Prova 3 Resolvida-2021 2

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 3ª Prova de Cálculo II Nome: _________________________________Matrícula:_____________ 1) (2,0 pontos) Resolva e equação diferencial redutível abaixo. 𝑦′′ − 𝑦 ∙ 𝑦′ − 1 𝑦 ∙ (𝑦′)2 = 0 2) (2,0 pontos) Encontre o valor de m que faz a seguinte equação diferencial ser homogênea e resolva. 𝑥𝑦𝑚 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦3 − 𝑥3 3) (2,0 pontos) Encontre o valor de m que faz a seguinte equação diferencial ser exata e resolva. (𝑚𝑦 − 2𝑥 − 5) 𝑑𝑥 + (6𝑦 + 4𝑥 − 1) 𝑑𝑦 = 0 4) (2,0 pontos) Usando o método dos coeficientes indeterminados resolva a seguinte equação diferencial. 𝑦′′ − 6𝑦′ + 9𝑦 = 𝑥𝑒2𝑥 5) (2,0 pontos) Usando o método da variação dos parâmetros resolva a seguinte equação diferencial. 𝑦′′ + 9𝑦 = 9 (sec 3𝑥)2 6) Questão extra: (2,0 pontos) Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial 𝑦′′ + 4𝑦 = 1, 𝑦(0) = 1 𝑒 𝑦′(0) = 0 Boa Sorte! MeuGuru Trabalho de cálculo. 1- Resolva e equação diferencial redutível abaixo. 𝑦′′ − 𝑦𝑦′ − 1 𝑦 ሺ𝑦′ሻ2 = 0 Resposta: 𝑦′′ = 𝑦𝑦′ + 1 𝑦 𝑦′2 Substituir 𝑦′ = 𝑣, onde v é uma função de 𝑦. 𝑦′ = 𝑣 𝑦′′ = 𝑣𝑦′ 𝑦′′ = 𝑣𝑣′ Então a EDO fica: 𝑣′𝑣 = 𝑣2 𝑦 + 𝑦𝑣 𝑣′ = 𝑣 𝑦 + 𝑦 𝑣′ − 𝑣 𝑦 = 𝑦 Agora temos uma EDO linear de primeira ordem. Encontrando o fator integrante: lnሺ𝑢ሻ = න 𝑝ሺ𝑦ሻ𝑑𝑦 lnሺ𝑢ሻ = න − 1 𝑦 𝑑𝑦 lnሺ𝑢ሻ = − lnሺ𝑦ሻ 𝑒lnሺ𝑢ሻ = 𝑒−lnሺyሻ 𝑢 = 1 𝑦 Multiplicando todos os termos pelo fator integrante: 𝑣′ 𝑦 − 𝑣 𝑦2 = 𝑦 𝑦 𝑣′ 𝑦 − 𝑣 𝑦2 = 1 