Lista 9-2021 2

C´alculo 2 - Lista 9 Prof. Ferm´ın S. V. Baz´an Obs.: use o Wolfram Alpha para obter suas respostas 1. Encontre a solu¸c˜ao geral de cada EDO: (a) y′′′ − 3y′ + 2y = 0 (b) y(5) − 8y′′′ + 16y′ = 0 (c) y(4) − y = 0 (d) y′′′ − 3y′ + 2y = 0 2. Encontre a solu¸c˜ao de cada PVI abaixo (a) y′′′ + 12y′′ + 36y′ = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1, y′′(0) = −7 (b) y′′′ − 8y = 0, y(0) = 0, y′(0) = −1, y′′(0) = 0 3. Encontre a solu¸c˜ao geral das equa¸c˜oes abaixo (a) y′′ − y′ − 2y = 2t2 + 5 (b) y′′ − y′ − 6y = 8e2t (c) y′′ − 2y′ + 10y = 20t2 + 2t − 8 (d) y′′ + 9y = 9 sec2(3t), 0 < t < π/6 (f) y′′′ − 6y′′ = 3 − cos (t) (g) y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = t − 4et (h) y′′′ + y′ = tan(t), 0 < t < π/2 (i) y′′′ + 4y′ = sec (2t), −π/4 < t < π/4 4. Encontre a solu¸c˜ao de cada PVI abaixo: (a) y′′ − 4y = t + 7e2t, y(0) = 1, y′(0) = 3 (b) y′′ + 8y′ + 12y = 7 + e−t, y(0) = 1, y′(0) = 0 (c) 2y′′′ − 13y′′ + 24y′ − 9y = 36, y(0) = 4, y′(0) = 0, y′′(0) = 5 2 5. Um bloco c´ubico de aresta l e densidade de massa igual a ρ, est´a flutuando num lago de ´aguas paradas, de forma que sua base ´e paralela `a superf´ıcie do lago. Sendo ρ0 a densidade de massa da ´agua no lago, temos ρ0 > ρ. Admita que o amortecimento viscoso (do fluido e do ar) possam ser desprezados a. Qual a profundidade u0 da por¸c˜ao do bloco que est´a mergulhada no lago? b. Suponha que, partindo da posi¸c˜ao de repouso (bloco flutuando no lago), o bloco ´e mergulhado no fluido, de forma que a profundidade da por¸c˜ao do bloco submersa ´e u1, com ug < uy < Jl. Ao ser imediatamente solto, o bloco se movimenta verticalmente de forma oscilatéria. Supondo que, em cada instante, a base do bloco continua paralela a superficie do lago, deduzir um problema de valor inicial para a profundidade u, da porcgao do bloco que esta mergulhada no lago. c. Resolva o problema no item (b) e determine o perfodo do movimento. Resposta: a) u9 = ee b) plu!’ + gpou = gpl, u(0) = uy, u’(0) = 0 sendo g é a aceleragdo da gravidade c) u(t) = (m1 - *) cos(wt) + * sendo w = (2: perfodo= 2501 6. Uma corrente de 5 metros de comprimento e com densidade linear de massa p kg/m localiza-se sobre uma pequena polia como mostrado na Figura abaixo. Suponha que a polia esta presa por um suporte localizado a 8 metros do solo. Inicialmente, a corrente em repouso foi disposta com 3 metros de um lado da polia e 2 metros do outro lado da polia, como na Figura 1. A corrente é solta e passa a se mover em direcao ao solo. Determine e resolva um problema de valor inicial para a posigao « = x(t) da ponta do lado mais longo da corrente (medida a partir do suporte), em funcao do tempo t, do instante que a corrente é solta ao instante em que ela deixa a polia. Use g = 10m/s? e despreze os efeitos do atrito entre a polia e a corrente, bem como da resisténcia do ar. Respostas: «/’(t) — 4x(t) = —10, x(0) = 3, #’(0) = 0; a(t) = 5 cosh(2t) + 3 ' 7. Um objeto de massa 1 kg é preso & uma das extremidades de uma mola cuja constante de mola é 24 N/m. A outra extremidade da mola esté presa num suporte de forma que o objeto e a mola estao dispostos verticalmente e em equilfbrio. Preso ao objeto hd um amortecedor que induz um arraste quantitativamente igual a 1lu N.s/m, sendo v a velocidade do objeto (em metros por segundo). O sistema é posto em movimento deslocando-se 0 objeto para baixo uma distancia de 25/3 cm e entao golpeando-o para cima. O golpe é forte o suficiente para induzir uma velocidade inicial de 5 m/s no objeto. Escreva um problema de valor inicial para o deslocamento do objeto (medido a partir da posicgao de equilibrio) em funcao do tempo e resolva esse problema. Resposta: y(t) = a (576% — 52e—3*) 8. Considere 0 movimento livre e criticamente amortecido de um sistema massa-mola, como descrito em aula. Sendo y = y(t) a posicao do objeto, suponha que y(0) = y’(0) # 0. Determine o deslocamento maximo Ymqz do objeto e mostre que o tempo em que o objeto atinge Ymax independe da sua posicao inicial. 9. Encontre a carga elétrica no capacitor em um circuito RLC em que E(t) = te~* nos casos abaixo. Admita que nao ha carga no capacitor no instante inicial e que nesse instante a corrente elétrica no circuito é nula. a. R?—4L/C=0, R/2L 41. b. R? —4L/C =0, R/2L =1. Respostas: a) q(t) = Gomer + ports * e Rt/2L + (x=7et + se | et b) q(t) = get3e-* 10. Considere um circuito RLC em série. Se L = 0,2 He C=0,8 x 10~® F, determine R que torna o circuito criticamente amortecido. 11. Num circuito em série com valores conhecidos de L, R e C e uma voltagem imposta Eo coswt, Eg #~ 0, para que valor de w a corrente teré maxima amplitude no estado estacionario? Resposta: w = 4/ te 12. Suponha que y1(x) e y2(x) sao solugdes da EDO dy dy —~ 4 n(t)—= + q(t)y =0 qe + Plt) a, + ay = 0, no intervalo [a,b] com p e q continuas nesse intervalo. Suponha que xo €]a,b[ é ponto de minimo local de y; e ponto de maximo local de ya. Mostre que y; yg sao solucdes LD. 13. Determine uma forma adequada para uma solucao particular da equacao y+ 2y+ay=xre~*sin(Va—12), a> 1. 14. Um circuito possui um capacitor de 0,125 x 107! F, um resistor de 602 e um indutor de 10H, em série. A carga inicial no capacitor é zero. No instante t = 0 conecta-se o circuito a uma bateria cuja tensao é de 12V e 0 circuito é fechado. a) Determine a carga no capacitor em qualquer instante t > 0. b) Determine a carga no capacitor quando t — +00.