Prova Cálculo IV - Curvas Equipotenciais, Cilindro Eletrostático e Disco de Poisson

Prova III Cálculo IV Prof Luciano Bedin Nome Responda a todas as questões abaixo Respostas sem justificativa eou cálculos não serão consideradas 1 Esboçar as curvas equipotenciais e linhas de campo do potencial complexo Ωz z¹ na região D ℂ0 0i 2 Um cilindro é limitado por z 0 z L e por r R coordenadas cilíndricas A superfície lateral e o topo do cilindro estão aterrados enquanto seu fundo é mantido a um potencial igual a 110 V Encontre o potencial eletrostático no interior do cilindro admitindo que não há cargas nessa região 3 Mostre que o potencial eletrostático v no interior de um disco de raio 1 que não contém cargas no seu interior e tal que o potencial sobre a fronteira do círculo ou seja quando r 1 é gθ 220 se 0 θ π e gθ 0 se π θ 2π é dado por vr θ 110 440π r senθ 4403π r³ sen3θ 440π2n1 r²ⁿ¹ sen2n1θ Fórmulas Equação de Laplace em coordenadas cilíndricas urr r¹ur r²uθθ uzz 0 Equações de CauchyRiemann uxx y vyx y uyx y vxx y Equação de Legendre 1 x²yx 2xyx λyx 0 Equação de Bessel x²yx xyx x² ν²yνx 0 Coeficiente da expansão em autofunções an ab pxynxfxdx ab pxyn²xdx Solução do problema de Dirichlet no disco unitário ux y Refx iy fz n0 an zn a0 12πi C gζζ dζ an 1πi C gζζn1 dζ Resolução Prova III Cálculo IV 2012 1 1 Ωz 1z 1z zz x y i x² y² x x² y² y i x² y² Φx y x x² y² Ψx y y x² y² Curvas equipotenciais Φx y const Const 0 x x² y² 0 x0 Eixo y y 0 Const c 0 x x² y² c x c x² y² x²c y² 0 circunferências x 12c² y² 12c² de centro 12c 0 e raio 12c Linhas de Campo Ψx y const Const 0 Ψx y 0 y x² y² 0 y 0 eixo x x 0 Const 0 y c x² y² y 12c² x² 12c² circunferência com centro com 0 y2c e raio 12c 2 μ μΠ z μΠΠ n² μnn μzz 0 0 Π R 0 z L μR z 0 0 z L μΠ L 0 0 Π R μΠ 0 110 0 Π R limn0 μΠ z existe 0 z L μΠ z GΠ Fz GΠ Fz n¹ GΠ Fz Fz GΠ 0 μR z GR Fz 0 GR 0 μΠ L GΠ FL 0 FL 0 limn0 μΠ z existe limn0 GΠ existe GΠ n¹ GΠ Fz Fz GΠ GΠ n¹ GΠ Fz Fz λ Gnn1 Gnλ Gn 0 0nR GR0 lim n0 Gn existe n2 Gn n Gn n2 λ Gn 0 0nR GR0 lim n0 Gn existe problema singular do tipo II envolvendo equações de Bessel de ordem zero Autovalores λm αm2R2 onde αm m123 são as raízes da função de Bessel J0x Autofunções Gm n Cm J0 αm nR m123 Fz λ Fz 0 0zL FL0 Fz αm2R2 Fz 0 0zL FL 0 Fz an eαm zR bn eαm zR FL an eαm LR bn eαm LR 0 bn an e2αm LR Fz an eαm zR eαm R 2L z Mm nz an Cm J0 αm nR eαm zR eαm R 2L z Mnz m1 an J0 αm nR eαm zR eαm R 2Lz m1 Mn0110 m1 an J0 αm nR 1 e2L αm R an 1 e2L αm R 0R n 110 J0 αm nR dn 0R n J02 αm nR dn an 110 1 e2L αm R 0R n J0 αm nR dn 0R n J02 αm nR dn Solução final Mnz 110 m1 0R n J0 αm nR dn eαm zR eαm R 2L z 0R n J02 αm nR dn 1 e2L αm R 3 uxy Re fxiy fz n0 to an zn a0 12πi C gξ dξξ 12πi 02π geiθ i eiθ dθeiθ 12π 0π 220 dθ 220 π2π 110 an 1πi C gξ dξξn1 1π i 0π 220 i eiθeiθn1 dθ 220π 0π en iθ dθ 220π 1mi emiθ 0π 220miπ emiπ 1 220miπ 1n 1 Se m é par an0 se m é ímpar an 220miπ 1 1 440miπ ii 440 imπ Assim fazendo z π eiθ temos fn eiθ q0 Σm1 am nm em iθ fn eiθ 110 Σm1 a2m1 n2m1 e2m1 iθ fn eiθ 110 Σm1 440 i n2m1π e2m1 iθ fn eiθ 110 440π Σm1 12m1π n cos2m1θ i sin2m1θ un cosθ n sinθ Refn eiθ un cosθ n sinθ 110 440π Σm1 12m1π n sin2m1θ