Aplicando a regra do produto ሺ𝑓𝑔ሻ′ = 𝑓′𝑔 + 𝑓𝑔′ 𝑓 = 1 𝑦 𝑔 = 𝑣 Então: 𝑣′ 𝑦 − 𝑣 𝑦2 = ൬1 𝑦 𝑣൰ ′ Sendo assim, a EDO fica: ൬1 𝑦 𝑣൰ ′ = 1 𝑣 𝑦 = න 1𝑑𝑦 𝑣 𝑦 = 𝑦 + 𝑐1 𝑣 = 𝑦2 + 𝑦𝑐1 Substituindo de volta 𝑣 = 𝑦′ 𝑦′ = 𝑦2 + 𝑦𝑐1 Reescrevendo na forma de variáveis separáveis: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦2 + 𝑦𝑐1 𝑑𝑦 = ሺ𝑦2 + 𝑦𝑐1ሻ𝑑𝑥 𝑑𝑦 ሺ𝑦2 + 𝑦𝑐1ሻ = 𝑑𝑥 න 1 𝑦ሺ𝑦 + 𝑐1ሻ 𝑑𝑦 = න 𝑑𝑥 න 1 𝑦ሺ𝑦 + 𝑐1ሻ 𝑑𝑦 = 𝑥 + 𝑐2 Aplicar integração por substituição 𝑢 = 𝑦 + 𝑐1 𝑦 = 𝑢 − 𝑐1 𝑑𝑦 = 1𝑑𝑢 න 1 𝑢ሺ𝑢 − 𝑐1ሻ 𝑑𝑢 = 𝑥 + 𝑐2 න 1 𝑐1 ቀ𝑢 𝑐1 − 1ቁ 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑥 + 𝑐2 1 𝑐1 න 1 ቀ𝑢 𝑐1 − 1ቁ 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑥 + 𝑐2 Integração por substituição 𝑣 = 𝑢 𝑐1 𝑢 = 𝑣𝑐1 𝑑𝑢 = 𝑐1𝑑𝑣 1 𝑐1 න 𝑐1 𝑣𝑐1ሺ𝑣 − 1ሻ 𝑑𝑣 = 𝑥 + 𝑐2 1 𝑐1 න 1 𝑣ሺ𝑣 − 1ሻ 𝑑𝑣 = 𝑥 + 𝑐2 Tirando a fração parcial: 1 𝑣ሺ𝑣 − 1ሻ = 𝑐1 𝑣 + 𝑎1 𝑣 − 1 𝑣ሺ𝑣 − 1ሻ 𝑣ሺ𝑣 − 1ሻ = 𝑐1𝑣ሺ𝑣 − 1ሻ 𝑣 + 𝑎1𝑣ሺ𝑣 − 1ሻ 𝑣 − 1 1 = 𝑐1ሺ𝑣 − 1ሻ + 𝑎1𝑣 Aplicando a raiz do denominador 𝑣 = 0 1 = 𝑐1ሺ0 − 1ሻ + 𝑎10 𝑐1 = −1 Aplicando a raiz do denominador 𝑣 = 1 1 = 𝑐1ሺ1 − 1ሻ + 𝑎11 𝑎1 = 1 Portanto, a nova integral fica: 1 𝑐1 ሺ− න 1 𝑣 𝑑𝑣 + න 1 𝑣 − 1 𝑑𝑣ሻ = 𝑥 + 𝑐2 1 𝑐1 ሺ− lnሺ𝑣ሻ + lnሺ𝑣 − 1ሻሻ = 𝑥 + 𝑐2 𝑣 = 𝑢 𝑐1 1 𝑐1 ൬− ln ൬𝑢 𝑐1 ൰ + ln ൬𝑢 𝑐1 − 1൰൰ = 𝑥 + 𝑐2 𝑢 = 𝑦 + 𝑐1 1 𝑐1 ൬− ln ൬𝑦 + 𝑐1 𝑐1 ൰ + ln ൬𝑦 + 𝑐1 𝑐1 − 1൰൰ = 𝑥 + 𝑐2 1 𝑐1 ൬ln ൬ 𝑦 𝑦 + 𝑐1 ൰൰ = 𝑥 + 𝑐2 ln ൬ 𝑦 𝑦 + 𝑐1 ൰ = 𝑥𝑐1 + 𝑐1𝑐2 2- Encontre o valor de m que faz a seguinte equação diferencial ser homogênea e resolva. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ሺ𝑦3 − 𝑥3ሻ 𝑥𝑦𝑚 Resposta: A EDO será homogênea para 𝑚 = 2, temos então: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦3 − 𝑥3 𝑥𝑦2 ሺ𝑥𝑦2ሻ𝑑𝑦 = ሺ𝑦3 − 𝑥3ሻ𝑑𝑥 Substituindo 𝑦 = 𝑢𝑥 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 𝑥ሺ𝑢𝑥ሻ2ሺ𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢ሻ = ሺሺ𝑢𝑥ሻ3 − 𝑥3ሻ𝑑𝑥 𝑢3𝑥3𝑑𝑥 + 𝑢2𝑥4𝑑𝑢 = 𝑢3𝑥3𝑑𝑥 − 𝑥3𝑑𝑥 𝑢2𝑥4𝑑𝑢 = −𝑥3𝑑𝑥 𝑢2𝑑𝑢 = − 1 𝑥 𝑑𝑥 න 𝑢2𝑑𝑢 = න − 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑢3 3 = − lnሺ𝑥ሻ + 𝑐 𝑢3 = −3 lnሺ𝑥ሻ + 3𝑐 𝑢 = 𝑦 𝑥 ቀ𝑦 𝑥ቁ 3 = −3 lnሺ𝑥ሻ + 3𝑐 𝑦3 = −3𝑥3 lnሺ𝑥ሻ + 3𝑥3𝑐 3- Encontre o valor de m que faz a seguinte equação diferencial ser exata e resolva. ሺ𝑚𝑦 − 2𝑥 − 5ሻ𝑑𝑥 + ሺ6𝑦 + 4𝑥 − 1ሻ𝑑𝑦 = 0 Resposta: A condição para a equação ser exata é que a derivada de 𝑀𝑦 e 𝑁𝑥 tem que ser iguais. 𝑀 = 𝑚𝑦 − 2𝑥 − 5 𝑀𝑦 = 𝑚 𝑁 = 6𝑦 + 4𝑥 − 1 𝑁𝑥 = 4 Então a condição é 𝑚 = 4 e a equação exata é; ሺ4𝑦 − 2𝑥 − 5ሻ𝑑𝑥 + ሺ6𝑦 + 4𝑥 − 1ሻ𝑑𝑦 = 0 E para acharmos a solução, temos a seguinte fórmula; 𝛹 = න 𝑁𝑑𝑦 + න 𝑚ሺ𝑥ሻ 𝑑𝑥 Onde 𝑚ሺ𝑥ሻ, são os termos de 𝑀 que dependem unicamente de 𝑥 𝛹 = නሺ6𝑦 + 4𝑥 − 1ሻ𝑑𝑦 + නሺ−2𝑥 − 5ሻ𝑑𝑥 𝛹 = 6𝑦2 2 + 4𝑥𝑦 − 𝑦 − 𝑥2 − 5𝑥 + 𝑐1 𝛹 = 3𝑦2 + 4𝑥𝑦 − 𝑦 − 𝑥2 − 5𝑥 + 𝑐1 3𝑦2 + 4𝑥𝑦 − 𝑦 − 𝑥2 − 5𝑥 + 𝑐1 = 0 4- Usando o método dos coeficientes indeterminados resolva a seguinte equação diferencial. 