Apostila Texto 2 Volume de um Solido de Revolução-2022 1

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciˆencias Fısicas e Matematicas Departamento de Matematica MTM3102 Calculo 2 Unidade 1 Texto 2 Volume de um solido de revolucao Fazendo uma regiao plana girar em torno de uma reta no plano obtemos um solido que e chamado solido de revolucao A reta ao redor da qual a regiao gira e chamada eixo de revolucao Por exemplo fazendo a regiao limitada pelas curvas y 0 y x e x 4 girar em torno do eixo x o solido de revolucao obtido e um cone Se o retˆangulo delimitado pelas retas x 0 x 1 y 0 e y 3 girar em torno do eixo y obtemos um cilindro Consideremos agora o problema de definir o volume do sélido T gerado pela rotagao em torno do eixo x da regiao plana R vista na figura abaixo i Pe uhh 4 44 K SS ry see eette KAN He 7 sheen Paes bee x LBS SS Sea a 5 Xx F Método das secoes transversais Suponha que fx é continua e nao negativa em a Consideremos uma partigéo P de ab dada por A Uj Up uw Uy D Seja Az x x1 0 comprimento do intervalo x x Assumimos que todos os subintervalos tem o mesmo comprimento isto é Ax Az para todo i 1n Em cada intervalo x17 escolhaemos um ponto qualquer x Para cada i 7 1n construimos um retangulo R de base Az e altura fz7 Fazendo cada retangulo R girar em torno do eixo x o sdlido de revolucao obtido é um cilindro cujo volume é dado por 2 mf a P Ac A soma dos volumes dos n cilindros que representamos por V é dada por n 2 2 2 2 Va mf i Ax wf a3 Ae al fanP Ax 0 SUP ai Ac i1 e nos dé uma aproximacao do volume do sélido T ay 1 a3 fle b2 ye Ne f peey bX Ax I AM i na figura acima C x7 Podemos observar que a medida que n cresce muito Ax tornase muito pequeno a soma dos volumes dos n cilindros aproximase do que intuitivamente entendemos como o volume do sdlido T Definigao 1 Seja y fx uma fungao continua nao negativa em ab Seja R a regiao sob o grafico de f dea até b O volume do sélido T gerado pela revolucao de R em torno do eixo x é definido por ji 2 V lim a Ar 1 A soma que aparece em 1 é uma soma de Riemann da fungao fx Como f é continua o limite em 1 existe e entao pela definicao da integral definida temos b V if Lf a dz a 1 Exemplo A regiao R limitada pela curva y 2 0 eixo xe as retas x 1e x 4 gira em torno do eixo x Encontre o volume do solido de revolugao gerado Resolugao 4 4 r Sh KR 4 4 p x Pela definicao temos 4 2 5 1 T 7 10237 Vq7 7 dr 4 1 unidades de volume 160 56h 30 80 Caso 2 A fungao fx é negativa em alguns pontos de a Nesse caso 0 sdlido gerado ao redor do eixo 2 da regiao sob os graficos das fungoes fx e fx de a até b coincidem Como fx fx a formula permanece a mesma a Ke x a b x Ie Caso 3 A regiao S esta entre os graficos de duas fungoes fx e gx de a até b como mostrado na figura abaixo Yi Fx oo Qx a b x Supondo fx gx Va ab o volume do sdlido T gerado pela rotagaéo de S em torno do eixo a é dada por b Ver f fe gle ae Caso 4 Ao invés de girar ao redor do eixo x a regiao R gira em torno do eixo y onde R é a regiao entre o grafico da fungao x gy o eixo y com y entre ce d 4 a zs x Nesse caso temos d V gy dy Caso 5 A rotacao se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados Se o eixo de revolugao for a reta y L temos b V if Lf x LI de 4 ix Lal L lL S 7 7 a n x Se o eixo de revolucao for a reta x M temos d V Iyy MJ dy 4 i al Y cl Mir x Exemplo Calcule o volume do sdélido obtido girando a pardbola y x em torno do eixo y no intervalo 0 4 Resolugao 4 77h Vf 7 Uy aS af ao i Le 2 Fo 2 2 x O volume é dado por 4 4 y 4 V myl dy ry dy o 87 u v 0 0 2 lo Exemplo Determine