Prova de Cálculo 4 - Resolução de EDPs e Equação da Onda

Disciplina Cálculo 4 Professor Gustavo Henrique Müller Aluno Questão 1 2 3 4 Total Valor 25 2 3 25 10 Pontuação Questão 1 Resolva as EDPs abaixo considerando duas variáveis independentes x e y a 1 ponto uy 2y y2 1 senx b 15 pontos uxx 3ux 2u ex Solução a Integrando ambos os lados com relação à y uxy lny2 1 senx Cx b As soluções da equação caracterísitca m2 3m 2 0 são m 1 e m 2 Portanto a EDP homogênea possui solução uhxy C1y ex C2y e2x A parte não homogênea possui solução particular upxy Ay x ex pois m 1 é solução da equação característica As suas derivadas são upxy Ay ex Ay x ex e upxy 2Ay ex Ay x ex Substituindo na EDP obtemos a equação 2Ay Ayx 3Ay 3Ayx 2Ayx ex ex Ay 1 A 1 Consequentemente a solução é uxy C1y ex C2y e2x x ex Questão 2 2 pontos Encontre a solução da equação de Laplace em um retângulo de lados Lx 1 e Ly π que satisfaz as condições de contorno ux0 0 ux π 0 u0y 0 u1y y Solução Coeficiente cn 2 π senh n from 0 to π y sen ny dy 2 1n1 n senhn Solução uxy from n1 to 21n1n senhn senhnx senny Questão 3 3 pontos Encontre a função uxt que representa a equação da onda gerada por uma corda elástica de comprimento L 2π com condições de Neumann Para isso considere α 1 fx xx 2π e gx x Solução Os coeficientes são a0 1π from 0 to 2π xx 2π dx 4π2 3 an 1π from 0 to 2π xx 2π cos nx2 dx 8 1n 1 n2 b0 1π from 0 to 2π x dx 2π bn 2 nπ from 0 to 2π x cos nx 2 dx 8 1n 1 n3 π A equação da onda é uxt 2π2 3 π t from n1 to 8 1n 1 n3 π sen nt2 8 1n 1 n2 cos nt2 cos nx2 Questão 4 25 pontos Considere uma circunferência fechada de material homogêneo comprimento C e espessura desprezível Seja x 0 C uma posição no arco de circunferência com 0 C Neste contexto a distribuição de calor é determinada pela EDP abaixo chamada de Equação do Calor com condições de fronteira periódicas Encontre a função uxt que representa a distribuição de calor nesta circunferência ut α2 uxx 0 x C t 0 u0t uCt t 0 ux0t uxCt t 0 ux0 fx 0 x C Dica Como f 0C R já é periódica sua extensão para os reais ṽ R R possui período C Portanto a Série de Fourier para ṽ é considerada no intervalo LL com C 2L Solução Começamos resolvendo a questão pelo método de separação de variáveis uxt Xx Tt utxt Xx Tt uxxxt Xx Tt Substituindo na EDP do calor ut α2 uxx e dividindo por α2 X T temos 1 α2 T T X X k Obtemos assim duas EDOs uma em cada variável A primeira EDO é XX k X k X 0 Essa é uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes cuja equação característica é m2 k 0 Suas raízes são m k Precisamos separar a análise em 3 casos 1 Se k 0 a solução da EDO é Xx A x B 2 Se k 0 a solução da EDO é Xx A exk B exk 3 Se k 0 a solução da EDO é Xx A senx k B cosx k A senx k B cosx k Vamos agora à análise das condições de contorno A primeira condição nos dá a equação X0 XC e a segunda nos dá a condição X0 XC sob as quais vamos analisar cada um dos três casos acima 1 A solução Xx A x B tem derivada Xx A então obtemos B A C B A A Como C 0 temos A 0 e B uma constante qualquer Isso nos gera a solução uxt Xx Tt B D a0 2 1 2 Neste caso Xx A exk B exk e Xx A k exk B k exk Então A B A eCk B eCk A k B k A k eCk B k eCk Como k 0 podemos dividir a segunda equação por k e somar com a primeira para obter 2 A 2 A eCk de onde segue que A 0 pois o expoente é não nulo Voltando a qualquer uma das equações anteriores temos B B eCk que implica B 0 pelo mesmo motivo Obtemos assim a solução trivial que não nos interessa 3 Xx A senx k B cosx k e Xx A k cosx k B k senx k B A senC k B cosC k A k A k cosC k B k senC k A segunda EDO é 1 α2 T T k T T k α2 Integrando ambos os lados com respeito à t lnT k α2 t C1 Tt D ek α2 t As equações acima são satisfeitas quando senCk 0 e cosCk 1 o que acontece quando Ck 2nπ ou seja k 2nπC2 Obtemos as soluções unxt XxTt A sen2nπxC B cos2nπxC D e2nπC2 α2 t 2 Somando todas as soluções encontradas em 1 e 2 obtemos a expressão uxt a02 Σn1 an sen2nπxC bn cos2nπxC e2nπC2 α2 t 3 Por fim usamos a condição inicial fx ux0 a02 Σn1 an sen2nπxC bn cos2nπxC Note que a expressão acima é a série de Fourier para a função f R R que representa a extensão periódica de f 0C R com período C Tomando L C2 os coeficientes acima são a0 1L LL fx dx 2C 0C fx dx an 1L LL fx cosnπxL dx 2C 0C fx cos2nπxC dx bn 1L LL fx sennπxL dx 2C 0C fx sen2nπxC dx Conclusão A solução é dada pela expressão 3 com os coeficientes a0 an e bn acima Observação Na resposta final é importante que tudo esteja em função de C pois L foi utilizado apenas como uma variável auxiliar e não faz parte do problema Em especial quando escrevemos os coeficientes utilizando a função original fx é essencial utilizar o intervalo de integração 0 C pois este é o domínio desta função