𝑦′′ − 6𝑦′ + 9𝑦 = 𝑥𝑒2𝑥 Resposta: Temos uma equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral é definida por 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 Para encontrar 𝑦ℎ resolvemos a equação homogênea 𝑦′′ − 6𝑦′ + 9𝑦 = 0 Assumimos que a solução tem a forma 𝑒𝑟𝑥 ሺ𝑒𝑟𝑥ሻ′′ − 6ሺ𝑒𝑟𝑥ሻ′ + 9𝑒𝑟𝑥 = 0 Derivando; 𝑟ሺ𝑒𝑟𝑥ሻ′ − 6𝑟ሺ𝑒𝑟𝑥ሻ + 9𝑒𝑟𝑥 = 0 𝑟2ሺ𝑒𝑟𝑥ሻ − 6𝑟ሺ𝑒𝑟𝑥ሻ + 9𝑒𝑟𝑥 = 0 𝑒𝑟𝑥ሺ𝑟2 − 6𝑟 + 9ሻ = 0 Resolvendo a equação de segunda ordem com Bhaskara 𝑏ℎ = 6 ± ඥሺ−6ሻ2 − 4ሺ9ሻ 2 𝑏ℎ = 3 Para uma única raiz real, a solução toma a forma 𝑦 = 𝑐1𝑒𝑟𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒𝑟𝑥 𝑦ℎ = 𝑐1𝑒3𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒3𝑥 Agora vamos encontrar 𝑦𝑝 Assumimos uma solução com a forma: 𝑦 = 𝑎0𝑥𝑒2𝑥 + 𝑎1𝑒2𝑥 ሺ𝑎0𝑥𝑒2𝑥 + 𝑎1𝑒2𝑥ሻ′′ − 6ሺ𝑎0𝑥𝑒2𝑥 + 𝑎1𝑒2𝑥ሻ′ + 9ሺ𝑎0𝑥𝑒2𝑥 + 𝑎1𝑒2𝑥ሻ = 𝑥𝑒2𝑥 ሺ𝑎0ሺ𝑒2𝑥 + 2𝑥𝑒2𝑥ሻ + 𝑎12𝑒2𝑥ሻ′ − 6ሺ𝑎0ሺ𝑒2𝑥 + 2𝑥𝑒2𝑥ሻ + 𝑎12𝑒2𝑥ሻ + 9ሺ𝑎0𝑥𝑒2𝑥 + 𝑎1𝑒2𝑥ሻ = 𝑥𝑒2𝑥 ሺ𝑎0ሺ4𝑒2𝑥 + 4𝑒2𝑥𝑥ሻ + 4𝑎1𝑒2𝑥ሻ − 6ሺ𝑎0ሺ𝑒2𝑥 + 2𝑥𝑒2𝑥ሻ + 𝑎12𝑒2𝑥ሻ + 9ሺ𝑎0𝑥𝑒2𝑥 + 𝑎1𝑒2𝑥ሻ = 𝑥𝑒2𝑥 Simplificando os termos: 𝑎0𝑒2𝑥𝑥 − 2𝑎0𝑒2𝑥 + 𝑎1𝑒2𝑥 = 𝑥𝑒2𝑥 Achar os coeficientes agrupando os termos semelhantes. 𝑎0𝑒2𝑥𝑥 + ሺ−2𝑎0 + 𝑎1ሻ𝑒2𝑥 = 1𝑒2𝑥𝑥 ൜−2𝑎0 + 𝑎1 = 0 1 = 𝑎0 −2 + 𝑎1 = 0 𝑎1 = 2 Substituir as os valores na solução que assumimos 𝑦𝑝 = 𝑎0𝑥𝑒2𝑥 + 𝑎1𝑒2𝑥 𝑦𝑝 = 𝑥𝑒2𝑥 + 2𝑒2𝑥 A solução geral é definida por 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 𝑦 = 𝑐1𝑒3𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒3𝑥 + 𝑥𝑒2𝑥 + 2𝑒2𝑥 5- Usando o método da variação dos parâmetros resolva a seguinte equação diferencial. 