Lista 4 Exercícios Livro com Resposta-2021 2

856 CÁLCULO Aplicando esse teorema uma segunda vez, temos Df(f, x) = D (f, x) = = ∂x ∂y (Df, x) + ∂y (Df,f)k = (f fk + f fx)h + (f yh + f yfk) = f h fk + 2f yhk + f yhzk (pelo Teorema de Clairaut) Se completarmos os quadrados na expressão, obtemos 10 ë - - - Dë f - f x + x x - - k + k f - - f y y f x - f y j 礵 Foi-nos dado que f(x, b) > 0 e D (x, b) > 0 Mm f é e D = f - f x So funções contínuas, portanto há uma bola aberta B com centro (x, b) e raio δ > 0 tal que f (x, y) > 0 e D(x, y) > 0 sempre que (x, y) está em B. Logo, ao olhar na Página 13, vemos, que D (x, y) > 0 sempre que (x, y) pertencer a B. Isso significa que C é curva obtida pela interseção do gráfico de f com o plano vertical que passa por P Já, f (a, b), na direção que contém C é côncava para cima no intervalo de comprimento 28. Isso é verdadeiro na direção de cada vetor h, portanto ao restringirmos (x, y) para ficar em 6 o gráfico de f fica acima de seu plano horizontal tangente em´ P. Assim, f (x, y) = f (a, b) sempre que (x, y) estiver em B. Isso mostra que f (a, b) é um mínimo local. Volume L 56 DERIVADAS PARCIAIS 857 12. f(x, y) = xy + 1 x + 1 y 13. f(x, y) = eˆx cos y 14. f(x, y) = eˆx cos x 15. f(x, y) = eˆx + 2y xˆ2 16. f(x, y) = eˆ(1/2) - eˆ(xˆ2 - 2y) 17. f(x, y) = y + 2y cos x , -1 <= x <= 7 18. f(x, y) = sen x sen y , -π <= x <= π, -π <= y <= π 19. Mostre que f(x, y) = x + yˆ4 - 4y + 2 em um número infinito de pontos críticos e que D = 0 em cada um. A seguir, mostre que f tem um mínimo local (e absoluto) em cada ponto crítico. 20. Mostre que f(x, y) = xˆ4y - xˆ2yˆ4 + xˆ4 tem valores máximos em (±1, 3/2) e valores mínimos em (±1, -1/2√2). Mostre também que f tem infinitos outros pontos críticos e que D = 0 em cada um deles. Quais deles dão origem a valores máximos? E a valores mínimos? E a pontos de sela? 21-24 Utilize um gráfico curvas de nível para estimar os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Em seguida, use o cálculo para determinar esses valores de modo preciso. 21. f(x, y) = xˆ4 + yˆ4 + xˆ3yˆ2 22. f(x, y) = xy + y - x 23. f(x, y) = sen x + sen y + sen(x + y), 0 <= x <= 2π, 0 <= y <= 2π 24. f(x, y) = sen x + sen y + cos(x + y), 0 <= x <= 4π, 0 <= y <= 4π 25-28 Utilize uma ferramenta gráfica como o Exemplo 4 (ou o Método de Newton ou um determinador de raízes) para encontrar os pontos críticos de f com precisão de três casas decimais. Em seguida, classifique o ponto crítico e determine o valor mais alto e o mais baixo do gráfico, se houver. 25. f(x, y) = xˆ4 + yˆ4 + 4xy + x 26. f(x, y) = eˆx + 2y + x sen(4x - 2y + 1) 27. f(x, y) = xˆ4 - 3xˆ3y + xˆ2 - 2y + 1 28. f(x, y) = 20eˆ(x-y) + cos x 3xy, |x| <= 1, |y| <= 1 29-36 Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D. 29. f(x, y) = xˆ2 - 3yˆ2 - 2x, D é a região triangular fechada com vértices (2, 0), (1, -2) e (6, -2) 30. f(x, y) = x - y, z>=0, D é a região triangular fechada com vértices (0, 0), (2, 0) e (4, 0) 31. f(x, y) = y - x² + y, 4 D = {(x, y)|1 <= x <= 5, y > 5} 32. f(x, y) = 4x + 6y - 6, D é {x, y)(0 <= x <= 4, 0 <= y <= 5 33. f(x, y) = xˆ2 + y + 4, D = ], {0 <= x <= 3, 1 <= y <= 5} 34. f(x, y) = xˆ2y, D = |(x, y)|x >= 0, y >= 0, x + y = 3] 35. f(x, y) = xˆ2 + yˆ4, D = |(x, y)|xˆ2 + yˆ2 <= 1] 36. f(x, y) = -3x - 3y + 12y,] D é o quadrilátero cujos vértices são (-2, 3), (2, 3), (2, 2) e (-2, -2). 