Edp - Cálculo 04

1 Resolva por integração direta as seguintes EDPs a 10 pontos 6uuy ux 3u2 uxy x2 y sendo u uxy b 10 pontos 2uxyz 2uxy x z2 lny sendo u uxyz 2 Suponha que a temperatura u uxt de uma barra homogênea é governada pelo seguinte problema de valor de contorno e inicial ut xt α2 2 ux2 xt π2 L2 cosπxL 0 x L t 0 u0t T1 uLt T2 t 0 ux0 fx 0 x L sendo T1 e T2 constantes a 10 pontos Encontre a temperatura de equilíbrio da barra b 125 pontos Utilizando o item a encontre a solução u na forma de série 3 225 pontos Escreva um problema de contorno que governa a a distribuição estacionária de temperatura num retângulo 0a 0b Os lados do retângulo correspondentes a x 0 y 0 e y b são mantidos isolados O lado do retângulo correspondente a x a é mantido à temperatura gy para 0 y b Resolva o problema obtendo uma solução na forma de série 4 Considere o seguinte sistema modelando o deslocamento de uma corda vibrante sob a ação de uma força externa Ax sendo A 0 uma constante 2 ut2 xt 2 ux2 xt Ax 0 x L t 0 u0t uLt 0 t 0 ux0 ut x0 0 0 x L a 025 pontos Faça uxt Uxt ψx Mostre que substituindo na EDP obtemos 2 Ut2 xt 2 Ux2 xt Ax ψx b 05 pontos Admitindo que ψ0 ψL 0 encontre ψ satisfazendo Ax ψx 0 c 075 pontos Mostre que com essa escolha de ψ a função U satisfaz a equação da onda homogênea com condições de contorno U0t ULt 0 para t 0 e com condições iniciais Ux0 ψx Ut x0 0 para 0 x L d 20 pontos Resolva o problema para U Escreva a solução final do problema uxt Uxt ψx 1 6uuy 3u2 uxy x2 y Suponha uxy fx gy então ux fx gy uy fx gy uxy fx gx Logo 6 fx gx fx gy fx gy 3 f2 x g2 y fx gx x2 y 6 fx2 gx2 fx gx 3 fx2 gy2 fx gy x2 y g gx2 gx2 fx gy x2 y gx fx x2 gy gy y Resolvendo cada equação obtemos g fx2 dfxdx x2 y fx2 dfx x2 dx g fx dfx x2 dx 7 3 3 3 3 fx3 x3 C1 fx3 x3 9 C1 3 fx x3 9 C1 313 gy2 gy y gy2 dgydy y gy2 dgy y dy gy2 dgy y dy gy3 y2 2 C2 gy3 3 y2 2 3 C2 gy 3 y2 2 3 C213 Portanto como uxy fx gy temos uxy x3 9 C1 3 3 y2 2 3 C213 Equações separáveis EDO b 2 uxyz 2 uxy x z2 lny Suponha uxyz fx gy hz então uxyz fx gy hz e uxy fx gy hz Logo z fx gy hz 2 fx gy hz x z2 lny fx gy 2 hz 2 hz x z2 lny fx x gy lny z hz 2 hz z2 Resolvendo cada equação separadamente temos fx x fx x2 2 C1 gy lny gy y lny y C2 Integral de ln é feita por integração por partes z hz 2 hz z2 hz 2 hz z z 32 dz e2 ln z z2 Vamos usar o fator integrante μz e32 z hz 2 hzz z2 z z2 1z hz 2 hzz z2 dz 1z hz z2 lnz C3 hz z2 lnz C3 z2 Portanto como uxyz fx gy hz temos uxyz x2 2 C1 y lny y C2 z2 lnz C3 z2 Integral de ln é feita por integração por partes 2 a Para encontrar a temperatura de equilibrio consideramos o estado estacionário do problema ou seja quando ut0 Assim 0 α² ²ux² π²L² cosπxL α² ²ux² π²L² cosπxL Logo para encontrar u vamos integrar a equação em x duas vezes α² ²ux² dx π²L² cosπxL α² ux πL senπxL C₁ α² ux πL senπxL C₁ α² ux dx πL senπxL C₁ dx α² u cosπxL C₁ x C₂ u 1α² cosπxL C₁ x C₂ Vamos utilizar as condições de contorno para determinar as constantes C₁ e C₂ u0 T₁ então 1α² cosπ0L C₁0 C₂ T₁ 1 C₂ T₁ α² C₂ T₁ α² 1 uL T₂ então 1α² cosπLL C₁L C₂ T₂ 1 C₁L T₁ α² 1 T₂ α² C₁L T₂ T₁ α² 2 C₁ T₂ T₁ α² 2 L Portanto a solução estacionária é ux 1α² cosπxL T₂ T₁ α² 2L x T₁ α² 1 b Para encontrar a solução em