𝑦′′ + 9𝑦 = 9ሺsecሺ3𝑥ሻሻ2 Resposta: Achando 𝑦ℎ 𝑒𝑟𝑡ሺ𝑟2 + 9ሻ = 0 𝑟 = √−9 𝑟 = ±3𝑖 Para duas raízes complexas 𝑟1 ≠ 𝑟2, onde 𝑦1 = 𝛼 + 𝑖𝛽 e 𝑦2 = 𝛼 − 𝑖𝛽 A solução geral toma a forma 𝑦 = 𝑒𝛼𝑥(𝑐1 cosሺ𝛽𝑥ሻ + 𝑐2𝑠𝑒𝑛ሺ𝛽𝑥ሻ) No exemplo temos 𝑦ℎ = 𝑐1 cosሺ3𝑥ሻ + 𝑐1𝑠𝑒𝑛ሺ3𝑥ሻ Agora vamos encontrar a solução particular Assumimos que ela tem a forma 𝑦𝑝 = 𝑢1𝑦1 + 𝑢2𝑦2 𝑢1 = න − 𝑦2𝑔ሺ𝑥ሻ 𝑊ሺ𝑦1𝑦2ሻ 𝑢2 = න 𝑦1𝑔ሺ𝑥ሻ 𝑊ሺ𝑦1𝑦2ሻ E o wronskiano é definido por 𝑊ሺ𝑦1𝑦2ሻ = 𝑦1𝑦′2 − 𝑦′1𝑦2 𝑦1 = cosሺ3𝑥ሻ 𝑦′1 = −3𝑠𝑒𝑛ሺ3𝑥ሻ 𝑦2 = 𝑠𝑒𝑛ሺ3𝑥ሻ 𝑦′2 = 3cos ሺ3𝑥ሻ 𝑊ሺ𝑦1𝑦2ሻ = 3 cos2ሺ3𝑥ሻ + 3𝑠𝑒𝑛2ሺ3𝑥ሻ 𝑊ሺ𝑦1𝑦2ሻ = 3 Achando 𝑢1 𝑢1 = න −𝑠𝑒𝑛ሺ3𝑥ሻ9 sec2ሺ3𝑥ሻ 3 𝑑𝑥 𝑢1 = − 9 3 න 𝑠𝑒𝑛ሺ3𝑥ሻ sec2ሺ3𝑥ሻ𝑑𝑥 Integração por substituição 𝑢 = 3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 3 A integral fica 𝑢1 = −3 ൬1 3൰ න 𝑠𝑒𝑛ሺ𝑢ሻ sec2ሺ𝑢ሻ𝑑𝑢 𝑢1 = − න 𝑠𝑒𝑛ሺ𝑢ሻሺ1 + tan2ሺ𝑢ሻሻ𝑑𝑢 Integração por partes ∫ 𝑢𝑣′ = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑢′𝑣 𝑢 = ሺ1 + tan2ሺ𝑢ሻሻ 𝑣′ = 𝑠𝑒𝑛ሺ𝑢ሻ 𝑢′ = 2 sec2ሺ𝑢ሻ tanሺ𝑢ሻ 𝑣 = − cos ሺ𝑢ሻ Aplicando na fórmula 𝑢1 = −ሺ− secሺ𝑢ሻ − ∫ −2 sec2ሺ𝑢ሻ tanሺuሻ cosሺuሻ du) 𝑢 1 = −ሺ− secሺ3𝑥ሻ − ሺ−2 secሺ3𝑥ሻሻ 𝑢1 = −sec ሺ3𝑥ሻ Achando 𝑢2 𝑢2 = න cosሺ3𝑥ሻ 9 sec2ሺ3𝑥ሻ 3 𝑑𝑥 𝑢2 = 3 න cosሺ3𝑥ሻ sec2ሺ3𝑥ሻ𝑑𝑥 secሺ𝑥ሻ = 1 cosሺ𝑥ሻ Então 𝑢2 = 3 න cosሺ3𝑥ሻ cos2ሺ3𝑥ሻ 𝑑𝑥 𝑢2 = 3 න 1 cos ሺ3𝑥ሻ 𝑑𝑥 𝑢2 = 3 න sec ሺ3𝑥ሻ𝑑𝑥 𝑢2 = 3 ൬1 3൰ ሺlnሺ𝑡𝑎𝑛ሺ3𝑥ሻ + 𝑠𝑒𝑐ሺ3𝑥ሻሻ 𝑢2 = lnሺ𝑡𝑎𝑛ሺ3𝑥ሻ + 𝑠𝑒𝑐ሺ3𝑥ሻሻ Sendo assim, a solução particular é: 𝑦𝑝 = ሺ− secሺ3𝑥ሻሻ cosሺ3𝑥ሻ + lnሺtanሺ3𝑥ሻ + secሺ3𝑥ሻሻ secሺ3𝑥ሻ secሺ𝑥ሻ cosሺ𝑥ሻ = 1 𝑦𝑝 = −1 + lnሺ𝑡𝑎𝑛ሺ3𝑥ሻ + 𝑠𝑒𝑐ሺ3𝑥ሻሻ secሺ3𝑥ሻ E a solução geral da EDO: 𝑦 = 𝑐1 cosሺ3𝑥ሻ + 𝑐2𝑠𝑒𝑛ሺ3𝑥ሻ − 1 + lnሺ𝑠𝑒𝑐ሺ3𝑥ሻ + 𝑡𝑎𝑛ሺ3𝑥ሻሻ secሺ3𝑥ሻ 6- Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial: 𝑦′′ + 4𝑦 = 1, 𝑦ሺ0ሻ = 1 𝑦′ሺ0ሻ = 0 Resposta: 𝐿ሼ𝑦′′ + 