Lista Oscilador Amortecido com Resposta-2021 1

Calculo2 EDO 22 Ordem Aplicacdes 2021-1 LISTA DE EXERCICIOS Esta lista trata de varios conceitos associados ao movimento harmonico forgado e/ou amortecido. e Moysés Nussenzveig, Curso de Fisica Basica, vol. 2. - Fluidos, Oscilagoes e Ondas e Calor. Oscilador amortecido 1. Um péndulo com fio de comprimento 1,00 m é abandonado do repouso de um angulo inicial de 15°. Apds 1000 s, sua amplitude é reduzida para 5,5°. Qual é o valor da constante de amortecimento y? (R: 0,002 s~') 2. Um oscilador harménico amortecido consiste em um bloco (m = 2 kg), uma mola (k = 10,0N/m) e uma forcga de amortecimento F' = —pv. Inicialmente, ele oscila com amplitude de 25,0 cm; devido ao amortecimento, a amplitude é reduzida para trés quartos do seu valor inicial, quando sao completadas quatro oscilacoes. (a) Qual o valor de p? (b) Quanta energia foi dissipada durante essas oscilagoes? R: (a) p = 0,102 kg/s; (b) AE = 0,136 J. 3. Em um sistema oscilatério com uma forca de atrito temos: dx Fnola Futrito = —kx — Ty? la + Latrit p di onde k é a constante da mola e p é a constante de amortecimento. Logo, a equacgao de movimento fica: P , x x M— + p— + kx = 0. dt | dt Considere o oscilador como estando no regime subcritico e resolva a equacao diferencial para as condicoes iniciais x(0) = 0 e v(0) = vp. R: x(t) = we Bar sin(wt), com w = 4/4 — fn. 4. Um corpo de massa m = 40 g esta preso a uma mola de constante elastica k = 100 N/m. Este sistema é colocado para oscilar e depois imerso num meio cujo coeficiente de atrito viscoso é p = 0,08 kg/s. (a) Determine a frequéncia natural do sistema. (b) Escreva a equacao diferencial que descreve 0 movimento, explicitando os valores numéricos dos coeficientes (indicando suas unidades). (c) Qual é 0 regime de oscilagao? (justifique) (d) Qual é a frequéncia de oscilagao? R: (a) wo = 50 rad/s; (b) + ya + wer = 0 (7 = 2871 e ws = 2500 rad?/s*); (c) sub-critico; (d) w = V2499 rad/s. 5. Um corpo de massa m = 1,0 kg oscila livremente, quando preso a uma mola, com frequéncia angular wo = 2,0 rad/s. Posteriormente este conjunto é colocado num Iquido, cujo coeficiente de resisténcia viscosa 6 p = 2V3 kg/s. (a) Escreva a equacao diferencial do movimento harmonico amortecido, e a sua solugao com as condigoes iniciais z(0) = 0,50 m e v(0) = 0. (b) Determine 0 tempo necessadrio T para que a amplitude do movimento diminua de um fator 1/e em relacao ao valor inicial. R: (a) #+ 2V3% + 4x = 0; x(t) = e~¥** cos (t— %) m; (b) T= 3 s. 6. Considere uma situacgao em que vocé esta examinando as caracteristicas do sistema de suspensao de um automdvel. A suspensao “cede” 10 cm, quando o peso do automovel inteiro é colocado sobre ela. Além disso, a amplitude da oscilacéo diminui 50% du- rante uma oscilagao completa. Estime os valores de k e p para o sistema de mola e amortecedor em uma roda, considerando que cada uma suporta 500 kg. R: k = 5,0 x 10* N/me p=1,1 x 103 kg/s. 7. Um oscilador criticamente amortecido, partindo da posigao , de equilibrio, recebe um impulso que lhe comunica uma velocidade inicial vg. Verifica-se que ele passa por seu deslocamento maximo, igual a 3,68 m, apdos 1 segundo. (a) Qual é 0 valor de up? (b) Se o oscilador tivesse um deslocamento inicial zg = 2 m com a mesma velocidade inicial vg, qual seria o valor de x no instante t? R: vo = 10 m/s e (b) x(t) = e-'(2 + 12t) 0,6 i i i ‘ ' 06,-—1---} pop 8. (Poli 2006) O grafico de x(t), o4h mostrado na figura, representa a ft poF | ~ a . 