Gabarito Calculo 4 - Series de Potencias e de Fourier

Disciplina Cálculo 4 Professor Gustavo Henrique Müller Aluno Questão 1 2 3 4 5 6 Total Valor 2 1 1 1 2 3 10 Pontuação GABARITO 2 20241 Questão 1 2 pontos Determine os conjuntos de convergência das séries de potências abaixo a n1 3n xn n b n0 n1 n2 x1n Solução Teste da razão para convergência absoluta ρ lim n an1 an 3x 1 x 13 Analisando os extremos a série converge em x 13 e diverge em x 13 IC 13 13 Solução Teste da razão para convergência absoluta ρ lim n an1 an A série converge apenas em x0 1 Questão 2 1 ponto Utilizando a série geométrica encontre uma série de potências que representa a função fx ln1 x2 e determine em qual intervalo esta convergência é válida Dica Lembre que ddx ln1 x2 2x 1 x2 Solução 1 1x n0 xn x 1 1 1 1x2 n0 1n x2n x 1 1 2x 1x2 n0 2 1n x2n1 x 1 1 ln1x2 C n0 2 1n x2n2 2n 2 x 1 1 Considerando x 0 é possível ver que C 0 Portanto ln1 x2 n0 1n x2n2 n 1 x 1 1 1 Questão 3 1 ponto Obtenha a série de MacLaurin de cada uma das seguintes funções a fx x2 senx b gx e3x Solução senx n0 1n x 2n1 2n 1 x2 senx n0 1n x 2n3 2n 1 Solução ex n0 x n n e3x n0 3n xn n Questão 4 1 ponto Escreva a função fx ex como uma série de Taylor centrada em x0 π Solução Como fnx ex n todos os coeficientes de Taylor valem eπ Logo ex n0 eπ n x πn Questão 5 2 pontos Use quatro termos da série de potências para aproximar o valor da integral definida 0 π3 cosx3 dx e estime o erro obtido nesta aproximação Solução cosx3 n0 1n x 6n 2n 0 π3 cosx3 dx n0 1n x 6n1 6n 12n 0 π3 n0 1n π 6n1 36n1 6n 12n A soma dos 4 primeiros termos é 0954214984 e o erro é inferior à π 252 325 25 8 31423526 106 Questão 6 3 pontos Determine a série de Fourier de cada uma das funções abaixo a fx 3x π x π b gx 0 se π x π2 1 se π2 x π2 0 se π2 x π Solução Função ÍMPAR a0 0 e an 0 Calcula bn 61n1 n fx n1 61n1 n sennx Solução Função PAR bn 0 Calcula a0 1 e an 2 n π sen n π 2 fx 12 n1 2 n π sen n π2 cosnx