxt de uma barra homogênea é governada pelo seguinte problema de valor de contorno e inicial ut xt α² ²ux² xt π²L² cosπxL 0 x L t 0 u0t T1 uLt T2 t 0 ux0 fx 0 x L sendo T1 e T2 constantes a 10 pontos Encontre a temperatura de equilíbrio da barra b 125 pontos Utilizando o item a encontre a solução u na forma de série 2 a Equilíbrio ocorre em ut 0 Assim dydt α² d²udx² π²L² cosπxL 0 d²udx² π²α²L² cosπxL ddxdudx Integrando ddxdudx dx π²α²L² cosπxL dx Lπ sinπxL dudx π²α²L² Lπ sinπxL C1 ux π α²L sinπxL C₁ Integrando novamente ux dx π α²L sinπxL dx C₁ dx Lπ cosπxL ux πα²L Lπ cosπL x C₁x C₂ ux 1α² cosπL x C₁x C₂ Usando as condições iniciais u0t ux0 T₁ uLt uxL T₂ u0 1α² cos0 C₁ 0 C₂ T₁ 1α² C₂ T₁ uL 1α² cosπL L C₁L C₂ T₂ 1α² C₁L C₂ T₂ De 1 C₂ T₁ 1α² De 2 C₂ T₂ 1α² C₁L igualando T₁ 1α² T₂ 1α² C₁L C₁L T₂ 1α² 1α² T₁ T₂ T₁ 2α² C₁ T₂ T₁ 2α² L α² T₂ T₁ 2 α² L C₂ T₁ 1α² α² T₁ 1 α² ux 1α² cosπL x C₁x C₂ ux cosπxL α² α² T₂ T₁ 2 α² L x α² T₁ 1 α² a ux 1α² cosπL x α² T₂ T₁ 2 L x α² T₁ 1 26 fx Aₙ sinn π x L from n0 to Aₙ 2L ₀ᴸ 1α² cosπxL ax b sinn π x L dx Aₙ 2α²L ₀ᴸ cosπxL sinn π x L dx a ₀ᴸ x sinn π x L dx b ₀ᴸ sinn π x L dx I ₀ᴸ cosπxL sinn π x L dx ₀π Lπ sinnu cosu du u πxL du πL dx dx Lπ du x0 u0 xL uπ I L2π ₀π sinnuu du ₀π sinnuu du Lπ 1n11 n1 1n11 n1 I Lπ 1n11 πn1n1 3 225 pontos Escreva um problema de contorno que governa a a distribuição estacionária de temperatura num retângulo 0a x 0b Os lados do retângulo correspondentes a x 0 y 0 e y b são mantidos isolados O lado do retângulo correspondente a x a é mantido à temperatura gy para 0 y b Resolva o problema obtendo uma solução na forma de série 3 Ỳ Txb b T0y gy Tay Tx0 a T Txy condiçõa iniciais T0y Tx0 Txb 0 Tay gy Equações Txx Tyy 0 2 2 T y x T Txy Não tem variações no tempo T não depende das coordenadas x e y espaciais Vamos resolver o problema utiizando separação de variación Txy Xx Yy XY 2 2 XT xY 2 y XY 9 10 II L n 7T x x I7T n 7T co5 S cos II mom II L L coSnTT 0 L m nn 77 0 II II 2 n 7TT L i7T n IT II 1 L 2 2 nTT III sin n 7Tx dx L cos 77TX L cos711 COS0 III L 1 1 II x sin n 7T x dx Por partes u x du dx dU sin n 77 x dx U L cosnTTx raro uu 11 An 2 2 I a II b III axT Ln 1 1 a 1 L bL 1 174 nTT TTTITI L 7n 1 n 1 mTT 2 nIT onde a ax T2T1 2 b axT1 1 Mux 2 L Ln1 1 al L bL 1 1 sin n 7T x n1 n 7T n1 Substituindo na equação diferencial d²Tdx² d²Tdy² 0 XY XY0 Dividindo por XY XX YY0 XX YY k k é uma constante XX k X kX 1 YY k Y kY 2 Para que Txy 0 precisamos ter k 0 Vamos usar k α² assim as soluções para 1 e 2 são Xx A coshαx B sinhαx Yy C cosαy D sinαy Usando as condições iniciais para Y Tx0 Txb