série assumimos uma solução da forma uxt Ux ϑxt onde Ux é a solução de equilíbrio do item a e ϑxt é a parte transiente que satisfaz o PVC Substituindo ux1 na equação original obtemos t Ux ϑxt α² ²x² Ux ϑxt π²L² cosπxL Uxt ϑxtt α² ²x² Uxt ²x² ϑxt π²L² cosπxL mas temos do item a que t Ux 0 e α² ²x² Uxt π²L² cosπxL 0 logo ϑxtt α² ² ϑxtx² Além disso visto que U0 T₁ e UL T₂ temos u0t U0 ϑ0t T₁ T₁ ϑ0t T₁ ϑ0t 0 uLt UL ϑLt T₂ T₂ ϑLt T₂ ϑLt 0 Com isso obtemos ϑt α² ²ϑx² ϑ0t 0 ϑLt t0 ϑx0 fx Ux 0 x L A solução do problema de ϑxt é conhecida e é dada por séries de Fourier Assim ϑxt n1 bₙ eα² n² π²L² t sennπxL Onde bₙ 2L 0L fx Ux sennπxL dx Portanto uxt Ux n1 bₙ eα² n² π²L² t sennπxL 3 Para resolver o problema de contorno para a distribuição de temperatura num retângulo 0a x 0b devemos considerar a equação de Laplace ²T 0 Como estamos trabalhando com duas dimensões temos ²Tx² ²Ty² 0 com condição de contorno Tay gy 0 y b Ty x0 0 0 x a Ty xb 0 0 x a Tx 0y 0 0 y b Vamos supor que a solução pode ser escrita na forma Txy Xx Yy Separação de Variáveis Substituindo na equação de Laplace obtemos Xx Yy Xx Yy 0 Logo dividindo por Txy XxYy obtemos XxXx YyYy 0 Como obtemos uma parcela que só depende de x e outra que só depende de y ambos devem ser constantes pois a soma é sempre 0 Assim tomamos XxXx λ e YyYy λ o que nos dá as EDOs Xx λ Xx 0 e Yy λ Yy 0 Pelas condições de contorno obtemos Ty x0 0 Xx Y0 0 Y0 0 Ty xb 0 Xx Yb 0 Yb 0 Tx 0y 0 X0 Yy 0 X0 0 Assim vamos resolver o PVI Yy λ Yy 0 Y0 Yb 0 Para evitar soluções triviais vamos supor λ 0 Logo a solução será Yy C₁ cosλ y C₂ senλ y Yy λ C₁ senλ y λ C₂ cosλ y Y0 λ C₂ 0 C₂0 Yb λ C₁ senλ b 0 λ b nπ λn nπb² Assim a solução fundamental para Y será Yny sennπ y b Como λ 0 temos que a solução para x será Xx C₃ eλ x C₄ eλ x Xx λ C₃ eλ x λ C₄ eλ x X0 λ C₃ e⁰ C₄ e⁰ 0 C₃ C₄ Xx 2 C₃ coshλ x e a solução fundamental será Xnx coshnπ xb Por fim vamos escrever Txy como série e achar os coeficientes Txy bn sennπ y b coshnπ xb Como T0y gy temos T0y bn sennπ y b coshnπ 0b gy coeficiente Fourier de gy Logo bn coshnπ 0b 2b ₀b gy sennπ xb dy bn 2b coshnπ 0b ₀b gy sennπ xb dy 4 a Seja uxt Uxt ψx Temos que ² ut² ²t² Uxt ψx t Uxtt 0 ² Uxtt² ² ux² ²x² Uxt ψx ² Uxtx² ² ψxx² ² Uxtx² ψx pois ψx não depende de t Portanto ² Uxtt² ² Uxtx² Ax ψx b Queremos encontrar ψx tal que Ax ψx 0 Logo ψx Ax ψxdx Ax dx ψx Ax²2 C₁ ψxdx Ax²2 C₁ dx ψx Ax³6 C₁ x C₂ Como ψ00 temos 0 A0³6 C₁0 C₂ C₂0 Além disso como ψL0 temos 0 AL³6 C₁L C₁L AL³6 C₁ AL²6 Portanto ψx Ax³6 AL² x6 c Com ψx obtido substituímos uxt Uxt ψx nas condições de contorno e iniciais u0t U0t ψ0 0 U0t 0 0 U0t 0 uLt ULt ψL 0 ULt 0 0 ULt 0 ux0 Ux0 ψx 0 Ux0 ψx ut x0 Ut x0 0 Ut x0 0 Assim mostramos o que foi pedido d Temos que ² Ut² 2 ² Ux² U0t ULt 0 t0 Ux0 ψx Ax³6 AL² x6 0xL Ut x0 0 0xL Este problema descreve a equação da onda homogênea cuja solução geral é Uxt an cosnπctL bn sennπctL sennπxL Utillizando as condições iniciais temos Ux0 an sennπxL Ax³6 AL² x6 pois sen0 0 cos0 1 Logo an pode ser determinado utilizando a expansão em série de Fourier Uxtt An sennπctL nπcL Bn cosnπctL nπcL sennπxL Assim Ut x0 Bn nπcL sennπxL 0 Bn0 para todo n Portanto uxt Uxt ψx pode ser escrito como uxt an cosnπctL sennπxL Ax³6 AL² x6