0,3 i famed i i i i ! equacgao hordria de um _ oscilador _ FO po criticamente amortecido, para um = 0,2 a nen po Le ann 7 ~ ae sistema composto de um corpo de x %' i pop massa m = 1,0 kg preso a uma mola 0,0 — 7 de constante elastica k e imerso em -0,1 aN en ae um liquido viscoso, de coeficiente de -0,2 —_. Ltt resisténcia viscosa p. 9.3 ae 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (Ss) (a) Em que instante de tempo a velocidade do corpo sera nula, no intervalo de tempo mostrado no grafico? (b) A equagéo horaria x(t) pode ser escrita como a(t) = e-%/?(A + Bt) Determine os valores de A e B da equacao. (c) Determine o coeficiente de resisténcia viscosa p e a constante eldstica k da mola. (d) Determine o valor da velocidade inicial do oscilador. R: (a) t=3s (b) A=0,5me B=—0,5 m/s (c) p=1kg/s, y=1s',k =0,25 N/m e (d) vo = —0,75 m/s. 9. Um corpo de massa m = 1000 kg cai de uma altura H = 1 m sobre uma plataforma de massa desprezivel. Deseja-se projetar um sistema constituido por uma mola e um amortecedor sobre 0 qual se montara a plataforma de modo que ela fique em equilibrio a uma distancia d = 2 m abaixo de sua posicao inicial, apds 0 impacto. O equilfbrio deve ser atingido tao rapido quanto possivel, sem oscilagoes. (a) Obtenha a constante & da mola e a constante de amortecimento p do amortecedor. (b) Obtenha a funcao horadria que descreve 0 movimento do bloco apés entrar em contato com a plataforma. R: k =5 x 10? N/me p= 2V5 x 10° kg/s e (b) x(t) = 2 (ev — 1) m. Oscilador forgado e/ou amortecido 10. Um oscilador nao-amortecido de massa m e frequéncia natural wo move-se sob a acgao de uma forcga externa F’ = Fosin(wt), partindo da posicéo de equilibrio com velocidade inicial nula. Ache o deslocamento x(t). R: x(t) = aw sin(wt) —2 sin(wot)| 0 11. Um corpo de massa m desliza sobre um plano horizontal sem atrito sujeito a trés forcas: uma forgca elastica resultante da agao de uma mola de constante elastica k, uma forca devido a resistencia viscosa do meio, caracterizada pela constante de resisténcia viscosa pe uma forca externa periddica F(t) = Fo cos(Qt), sendo 2 a frequéncia externa. (a) Escreva a equacéo diferencial que descreve 0 movimento do corpo e encontre a sua solucao estacionaria. (b) Considerando que m = 50 kg, & = 5000 N/m, Fy = 50 N e p = 500 kg/s, calcule a frequéncia natural do sistema e o seu fator de qualidade. (c) No regime estaciondrio, usando os valores do item anterior, determine o valor de (2 para o qual a amplitude do movimento é maxima. (d) No regime estaciondrio, usando os valores do item (b), determine o valor da am- plitude maxima. ae 2, _ FB _ _ RR 1 R: i i Wot = cos(Mt), x(t) = A(Q) cos[Qt + &(Q)], A(Q) = m Taba ae e ®(Q) = —arctan (te), (b) w = 10 ste Q =1, (c) Qg = 5V2 871 e (d) 0 4 Amax — 50V3 m. 12. Um corpo de massa 50 g esta preso a uma mola de constante k= 20 N/m e oscila, inicialmente, livremente. Esse oscilador é posteriormente colocado num meio cujo coeficiente de atrito viscoso é p = 0,9 kg/s. Depois disso o oscilador, ainda no meio viscoso, é excitado por uma forca externa F = Focos(Qt), onde Fy = 9,0 Ne Q. = 20,0 rad/s. (a) Determine a frequéncia natural do sistema. (b) Qual o regime de oscilacgao do sistema quando imerso no meio viscoso, mas antes de ser excitado pela forga externa? Justifique a resposta. (c) Depois que a forga externa é aplicada e que o sistema entrou no regime esta- cionario, qual o valor da amplitude do movimento? (d) Qual deveria ser o valor exato da frequéncia externa de excitacgéo para que a amplitude de oscilagao, no regime estacionario, fosse maxima? R: wo = 20 s~'; (b) regime sub-critico (wy > y/2); (c) A= 0,5 me (d) Qr = V238 -1 Ss.