o volume gerado pela revolugao em torno do eixo x da area limitada pelas curvas y 2x e y 4 24 2 30 q 2 2 Resolugao Aplicando a férmula temos 2 2 3 12 8 4 v nva 2de 7 2x adv n oe 74ruv 0 0 3 Io 3 3 Exemplo Calcule o volume do solido gerado pela rotagao em torno do eixo dos x da regiao entre o grafico da funcéo y senx e o eixo 2 de até Resolugao ey VWADN Lp Ke Aplicando a férmula obtemos F 71 1 V sen x avn f 37 5 C0s2e dx 2 3 3a 1 1 2 rs 1 1 1 7 50 sen2z T sen37 Z sen7 7 uv 2 Abaixo outra definicao de volume de um sélido Definigao 2 Seja S um sélido que esta entrex aexb Sea area da secao transversal de S no plano P passando por x e perpendicular ao eixo x Ax onde A é uma fungao continua entao o volume de Sé 5 V Ax da sf enim of 0 a KE b x Exemplo Ache o volume do solido gerado pela revolucdo da regiao R limitada pelos graficos de y 4x e x 4 em torno do eixo x 6 Resolugao 4 44 UE xc 44 y Raio externo 6 1 e raio interno 2 Aplicando a férmula obtemos 4 y 2 4 y V 6 2 ay n 36 3y 4 dy 4 4 4 16 5 4 5 5 y 4 4 7687 32y y 128 64 128 64 uw 045 aso gp sor Sy SF me Método das cascas cilindricas volume Considere um solido S obtido pela rotacao em torno do eixo y da regiao limitada por y fx onde fx Oe pelas retas y 07 aexub Seja Xo71n uma particao do intervalo ab e seja x aj1 x 0 ponto médio do iésimo intervalo Se o retangulo com base Az x xj e altura f 27 é girado ao redor do eixo y entao o resultado é uma casca cilfndrica cujo volume é V 2ra fa7Ax circunferéncia x altura x espessura q Je mo 474 i nN iffy ty sa if i yore i ip LY ee ra if ffi al b x Portanto uma aproximacao para o volume V de S é dada pela soma dos volumes dessas secoes Vw S2rat f a7 Any i1 Esta aproximacao tornase melhor quando P max Az 0 Entao definimos o volume do sélido S obtido pela rotacao em torno do eixo y da regiao limitada por y fx onde fx 0 y0ra e x b por n b V27 lim x f x Ax 27 fo x dx Jim Das f efte Exemplo Determine o volume do sdlido obtido pela rotagao em torno do eixo y da regiao limitada por y 2x7wvey0 Resolugao Z 7 Usando o método das cascas cilindricas obtemos 2 3 ond od 32 16 var ofade 2n xu2u x Jar 20 f 2x x dx 20 8 ET wv 0 0 0 Exemplo Use 0 método das cascas cilindricas para calcular o volume gerado pela rotacao da area R em torno de y 2 sendo R limitada pelos graficos de y v y le au4 Resolugao tbe pO LiL LY A i 4 x n Nesse caso temse que raio y 2 y2ealtura4r4y Dessa forma 2 2 y y y 2 V 2r y 24ydy 20 4y y 8 2y dy 2a 454 8y 26 1 1 1 16 1 2 14 1 67 Ir 841628 2710 ruv 3 a7 an ro Area de uma superficie de revolucao Se f é positiva e tem derivada continua definimos a area da superficie obtida pela rotagao da curva y fx a x 6 ao redor do eixo x como b s fafa Vi FOP ae e ao redor do eixo y b S 2naxv1 fax dex Se g é positiva e tem derivada continua definimos a area da superficie obtida pela rotagao da curva xgy ey d ao redor do eixo y como d s 2rglyV1 lg yP dy e ao redor do eixo 2 s any Vit FOP ey Exemplo O arco da parabola y x de 11 para 24 é girado ao redor do eixo y Encontre a area da superficie resultante Resolugao C Ji dx 1 t omo x y e temos que dy 2y 4 1 4 4y1 4 T s 2ny 41 5 ay 2m y w T4y1ldy a7vi7 5v5 Ud 1 2y 1 dy 1 6 4 4 oe eee e t Lh 1 zZ Exemplo Ache a a4rea da superficie gerada pela rotacéo da curva y e 0 x 1 ao redor do eixo x Resolugao Aplicando a férmula temse 1 e s areVIE de on V1u7du sendo u e 0 1 Se utan entao du sec 6d logo S ar V14 tan sec d0 2r sec 6d 4 q 1 a 27secOtané In secé tan 6 2 i 2 rsecatanaInseca tana InV21 V2 sendo a tane Como tana e e seca 1tana 1 e temse que SnleV1 e InV1 e e V2 InV2 1 wa