Lista 4-2021 2

C´alculo 2 - Lista 4 Prof. Ferm´ın S. V. Baz´an 1. Resolva os exerc´ıcios 1, 3, 6, 8, 9, 10 das p´ags. 40 a 41 do livro ”C´alculo de V´arias Var- i´aveis” do Profs. A. de A. e Silva e M. P. Matos. Al´em disso, resolva 1, 2, 3, 5 e 7 (pags. 51-52), 4 ao 7, 9, 11 e 12 (pags. 55-56) e 19, 20, 23 e 24 da pag. 67. O livro est´a dispon´ıvel em: http://www.mpmatos.com.br/page_2.html 2. Determine as derivadas parciais indicadas: a. f(x, y) = 3xy4 + x3y2 − cos(x − y), fxxy, fyxyy b. f(r, s, t, w) = ln(w2 + r2 − t), ∂3f ∂r2∂w, ∂4f ∂t∂w2∂r c. g(x, y, z) = x+y+z √ x2+y2+z2, ∂3g ∂x∂y∂z d. f(x, y) = (x2 + y2)2/3, fx(0, 0), fy(0, 0) Obs.: use o Wolfram Alpha para obter as respostas. 3. O raio e a altura de um cilindro circular reto s˜ao medidos com poss´ıveis erros de 4% e 2%, respectivamente. Aproxime o erro m´aximo porcentual no c´alculo do volume do cilindro. Resposta: 10% 4. A energia cin´etica de um corpo com massa m e velocidade v ´e K = 1 2mv2. Mostre que Km Kvv = K. 5. Sendo w = x2e2y cos(3z). Determine dw/dt no ponto (1, ln(2), 0) na curva x = cos(t), y = ln(t + 2), z = t. Resposta: dw/dt = 4. 6. Um experimento para medir a toxidade de formalde´ıdo gerou a Tabela 1 abaixo. Os valores mostram a porcentagem, P = P(t, x), de ratos que sobreviveram `a exposi¸c˜ao de uma concentra¸c˜ao de formalde´ıdo igual a x (em partes por milh˜ao, ppm) depois de t meses. Na coluna 1 da tabela est˜ao os valores do tempo t e na linha 1 da tabela est˜ao os valores da concentra¸c˜ao x. a. Estime Pt(6, 18) e Px(6, 18) e interprete seus resultados. b. A uma concentra¸c˜ao de formalde´ıdo igual a 18 ppm e depois de decorridos 6 meses, estime em quanto tempo depois s porcentagem de ratos sobreviventes ser´a de 90%. Resposta: a) Pt(6, 18) ≈ − 11 9 % sobreviventes/mˆes, significa que `a concentra¸c˜ao constante de 18 ppm, a taxa mensal de mortes ´e 11/9 %, contando o tempo a partir do mˆes 6. Por outro lado, Px(6, 18) ≈ −3/2 % sobreviventes/ppm, significa que no mˆes 6, as mortes aumentam `a Tabela 1 raz˜ao de 3/2 %, aumentando-se a dose de formalde´ıdo em 1 ppm a partir de 18 ppm. b) 27/11 meses 7. A quantidade de calor H (calorias/m3) necess´aria para levantar a neblina de um aero- porto depende da temperatura do ar T (em oC) e da umidade da neblina w (em gramas/m3). A Figura 1 mostra H = H(T, w) para alguns valores fixos de w, como fun¸c˜ao da temperatura. a. Encontre um valor aproximado para HT(20, 3/10) e interprete essa derivada em termos pr´aticos. b. Considere que num determinado dia a umidade do ar ´e w = 0, 3. Al´em disso suponha que h´a uma limita¸c˜ao t´ecnica no uso do equipamento, de forma que somente 250 cal/m3 podem ser gerados para o levantamento da neblina. Estime em termos relativos o quanto a temperatura do ar deveria ser maior do que 20 oC para que o processo seja efetivo. c. Como vocˆe usaria a Figura 7 para estimar Hw(T, w) para T = 30 e w = 0, 3? Qual o significado dessa derivada? Figura 1 8. Se z = f(x,y), com x = rcos(@) e y =r sen(@), mostre que + tice t* Zee + Zyy = Zrr + sZ —Zp. yy pr 08 To. 9. A indutancia Z (em microhenrys) de um fio retilineo naéo-magnético é dada por L =0, 00021 (In(2h/r) — 0,75), sendo h o comprimento do fio e r 0 raio de sua secao transversal (circular), em polegadas 1 (pol). Aproxime a variagéo em L quando r varia de 0.2 pol a 0.2 — 16 pol e h varia de 1 1 1 100 pol a 100 + T00 pol. Resposta: AL ~ 0, 00021 (om + x) microhenrys 10. A notacao (se), , € usada para indicar que a grandeza w pode ser expressa em termos das varidveis independentes x, y, z e que queremos calcular derivar w com relagao a x, mantendo y, z constantes. Tendo em mente essa notacao, determine, (ye (3) ; Ow Ow Ow Ow (3) Cae (SE) ye? (SE) ane se w=a2?