Y0 Yb 0 Y0 C cos0 D sin0 0 C 0 Yy D sinαy Yb D sinαb 0 sinαb 0 αb n π múltiplo inteiro de π n 1 2 3 α n πb Txy Xx Yy A coshαx B sinhαx D sinαy Txy AD coshαx sinαy BD sinhαx sinαy Usando a condição inicial T0y 0 T0y AD cosh0 sinαy BD sinh0 sinαy 0 Para que este termo se anule AD1 sinαy 0 já sabemos que D 0 α 0 e y 0 Então precisamos ter A 0 A solução se torna Txy B sinhαx D sinαy BD sinhnπb x sinnπb y Tay gy Bₙ sinhnπb a sinnπb y Bₙ 2 b sinhnπb a 0b gy sinnπb y dy Não temos a forma de gy 4 Considere o seguinte sistema modelando o deslocamento de uma corda vibrante sob a ação de uma força externa Ar sendo A 0 uma constante ²ut² xt ²ux² xt Ar 0 x L t 0 u0t uLt 0 t 0 ux0 ut x0 0 0 x L a 025 pontos Faça uxt Uxt ψx Mostre que substituindo na EDP obtemos ²Ut² xt ²Ux² xt Ar ψx b 05 pontos Admitindo que ψ0 ψL 0 encontre ψ satisfazendo Ax ψx 0 Ax ψx 0 ²ψxx² Ax integrando em x ddx dψdx dx A x dx dψdx A x²2 C₁ integrando novamente em x dψdx dx A2 x² dx C₁ dx A2 x³3 C₁ x C₂ ψx A x³6 C₁ x C₂ Usando as condições iniciais ψ0 A6 0³ C₁ 0 C₂ 0 C₂ 0 ψx A x³6 C₁ x ψL A L³6 C₁ L 0 C₁ 1L A L³6 A L²6 ψx A6 x³ A L²6 x c 075 pontos Mostre que com essa escolha de ψ a função U satisfaz a equação da onda homogênea com condições de contorno U0t ULt 0 para t 0 e com condições iniciais Ux0 ψx Ut x0 0 para 0 x L Uxt Uxt ψx Uxt A x³6 A L²6 x ux Ux A6 3x² A L²61 Ux A x²2 A L²6 ²ux² ²Ux² A2 2x 0 ²Ux² A x ut Ut 0 ²ut² ²Ut² ²ut² ²ux² A x ²Ut² ²Ux² A x A x ²Ut² ²Ux² 0 homogênea u0t U0t ψ0 0 uLt ULt ψL 0 ux0 Ux0 ψx 0 ψx Ux0 Ux0 ψx ut Ut ut x0 Ut x0 0 d 20 pontos Resolva o problema para U Escreva a solução final do problema uxt Uxt ψx 4 d ²Ut² ²Ux² 0 ²Ut² ²Ux² Uxt Xx Tt Ux² X T ²Ut² X T Separação de variáveis Usando na equação X T X T Dividindo tudo por XT TT XX k As soluções não do tipo com k α² Xx A cosαx B sinαx Tt C cosαt D sinαt Uxt A cosαx B sinαx C cosαt D sinαt Condições iniciais U0t A cos0 B sin0 Tt 0 A 0 Uxt B sinαx Tt B sinαx C cosαt D sinαt ULt B sinαL Tt 0 αL nπ α nπL n 123 Uxt B sinnπL x C cosnπL t D sinnπL t Ut B sinnπL x t C cosnπL t t D sinnπL t C nπL sinnπL t D nπL cosnπL t Ut B sinnπL x nπL C sinnπL t D cosnπL t Ut x0 0 Ut x0 B sinnπL x nπL C sin0 D cos0 0 D 0 Uxt BC sinnπxL cosnπtL t Uxt Σn0 An sinnπxL cosnπtL t Ux0 BC sinnπxL Ψx fx cost0 1 An 2L ₀ᴸ fx sin nπxL dx 2L ₀ᴸ Ax³6 AL²6 xsinnπxL dx Ψx Ax³6 AL²6 x An 2L A6 ₀ᴸ x³ sinnπxL dx AL²6 ₀ᴸ x sinnπxL dx I II I ₀ᴸ x³ sin nπxL dx Por partes u x³ du 3x² dx dv sinnπxL dx v Lnπ cosnπxL u dv uv v du ₀ᴸ x³ sinnπxL dx Lnπ x³ cos nπxL ₀ᴸ 3Lnπ ₀ᴸ x² cosnπxL dx Lnπ L³ cosnπ 0 1n IA IA ₀ᴸ x² cos n π x L dx Ln