Exercícios Lista-2021 2

Questão 3: (1,5 pontos) Sobre uma viga horizontal, suportada pelos seus extremos, exerce-se uma carga uniforme. A deflexão da viga, no seu ponto médio, é dada por S = \frac{k}{w h^3}, sendo w e h a largura e a altura da seção transversal da viga, respectivamente; k é uma constante que depende das propriedades físicas da viga. Há um erro relativo de, no máximo, 5\% na medição de w e de, no máximo, 4\% na medição de h. Utilizando o conceito de diferencial, determine o erro relativo porcentual máximo aproximado em S. Questão 4: Considere a função f(x, y) = \begin{cases} \frac{x y^2}{x^2 + y^3}, & \text{se}\ (x, y) \neq (0, 0), \\ 0, & \text{se}\ (x, y) = (0, 0). \end{cases} a) (0,6 pontos) Determine f_x(0, 0) e f_y(0, 0), se existirem. b) (1,0 ponto) f é diferenciável em (0, 0). Essa afirmação é falsa ou verdadeira? Justifique adequadamente. c) (1,0 pontos) f_{xy}(0, 0) e f_{yx}(0, 0) existem? Justifique. Questão 6: Uma caixa retangular é disposta no primeiro quadrante como na figura abaixo, com um dos vértices em (0, 0, 0) e faces paralelas aos planos coordenados. O ponto P(x, y, z) pertence também ao paraboloide z = 1 - x^2 - y^2. Queremos saber qual a posição do ponto P tal que a caixa tenha o maior volume possível. Para isso, responda cada item abaixo. a) (0,2 pontos) Mostre que o problema consiste em maximizar a função f(x, y) = xy - x^3y - xy^3. b) (0,5 pontos) Encontre os pontos críticos de f no primeiro quadrante (x > 0, y > 0). c) (0,3 pontos) Classifique o(s) ponto(s) crítico(s) encontrados no item b) usando o teste do Hessiano. d) (0,6 pontos) Encontre o valor máximo global de f no primeiro quadrante e em que ponto ele ocorre. Justifique porque de fato nesse ponto o máximo de f é global no primeiro quadrante.