Resolução PIII Calculo E 2013-1: Questões Resolvidas e Detalhadas

Resolução PIII Cálculo E 20131 ① z5 1 1 cisπ zk cisπ 2kπ 5 k 0 1 2 3 4 2 a fxiy i x iy2 i x2 y2 2xy i 2xy i x2 y2 μxy 2xy vxy x2 y2 x c μxy 2 c y vxy c2 y2 y μ2c v c2 μ24c2 14c2 μ2 c2 b fxiy ex cos y i sen y μxy ex cos y vxy ex sen y 0 Im z π 0 y π 1 cos y 1 0 sen y 1 Re z 0 x 0 0 ex 1 1 ex ex cos y ex 1 1 μ 1 0 ex sen y ex 1 0 v 1 A imagem é a região 1 1 1 1 V μ Prova III Cálculo E 201301 Prof Luciano Bedin Nome Responda a todas as questões abaixo Justifique sua resposta de forma precisa respostas sem justificativa eou cálculos não serão aceitas 1 Resolva em C a equação z5 1 0 2 Represente graficamente cada região abaixo a D é a imagem do conjunto z C z ciy pela transformação fz iz2 c R é uma constante não nula b D é a imagem do conjunto z C Rez 0 0 Imz π pela transformação fz exp z 3 Encontre os pontos z C em que existe fz sendo fz z Rez Im z Podemos afirmar que f é holomorfa em alguma região aberta U do plano complexo 4 Resolva o seguinte sistema 2 ut2 xt 2 ux2 xt ex senx 0 x 2π t 0 u0t u2πt 0 t 0 ux0 0 0 x 2π ut x0 gx 0 x 2π Fórmulas w1n w1ncosθ0 2kπn i senθ0 2kπn k 01 n1 expz ex cos y i sen y Equações de CauchyRiemann ux vy vx uy Série de Fourier Cosseno a02 n1 an cosnπxL an 2L L0 fx cos nπxL dx Série de Fourier Seno n1 bn sen nπxL bn 2L L0 fx sen nπxL dx Problema de SturmLiouville Xx λXx 0 0 x L X0 XL 0 λn n2π2L2 Xn x sennπxL n 1 2 Como D não é aberta e não é holomorfa em nenhuma região aberta do plano 4 ψx ex senx 0 ψx ex cosx C1 χ0 χ2π 0 ψx ex senx C1 x C2 ψ0 0 1 C2 C2 1 χ2π 0 0 e2π C1 2π 1 C1 1 e2π 2π ψx ex senx 1 e2π 2π x 1 Seja Uxt uxt χx então U satisfaz Utt Uxx 0 x 2π t 0 U0t U2πt 0 t 0 Ux0 χx 0 x 2π Utx0 gx 0 x 2π Resolvendo para U Uxt Xx Tt XxTt XxTt X X T T λ X λX 0 0 x 2π X0 X2π 0 T λT 0 t 0 Tnt m24 Tnt 0 λn m2 π2 2π2 m24 Tt am cosm t 2 bm senm t 2 Xmx senm π x 2π senm x 2 Uxt Σm1 senm x 2 am cosm t 2 bm senm t 2 Ux0 χx Σm1 senm x 2 am am 2 2π 02π χx senm x 2 dx Utxt Σm1 senm x 2 am m2 senm t 2 bm m2 cosm t 2 am 1 π 02π χx senm x 2 dx Utx0 Σm1 bm m2 senm x 2 gx bm m2 22π 02π gx senm x 2 dx bm 2 m π 02π gx senm x 2 dx Ri uxt Σm1 senm x 2 1π 02π χσ senm σ 2 dσ cosmt 2 2mπ 02π gξ senm ξ 2 dξ senmt 2 ex senx 1 e2π 2π x 1