Prova de Cálculo 4 - Distribuição de Temperatura, Vibração de Corda e Equações Diferenciais Parciais

Prova III Cálculo 4 202302 Prof Luciano Bedin Nome 1 Encontre a distribuição estacionária de temperatura num retângulo 0a0b Os lados do retângulo correspondentes a x0 e y0 são mantidos à temperatura zero O lado do retângulo correspondente a yb é mantido à temperatura fx para 0xa e o lado do retângulo correspondente a xa é mantido isolado 2 Resolva o seguinte problema que modela o problema de vibração de um corda elástica de comprimento L com fronteira livre uttc2uxx 0xL t0 ux0t0 uxLt0 t0 ux0fx utx0gx 0xL 3 Escreva a solução do problema uttuxx x t0 ux0fx utx00 x para fx16x2 se x 4 Encontre as retas características da EDP e 0 se x4 as utilize para representar graficamente cada umas das ondas forward e backward para alguns valores de t Explique como é o comportamento da solução uuxt do problema 4 Sejam α0 γ0 A0 β1 β2 constantes Considere o problema abaixo utxtα22ux2xtA senγ x 0xL t0 u0tβ1 uxLtβ2 t0 ux0fx 0xL a Encontre a solução de equilíbrio para o problema b Usando o itema resolva o problema Fórmulas Série de Fourier a0Σn1an cos nπxL bn sen nπxL a0 12L L Lfxdx an1LL LfxcosnπxL dx bn1LL LfxsennπxL dx Série de Fourier Cosseno a0Σn1 an cos nπxL a0 1LL0 fxdx an2LL0 fx cos nπxL dx Série de Fourier Seno Σn1 bn sen nπxL bn2LL0 fxsen nπxL dx Série de Fourier Seno 4Lperiódica Σn1 bn sen 2n1πx2L bn2LL0 fxsen 2n1πx2L dx Série de Fourier Cosseno 4Lperiódica Σn1 an cos 2n1πx2L an2LL0 fxcos 2n1πx2L dx Problemas de SturmLiouville YyλYy0 0yL Y0YL0 λnn2π2L2 λ00 Y0y1 YnycosnπyL n12 YyλYy0 0yL Y0YL0 λnn2π2L2 YnysennπyL n12 YyλYy0 0yL Y00 YL0 λn2n12π22L2 Ynysen2n1πy2L n12 YyλYy0 0yL Y00 YL0 λn2n12π22L2 Ynycos2n1πy2L n12 Soluções de algumas EDOs Yyk2Yy0 Yyc1 coskyc2 senky Yyk2Yy0 Yyc1 coshkyc2 senhky TtβTt0 TtCeβt Ttβ2Tt0 TtA cosβtB senβt Solução de DAlambert uxt12fxctfxct12c xct xct gsds 1 Encontre a distribuição estacionária de temperatura num retângulo 0a0b Os lados do retângulo correspondentes a x0 e y0 são mantidos à temperatura zero O lado do retângulo correspondente a yb é mantido à temperatura fx para 0xa e o lado do retângulo correspondente a xa é mantido isolado Graphics with graph showing b on y axis and a on x axis with shading in region ux0 μxxμyy0 0xa 0yb μ0y0 0yb μxay0 0yb μx00 0xa μxbfx 0xa μxyXx Yy Xx YyXx Yy0 XxXx YyYy λ XxλXx0 Yyλ Yy0 μ0y 0 X0 0 μxay 0 Xa 0 μx0 0 Y0 0 Xx λXx 0 X0 0 Xa 0 0 x a λm 2m1π2a2 m123 Xmx sin2m1πx2a m123 Ymy λm Ymy 0 Ymy Am coshkm y Bm sinhkm y sendo km 2m1π2a Y0 0 0 Am1 Bm0 Am0 Ymy Bm sinhkm y Solução μxy Σm1 Bm sinhkm y sinkm x μxb fx Σm1 Bm sinhkm b sinkm x fx Bm sinhkm b 2a a0 fx sinkm x dx Bm 2a sinhkm b a0 fx sin2m1πx2a dx Logo μxy Σm1 Bm sinh2m1π y2a sin2m1π x2a com Bm dado por 2 Resolva o seguinte problema que modela o problema de vibração de um corda elastica de comprimento L com fronteira livre utt c² uxx 0 x L t 0 ux0t 0 uxLt 0 t 0 ux0 fx utx0 gx 0 x L μxt Xx Tt Xx Tt c² Xx Tt XxXx Ttc² Tt λ Xx λ Xx 0 X0 0 XL 0 Tt c² λ Tt 0 λ00 X0x1 λmmπL² Xmx cosmπxL λ00 T0t 0 T0t A0 t B0 λm mπL Tmt mπL² c² Tmt 0 Tmt Am cosmπ c tL Bm sinmπ c tL logo μxt A0 t B0 Σm1 Am cosmπ c tL Bm sinmπ c tL cosmπ xL μx0 fx B0 Σm1 Am cosmπ xL fx portanto B0 1L L0 fx dx Am 2L L0 fx cosmπ xL dx μtx0 gx A0 Σm1 Bm mπ cL cosmπ xL A0 1L L0 gx dx Bm m π c 2L L0 gx cosmπ xL dx Logo uxt A0 t B0 t n1 to An cosnπctL Bn sennπctL cosnπxL sendo A0 B0 An e Bn dados acima μxt 12 fxt fxt sendo fxt 16xt2 se xt 4 0 se xt 4 fxt 16xt2 se xt 4 0 se xt 4 As retas características são xt const xt const Ondas forward Ondas backward Para tempos iniciais uxt é uma combinação soma das ondas forward e backward e a corda tem configurações parecidas como À medida que t aumenta a configuração da corda se assemelha a Ux A senrxα2r2 C1 x C2 U0 C2 β1 Temp de equilíbrio Ux A senrxα2r2 β2 A cosrLα2 rx β1 7 b Seja vxt μxt Ux então Vt μt Vxx μxx Ux VxLt μxLt UL 0 V0t μ0t U0 0 Então V satisfaz Vt α2 Vxx Ux A senrx Vt α2 Vxx α2 Ux A senrx Vt α2 Vxx 0 x L t 0 V0t 0 t 0 VxLt 0 t 0 Vx0 fx Ux 0 x L Solução de Vxt XxTt XxTt α² XxTt Xx Xx Tt α² Tt λ Xx λXx 0 X0 0 XL 0 λₙ 2n1π 2L ² Xₙx sen 2n1 π x L Tₙt α² 2n1 π 2L ² Tₙt 0 Tₙt Cₙ eα² λₙ t Assim Vxt ₘ₁ Cₙ eα² λₙ t sen Kₙ x Kₙ 2n1 π 2L Vx0 fx Ux ₘ₁ Cₙ senKₙ x fx Ux Cₙ 2L ₀ᴸ fx sen 2n1 π x 2L dx Solução uxt Vxt Ux sendo Vxt dado por e Ux dado por