+y-—z+tcos(t), rty=t. Resposta: (SE) ys = 2x —sen(x + y), (Sr) = 1-sen(x + y), (3), = 1- 2t— y), Ow _ Ow _ Ow _ (32) ey =—l, (Se) yt =—l, (SPew =1- sen(t) 11. Um fluido move-se através de um tubo de comprimento igual a 1 metro e raio r = 0,005 +0, 00025 metros, sujeito a uma pressao p = 10° + 1000 pascal, e com vazao igual av = 0,625-10-° m/s. Use o conceito de diferencial para estimar o erro maximo 1 percentual no calculo da viscosidade 7 do fluido, a qual é dada por 7 = 3 pe Resposta: ~ 20, 1%. t 12. Sendo a 4 0, prove que u(x,t) = pow satisfaz a equacdo da onda uy = a7Uge. a?t? — x 13. Suponha que f(x,y) = f(y, x), para todo (x, y) no dominio da f. Nesse caso diz-se que f € simétrica. Prove que se as derivadas parciais de primeira ordem de f existem no seu dominio, entao f;(yo,%0) = fy(2o, Yo): 14. Em uma sala, a temperatura 6 dada por T = f(x,t), em °C, sendo x a distancia de um aquecedor e t o tempo decorrido depois de o aquecedor ter sido ligado. Sensores dispostos adequadamente na sala registram que (1) A temperatura esta aumentando a uma taxa de 1,2°C' por minuto a 3 metros do aquecedor, 5 minutos depois dele ter sido ligado e (2) Ha um decréscimo de temperatura de 2°C por metro afastando-se da posicao x = 3 para longe do aquecedor, 5 minutos depois dele ter sido ligado. Estime quanto estara mais frio ou mais quente a uma distancia de 2,5 metros do aquecedor, 6 minutos apés 0 aquecedor ter sido ligado. Resposta: ~ 2,2°C. 15. A Figura 2 representa o mapa de contornos de uma funcgao z = f(x,y). Marque os pontos indicados onde ocorre (se ocorrer): a) fr <0, b) fy > 0, ¢) fa > 0, d) fyy < 9 Resposta: a) R e Q; b) P e Q; c) P, S, Q e R; d) nao ocorre nos pontos indicados y (7A . XS LY Figura 9 16. Seja ry(a?—y?) 0.0 f(a y) _ x2ty2 ’ (x, y) F# ( ’ ) 0, (x,y) = (0,0) a. Determine f; e fy. b. Mostre que f,,(0,0) A fyc(0,0). Por qué esse resultado nao contradiz o Teorema de Clairaut-Schwarz? 17. A Voltagem V em um circuito que satisfaz a lei de Ohm V = JR vai caindo lentamente a medida que a bateria descarrega. Ao mesmo tempo, a resisténcia R vai aumentando conforme o resistor esquenta. Utilize a regra da cadeia para descobrir como a corrente esté variando no instante em que R = 600ohms, J = 0,04A, dR/dt = 0,5o0hms/s e dV /dt = —0,01V/s.Resposta: dI/dt = —0.00005A/s, portanto a corrente esta decrescendo. 18. Seja T = f(x,y) a temperatura no ponto (x, y) da elipse x =2V/2cos(t), y= V2sin(t), 0O< t < 2r, e suponha que or = Y, or = x. Determine as temperaturas maxima e minima na elipse examinando dT'/dt e d°T'/dt?. Resposta: maximo em (x,y) = (2,1) e (x,y) = (—2,—-1); minimo em (x,y) = (—2,1) e (x,y) = (2, -1). 19. O design de aquecedores seguros depende do conhecimento de como o vapor se comporta sob mudan¸cas de temperatura e press˜ao. A Tabela 2 fornece valores da fun¸c˜ao V = f(T, P), sendo V o volume de uma libra de vapor (em p´es c´ubicos, ft3), `a temperatura T (em 0F) e press˜ao P (em libras-for¸ca por polegada quadrada, lbf/in2). a) Encontre uma aproxima¸c˜ao linear para V = f(T, P) para T pr´oxima de 5000F e press˜ao 24 lbf/in2. b) Estime o volume de uma libra de vapor `a temperatura de 5050F, sob uma press˜ao de 24, 03 lbf/in2. Tabela2 20. Considere a Tabela 3 abaixo, a qual fornece o ´ındice de sensa¸c˜ao t´ermica w (em 0F) como fun¸c˜ao da temperatura do ar (em 0F) e da velocidade do vento v (em milhas por hora), isto ´e, w = w(v, T). a. Estime wT(20, −10), wT(20, −5) e wT(20, −15) e use esses resultados para estimar wTT(20, 0). Interprete essa ´ultima derivada. Resposta: wTT (20, −10) ≈ 0, isso significa que, quando v = 20 milhas por hora e T = −100F, a ”velocidade” (taxa instantˆanea de varia¸c˜ao) com que wT varia com rela¸c˜ao a T tem taxa de varia¸c˜ao perto de zero (”acelera¸c˜ao” de w com rela¸c˜ao a T ´e aproximadmente nula). b. De forma similar, estime wvv(20, −10) e interprete o resultado. c. Use a aproxima¸c˜ao linear de w em (20, −10) para encontrar um valor aproximado para w quando v = 22 e T = −9. Tabela 3