Gabarito Cálculo 4 - Sequências e Séries - Exercícios Resolvidos

Disciplina Cálculo 4 Professor Gustavo Henrique Müller Aluno Questão 1 2 3 4 5 6 Total Valor 2 2 1 2 2 1 10 Pontuação GABARITO 1 20241 Questão 1 2 pontos Assinale V para VERDADEIRO ou F para FALSO V A sequência 1 1nn1 é decrescente V Usando o teste da comparação direta é possível afirmar que a série n1ln nn diverge Uma série que pode ser usada para esta comparação é a série harmônica F Pelo teste da raiz é possível concluir que a série n1 n1n2n diverge F O teste da razão é inconclusivo quanto à convergência absoluta da série n1 3nn Questão 2 2 pontos Em cada item determine se a sequência converge Em caso afirmativo encontre seu limite a en 2nn0 Solução A sequência diverge pois pode ser escrita como e2n e e2 136 1 b log n ln nn2 Solução A sequência converge para log e pois é uma sequência constante c cos n nn1 Solução A sequência converge para 0 pois cos n é uma função limitada d n sen 1nn1 Solução A sequência converge para 1 pois limn n sen 1n limn sen n1n1 limn cos n11 n21 n2 limn cos 1n cos 0 1 Questão 3 1 ponto Encontre uma fórmula geral para a série abaixo e caso ela convirja calcule sua soma 112 123 134 145 156 167 Solução Esta é uma série telescópica que converge para 1 pois ela é igual à n1 1nn1 n1 1n 1n1 1 limn 1n1 1 Questão 4 2 pontos Conclua se cada série abaixo converge ou diverge a n1 ne Solução Diverge pelo teste da divergência pois limn ne limn e1n e0 1 b n1 n1n21 Solução A série diverge por comparação no limite com a série harmônica limn n1n211n limn n1n21 n21 1 c n1 1n³n Solução A série converge pelo teste de Leibniz pois 1³n é uma sequência positiva decrescente e com limite nulo d n1 cos n n2 Solução Observe que cos n 1 Portanto n1 cos n n2 n1 1 n2 Como a série maior é uma sériep convergente por comparação direta concluímos que a série é absolutamente convergente Consequentemente a série converge Questão 5 2 pontos Aproxime o valor da soma das séries abaixo utilizando 5 termos e dê uma estimativa para o erro obtido neste processo a n2 1n ln n2 Solução A soma de 5 termos é aproximadamente 1576074534 Para calcular o erro usamos que k 1x ln x2 dx 1ln k Como a soma utiliza os termos até n6 temos 0514 1ln 7 R6 1ln 6 0558 b n0 1nn 3n Solução A soma de 5 termos é aproximadamente 0716563786 O erro é menor do que a5 1120243 00000342936 Questão 6 1 ponto Uma escadaria infinita será construída utilizandose infinitos cubos Sabendo que o maior dos cubos terá lado igual à 1 metro e que cada cubo seguinte tem lado igual à metade do lado do cubo anterior determine o volume total da escadaria Solução Lembre que o volume de um cubo é dado por V ℓ3 Portanto o volume total é V 1 123 143 183 n0 18n 11 18 87