858 CÁLCULO 51. Uma caixa de papelão sem tampa deve ter um volume de 32.000 cmˆ3. Determine as dimensões que minimizam a quantidade de papelão utilizado. 52. Um prédio retangular está sendo projetado para minimizar a perda de calor. As paredes leste e oeste perderão calor a uma taxa de 10 unidades/mˆ2 por dia; as paredes norte e sul, a uma taxa de 5 unidades/mˆ2 por dia; o piso, a uma taxa de 1 unidade/mˆ2 por dia; e o teto, a uma taxa de 15 unidades/mˆ2 por dia. Cada parede deve ter pelo menos 30 m de comprimento, a altura deve ser no mínimo 4 m, e o volume, exatamente 4000 mˆ3. (a) Determine o esboço do domínio da perda de calor como uma função dos comprimentos dos lados. (b) Encontre as dimensões que minimizam a perda de calor. (c) Analise todos os pontos críticos como os pontos sobre a fronteira do domínio. 53. (a) Você poderia projetar um prédio que precisamente minimiza a perda de calor analisada se as restrições sobre os comprimentos das paredes fossem removidas? 54. Se o comprimento da diagonal de uma caixa retangular deve ser 51. (m) 50 cm e o volume 500 cmˆ3. 51. Três tabelas (versões alternativas do exemplo). A. BDDetermine 52. (vos) quatro segmen: (A, A) (A, BO), B (B, B ÔO, 0 OO) e B, C AB. A Lei de Hardy-Weinberg afirma que a proporção de indivíduos em uma população que carregam dois alelos diferentes é J Pq 2pq + 2p q 2pp onde p e q são as proporções de A, B e O na população. Use isso para mostrar que pˆ2 opy + t = para mostrar que o 52. 14.7 Exercícios 1. Suponha que (1, 1) seja um ponto crítico de uma função f com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre e b(f,x,y), 1) 4 f 1), 1) 1. (a)fk, 1 1) 4, 4D f (1, 1) = 3 1fnl, 11) = 2 (f)f(1,1) uf(1,1) 3 (f ) = 2 2. Suponha que (0, 2) seja um ponto crítico de uma função g com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobree D ((0, 2) = 1g (0, (0, 2) = 1 g (0, 2) = 2, 2 g (0, 2) = -8 8 (0, 2) 4, (O: 0, 2, c (0, 2) = 6, 6)D g (0,2) = 9 3-4 Utilize as curvas de nível da figura para predizer a localização dos pontos críticos de f e se f tem um ponto de sela ou um máximo ou mínimo local em cada um desses pontos. Explique sua raciocínio. Em seguida, empregue o Teste da Segunda Derivada para confirmar suas predições. 3. f(x,y) = 4 + xˆ2 + yˆ4 - 3xy 5-18 Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função. 5. f(x,y) = -2x + 4y - xˆ2 - 4yˆ2 6. f(x,y) = xˆ3 + 12xˆ2 - 8y 7. f(x,y) = (x - y)(1 - x)y 8. f(x,y) = xˆ2 - x - y² 9. f(x,y) = 3xˆ4 + 3x y - 6x c - 6y² + 2 10. f(x,y) = xˆ4 + 3eˆ(-x) - y 11. f(x,y) = xˆ3 - 12y + 8y³ É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador 1. A as Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com