4𝑦ሽ = 𝐿ሼ1ሽ Tabela para os termos do exemplo 𝐿ሼ𝑓′′ሺ𝑡ሻሽ = 𝑠2𝐿ሼ𝑓ሺ𝑡ሻሽ − 𝑠𝑓ሺ0ሻ − 𝑓′ሺ0ሻ 𝐿ሼ𝑎ሽ = 𝑎 𝑠 Substituindo na EDO 𝑠2𝐿ሼ𝑦ሽ − 𝑠𝑦ሺ0ሻ − 𝑦′ሺ0ሻ + 4𝐿ሼ𝑦ሽ = 1 𝑠 Conectando as condições iniciais 𝑦ሺ0ሻ = 1, 𝑦′ሺ0ሻ = 0 𝑠2𝐿ሼ𝑦ሽ − 𝑠. 1 − 0 + 4𝐿ሼ𝑦ሽ = 1 𝑠 𝑠2𝐿ሼ𝑦ሽ − 𝑠 + 4𝐿ሼ𝑦ሽ = 1 𝑠 𝑠2𝐿ሼ𝑦ሽ + 4𝐿ሼ𝑦ሽ = 1 𝑠 + 𝑠 𝐿ሼ𝑦ሽሺ𝑠2 + 4ሻ = 1 𝑠 + 𝑠 𝐿ሼ𝑦ሽ = 1 𝑠 𝑠2 + 4 + 𝑠 𝑠2 + 4 𝐿ሼ𝑦ሽ = 1 + 𝑠2 𝑠ሺ𝑠2 + 4ሻ 𝑦 = 𝐿−1 ቊ 1 + 𝑠2 𝑠ሺ𝑠2 + 4ሻቋ Tirar a fração parcial 1 + 𝑠2 𝑠ሺ𝑠2 + 4ሻ = 𝑎0 𝑠 + 𝑎2𝑠 + 𝑎1 𝑠2 + 4 𝑠ሺ𝑠2 + 1ሻሺ𝑠2 + 4ሻ 𝑠ሺ𝑠2 + 4ሻ = 𝑎0𝑠ሺ𝑠2 + 4ሻ 𝑠 + 𝑠ሺ𝑎2𝑠 + 𝑎1ሻሺ𝑠2 + 4ሻ 𝑠2 + 4 1 + 𝑠2 = 𝑎0ሺ𝑠2 + 4ሻ + 𝑠ሺ𝑎2𝑠 + 𝑎1ሻ Inserir 𝑠 = 0 para achar 𝑎0 1 + 02 = 𝑎0ሺ02 + 4ሻ + 0ሺ𝑎20 + 𝑎1ሻ 𝑎0 = 1 4 Temos então: 1 + 𝑠2 = 1 4 ሺ𝑠2 + 4ሻ + 𝑠ሺ𝑎2𝑠 + 𝑎1ሻ 𝑠2 + 1 = 𝑠2 ൬𝑎2 + 1 4൰ + 𝑎1𝑠 + 1 Agrupando termos similares ൝ 𝑎1 = 0 1 4 + 𝑎2 = 1 𝑎2 = 3 4 Aplicando os valores na equação: 𝑎0 𝑠 + 𝑎2𝑠 + 𝑎1 𝑠2 + 4 1 4 𝑠 + 3 4 𝑠 + 0 𝑠2 + 4 1 4𝑠 + 3𝑠 4ሺ𝑠2 + 4ሻ Então a transformado inversa fica: 𝑦 = 𝐿−1 ൜ 1 4𝑠 + 3𝑠 4ሺ𝑠2 + 4ሻൠ 𝑦 = 𝐿−1 ൜ 1 4𝑠ൠ + 𝐿−1 ൜ 3𝑠 4ሺ𝑠2 + 4ሻൠ 𝑦 = 1 4 𝐿−1 ൜1 𝑠ൠ + 3 4 𝐿−1 ൜ 𝑠 ሺ𝑠2 + 4ሻൠ Usando a tabela: 𝐿−1 ቄ𝑎 𝑠ቅ = 𝑎 𝑦 = 1 4 + 3 4 𝐿−1 ቄ 𝑠 𝑠2 + 4ቅ Aplicando a regra da transformada inversa 𝐿−1ሼ𝑠𝐹ሺ𝑠ሻሽ = 𝑑 𝑑𝑡 𝑓ሺ𝑡ሻ + 𝑓ሺ0ሻ 𝐹ሺ𝑠ሻ = 3 4ሺ𝑠2 + 4ሻ Multiplicar por 2 em cima e em baixo 𝐹ሺ𝑠ሻ = 3 8 ൜ 2 𝑠2 + 22ൠ Aplicando a regra 𝑑 𝑑𝑡 ൬𝐿−1 ൜ 3 4ሺ𝑠2 + 4ሻൠ൰ + 𝐿−1 ൜ 3 4ሺ𝑠2 + 4ሻൠ ሺ0ሻ 𝑑 𝑑𝑡 ൬𝐿−1 ൜ 3 4ሺ𝑠2 + 4ሻൠ൰ Usando a tabela de transformado inversa 𝐿−1 ቄ 𝑎 𝑠2+𝑎2ቅ = 𝑠𝑒𝑛ሺ𝑎𝑡ሻ Então a solução fica 𝑦 = 1 4 + 𝑑 𝑑𝑡 ቆ3 8 𝑠𝑒𝑛ሺ2𝑡ሻቇ 𝑦 = 1 4 + 3 4 cosሺ2𝑡ሻ