π x² sinn π x L ₀ᴸ 2Ln π ₀ᴸ x sinn π x L dx Por partes u x² du 2x dx dσ cosn π x L dx σ Ln π sinn π x L IA Ln π L² sinn π 0 2Ln π ₀ᴸ x sinn π x L dx uσ σ du Por partes u x du dx x Ln π cosn π x L ₀ᴸ Ln π ₀ᴸ cosn π x L dx I Ln π 1ⁿ L³ 3Ln π 2Ln π Ln π L cosn π 0 Ln π sinn π sin0 0 I 6 L⁴ 1ⁿ n³ π³ L⁴ 1ⁿ n π Aₙ 2L A6 ₀ᴸ x³ sinn π x L dx A L² 6 ₀ᴸ x sinn π x L dx Aₙ 2L A6 6 L³ 1ⁿ n³ π³ L⁴ 1ⁿ n π A L² 6 L² 1ⁿ n π Aₙ 2A6 6 L³ 1ⁿ n³ π³ 2A6 L³ 1ⁿ n π 2A6 L³ 1ⁿ n π Aₙ 2A L³ n³ π³ 1ⁿ uxt Uxt ψx uxt Σₙ₀ Aₙ sinn π x L cosn π t L A L² 6 x A x³ 6 uxt Σₙ₀ 1ⁿ 2A L³ n³ π³ sinn π x L cosn π t L A L² x 6 A x³ 6 1 Resolva por integração direta as seguintes EDPs a 10 pontos 6 u uy uz 3 u² uxy x² y sendo u ux y b 10 pontos z uzy 2 uzy x² lny sendo u ux y z 1 a 6 u uy ux 3 u² uxy x² y 6 u uy ux 3 u² y ux x² y u uxy 6 u uy ux 3 u² y ux y 3 u² ux Então y 3 u² ux x² y Integrando em relação à y y 3 u² ux x² y dy 3 u² ux x² y² 2 C y Integrando 3 u² du γ²2 x² dx Gy dx 3 u³ 3 γ²2 x³ 3 Gy x Cx u³ γ² x³ 6 Gy x Cx uxy γ² x³ 6 Gy x Cx 1 b z uxyz 2uxy x z² lny z z y ux 2 y ux x z² lny Multiplicando os dois lados por z z² z y ux 2z y ux x z³ lny Usando a ideia de derivada de quociente fg fg fg g² fg fg g² fg com g z² f y ux temos z² z y ux 2z y ux z⁴ y ux z² Então z⁴ z y ux z² x lny z y ux z² dz x lny z dz x lny dz z y ux z² x lny lnz Cz z² y ux z² z² x lny lnz Cz y ux x lny z² lnz z² Cz Integrando em relação à y y ux dy x z² lnz lny dy z² Cz dy dux x z² lnz y lny y z² Cz y Gy Integrando em relação à x ux dx z² lnz y lny 1 x dx z² Cz y Gy dx x² 2 x z² lnz y lny 1 x² 2 z² y Cz Cy x Cx uxyz z² lnz y lny 1 x² 2 z² y Cz Cy x Cx 2 Suponha que a temperatura u ux t de uma barra homogênea é governada pelo seguinte problema de valor de contorno e inicial ut x t α² ²ux² x t π²L² cosπxL 0 x L t 0 u0 t T₁ uL t T₂ t 0 ux 0 fx 0 x L sendo T₁ e T₂ constantes a 10 pontos Encontre a temperatura de equilíbrio da barra b 125 pontos Utilizando o item a encontre a solução u na forma de série 2 a Equilíbrio ocorre em ut 0 Assim ut α² ²ux² π²l² cosπL x 0 ²ux² π²α² L² cosπL x ddx dudx Integrando ddx dudx dx π²α² L² cosπL x dx Lπ sinπL x dudx π²α² L² Lπ sinπL x c₁ dudx πα² L sinπL x c₁ Integrando novamente dudx dx πα² L sinπL x dx c₁ dx Lπ cosπL x ux πα² L Lπ cosπL x c₁ x c₂ ux 1α² cosπL x c₁ x c₂ Quando as condições iniciais u0 t ux0 T₁ uL t uxL T₂ u0 1α² cos0 c₁ 0 c₂ T₁ 1α² c₂ T₁ 1 uL 1α² cosπ L L c₁ L c₂ T₂ 1α² c₁ L c₂ T₂ 2 De 1 c₂ T₁ 1α² De 2 c₂ T₂ 1α² c₁ L igualando T₁ 1α² T₂ 1α² c₁ L c₁ L T₂ 1α² 1α² T₁ T₂ T₁ 2α² c₁ T₂ T₁ 2α² L α² T₂ T₁ 2 α² L c₂ T₁ 1α² α² T₁ 1 α² ux 1α² cosπL x c₁ x c₂ ux cosπL x α² α² T₂ T₁ 2 α² L x α² T₁ 1 α² a ux 1α² cosπL x α² T₂ T₁ 2 L x α² T₁ 1 2 6 fx An sinnπx L n0 An 2L 0 to L 1α2cosπxL ax b sinnπxL dx An 2α2 L 0 to L cosπxL sinnπxL dx a 0 to L x sinnπxL dx b 0 to L sinnπxL dx I 0 to L cosπxL sinnπxL dx 0 to π Lπ sinnu cosu du u πxL dudx πL dx Lπ du x0 u0 xL uπ I L2π 0 to π sinnu u du 0 to π sinnu u du L2π1n1n1 1n1n1 LΠ1n1πn1n1 II Lnπ cosnπxL x 0L Lnπ 0 to L cosnπxL dx Lnπ cosnπL x 0L Lnπ2 sinnπxL 0L II Lnπ L cosnπ 0 Lnπ2 sinnπ 0 1n L2nπ III 0 to L sinnπxL dx Lnπ cosnπxL 0L Lnπ cosnπ cos0 III Lnπ 1 1n II 0 to L x sinnπxL dx By parts u x du dx dv sinnπxL dx v Lnπ cosnπxL u dv uv v du An 2α2 L I aII bIII 2α2L Lπ1n1n1n1 a1n L2nπ bLnπ 1 1n μx n1 to 2α2L Lπ1n1n1n1 a1n L2nπ bLnπ 1 1n sinnπxL where a α2 T2 T1 2L b α2 T1 1 3 225 pontos Escreva um problema de contorno que governa a a distribuição estacionária de temperatura num retângulo 0a x 0b Os lados do retângulo correspondentes a x 0 y 0 e y b são mantidos isolados O lado do retângulo correspondente a x a é mantido à temperatura gy para 0 y b Resolva o problema obtendo uma solução na forma de série T Txy condições iniciais T0y Tx0 Txb 0 Tay gy Equações Txx Tyy 0 ²Tx² ²Ty² 0 T Txy Não tem variações no tempo T só depende das coordenadas x e y espaciais Vamos resolver o problema utilizando separação de variáveis Txy XxYy XY ²Tx² XY ²Ty² XY Substituindo na equação diferencial ²Tx² ²Ty² 0 XY XY 0 Dividindo por XY XX YY 0 XX YY k k é uma constante XX k X kX 1 YY k Y kY 2 Para que Txy 0 precisamos ter k 0 Vamos usar k α² assim as soluções para 1 e 2 são Xx A coshα x B sinhα x Yy C cosα y D sinα y Usando as condições iniciais para Y Tx0 Txb Y0 Yb 0 Y0 C cos0 D sin0 0 C 0 Yy D sinα y Yb D sinα b 0 sinα b 0 α b n π múltiplo inteiro de π n 1 2 3 α n π b Yy D sinn π b y Txy Xx Yy A coshα x B sinhα x D sinα y Txy AD coshαx sinαx BD sinhαx sinαx When the initial condition T0y 0 T0y AD cosh0 sinαy BD sinh0 sinαy 0 Para que este termos se anule AD1 sinαy 0 já sabemos que D 0 α 0 e y 0 Então precisamos ter A 0 A solução se torna Txy BD sinhαx D sinαy BD sinhnπb x sinnπb y Txy Σ Bn sinhnπb x sinnπb y solução Tay gy Σ Bn sinhnπb a sinnπb y Bn 2b sinhnπb a gy sinnπb y dy Não temos a forma de gy 4 Considere o seguinte sistema modelando o deslocamento de uma corda vibrante sob a ação de uma força externa Ar sendo A 0 uma constante ²ut² xt ²ux² xt Ar 0 x L t 0 u0t uLt 0 t 0 ux 0 ut x 0 0 0 x L a 025 pontos Faça uxt Uxt ψx Mostre que substituindo na EDP obtemos ²Ut² xt ²Ux² xt Ar ψx 4 a Fazendo uxt Uxt ψ x t uxt Ut 0 Ut ²t² uxt ddt Ut ²Ut² x uxt x Uxt x ψx Ux ψx ²x² uxt x Ux x ψx ²Ux² ψx Usando na equações ²ut² ²ux² Ax ²Ut² ²Ux² ψ Ax a ²Ut² xt ²Ux² xt Ax ψx Blank page b 05 pontos Admitindo que ψ0 ψL 0 encontre ψ satisfazendo Ax ψx 0 b Ax ψx 0 Ax ²ψxx² 0 ²ψxx² Ax integrando em x x ψx dx A x dx ψx A x²2 C1 Integrando novamente em x ψx dx A2 x² dx C1 dx A2 x³3 C1 x C2 ψx A x³6 C1 x C2 Usando as condições iniciais ψ0 A 0³6 C1 0 C2 0 C2 0 ψx A x³6 C1 x ψL A L³6 C1 L 0 C1 1L A L³6 A L²6 ψx A x³6 A L²6 x c 075 pontos Mostre que com essa escolha de ψ a função U satisfaz a equação da onda homogênea com condições de contorno U0t ULt 0 para t 0 e com condições iniciais Ux0 ψx Ut x0 0 para 0 x L c uxt Uxt ψx Uxt A x³6 A L²6 x ux Ux A6 3 x² A L²6 1 Ux A x²2 A L²6 ²ux² ²Ux² A2 2x 0 ²Ux² A x ut Ut 0 ²ut² ²Ut² ²ut² ²ux² A x ²Ut² ²Ux² A x A x ²Ut² ²Ux² 0 homogênea u0t U0t ψ0 0 uLt ULt ψL 0 ux0 Ux0 ψx 0 ψx Ux0 Ux0 ψx ut Ut ut x0 Ut x0 0 d 20 pontos Resolva o problema para U Escreva a solução final do problema uxt Uxt ψx 4 d ²Ut² ²Ux² 0 ²Ut² ²Ux² Uxt Xx Tt ²Ux² X T ²Ut² X T separação de variáveis Usando na equação X T X T Dividindo tudo por X T TT XX k As soluções não do tipo com k α² Xx A cosαx B sinαx Tt C cosαt D sinαt Uxt A cosαx B sinαx C cosαt D sinαt Tt Condições iniciais U0t A cos0 B sin0 Tt 0 A 0 Uxt B sinαx Tt B sinαx C cosαt D sinαt ULt B sinαL Tt 0 αL nπ α nπ L n 1 2 3 Uxt B sinnπL x C cosnπL t D sinnπL t Ut B sinnπL x t C cosnπL t t D sinnπL t C nπL sinnπL t D nπL cosnπL t Ut B sinnπL x nπL C sinnπL t D cosnπL t Ut x0 0 Ut x0 B sinnπL x nπL C sin0 D cos0 0 D 0 Uxt B C sinnπL x cosnπL t Uxt n0 to An sinnπL x cosnπL t Ux0 B C sinnπL x Ψx fx cost0 1 An 2L 0 to L fx sinnπL x dx 2L 0 to L A x³6 A L² x6 sinnπL x dx Ψx A x³6 A L²6 x An 2L A6 0 to L x³ sinnπL x dx A L²6 0 to L x sinnπL x dx I II I 0 to L x³ sinnπL x dx Por partes u x³ du 3x² dx dv sinnπL x dx v Lnπ cosnπL x u dv uv v du 0 to L x³ sinnπL x dx Lnπ x³ cosnπL x 0L 3Lnπ 0 to L x² cosnπL x dx Lnπ L³ cosnπ 0 1ⁿ I A I A 0 to L x² cosnπL x dx Lnπ x² sinnπL x 0L 2Lnπ 0 to L x sinnπL x dx Por partes u x² du 2x dx dv cosnπL x dx v Lnπ sinnπL x I A Lnπ L² sinnπ 0 2Lnπ 0 to L x sinnπL x dx uv v du Por partes u x du dx dv sinnπL x dx v Lnπ cosnπL x x Lnπ cosnπL x 0L Lnπ 0 to L cosnπL x dx I Lnπ 1ⁿ L³ 3Lnπ 2Lnπ Lnπ L cosnπ 0 Lnπ sinnπL x sin0 0 I 6 L⁴ 1ⁿ n³ π³ L⁴ 1ⁿ n π An 2 L A 6 0L x3 sinnπx L dx AL2 6 0L x sinnπx L dx An 2 L A 6 6L3 n3 π3 1n L4 nπ 1n AL2 6 L2 nπ 1n An 2A 6 6L3 n3 π3 1n 2A 6 L3 nπ 1n 2A 6 L3 nπ 1n An 2AL3 n3 π3 1n uxt Uxt ψx uxt n0 An sinnπx L cosnπt L AL2 6 x A x3 6 uxt n0 1n 2A L3 n3 π3 sinnπx L cosnπt L AL2 6 x A x3 6